FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos por los que psen. Por ejemplo: l función f() ps por los puntos (0,-) (,), sí que su gráfic serí: 5 El Dominio el Recorrido de tods ests funciones son todos los números Reles. Si l pendiente de l rect (m) es positiv, l función será creciente, mientrs que si m es negtiv, será decreciente. A n se le llm ordend en el origen, e indic el punto donde l gráfic cort l eje Y. Cunto más se cerque m cero, más horizontl será l rect. Ls rects con pendiente 0 son horizontles, mientrs que ls rects verticles son de l form. Algunos ejemplos son: - -+ 5 5 5
+ 5 5.- Prábols Son funciones cu le es un polinomio de segundo grdo, es decir: f ( ) + b + c Sus gráfics son prábols pr representrls se clcul su vértice los puntos de corte con el eje X. b L primer coordend del vértice se clcul medinte l fórmul, mientrs que l segund se clcul sustituendo l primer en l función. Los puntos de corte con el eje X se obtienen igulndo l función 0 resolviendo l ecución de º grdo correspondiente. Así por ejemplo, representmos l función f ( ) 6 + 5 b 6 Su vértice será:, f (), es decir, el punto V(,-) Si resolvemos l ecución 6 + 5 0, obtenemos como soluciones de l mism 5, luego cortrá l eje X en los puntos (,0) (5,0). Con todo ello su dibujos será: 5 6 7 8
Como propiedd común, el dominio de tods ests funciones es todos los números Reles. En este cso el recorrido es [, + ), unque éste vrirá de un función otr. Otr crcterístic común es que si > 0, l prábol es conve su vértice corresponde un mínimo bsoluto, mientrs que si < 0, l prábol es cóncv su vértice será un mínimo bsoluto. Si no tiene puntos de corte con el eje X o sólo tiene uno (el vértice) conviene drle un pr de vlores (uno nterior otro posterior l vértice) pr dibujrl más ectmente. Algunos ejemplos son: f ( ) f ( ) ( ) f 6 5 5 5 5 6 5 7 5 f ( ) f ( ) + f ( ) + 5 6 5 6 5 7 6 5 5 6
.- Funciones polinómics de grdo superior Son funciones cu le es un polinomio de grdo superior dos. No tienen crcterístics comunes, slvo que su dominio son todos los números reles. Algunos ejemplos importntes son: f()- f() f() 5 5 f()-.- FUNCIONES A TROZOS Son funciones definids por distints lees por intervlos, de mner que el dibujo de l función complet será un mezcl de ls diverss funciones que componen l función representds cd un de ells en el intervlo (del eje X) correspondiente. Por ejemplo: + f ( ) < 0 0 Al primer trozo de rect le hemos ddo los vlores (unque podrín ser culesquier) (0,) (-,0), mientrs que pr el segundo trozo los vlores clculdos hn sido (0,-) (,). Como el 0 está incluido en el segundo trozo, se señl con un punto, dejndo un hueco en el (0,) que serí hst donde llegrí (csi) el primer trozo de l función. Es de destcr que el tipo de función que prezc en cd trozo puede en principio ser culquier, puede hber tntos trozos como quermos, de mner que nos podemos encontrr con funciones formds por dos trozos de prábol, dos rects un prábol,...
5 Algunos ejemplos podrín ser: + < 0 0 ) ( f + < + < 8 ) ( f > + < ) ( f
6.- FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Es un cso prticulr de función trozos. El vlor bsoluto de un número,, lo dej igul si éste es positivo le cmbi el signo si es negtivo. Es decir, en generl: < 0 0 Si l dibujmos como un función trozos, su gráfic serí: Como propieddes, prte de que su dominio son todos los números Reles, destcr el hecho de que su recorrido son sólo los positivos ( el cero), lgo que result obvio si tenemos en cuent que el vlor bsoluto de un número nunc puede ser negtivo. A prtir de ell podemos obtener los vlores bsolutos de otrs funciones, como por ejemplo: 0 0 < + < + Y cuo dibujo serí lgo como:
7 Algo más complicds resultn los vlores bsolutos de prábols. Por ejemplo, pr representr, primero resolvemos l ecución 0, obteniendo como soluciones de l mism -. Estos dos vlores dividen l rect en tres intervlos: ( ) ( ) ( ) +,,,,. Tommos un punto de cd intervlo pr ver en cuál de ellos el polinomio es positivo en cuál es negtivo, lo que nos dirá en que trozos del eje X l prábol se qued como está en cuáles se cmbi de signo. En nuestro cso: Y por tnto, l función quedrí por trozos: < < + + Y su gráfic correspondiente: Ejercicio: Representr ls funciones: 8, 6,,, + 5 6 5 6
.- FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA k Son funciones cu le es del tipo: f ( ), donde k es un número rel. Por ejemplo, si le dmos vlores l función f ( ), obtenemos un gráfic como l siguiente: 5 5 Clrmente, como propieddes comunes tods ests funciones, su dominio su recorrido son todos los números reles menos el 0. Y tods tienen un síntot horizontl en el eje X otr verticl en el eje Y Si hor dibujmos l función f ( ), obtenemos l siguiente gráfic: 5 Cu diferenci fundmentl con l nterior es su monotoní (ést es creciente l otr er decreciente) En generl, si k es positivo l función v ser decreciente, mientrs que si k es negtivo, será decreciente. Con este dto, sbiendo l pint que vn tener, bstrá drle un pr de vlores (p. ej. el el ) pr poder dibujrls correctmente. 8
Por ejemplo: f ( ) f ( ) 6 5 8 7 6 5 5 6 7 8 9 6 5 5 6 7 5 Ejercicio: Representr l función 6 f ( ) < 0 > 0 5.- FUNCIONES EXPONENCIALES Son funciones cu le es un potenci, es decir, del tipo f ( ) Donde es culquier número positivo. Por ejemplo, f ( ). Si le dmos vlores est función, obtenemos un tbl como l siguiente: 0 - - - f() 8 / / /8 Not: conviene recordr cómo se hcen ls potencis negtivs, medinte l propiedd: n n 5 Su gráfic serí: 8 7 6 5 5 6 7 5 9
De l mism mner podemos representr l función f ( ), obteniendo: 5 En generl vemos por tnto que el dominio de tods ests funciones son todos los números reles el recorrido los positivos (sin contr el 0). Además, si >, l función es creciente, mientrs que si <, l función es decreciente. Tods tienen un síntot horizontl en el eje X (por l izquierd o l derech según sen crecientes o decrecientes) tods son conves. Pr dibujrls no hce flt hcer un tbl de vlores, pues tods psn por el punto (0,) por el punto (,), luego sbiendo l pint que tienen estos puntos podemos representrls gráficmente sin problems. Así por ejemplo: (/) 0 e 5 5 0
6.- FUNCIONES LOGARÍTMICAS Conviene ntes de definirls indicr l definición de logritmo en bse de un número, sber: log Por ejemplo, log 8 porque 8 log 5 5 porque 5 5 log porque log 0 0'000 porque 0 0' 000 0 0000 Como logritmos especiles están el logritmo en bse 0, que se llm logritmo deciml se represent por log, el logritmo Nperino que es el logritmo en bse e ( 7...) se represent por ln. Alguns propieddes interesntes de los logritmos son: )log b)log c)log 0 n nlog d)log e)log log log + lob log Destcr fundmentlmente ls dos primers propieddes que nos servirán pr representr ls funciones logrítmics. Ls funciones logrítmics son quells cu le es del tipo: f ( ) log, con un número rel positivo. Como propiedd fundmentl, teniendo en cuent l definición de logritmo, el dominio de tods ests funciones son los números reles positivos (sin contr el cero). Vmos representr por ejemplo l función f ( ) log, pr l que obtenemos l siguiente tbl de vlores: 8 / / /8 f() 0 - - - Su gráfic serí por tnto: 5 6 7
De l mism mner podemos representr l función f ( ) log /, obteniendo: 5 6 7 En generl, demás del dominio ntes menciondo, el recorrido de tods ls funciones de este tipo son todos los números reles. Además, si >, son crecientes cóncvs, mientrs que si <, son decrecientes conves. (Tods tienen un síntot verticl en el eje Y, que irá hci rrib o hci bjo dependiendo de si son crecientes o decrecientes) Conociendo esto, que tods ells psn por los puntos (,0) (,), podemos representr culquier función logrítmic. Por ejemplo: Log / Log Ln 5 6 7 8 Log 0 5 6 7 8
7.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Son funciones cu le es un rzón trigonométric. Ls funciones trigonométrics más hbitules son sen cos Destcr que, unque el dominio de ésts funciones son todos los números reles, son periódics de periodo π, lo que signific que se vn repitiendo por tnto lo que hg su gráfic en el intervlo de 0 π, será lo mismo que hg en culquier intervlo de l mism mplitud ( de π π, de π 6 π, de π 0,...) Sus gráfics, que se obtienen con un simple tbl de vlores recordndo cuestiones básics de trigonometrí, son ls siguientes: F() sen π π π π F() cos π π π π
sen Por otr prte está l función tngente, es decir: f ( ) tg, cuo dominio, cos diferenci de ls nteriores, serán todos los números reles menos quellos puntos donde el coseno vlg 0, es decir, los múltiplos impres de π : π π 5π 7π,,,,, π π En todos estos puntos l función tngente tendrá síntots verticles. Además, el periodo de est función es π, con lo que bstrá representrl en el intervlo de 0 π. Su gráfic es: π π
EJERCICIOS Representr gráficmente ls siguientes funciones: + < - ) f() - ++5 ) f ( ) - < ) f ( ) 8 0 < 0 < ) f ( ) Ln 0 < < 5) f ( ) 0 < + 8 + si 0 - + si < 0 6) f ( ) 5 7) si < f ( ) 8) si > f ( ) + 5 - si si 0 0 < < si 9) f ( ) 0) f ( ) < < + < 0 ) f ( ) + 0 < )f ( ) + 8 ( ) + 0 ) f ( ) ) f ( ) ) f ( ) 5 + < < > 0 > log e 0 + 0 6) f ( ) 7) f ( ) + ) f ( ) 0 8 + < < > 0 > log 0 9) f ( ) 0) f ( ) + + 0 < < 6 5
0 ) f ( ) 0 < < )f ( ) 5 log 0 < 0 ) f ( ) 0 < < ) f ( ) log 0 < < + 6 8 + 0 5) f ( ) + + 6 6) g( ) 0 < < 7) f( ) + 6 8) f ( ) + 5 < < 5 9) 8 + 0 5 0) f ( ) + < > 6
SOLUCIONES ) ) ) ) 5) 6) 7
7) 8) 9) 0) ) ) 8
) ) 5) 6) 7) 8) 9
9) 0) ) ) ) ) 0
5) 6) 7) 8) 9) 0)