Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I Tería: Fucies de ua variable Objetivs: Ccer la defiició de derivada y su iterpretació gemétrica. Calcular derivadas de fucies elemetales utilizad las siguietes técicas: Reglas de derivació (derivada de ua suma, prduct, cciete). Derivada de la fució cmpuesta: Regla de la cadea Derivada de la fució iversa. Derivada de fucies implícitas. Derivada de fucies e paramétricas Derivada eésima. Cmpreder la aprimació lcal que prprcia ls plimis de Taylr Ectrar plimis de Taylr para fucies derivables Utilizar el rest de Lagrage para estimar la precisió de la aprimació. Estudiar lcalmete ua fució (determiació de etrems) Cmpreder la aprimació glbal que prprcia las series de Taylr Calcular el camp de cvergecia de ua serie de ptecias Desarrllar ua fució e serie de ptecias. Isaac Newt G.W. Leibitz Prfesra: Elea Álvarez Sáiz
Tería: Fucies ua variable Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I DERIVADA: DEFINICIÓN La epresió ( + ) f f que es la fórmula de la pediete de la secate a la gráfica de la fució f que ue ls puts ( +, f ( + )) y (, ) icremetal de f. f, se llama el cciete f(+ ) f() f(+ )-f() + La derivada de f e u put es el límite del cciete icremetal, lim ( + ) f f La derivada represeta la pediete de la tagete a la gráfica de f e el put (, f( )). Se represeta pr f ó dy d ó df d Prfesra: Elea Álvarez Sáiz S 3
Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I Tería: Fucies de ua variable f(+ ) f() α f(+ )-f() α + tgα= lim ( + ) f f TÉCNICAS DE DERIVACIÓN ' Regla del prduct pr ua cstate = ' Regla de la suma f + g = f ' + g ' a f af ', a R ' Regla del prduct f g = f ' g + f g ' Regla del cciete f g ' ' f g ' g f = g Derivada de la fució cmpuesta: Regla de la cadea Si y= f( u) es derivable e u y u g cmpuesta y= ( f g) = f( g ) = es derivable e, etces la fució es derivable e y ( f g)( ) = f ( g ) g dy = d df du d d = du d tambié f g 4 Prfesra: Elea Álvarez Sáiz
Tería: Fucies ua variable Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I g f g() f(g()) Derivada de la fució iversa y además f f, tambié es derivable e y = f y además Si f es ua aplicació iyectiva y derivable e fució iversa, ' etces la ' ( f )( y) = f ' f f - f() Derivada eésima Si y f = es derivable e u dmii D queda defiida la fució derivada: si esta fució y f ' y ( f ')( ' ) f ' : D R f ' = a su vez es derivable se puede calcular su derivada, =, que recibe el mbre de derivada seguda. Se deta, Prfesra: Elea Álvarez Sáiz S 5
Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I Tería: Fucies de ua variable f '' d y = d Este prces puede ctiuar y se tedría la derivada de rde derivada - ésima que csistiría e derivar la fució veces. Si la fució es y f ( detará: f d y = d = se FÓRMULA DE LEIBNIZ.- Si f y g s derivables hasta el rde etces la fució h f g = es derivable hasta el rde y además ( = = ( h f g = f g f g f g + + + + f g ( ( ( ' ( '... RECTA TANGENTE. APROXIMACIÓN LINEAL Defiició (Diferecial).- Sea y f abiert que ctiee al úmer, = ua fució derivable e u iterval - La diferecial de es igual al icremet de, = d - La diferecial de y se defie cm dy= ' f d La diferecial de y para u icremet de, d, crrespde el icremet de la rdeada de la recta tagete crrespdiete a ese icremet. 6 Prfesra: Elea Álvarez Sáiz
Tería: Fucies ua variable Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I 5 Diferecial y=f() 5 (+h,f(+h) y=f(+h)-f() 5 dy (,f() Recta tagete alfa h -5.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Aprimació lieal: Csiderems la gráfica de ua fució y f = derivable e = c. Si dibujams la tagete e el put c, f() c vems que, para u iterval pequeñ de, cetrad e c, ls valres de la fució casi cicide c las rdeadas de ls puts de la curva. Pr esta razó llamams a la ecuació de la tagete a la gráfica de f e el put put. = c ua liealizació de la fució e ese Teied e cueta que la ecuació de la recta tagete e el put c, f() c tiee pr pediete f () c se tedrá que su ecuació es: L()=f(c)+f (c)(-c) f(c) L()-f(c)=f (c)(-c) () () () () y f c = f c c y= f c + f c c Prfesra: Elea Álvarez Sáiz S 7
Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I Tería: Fucies de ua variable y se llama a L f() c f ()( c c) = + la liealizació de f e c POLINOMIOS DE TAYLOR Supgams que f( ) es ua fució derivable veces e el put =a. Se defie el plimi de Taylr de grad crrespdiete a la fució f e el put =a cm ( a) ( k f k T f ; a = a = k= k! f ' a f a f a = f( a) + a + a + + a!!! '' (... E el cas e que a= el plimi se llama de MacLauri. Veams alguas prpiedades que s permitirá bteer plimis de Taylr a partir de trs ccids Sea f y g fucies que admite plimi de Taylr hasta el grad e el put a etces se cumple las prpiedades siguietes: Liealidad: T( αf+ βg; a) = αt ( f; a) + βt ( f; a) Derivació, itegració: T ( f; a ) ' = T ( f '; a ) Otras peracies: Se puede bteer el desarrll de prducts y ccietes de fucies a partir del desarrll de cada ua de las ivlucradas. 8 Prfesra: Elea Álvarez Sáiz
Tería: Fucies ua variable Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I Defiició (Rest -ésim de Taylr).- Sea f ua fució para la que eiste T f ; a. Se defie el rest -ésim de Taylr crrespdiete a la fució f e el put =a, y l escribirems R f ; a cm = R f ; a f T f ; a ; R f ; a e el put =a. La epresió T f a + se llama fórmula de Taylr de f() de grad E las primidades del put =a se verifica sól que el rest -ésim es pequeñ (ifiitésim) si que se hace pequeñ e cmparació c ifiitésim de rde superir a resultad a (es u a para =a). Est se epresa e el siguiete TEOREMA DE TAYLOR: Si f es derivable veces e el put =a y R f ; a es su crrespdiete rest de Taylr etces ( a) R f ; a lim = a EXPRESIONES DEL RESTO: Sea f es ua fució derivable (+) veces e u iterval abiert I, que ctega al put =a. Si R f ; a es el rest -ésim de Taylr crrespdiete a la fució f e el put =a etces: () Rest de Cauchy () t ( )( ) ( + f R f ; a t a =! sied t u put itermedi etre a y. Prfesra: Elea Álvarez Sáiz S 9
Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I Tería: Fucies de ua variable () Rest de Lagrage ( + f () t ( )! R f ; a a = + sied t u put itermedi etre a y. (3) Rest Itegral () t ( ) + ( + f R f ; a t dt =! a defiid si la derivada (+) de f es itegrable e el iterval I. POLINOMIOS DE TAYLOR: APLICACIONES Cálcul de valres aprimads (ver hja ) Cálcul de límites idetermiads Estudi lcal de ua fució: Determiar máims y míims Cálcul de límites idetermiads E el cálcul de límites de fucies surge las mismas idetermiacies que e el cas de sucesies y se aplica las mismas técicas para su reslució. Defiició (Ifiitésim).- Llamarems ifiitésim para tedied a a cualquier fució que tieda a cer. Es decir, ϕ es u ifiitésim para = si limϕ = Prfesra: Elea Álvarez Sáiz
Tería: Fucies ua variable Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I PROPOSICION.- (a) (b) La suma, diferecia y prduct de ifiitésims es u ifiitésim. El prduct de u ifiitésim pr ua fució actada e u etr de es u ifiitésim. Defiició (Ifiitésims del mism rde, rde superir y rde iferir).- Se dice que ϕ y µ s ds ifiitésims del mism rde para = si ϕ lim = λ cλ, λ µ E este cas se escribe ϕ O( µ ) ϕ y =. ϕ µ equivaletes para = si lim = µ ϕ es de rde superir a cas se escribe ϕ = ( µ ) µ para = si ϕ lim =. E este µ Defiició (Ifiitésims de rde p).- Decims que u ifiitésim es de rde p para = si ϕ O( ) p = es decir, si ϕ ( ) lim = λ λ, λ p PROPOSICION.- El rde de u ifiitésim varía al sumarle restarle tr de rde superir. Prfesra: Elea Álvarez Sáiz S
Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I Tería: Fucies de ua variable Csiderems ahra ϕ u ifiitésim de rde p para que E este cas se tiee que: ϕ ( ) lim = λ λ, λ p =, est sigifica ( ) = ( ) ϕ = λ( ) + ( ) ϕ λ p p p p Etces al térmi λ( ) p se le llama parte pricipal del ifiitésim ϕ para =. PRINCIPIO DE SUSTITUCION.- Si e ua epresió de u límite se sustituye u factr divisr pr su parte pricipal pr tr equivalete el valr del límite se ve alterad. IMPORTANTE: Cuad ls ifiitésims aparezca cm sumads la sustitució de u ifiitésim pr tr equivalete puede cducir e geeral a errres () Si etces se () Si etces (3) Si etces tg (4) Si (5) Si Tabla de equivalecias cs etces lg + etces lg( k k + ) ( k> ) Prfesra: Elea Álvarez Sáiz
Tería: Fucies ua variable Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I (6) Si etces a lga (7) Si etces arcse (8) Si etces arctg (9) Si a etces ( ) () Si etces + + a térmi de mer grad P Defiició (Ifiits).- Llamarems ifiit para tedied a a cualquier fució limω ω que tieda a ifiit. Es decir, = ω es u ifiit para = si OBSERVACION.- Td l vist aterirmete para ifiitésims puede aplicarse a ifiits teied e cueta que si ω es u ifiit para = etces ϕ = ω es u ifiitésim para = es u ifiitésim. E particular, la sustitució de ifiits e la epresió de u límite se rige pr las mismas reglas que las de ls ifiitésims. Defiició (Ifiits de rde iferir, superir).- Se dice que ω y ifiits para = se dice que: ω es u ifiit de rde iferir a ω lim = τ para τ ω es u ifiit de rde superir a ω lim τ = τ para = si = si τ ds Prfesra: Elea Álvarez Sáiz S 3
Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I Tería: Fucies de ua variable ω es u ifiit del mism rde que ω lim λ λ, λ τ τ para = = si E el cas particular de que λ etces se dice que s equivaletes. Defiició (Ifiit de rde p).- Decims que u ifiit ω para rde p si ω lim = λ λ, λ ( ) p = es de ctiuació, se da e la tabla ls demiads órdees fudametales de ifiitud. Segú se avace de izquierda a derecha e las clumas ls órdees va decrecied. Ptecial - Epecial Epecial Ptecial Lgaritm a b c a> b> c> ( lg ) q p q> p> APLICANDO POLINOMIOS DE TAYLOR Sea y f = ua fució que es ifiitésim para =a que tiee tdas sus ( k derivadas ulas hasta el rde k- e el put a y que f cumplirá: ( a) k ( ) ( k f k f = a + a k! a, etces se 4 Prfesra: Elea Álvarez Sáiz
Tería: Fucies ua variable Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I de l que se deduce que el rde del ifiitésim y f ( k f ( a) pricipal es k!. = para =a es k y su parte Estudi lcal de ua fució Csiderems ua fució y f a. Se cumple que: = c derivadas hasta el rde + e el put ( ( ) f '' a f a f f( a) = f '( a)( a) + a +... + a + a!! ( Supgams que f ( a) f ( a) f ( a) ( Si es par y f lcal ( Si es par y f ' = '' =... = =, etces a > etces e el put a la fució tiee u míim a < etces e el put a la fució tiee u máim lcal Si es impar e el put a hay u put de ifleió. SERIES DE POTENCIAS. SERIES DE TAYLOR Ua epresió de la frma... a + a a + a a + = a a = Recibe el mbre de serie de ptecias cetrada e el put a. Ua serie de ptecias puede ser iterpretada cm ua fució de Prfesra: Elea Álvarez Sáiz S 5
Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I Tería: Fucies de ua variable = ( ) f a a = Cvergecia de ua serie de ptecias El dmii de la fució f = a ( a) será el cjut de valres de = dde la serie cverge y el valr de f( ) será precisamete la suma de la serie. Nta: Es evidete que la serie cverge e el put a f a = a a a = a = TEOREMA DE ABEL. Se csidera la serie a( a) afirmacies siguietes: =. Etces se cumple ua y sl ua de las (a) La serie cverge sl e a (b) Eiste u úmer R> de frma que la serie cverge e a < R y cverge e a> R (c) La serie cverge para td R Puede decirse que la serie cverge siempre e u iterval de la frma ( a R, a R) + csiderad que e el cas (a) el valr de R es cer y e el cas (c) el valr de R es ifiit. Al úmer R se le llama radi de cvergecia y al iterval ( a R, a R) + iterval de cvergecia. Es imprtate tar que el terema dice ada sbre la cvergecia e ls etrems de dich iterval. 6 Prfesra: Elea Álvarez Sáiz
Tería: Fucies ua variable Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I TEOREMA. Si la fució viee defiida pr ua serie de ptecias a( a) cumple ua y sl ua de las afirmacies siguietes: =. Etces se (a) La serie cverge sl e a (b) Eiste u úmer R> de frma que la serie cverge e a < R y cverge e a> R (c) La serie cverge para td R TEOREMA. Si la fució f viee defiida pr ua serie de ptecias a( a) cvergecia R> etces = c radi de (a) f es ctiua e td put iterir al iterval de cvergecia. (b) f es derivable e el iterval de cvergecia y su derivada f '( ) puede bteerse mediate la derivació térmi a térmi: f ' = a ( a) sied el radi de cvergecia de esta serie tambié R. (c) f es itegrable e el iterval de cvergecia y, además, se puede itegrar térmi a térmi: + = = = a f d = a a d = a + k + sied el radi de cvergecia de esta serie tambié R. Prfesra: Elea Álvarez Sáiz S 7
Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I Tería: Fucies de ua variable Desarrll de ua fució e serie de ptecias Ahra aalizams el prblema de ectrar el desarrll e serie de ptecias de ua fució f( ) aalizad qué cdicies debe cumplir ectrarse ua serie de ptecias a( a) que cverja a = f para que pueda f. Recrdems ahra el Terema de Taylr que permitía epresar el valr de ua fució mediate su plimi de Taylr. FÓRMULA DE TAYLOR: Si la fució f es derivable + veces e u iterval ( a R, a R) + etces sied ( ; ) k= = ( ; ) + f T f a R ( a) ( k f k T f a = a el plimi de Taylr de grad de f k! e el put a y R el rest del plimi que cumple: R( ) ( a) lim = a Csiderad la epresió de Lagrage del rest se tedrá: + k () + ( k ( f a f c f = a + a k!! k= c c u put itermedi etre a y. + TEOREMA: Si la fució f es ifiitamete derivable e u iterval I abiert cetrad e a y si R( ) es el rest de la fórmula de Taylr etces: = ( a) ( f f = a lim R =! 8 Prfesra: Elea Álvarez Sáiz
Tería: Fucies ua variable Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I La serie ( f ( a) ( a) se llama Serie de Taylr de la fució =! f. Imprtate: Puede prbarse que si eiste ua cstate k> de frma que ( f k para td, I etces =! ( a) ( f f = a Ejempls: Teied e cueta ls últims resultads se puede bteer ls siguietes desarrlls e serie de Taylr de alguas fucies elemetales: e = = + + +... <!!! = + 3 5 se = = +... <! 3! 5! = ( + ) 4 cs = = +... <!! 4! = ( ) = = + + + < = =... = ( ) = +... < + = ( )( )...( + ) ( ) k k k k k k k + = = + k+ +... <!! Prfesra: Elea Álvarez Sáiz S 9
Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I Tería: Fucies de ua variable Teied e cueta la dificultad de ectrar la derivada eésima para muchas fucies y de prbar que el rest eésim tiede a cer cuad tiede a ifiit es frecuete, para ectrar el desarrll de ua fució e serie de ptecias, utilizar fucies de las que ya se cce su desarrll y lueg itegrar, derivar realizar peracies algebraicas cm se idica e el siguiete resultad: Si f = a y g = b e ( R, R) = = f ± g = ( a ± b ) e ( R, R ) = f( k) = a k e, k f( ) = R R k k k = a e k k ( R, R) = sied k> etces DERIVACIÓN IMPLÍCITA Ua ecuació de la frma F(, y ) = defie a la variable y cm fució ( y= f ) e u ciert dmii D si se verifica que para td e D eiste u úic y de frma que F(, y ) =. Cuad, para este tip de fucies se pueda despejar la variable y eplícitamete e térmis de, y se quiere bteer la derivada, dy, se prcede d de la siguiete frma:. Se deriva ambs miembrs de la epresió c respect a, aplicad la regla de la cadea sabied que y es fució de, es decir, y y =. Prfesra: Elea Álvarez Sáiz
Tería: Fucies ua variable Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I. Se despeja la epresió dy d. E geeral, el valr bteid para dy d es dy derivar la fució F respect a csiderad y cm cstate = d derivar la fució F respect a y csiderad cm cstate DERIVACIÓN PARAMÉTRICA E alguas casies la ecuació de ua curva está dada e la frma y= f ó F(, y ) = si que está determiada pr u par de ecuacies e térmis de ua misma variable. Pr ejempl, csiderems las ecuacies = y= t+ t t c t R. Se tiee que a cada valr de t le crrespde u put (,y) del pla. E el ejempl aterir, la siguiete tabla de valres: t -4-3 - - 3 4 5 4 5 8 3-3 8 5 y -3 - - 3 4 5 6 s permite hacer la represetació gráfica de la relació de la siguiete maera: Prfesra: Elea Álvarez Sáiz S
Igeiería de Telecmuicació Fudamets Matemátics I Tería: Fucies de ua variable () () g t E geeral, las ecuacies =, c g, h fucies ctiuas e u iterval y= h t real I, recibe el mbre de ecuacies paramétricas represetació paramétrica de ua curva e el pla XY. La gráfica de las ecuacies paramétricas está dada pr el cjut de puts del pla XY, que se btiee cuad t, que recibe el mbre de parámetr, tma tds sus valres psibles e el dmii I. TEOREMA: Sea g() t, h() t fucies derivables e u iterval (c, d). Supgams que g tiee ua iversa derivable e ese iterval. Etces e cada put dde g '() t, las ecuacies que y f =, y además () () = g t y= h t implica que eiste ua fució derivable f tal dy dy h ' t = dt = d d g ' t dt () () Nta: Si detectas algú errr errata pte e ctact c la prfesra para su crrecció. Prfesra: Elea Álvarez Sáiz