Ejemplos de aálisis de varios tipos de covergecia Objetivos Apreder a aalizar varios tipos de covergecia Requisitos Varios tipos de la covergecia, descripció e térmios de los cojutos auxiliares Se propoe el siguiete pla para aalizar varios tipos de covergecia: a) Calcular el límite putual lim f (x) para todo puto x X b) Determiar si la sucesió (f ) N coverge putualmete o e casi todas partes a ua fució g c) Para todo N calcular f (x) g(x) x X d) Usado el resultado del iciso c) determiar si la covergecia es uiforme e) Para todos ε > 0 y N calcular A(ε, ) f) Determiar si f coverge a g e medida µ g) Para todos ε > 0 y N calcular B(ε, ) h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) i) Usado el resultado del iciso h) determiar si la covergecia es uiforme j) Calcular D Comprobar el resultado del iciso b) ) Utilizado el resultado del iciso h) determiar si tiee caso la covergecia casi uiforme (llamada tambié covergecia de Egoroff ) l) Se el iciso ) tiee respuesta afirmativa, pero o tiee caso la covergecia uiforme, X\E η para todo η > 0 costruir u cojuto E η tal que µ(e η ) < η y f === g Ejemplos de aálisis de varios tipos de covergecia, págia 1 de 5
1 Ejemplo X = R, µ es la medida de Lebesgue, f (x) = e 2 x 2 Solució Los dibujos muestra las gráficas de f 1 y f 5 (las escalas de los ejes o so iguales): 1 Cálculo del límite putual Para cada puto fijo x e R calculemos el límite de f (x) cuado Si x = 0, etoces f (x) = 1 para cualquier N y por lo tato f (x) 1 Si x 0, etoces 2 x 2 y por eso f (x) 0 La fució límite es 1, x = 0; g(x) := 0, x R \ 0} Deotemos por h a la fució f g : h (x) := f (x) g(x) = 0, x = 0; e 2 x 2, x R \ 0} 2 Aálisis de la covergecia uiforme Sea N Notado que la fució h es par y positiva, obteemos que f (x) g(x) = x 0 h (x) = maxh (0), La fució h es decreciete e el itervalo (0, + ), por eso h (x)} = h (x) f (x) g(x) = h (x) = lim h (x) = 1 x 0 + Cocluimos que f o coverge uiformemete a g 3 Aálisis de la covergecia e medida Es suficiete calcular A(ε, ) para ε cercaos a cero Como las fucioes h toma valores de 0 a 1, es atural oer que ε (0, 1) Etoces A(ε, ) = x R: h (x) ε} = x R \ 0}: e 2 x 2 ε} [ ) ( ] = x R \ 0}: x 2 / 2 } =, 0 0, Ejemplos de aálisis de varios tipos de covergecia, págia 2 de 5
Para cada ε (0, 1), Por lo tato, f µ g 2 lim µ(a(ε, )) = lim 4 Aálisis de la covergecia casi uiforme E este ejemplo para cada ε > 0 la sucesió (A(ε, )) N es decreciete, por eso B(ε, ) = [ ) ( ] A(ε, ) = A(ε, ) =, 0 0, Para cada ε (0, 1), Por lo tato, f µ-cu === g 2 lim µ(b(ε, )) = lim 5 Comprobació de la covergecia putual Para cada ε (0, 1), la sucesió de cojutos (B(ε, )) N es decreciete, y = 0 = 0 Por eso lim = 0, C(ε) = N B(ε, ) = El cojuto de o covergecia es Hemos comprobado que f g D = ε (0,1) C(ε) = 6 Cojutos excepcioales de Egóroff Sea η > 0 Los icisos ateriores muestra que los cojutos B(ε, ) se cocetra cerca del puto 0, por eso defiimos E como [ E = η 4, η ] 4 Etoces µ(e) = η/2 < η, y así que f R\E == g lim η 0 \E h (x) = lim η 0 e 2 η 2 /16 = 0, Ejemplos de aálisis de varios tipos de covergecia, págia 3 de 5
2 Ejemplo f : R R, f = χ [,+1) Solució Los dibujos muestra las gráficas de f 2 y f 5 : 1 Cálculo del límite putual Para cada x R defiimos = max1, x + 1} Etoces para cada se cumple las desigualdades x < x + 1, así que x / [, + 1) y f (x) = 0 Por eso la fució límite es 0: g(x) := lim f (x) = 0 (x R) 2 Aálisis de la covergecia uiforme Para cada N f (x) g(x) = f (x) = 1 La sucesió costate 1 o tiede a cero, por eso la sucesió (f ) N o coverge uiformemete a g 3 Aálisis de la covergecia e medida Para cada ε (0, 1) y N A(ε, ) = x R: f (x) g(x) ε} = [, + 1), µ(a(ε, )) = 1 Para cada ε fijo e (0, 1), la sucesió (µ(a(ε, ))) N o tiede a cero, por eso f o coverge a g e medida 4 Aálisis de la covergecia casi uiforme Para cada ε (0, 1) y cada N, B(ε, ) = A(ε, ) = [, + 1) = [, + ), µ(b(ε, )) = + Para cada ε fijo e (0, 1), la sucesió (µ(b(ε, ))) N o tiede a cero, por eso f o coverge casi uiformemete a g A la misma coclusió podemos llegar más fácilmete: si o coverge e medida, etoces o coverge casi uiformemete Ejemplos de aálisis de varios tipos de covergecia, págia 4 de 5
5 Comprobació de la covergecia putual Para cada ε (0, 1), C(ε) = N B(ε, ) = N[, + ) = El cojuto de o covergecia es Acabamos de comprobar que f D = ε (0,1) R g 3 Ejemplo X = R, µ es la medida de Lebesgue, f (x) = C(ε) = 2 + x 2 4 Ejemplo X = [0, 1], µ es la medida de Lebesgue, f (x) = 1 [1/(+1),1/] Aalice varios tipos de covergecia e los siguietes ejemplos: 5 X = [0, 1), µ es la medida de Lebesgue, f (x) = x (x [0, 1), N) 6 X = R, µ es la medida de Lebesgue, f (x) = 7 X = R, µ es la medida de Lebesgue, 1 1 + (x ) 2 (x R, N) f (x) = 1 [0,1/] =, x [0, 1/], 0, x R \ [0, 1/] Ejemplos de aálisis de varios tipos de covergecia, págia 5 de 5