Geometría Plana II. Wilson Díaz Cajo y Roy Sánchez Gutierrez. Febrero de 2015

Transcripción

1 Geoetrí Pl II Wilso íz jo y Roy Sáez Gtierrez Ferero de 05. Seejz de triáglos efiiió. os triáglos so seejtes si, y solete se, posee los tres áglos ordedete ogretes y los ldos oólogos proporioles. = = = y = =. os ldos oólogos (oo = iso, logos = lgr) so tles qe d o de ellos está e triáglo y os so opestos áglos ogretes. Proposiió. e l defiiió de triáglos seejtes se tiee ls sigietes propieddes:. Refleiv... Siétri. 3. Trsitiv. Teore (Teore fdetl de l proporiolidd). Si ret es prlel o de los ldos de triáglo e iterept los otros dos

2 e ptos distitos, etoes el triáglo qe ell deteri es seejte l priero. Triáglos Roy Wil Sáez G..8. lsifiió de los triáglos Segú ls edids de los áglos iteriores. táglos. do los áglos iteriores tiee edid eores 90.. Retáglos. U áglo iterior ide 90. sos o riterios de seejz 3. Otságlos. L edid de áglo iterior es yor de 90 Teore 3 (Prier so). Si dos triáglos posee dos. áglos orded- l logitd ogretes, de ssetoes ldos ellos so Segúete seejtes. Teore 4 (Segdo so). Si dos ldos de triáglo so proporioles. Esleo. Es qel triáglo yos ldos so de diferetes logitdes. los oólogos de otro triáglo y los áglos opredidos so ogretes, etoes os ldos losdel triáglos so tiee seejtes. l is logitd. l ldo desigl se. Isóseles. deoi se Teore del triáglo. 5 (Terer so). Si dos triáglos tiee los ldos oólogos proporioles, etoes so seejtes. 3. Eqilátero. Los tres ldos del triáglo so igles.. Rets y ptos otles e triáglo.9. Líes otles e triáglo efiiió. Se ll evi de triáglo qel segeto qe e. evi. vértie del Es triáglo qel segeto o pto de ret lqier qe e de s vértie ldo del opesto triáglo o de o l prologió de s este ldo ldo. opesto Se deoi o l prologió evi eterior de este ldo. si else pto deoi está e evi pto lqier eterior l prologió si el pto del está ldo e opesto l prologió y evi y evi iterior si si el el pto está e el ldo (opesto) ldo opesto del triáglo. del triáglo. E F efiiió. U Figr edi.: evis: de triáglo E iterior esyqel F eterior segeto qe e vértie del triáglo o el pto edio del ldo opesto.. Medi. E todo Es qel triáglo segeto pede rettrzr qe e tres edis, vértie del triáglo reltiv o elpto dedio del ldo. ldo opesto. E todo triáglo se pede trzr tres edis, reltiv d ldo. Ls tres edis se iterset e pto deoido rietro. 4

3 Triáglos Roy Wil Sáez G. Teore 6. Ls tres edis de triáglo se iterset e pto Triáglos Roy Wil Sáez G. lldo rietro. M M Figr.: Medi M e 3. Meditriz. Es l ret perpedilr ldo del triáglo, qe ps por el pto edio del ldo y está oteido e el plo del triáglo. E efiiió. todo triáglo Useeditriz pede Figr trzr.: detres Medi editries, triáglo M e es l reltiv ret perpedilr d ldo. El etro de l ldo irferei del triáglo, irsrit qe psl por triáglo el pto se ll edio iretro, del ldo yyestá s rdio oteido irrdio. e El el plo del triáglo. iretro es el pto de iterseió de ls editries. 3. Meditriz. Es l ret perpedilr ldo del triáglo, qe ps por el pto edio del ldo y está oteido e el plo del triáglo. E todo triáglo se pede trzr tres editries, L reltiv d ldo. El etro de l irferei irsrit l triáglo se ll iretro, y s rdio irrdio. El iretro es el pto de iterseió de ls editries. M L Meditriz L reltiv l e Figr.3: Meditriz L reltiv l e E todo triáglose pede trzr tres editries, reltiv d M ldo. 4. ltr. Teore Es 7. qel Lsegeto tres editries perpedilr de l triáglo ret qeseotiee iterset ldo e delp- to lldo desdeiretro. el vértie opestoel dio iretro ldo, el otro eqidist etreo de(de los l tres ltr) vérties está edel l ret. triáglo, trzdo triáglo. E todo triáglofigr se pede.3: trzr Meditriz tres Lltrs, reltiv l reltiv e d ldo. Ls tres ltrs se iterset El iretro pto es el deoido etro lortoetro. irferei irsrit l triáglo y s rdio se deoi irrdio isetriz ltr. Es iterior. qel segeto Es evi perpedilr iteriorqe l for ret qe ootiee d odelos ldos del dyetes triáglo, efiiió. trzdo ell áglos desdede el U vértie igl ltr edid. opesto de dio triáglo ldo, elesotro qel etreo segeto (de lperpedilr ltr) está e l ret. l ret qe otiee ldo del triáglo, trzdo desde el vértie opesto E todo triáglo se pede trzr tres ltrs, reltiv d ldo. Ls tres ltrs 5 se iterset e pto deoido Ortoetro. 5. isetriz iterior. Es evi iterior qe for o d o de los ldos dyetes ell áglos de igl edid. 3 5

4 L Vértie Ldo Vértie L se del triáglo es el ldo sore el l dess. Otro eleeto iportte del triáglo es s ltr. LTUR E UN TRIÁNGULO L ltr de triáglo es el segeto de ret qe es perpedilr l se y qe ps por el vértie opesto l se. efiiió Triáglos Roy Wil Sáez G. dio ldo, el otro etreo (de l ltr) está e l ret. E l sigiete figr se estr triáglo o s ltr deotd por : Triáglos Roy Wil Sáez G. H Efrí Soto. se E ltr iter ltr H reltiv l e Figr.4: ltr H reltiv l e E todo triáglo se pede trzr tres ltrs, reltiv d ldo. Teore 8. Ls tres Hltrs de triáglo se iterset e pto deoido ortoetro. E todo triáglo se pede trzr tres isetries iteriores, reltiv d áglo iterior. Ls tres isetries iteriores se iterset e pto deoido ietro. El efiiió. Se ll ietro E isetriz iterior evi iterior qe for es el etro de l irferei isrit e el triáglo y qe eqidist de ss tres o d o de los ldos dyetes ell áglos de igl edid. ldos, siedo tgete dios ldos. E todo triáglo Figr se.4: pede ltr trzr H reltiv tres isetries l e iteriores, reltiv d áglo iterior. 6. isetriz eterior. Es qell evi eterior qe ise áglo eterior del triáglo. Teore 9. Ls tres isetries iteriores de triáglo se iterset E Teore.3. L edid del áglo fordo por isetriz iterior y isetriz eterior e todo pto triáglo deoido se pede trzr ietro. tres isetries El ietro iteriores, eqidist de reltiv los tres d ldos áglo iterior. del triáglo. Ls tres es isetries igl l edid iteriores del se terer iterset áglo e etre dos. pto deoido ietro. El ietro El ietro es el etro es el deetro l irferei de l irferei isrit e elisrit triáglolytriáglo qe eqidist y siedo de ss tres P ldos, tgete siedo dios tgete ldos. dios ldos. 6. isetriz efiiió. eterior. U evi Es qell eterior eviqe eterior ise qe ise áglo áglo eterior eterior del triáglo del triáglo. se deoi isetriz eterior. Teore.3. L edid del áglo fordo por Teore 0. L edid del áglo fordo t isetriz iterior y isetriz eterior por isetriz iterior y es igl lisetriz edid del eterior terer áglo es igl etre ldos. edid del terer áglo etre dos. t v v Figr.5: Teore de isetriz iterior y eterior P Pre. Se, figr.5. Por deostrr = t. v v P : v = + : v = + t Teore de isetriz iterior y eterior Figr.5: Teore de isetriz iterior y6 eterior Pre. Se, figr.5. Por deostrr = t. P : v = + : v = + t 6 4

5 eostrio. Se, figr 0. Por deostrr = t. P : v = + Triáglos Roy Wil Sáez G. : v = + t Sstityedo l segd e l prier eio se otiee el resltdo = t/. Sstityedo l segd e l prier eió se otiee el resltdo = t/. Relioes e tris e e tri glo ret glo.0. Relioes étris el triáglo retáglo E el tri glo ret glo reto e, figr??, se d iporttes resltdos. E el triáglo retáglo reto e, figr.6, se d iporttes resltdos. v v Relioes e tris e tri glo ret glo H Teore. E todo tri glo ret glo, el drdo de l logitd de Figr.6: Relioes étris e triáglo retáglo teto es igl l prodto de ls logitdes de l ipotes y l proyeio ortogol de dio teto respeto l ipotes. E el tri glo ret glo, Teore.4. E todo triáglo retáglo, =, el drdo =. de l logitd de teto es igl l prodto de ls logitdes de l ipotes y l proyeió ortogol de dio teto respeto Teore (Teore de Pit gors). E el tri glo ret glo, l ipotes. E el triáglo retáglo, =, =. = + H. Pre. Por seejz de los triáglos tri glo, Teore 3. E todo el drdo logitd de l ltr = =, = de l = ls logitdes de ls proyereltiv l ipotes es igl l prodto de ioes.5 ortogoles dede lospitágors). tetos respeto di ipotes. E eltri gteore (Teore E elde triáglo retáglo, = +. lo ret glo Pre. el teore.4,de l figr =, = =. + = ( + ) = eostrio. Por seejz de los tri glos H H Teore.6. E todo triáglo, el drdo de l logitd de l ltr reltiv l ipotes de es igl l prodto de ls logitdes proyeioes = ls =.ortogoles de los tetos respeto de di ipotes. E el triáglo retáglo, figr.6, =. Teore 4. E de todo el prodto de ls logitdes de Pre. Por seejz lostri glo triáglos ret glo, H H ss tetos es igl l prodto de ls logitdes de l ipotes y l ltr reltiv di ipotes. E = el tri glo, e l figr, = ret glo =. el prodto de ls logitdes de ss tetos es Teore.7. E todo triáglo retáglo, igl l prodto de ls logitdes de l ipotes y l ltr reltiv di ipotes. E el 5 triáglo retáglo, figr.6, =. 7

6 Teore.8. E todo triáglo retáglo, l ivers del drdo de l logitd de l ltr reltiv l ipotes es igl l s de ls iverss de los drdos de ls logitdes de ss tetos. E el triáglo retáglo, figr.6, = + Pre. e los teores preedetes: = + y de = = Teore 5. E todo tri glo ret glo, l ivers del drdo de l logitd de l ltr reltiv l ipotes es igl l s de ls iverss Etoes de los drdos de ls logitdes de ss tetos. Eel tri glo ret glo, e l figr, = ( + ) = + = +... Relioes étris e triáglo oliáglo Relioes e tris e tri glo oli glo U triáglo oliáglo es qel dode igo de ss áglos ide 90. Oviete o se tri glo qel dode igo oliáglo de ss glos ide por pede sru el teore de oli glo Pitágors. Los es proles e triáglo se reselve 90. Oviete o se pede sr el teore de Pit gors. Los proles e tri glo oli glo se reselve por leyes de seos y de oseos. leyes de seos y de oseos. Teore.9 (Teore de ls proyeioes). E todo triáglo, l diferei de los - Teore 6 (Teore de ls proyeioes). E todo tri glo, l diferei drdosdedelos ls drdos logitdes de es iglde l diferei los drdos de ls logitdes dedos lsldos logitdes dos ldos esdeigl l diferei de de sslos respetivs proyeioes ortogolesderespeto l terer ldo. E l figr.7, el teore drdos de ls logitdes ss respetivs proyeioes ortogoles ldo. firrespeto qe lterer =. E l figr, v H =. Figr.7: = eostrio. Solo e el so de tri glo t glo, < 90, v < 90, figr. Sore el ldo proyetos 8 los ldos y, o H y H, de logitdes y, respetivete. H : = + H : = + Restdo ls eioes =. Teore 7 (Teore de Elides). E todo tri glo, el drdo de l logitd de ldo qe se opoe l edid de glo gdo, es igl l s de los drdos de ls logitdes de los otros dos ldos eos el dole del prodto de ls logitdes de o de ellos y l proyeio ortogol del otro sore qel. 6

7 H : = + H : = + Restdo ls eioes =. Teore.0 (Teore de Elides). E todo triáglo, el drdo de l logitd de ldo qe se opoe l edid de áglo gdo, es igl l s de los drdos de ls logitdes de los otros dos ldos eos el dole del prodto de ls logitdes de o de ellos y l proyeió ortogol del otro sore qel. Pre. eostrió. E el triáglo E el de triáglo l figr.8, < de 90 l. figr, Si H es < l pryeió 90. Si H de es l sore el ldo. pryeió El teore de fir sore qeel ldo =. + El teore fir qe H - = +. Figr.8: Teore de Elides E el triáglo, por el teore de ls proyeioes = (H). oo H = etoes E el triáglo, por el teore de ls proyeioes (H). oo H = = ( ) = = + etoes Teore 8 (Teore del = ( ) oseo). = E todo triáglo, = + el drdo de l logitd de ldo es igl l s de los drdos de ls logitdes de Teore los otros. dos (Teore ldos eos del oseo). el dolee deltodo prodto triáglo, de ls el drdo logitdes l delogitd dios de ldo es ldos igly eloseo s de delos ldrdos edid del áglo ls logitdes deterido los otros por dos ellos. ldos eos el dole del prodto eostrió. de ls logitdes E de l figr, dios ldos por el y el teore oseo de lelides, edid del eáglo el triáglo deterido Triáglos por ellos. : = +. E el H : = os. Reeplzdo Roy Wil Sáez G. Pre. E l figr.8, por el teore = de + Elides, e os el. triáglo : = +. Teore E el H. : (Teore = os. Reeplzdo de Stewrt). E todo triáglo, l s de los drdos de ls Teore 9 (Teore de Stewrt). E todo triáglo, l s de los logitdes drdos de los ldos de lsdyetes logitdes de= los evi + ldos iterior dyetes osltiplidos. o evi ls logitdes iteriorde los segetos ltiplidos priles opestos o ls logitdes dios ldos de los deteridos segetospor priles l evi opestos e s ldo dios reltivo es igl ldos l prodto deteridos del drdo por de levi logitd de edi 9 s ldo evi reltivo o leslogitd igl l deprodto s ldo reltivo ás el del prodto drdo de ls de logitdes l logitd de de dio di ldo evi y el de los osegetos l logitd priles. de seldo figr reltivo ás el prodto de ls logitdes de dio ldo y el de los segetos + = +. priles. E l figr v t 80-t + = +. Figr.9: Teore de Stewrt 7 Teore.3 (Teore del állo de l edi). E todo triáglo, l s de los drdos de ls logitdes de dos ldos es igl l dole del drdo de l edi reltiv l terer ldo ás l itd del drdo de l logitd de dio terer ldo.e l figr.0, ooiedo l lgitd de los ldos del triáglo, se pede deterir l logitd de l

8 t 80-t Figr.9: Teore de Stewrt Teore.3 (Teore del állo de l edi). E todo triáglo, l s de los drdos Teore de ls logitdes 0 (Teore de dos del ldos állo es igl de l l dole edi). del drdo E todo de l triáglo, edi l reltiv s de los drdos de ls logitdes de dos ldos es igl l dole del l terer ldo ás l itd del drdo de l logitd de dio terer ldo.e l figr.0, drdo de l edi reltiv l terer ldo ás l itd del drdo de ooiedo l logitd l lgitd de dio de losterer ldos del ldo.e triáglo l figr,, se ooiedo pede deterir l lgitd logitd de losde l edi, ldos + del triáglo = +,. se pede deterir l logitd de l edi, / / Triáglos Roy Wil Sáez G. + = +. Figr.0: Teore de l edi Teore Teore.4 (Teore (Teore del állo del állo de ldeisetriz isetriz iterior). iterior). E todo E todo triáglo, triág- l logitd el drdo de l de isetriz l logitd iteriordes l igl isetriz l diferei iteriordeslos igl prodtos l diferei de ls logitdes el drdo delo, de losdeldos prodtos dyetes de di ls logitdes isetriz y de los los segetos ldos dyetes deteridos di por di isetriz y e el los segetos deteridos por di 0 ldo l l es reltivo, =. isetriz e el ldo l l es reltivo, =. Figr.: Teore de l isetriz iterior Pre. Se l irferei irsrit l triáglo. 8 y Figr.: Teore de l isetriz iterior

9 Figr.: Teore de l isetriz iterior Pre. eostrió. Se l irferei Se l irsrit irferei l triáglo irsrit. l triáglo. y Por el teore de isogoles Figr.: eteore el triáglo de l isetriz, iterior = (+y) = +y. Por el teore de l erds e, y =. Reeplzdo =. Por el Oservioes teore de isogoles. Respeto e el triáglo l teore, terior. = ( + y) = + y. Por el teore de l erds e, y =. Reeplzdo =.. Ryos isogoles. os Ryos so isogoles o respeto los ldos Oservió de.5. áglo Respeto ol orige teore e el terior. vértie del áglo, do estdo os e el iterior o e el eterior, for áglos ogretes o los ldos del áglo.. Teore de ls isogoles. E todo triáglo se ple qe el prodto de dos ldos es igl l prodto de ss isogoles, dode de ells está liitd por el terer ldo y l otr por l irferei irsrit l triáglo. Teore (Teore del állo de l ltr). E todo triáglo, l logitd de ltr es igl l dole de l ivers de l logitd del ldo l l es reltiv ltiplid otre el seiperíetro de l regió liitd por dio triáglo y l diferei de dio seiperíetro o l logitd de d o de los ldos. Pre. = p(p )(p )(p ). Proposiió 3. L editriz de ldo de triáglo y ls isetries del áglo opesto se iterse sore l irferei irsrit l triáglo. 9

10 3. Ejeriios propestos. eestr qe d pto de l isetriz de áglo está l is disti de d o de los ldos del áglo.. eestr qe ls tres isetries de triáglo se ort e iso pto. 3. eestr qe ls tres editries de triáglo se ort e solo pto. 4. eestr qe el pto edio de l ipotes de triáglo retáglo eqidist de los tres vérties del triáglo. 5. eestr qe ls tres ltrs de triáglo se ort e iso pto. 6. eestre el teore. 7. eestre el teore. 8. eestre el teore eestre el teore E triáglo retáglo (reto e ), l editriz de iterset y e los ptos E y respetivete. Si se ple qe µ () = 0 y µ () =, lle el áre de l regió E.. esde pto P eterior irferei se trz l sete P y l sete dietrl P E de odo qe ( EP ) = ( EP ), µ (P ) = 5, y µ (EP ) =. lle µ (E).. E triáglo, se trz ls isetries iteriores M y N, ls les se iterset e I. Si µ () µ () y µ (NI) = µ (IM), lle ( ). 3. E drilátero oveo, ls digoles se iterse e M, si µ (M) = µ (M), ( ) = ( ) y ( ) = ( ). lle ( M ). 4. E triáglo isóseles de se, se i el pto P e l regió iterior, tl qe ( P ) = 0, ( P ) = 50 y ( P ) = 00. lle ( OP ) si O es iretro del triáglo P. 0

11 5. E los ros y, de l irferei irsrit l triáglo, se i los ptos M y N respetivete, tl qe l edid de los ros ÂM = N y M = ĈN. Si MN iterse y e P y Q, qé pto otle es el iretro del triáglo pr el triáglo P Q? 6. E triáglo, se trz l evi iterior M, lego se i los ptos L y N e M y respetivete, MN L = {T }, tl qe ( M) = ( MN), M = N, = M, ( ML) = ( MT L). Idiqe qe pto otle es L pr el triáglo. 7. E triáglo isóseles de se se trz l evi iterior M, tl qe M = (M), e M se i el pto L, tl qe ( L) = 90, lle ( L), si ( M) = U triáglo isrito e irferei de etro O, se i los iretros O y O de los triáglos O y O, ls les perteee los ros y respetivete. lle Â. 9. Etre todos los triáglos de períetro p, el eqilátero es el de áre ái. 0. Etre todos los triáglos isritos e irferei, ál es el de yor áre?. Tres irfereis de igl rdio ps por pto P y se ort dos dos e los vérties de triáglo. Etoes P es el ortoetro de. Refereis [] MOISE-OWNS: Geoetrí Moder. ISSON WESLESY IEROMERIN Úi Ediió; 966. [] Osvldo ole, José Niol Popeo: Fdetos de teáti eleetr 9 GEOMETRÍ PLN. TUL EITOR. 7 ediió [3] rjo, José: re y Vole e l geoetrí eleetl. Red Olípi rgeti; 000.