CAPITULO N 5 CIRCUNFERENCIA 4. TEOREMAS BASICOS CIRCUNFERENCIA.

Transcripción

1 For. e Geoetrí For. e Geoetrí TRNGUO 1. TEOREM ONE ORE ETRE ) uo se trz isetries iteriores. X = 90 + ) uo se trz isetries eteriores. = 90 - ) uo se trz u iterior u eterior. Z Z =. TEOREM E E ME M N MN = OGONO Y URTERO 1. FORMU R TOO O OGONO: ieo: los # e ( -3). u e Meis e gulos teros: 180 (-). u e Meis e gulos Eteros 360 (ostte). ti e igoles:. FORMU OO R O- GONO REGURE.. Mei e 1 gulo tero:. Mei e 1 gulo Etero 1 gulo etrl ( l is forul) 3. TEOREM E E ME E TREO TEOREM E EGMENTO UE UNE O UNTO MEO E GONE E TREO: Este segeto ie l seiiferei e ls ses. 360 = = 180 ( ) + - TUO N 5 RUNFEREN 1. RUNFEREN Es el ojuto e putos situos l is isti e u puto fijo llo etro. RUNFEREN.. NE E RUNFEREN l O etro O Rio iáetro uer ete Tgete RUO 3. OONE E O RUNFE- REN: O ONENTR TNGENTE NTERORE ENTE r NTERORE TNGENTE EXTERORE EXTERORE 4. TEOREM O ) i ese u puto eterior se trz tgetes l iruferei ésts tiee l is logitu eás se uple que l líe que ps por el puto eterior el etro es u isetriz. O ) uo se trz u tgete se uple que el rio el puto e tgei es perpeiulr l tgete. ) uo se tiee u uer se trz u rio perpeiulr ell, se le ort e su puto eio sí oo tié l ro que ell eteri O ) i os uers so prlels se uple que los ros eterios etre ells tiee igul ei. rlels r e) i so os uers e igul logitu se uple que los respetivos ros tiee igul ei. Grupo e Estuio ROMEO 1 telf / / g. 1 Grupo e Estuio ROMEO 1 telf / / g. 13

2 5. TEOREM E ONEET E u triágulo retágulo l su e los tetos es igul l su e l ipoteus ás el iáetro e l iruferei isrit e el triágulo. 6. TEOREM E TOTH i u urilátero está irusrito u iruferei, l su e ls logitues e os los opuestos es igul l su e ls logitues e los otros os. 7. NGUO E RUNFEREN- ) gulo etrl Vértie: etro os: rios Mie: lo iso que su ro o ) gulo srito + = + r + = + Vértie: E l urv os: uers Mie: l it e su ro ) gulo ei-isrito For. e Geoetrí Vértie: E l urv os: Tgete uer Mie: l it e su ro ) gulo terior Vértie: uto iterior os: uers Mie: l sei it e los ros ) gulo eterior Vértie: uto eterior os: ete o Tgetes Mie: seiiferei e los ros. Grupo e Estuio ROMEO 1 telf / / g = - TUO N 6: EMEJNZ E TRNGUO 1. TEOREM FUNMENT E ROORON i u ret es prlel uo e los los e u triágulo, etoes ort los otros os los e segetos proporioles.. TEOREM E THE i // : = i 3 ó ás rets prlels so orts por os trsversles, los segetos que ésts eteri so proporioles. 3. TEOREM E ETRZ NTEROR E too triágulo l isetriz e ulquier e sus águlos iteriores ivie l lo opuesto e segetos proporioles los los etes ese águlo. = e f = = e f For. e Geoetrí 4. TEOREM E ETRZ EXTEROR E too triágulo, l isetriz e u águlo eterior ivie eterete lo opuesto e segetos proporioles los los es águlo. = 5. TRNGUO EMEJNTE o quellos que tiee l is for pero iferete tño. ) us águlos so ogruetes por prejs. ) us los oólogos so proporioles. z 6. TEOREM E TRNGUO NRTO E too triágulo se uple que el prouto e los es igul l prouto el iáetro e l iruferei irusrit por l ltur reltiv l terer lo. 7. TEOREM E UR- TERO NRTO. E too urilátero isrito se uple que el prouto e los igoles es igul l su e los proutos e los pres e los opuestos. Grupo e Estuio ROMEO 1 telf / / g. 15 R = = z = R

3 = +. N 7 REONE METR 1. REONE METR EN E TRNGUO RETNGUO ) Teore el teto E u triágulo retágulo, el uro e u teto es igul l prouto e l ipoteus por l proeió el teto sore ést. = = ) Teore e itgors E u triágulo retágulo, el uro e l ipoteus es igul l su e los uros e los tetos. + = ) Teore e l ltur E u triágulo retágulo, el uro e l ltur es igul l prouto e los segetos que eteri sore l ipoteus. = ) Teore el prouto e tetos. E u triágulo se uple que el prouto e los tetos es igul l prouto e l ipotes por l ltur. For. e Geoetrí e) Teore e l ivers el uro e l ltur. E u triágulo retágulo se uple que l ivers el uro e l ltur es igul l su e ls iverss e los uros e los tetos.. TRNGUO RETNGUO NO- TE REONE METR EN E TRNGUO OUNGUO ) rier Teore e Eulies = El uro el lo opuesto u águlo guo es igul l su e los uros e los otros os eos el ole prouto e uo e ellos por l proeió el otro sore él. = + - Grupo e Estuio ROMEO 1 telf / / g = ) eguo Teore e Eulies El uro e lo opuesto u águlo otuso es igul l su e los uros e los otros os ás el ole prouto e uo e ellos por l proeió el otro sore el. ) Teore e Heró pr lulr lturs. ieo: = = ++ p (p-) (p-) (p-) ) Teore e l ei E too triágulo, l su e los uros e os los es igul l ole el uro e l ei reltiv l terer lo ás l it el uro e io lo. For. e Geoetrí e) Teore el uro e l isetriz iterior. E too triágulo, el uro e u isetriz iterior es igul l prouto e los los lterles l isetriz eos el prouto e los segetos que l isetriz eteri e el lo opuesto. = f) Teore el uro e l isetriz eterior. E too triágulo, el uro e u isetriz eterior es igul l prouto e los segetos que eteri o el lo opuesto eos el prouto e los los lterles l isetriz. g) Teore e tewrt E too triágulo, pr u evi ulquier es uple. + = + + = + Grupo e Estuio ROMEO 1 telf / / g. 17 X = -

4 For. e Geoetrí For. e Geoetrí 4. METOO R REONOER FORM E UN TRÁNGUO ieo:,,, ls logitues e los los e u triágulo tl que el or ie. ) El triágulo es utágulo si: < + ) El triágulo es retágulo si: ) El triágulo es otuságulo si: 5. REONE METR EN RUNFEREN ) Teore e l uer = + > + i os uers e u iruferei se ort, el prouto e los segetos eterios e u e ells es igul l prouto e los segetos eterios e l otr. ) Teore e l etes i ese u puto eterior se trz os setes, el proutos e sete por su prte eter es ostte. ) Teore e l Tgete i ese u puto eterior se trz u tgete u sete, el uro e l tgete es igul l prouto e l sete por su prte eter. TUO N 8 RE N 1. EXREONE R E RE E UN TRNGUO Grupo e Estuio ROMEO 1 telf / / g. 18 = = = ) o se ltur RE = ) o los el águlo que for. RE = ) o los 3 los = + + RE = p(p-)(p-)(p-) ) o los 3 los el rio e l iruferei isrit. = + + RE = p r r e) o los 3 los el rio e l iruferei irusrit. RE = e 4R f) o 1 lo el rio e l iruferei e-isrit reltiv ese lo. ieo: = + + RE = R 1 (p-). EXREONE EEE R E TRNGUO EUTERO R R 1 ) E fuió el lo 60 RE = ) E fuió e l ltur RE = RE E UN REOGRMO RE = 4. RE E UN RETNGUO RE = 5. RE E UN ROMO RE = 6. RE E UN TREO Grupo e Estuio ROMEO 1 telf / / g

5 For. e Geoetrí For. e Geoetrí 7. EXREONE R E RE E UN URO ) E fuió el lo RE = ) E fuió e l igol RE = RE = (+) 8. RE E UN TREZOE RE = 1 1. se 11. RE E UN EXGONO REGU- R RE = RE E UN RUO Y E UN ETOR RUR. R R R 13. TEOREM EEE ) i os triágulos tiee ses e igul logitu, sus áres so etre sí oo sus lturs. 1 = 1 RE = R RE = πr 360 ) i os triágulos so seejtes sus áres so etre sí oo los uros e u pr e eleetos oológos. 1 ) i os triágulos tiee u águlo ogruete, sus áres so etre sí oo los proutos e los los que for io águlo. 1 = 1 e) El áre el triágulo foro l uir los putos eios e los 3 los e u triágulo es l urt prte el áre el triágulo opleto. f) E too triágulo uo es trz u ei se for os triágulos e igules áres. 1 = TUO N 9 RET, NGUO Y NO EN E EO 1. NO E u superfiie que eteri por lgu e ests situioes ) Tres putos o olieles ) os rets setes ) os rets prlels ) U puto u ret que o ps por él.. RET ERENUR UN NO r que u ret se perpeiulr u plo st que se perpeiulr os rets setes el plo : pie e l perpeiulr X = RE 9. RE E UN URTERO NRTO p = +++ RE = (p-)(p-)(p-)(p-) 10. RE E UN OGONO REGU- R ERMETRO OTEM 1 1 ) i os triágulos tiee lturs e igul logitues, sus áres so etre si oo sus ses. 1 = 1 1 g) E too triágulo uo es trz ls 3 eis se for seis triágulos e igules áres. ) El áre el urilátero foro l uir los putos eios e los 4 los e u urilátero es l it el áre el urilátero oplet. 3. TEOREM E 3 EREN- URE i ese el pie e l perpeiulr u plo es trz otr perpeiulr u ret ulquier e io plo se uple que too segeto que v e u puto e l prier l puto e iterseió e ls últis es perpeiulr l ret e el plo. Grupo e Estuio ROMEO 1 telf / / g. 0 Grupo e Estuio ROMEO 1 telf / / g. 1

6 For. e Geoetrí NE E MXM ENENTE e los plos u iterseió es l ret. e ll líe e ái peiete l perpeiulr el plo l ret que for el águlo o el plo. 6. NGUO ERO Es l figur for por os seiplos que tiee u ore oú llo rists. r eir el águlo iero se iuj u plo perpeiulr l rist. 5. MNM TN ENTRE O RET UE E RUZN e os rets que se ruz e el espio. 7. NGUO OERO Es u regió el espio for por vrios águlos etes o oplrios. epeieo el úero e rs se llrá triero, tetrero, petero, et. v r eotrr l íi isti etre sigos estos psos: 1) e los ifiitos plos que ps por l ret iujeos uo que se prlelo l ret. ) roeteos l ret sore el plo lleos el puto e que l proeió ort l ret. 3) ese el puto eotro se trz u perpeiulr l ret estleieo sí l isti uso. TRERO ENTERO R Grupo e Estuio ROMEO 1 telf / / g.