Vetores Cooreos Ilustrió 38 Determie ls euioes vetoril prmétris y simétris e l ret que ps por el puto A- 3 y es prlel l vetor DT sieo D4 0 - y T -3. Soluió Desigemos est ret por L A DT Se Px y z tl que P e l ret. L A DT Determiemos los vetores e posiió A D ; esto es P represet u puto geério A r y P r respetivmete. A P T z O y P x Teemos hor que: L A DT. P A AP. AP λdt Co λ R. Porqué? 3. P A λdt Sustituió e e. 4. DT T D Porqué? 5. P A λt - D λ R} Euió vetoril e est ret. 6. LA DT {P x y z / P A λt - D λ R}
Como DT T D -3-4 0 -; esto es DT --3 Por l orrespoei etre vetores e posiió y vetores ooreos teemos e 5: 7. P x y z -3 λ--3 x y z - -λ -3λ 3λ y e l igul e -tupls se otiee: x - -λ y - 3λ z 3 λ λ R. Euioes prmétris e est ret. 8. Despejo el prámetro e u e ls euioes teriores y por l trsitivi e l igul teemos: x y 3 z 3 Euioes simétris e est ret. Ilustrió 39 Determie pr l ret e l ilustrió terior: Sus itereptos o los plos x y x z y z Su iterseió o el plo e euió rtesi x-y3z5 Soluió: L euió rtesi el plo x y orrespoe : 0x 0yz0; y sustituyeo ls oores respetivs e ls euioes prmétris e est euió teemos: 3 λ0 y λ -3/ evluo pr este vlor ls euioes prmétris se otiee: X- 3/ Y 33/ / Z0 E oseuei / 0 orrespoe l puto e iterseió e l ret o el plo x y. Determie el iterepto o los otros os plos. Vemos hor el iterepto o el plo e euió x-y3z5 - -λ--3λ33λ5-4 - 4λ-3λ96λ5 45λ5 λ /5; evluo ls euioes prmétris o este vlor oteemos el puto -8/5 8/5 7/5 orrespoiete l iterseió.
Ilustrió 40 Ds ls rets L y L e el espio y e euioes: x - 3λ x 3 - β L: y 5 - λ λ R. L: y 5 β β R. z λ z β Determie el ojuto L L e iterprete geométrimete sus posiioes reltivs: Vemos iiilmete si L//L por ser muy seillo el riterio que lo etermi. Se u 3- o u // L Porqué? Se u - o u //L L//L si y solo si u //u Porqué? u Pero u // u si y solo si u θ. Teorem. Criterio el prlelismo. Asummos prue e hipótesis se ier terímos que: u θ u. Esto es 3- θ-; si esto 3 -θ - θ θ Geero u sistem iosistete; lo que os permite oluir que u y e oseuei L u L Proeemos hor etermir L L. 3λ 3 β 3λ β 5 5 λ 5 β λ β 0 3 λ β 3λ β 0 Aplio el métoo e reuió e Guss - Jor se tiee: 3 E E3 5 0 0 0 0 E 3 -E 0 5 5 0 5 0 5 0 3E E -E E3 0 0 5 5 0 5 0
Lo que os permite firmr que el sistem es iosistete y e oseuei L L Φ. Este ultimo resulto y l olusió previ e que L L os permite oluir segú l teorí que ls rets y L se ruz e el espio. Ilustrió 4 L Dos los plos π π y π 3 e euioes rtesis e su ore: π : x y z π : x 3y z π 3 : x 6y z 3 Determie e iterprete geométrimete. π π. π π 3 3. π π π 3 Vemos pr el primer ojuto. Por el métoo e reuió e Guss Jor 3 E E 0 4 3 / 4 E 0 3/ 4 / 4 E E 0 0 5/ 4 3/ 4 5/ 4 / 4 Sistem equivlete reuio.. x 5/4z 5/4. y -3/4z /4 x 5/4-5/4 λ. y /4 3/4 λ λ R Soluió el sistem. z λ Esto sigifi que π π L A t oe A5/4 /4 0 y t -5/4 3/4 Ilustrió 4 Dos S -4-6 y Determie:. L euió vetoril el plo que ps por S y es perpeiulr l vetor ; que esigmos por π S.. L euió rtesi e este plo.
3. L isti e u puto Q34- este plo. 4. Ls oores orrespoietes l proyeió ortogol e Q sore el mismo plo. 5. Ls oores el puto simétrio e Q respeto l plo iiil. 6. El águlo etre el plo π S y el plo e euió 5x -y z -3 Soluió:. Se Px y z π S. Etoes SP y por lo tto S P SP. o Euió vetoril.. SP P S x4 y z-6 SP. x y y z 6 0 x y z Euió rtesi. 3. Se A π S; e prtiulr A 0 0 está e el plo Q π S HQ HQ AT pr AQ AQ
Por tto AQ. HQ. AQ. 4. 33 9 Clulemos ls oores el puto H Poemos firmr que { H } π S L Q. Si P x y z L Q etoes P Q λ y sus euioes prmétris so:. x 3 λ. y 4 λ λ R 3. z - λ 3 4 λ λ λ λ 4/ 9 9 3 y H 9 9 9 Desigemos Q por el puto simétrio e Q respeto l plo π umple e oseuei que: Q Q QQ Porqué? Q Q QH Porqué? QH H Q 8/9 4/94/9 Q 3 4 - -6/9-8/9 8/9 Q /9 8/9-0/9 S se Q A H H Q O
t Determiemos perpeiulr l plo e euió 5x y z -3 e prtiulr t 5 ; y por lo tto el águlo etre los plos orrespoe :. t α os t 0 os α 55º 9 30 Ilustrió 43 Demuestre l esigul e Cuhy Shwrz. Si 3 E etoes.. Demostrió.. osα Defiiió e prouto eslr... osα Tomo e vlor soluto e 3.. osα Propie e vlor soluto y mgitu e u vetor lire. 4. osα Rgo e l fuió oseo 5. os α Propie el vlor soluto e 4 6. os α 7.. Ilustrió 44
Se ABC o águlo reto e B AC ˆ ; AH ltur. Demuestre vetorilmete que:. AB CB HB. 3. AC CB CH AH BH CH A B H C Soluió. AB AB. Defiiió e prouto eslr. AB. AB CB CA Diferei e E 3 3. AB HB HA Diferei e E 3 4. De y 3 AB. AB CB CA. HB HA 5. AB. AB CB. HB CB. HA CA. HB CA. HA Propie istriutiv el prouto eslr respeto l sum 6. CB. HA 0 7. AB. AB CB. HB CA. HB CA. HA Sustituió e 6 e 5 8. AB. AB CB. HB CA. HB HA Distriutivi el prouto eslr respeto l sum.
9. HA HB BA Porque? 0. AB. AB CB. HB CA. BA Sustituió e 9 e 8. CA. BA 0. AB. AB CB HB Cos0º Sustituió e e 0. y 3. AB CB HB efiiioes e prouto eslr. Ilustrió 45 Clule el volume el prlelepípeo etermio por los vetores 50 3 9 3 Soluió: Volume e este prlelepípeo etermio por los vetores Prouto mixto e 5 3 5 9 0 3 Luego el volume el prlelepípeo es igul 5 uies úis. Clulr el volume el tetrero etermio por estos mismos vetores. Ilustrió 46 Si A B C so putos istitos y o olieles emuestre que u euió vetoril pr el plo π A B C es: AB AC AP 0 ; sieo P u B puto geério el plo. Demostrió A P. Se Px y z P πa B C C Π A B C
. Determiemos π AB AC AP 3. AB AC AP A B C e l hipótesis y e. 4. AB AC x AP 0 5. L euió vetoril terior Correspoe l plo A B C π Determie utilizo este resulto u euió vetoril y l euió rtesi el plo π M N S ; uo M-5 N3-0 S4-3 -. Ilustrió 47 3 Demuestre vetorilmete que pr E ; 0 Demostrió... Defiiió prouto mixto.. Distriutivi el prouto vetoril respeto l sum. 3. - O 4.. Sustituió 3 e 5.. Distriutivi el prouto eslr respeto l sum. 6. y. Defiiió el prouto vetoril. 7. 0 y 0 8. 0 Sustituió e 7 e 5. Ilustrió 48 Pr ls rets e l ilustrió 40 etermie l isti etre ells trsversl míim.
Soluió.. Desigemos por A y t u puto prtiulr y u vetor prlelo l primer ret oteieose A- 5 0 y t -.. Desigemos por B y elemetos álogos e l segu ret 3. oteiéose B3 5 0 y L A t L B s s s AB t s t s Justifique l fórmul y su pliió e est situió 4. AB B A 500 5 0 0 AB t s 3 5 5 5 5. i t s 3 5 i 5 j 5 k j k t s 5 55 ; t s 75 5 6. L A t L B s. 88 uies e logitu 75 Ilustrió 49 E el ABC P y Q so putos meios e AB y BC respetivmete G es el rietro. Demuestre vetorilmete que: Áre PQG / Áre ABC C G Q A P B
Soluió. Áre PQG. 3. 4. AC PQ PQ PG Teorem e l prlel mei. PG PC CP 3 3 CP CA CB Teorem e l proporió e l hipótesis. 5. Áre PQG AC CA CB 6 Sustituió 3 y 4 e 6. Áre PQG AC CA CB Propie el prouto vetoril y 4 mgitu e u vetor. 7. Áre PQG AC AC AC CB Distriutivi el 4 prouto vetoril respeto l sum. 8. AC AC O 9. AC CB CA CB 0. Áre PQG 4 CA CB Sustituió 8 y 9 e 7. Áre PQG Áre ABC PROBLEMAS PROPUESTOS 0. Se 00 Determie ls oores e los vetores: t Determie los oseos y los águlos iretores e s s Determie el águlo etre y. t s 3 y
Determie u vetor e mgitu igul 5 / e l ireió y e el setio e t. Ietifique u e los siguietes ojutos e putos e R. { x y / x y θ 30 θ 47 θ R}. P x y / P β P β P β R 3.3 x y / y x R 5 x y / x y 3 θ 5 θ 0 x y / x y 3 θ 5 θ 0.4 { [ }.5 { [ ]} 3. Se P x y z P x y z. Determie vetorilmete ls oores el puto meio el segmeto P P. 4. Determie ls euioes: vetoril prmétris y rtesis e uo e los siguietes plos. 4.π A C K sieo A 0- C -4- K 50. 4. π D u t sieo D - u 30 t 5 4.3 el plo que ps por T-0 y otiee l ret L:. x 3-λ. y λ λ R 3. z -5λ π 5. Se: : x y z 0 π x y z 0 : Demuestre que π // π si y solo si existe λ R tl que λ 6. Demuestre vetorilmete l ley el oseo. 7. Demuestre vetorilmete que too águlo isrito e u semiiruferei es reto. 8. Demuestre vetorilmete l esigul trigulr. Pr 3 E 9. Se A u vértie e u uo. Dese A se trz u igol el uo y u igol e u e ls rs. Clule el águlo etre ests os igoles.
0. Estlez u riterio vetoril pr etermir uo utro putos istitos el espio so oplrios. Utilie iho riterio pr etermir si A B -3 C -4- y D -3-0 so oplrios.. U pirámie uyo vértie es P; tiee omo se el urilátero ABCD. Clule el volume e est pirámie si se tiee: P 008; A 30-; B 93; C -04; D -4-64.. Demuestre l ieti e Joi: O sug: Utilie l relió e Gis 3. Resuelv pr X el siguiete sistem.. X. X α sugerei: Utilie l relió Gis 4. Do el tetrero ABCP. Se vetores ormles r y e mgitu igul l áre e l r respetiv. 4 3 Demuestre que 4 3 O 5. Demuestre l ieti e Lgrge. Pr 3 E Sugerei: Utilie ls propiees el Prouto mixto. 6. Se lielmete iepeietes y γ β λ Demuestre que λ ; β ; γ P A B 3 4 C
7. Utilie el resulto terior pr resolver el siguiete sistem: Regl e Crmer.. λ β 3γ 5. λ β γ 3. λ 4 β γ 3