p. 6: onensores y ieléctricos 44 pítulo 6. ONDENSADORES Y DIEETRIOS 6. INTRODION. n cso especil importnte se present en l práctic cuno os conuctores próimos recien crgs el mismo lor y signos opuestos. Este ispositio e os conuctores se enomin conensor. En l figur 6. se muestr el cso más generl e un conensor formo por os conuctores cercnos, los cules se les llm plcs. s crgs igules y opuests se otienen conectno ls plcs momentánemente los polos opuestos e un terí. Figur 6. cpcitnci e culuier conensor como el e l figur 6. se efine como 6. en l cul es l iferenci e potencil entre ls plcs y es l mgnitu e l crg en culuier e ls plcs; no ee consierrse como l crg net el conensor, l cul es cero. cpcitnci e un conensor epene e l form geométric e c plc, e l relción espcil entre ells, y el meio en el cul están sumergis. De momento, se consier este meio como el cío. uni e cpcitnci se efine e l ecución 6. ue es el coulomio/oltio ue en el sistem SI es el frio, en honor Michel Fry: tn F [ cpci ci] El frio es un uni e cpcitnci muy grne, en l práctic son unies más conenientes los 6 sumúltiplos el frio, el microfrio y el micromicrofrio o picofrio µµ F F pf. n conensor se represent por el símolo. µ F F 6. AO DE A APAITANIA.
p. 6: onensores y ieléctricos 45 figur 6. muestr un conensor formo por os plcs plns prlels e áre A, seprs por un istnci peueñ compr con ls imensiones lineles e ls plcs. Prácticmente, too el cmpo e este conensor está loclizo en el espcio comprenio entre ls plcs, como se represent en l figur. El cmpo eléctrico E mei ue es mucho menor ue ls imensiones e ls plcs es uniforme, lo ue uiere ecir ue ls línes e fuerz son prlels y están uniformemente espcis. Pr el efecto e los cálculos ls eformciones e ls línes en los ores se pueen psr por lto. Figur 6. Pr el cálculo e l cpcitnci se supone ue el conensor h sio conecto los ornes e un terí, e tl mner ue, hy un crg en un plc y un crg en l otr. En el siguiente pso se clcul el cmpo eléctrico E entre ls plcs usno l ley e Guss. figur 6. muestr con línes interrumpis un superficie gussin con el tmño y form e ls plcs el conensor. El flujo neto es E.ˆ na EA E A entonces, Que es el cmpo eio l cr e l superficie gussin ue está entre ls plcs; en es región E es constnte. En ls otrs superficies el flujo e E es cero, pues un e ells está entro el conuctor y el cmpo eléctrico E entro e un conuctor con crg estátic es cero. En ls otrs cutro superficies es cero porue, si no se tienen en cuent ls irregulries e ls línes e fuerz en los ores, el cmpo E es norml ls superficies. En el siguiente pso se clcul el trjo por uni e crg pr ller un crg e prue e un plc l otr, o se, E l, sieno l iferenci e potencil entre ls plcs. integrl se reliz entre l plc inferior y l superior one E l El por ser ntiprlelos, e moo ue s El E i A De cuero l ecución 6. l cpcitnci e este conensor es A 6. ecución 6. sugiere unies pr l constnte e permitii ue son más propis pr los prolems en los ue interienen conensores, es ecir,
p. 6: onensores y ieléctricos 46 8.85 Fm 8. 85 pfm s unies uss en l ley e oulom son euilentes ls uss cá. Ejemplo. ls plcs e un conensor e plcs prlels están seprs un istnci.mm. uál ee ser el áre e c plc si l cpcitnci es e F?. De l ecución 6. se espej A y se otiene 3 8.85 Fm F. m 8 A. m Esto correspone un curo e proimmente km e lo. Por eso el frio es un uni muy grne. tecnologí ctul hce posile construir superconensores e F e pocos centímetros e lo, ue se usn como fuentes e oltje pr computors; como soporte pr mntener l memori e los computores cuno hy un fll e energí stnte prolong Aproimmente 3 ís. Ejemplo. n conensor cilínrico está formo por un cilinro y un cscron cilínrico coil e rios y respectimente y longitu l como se muestr en l figur 6.3. uál es l cpcitnci e este prto?. on l y conensor. e moo ue se puen psr por lto ls irregulries e ls línes e fuerz en los etremos el omo superficie gussin se construye un cilinro coil e rio r y longitu l, cerro por tps prlels plns como en l figur 6.3. Figur 6.3 Aplicno l ley e Guss se tiene E na ˆ E rl π Que es el flujo neto trés e l superficie gussin. El flujo está totlmente trés e l superficie cilínric y no trés e ls tps etrems. Despejno E se otiene: iferenci e potencil entre ls plcs es E π rl
p. 6: onensores y ieléctricos 47 E l Er r ln π l r π l Finlmente, l cpcitnci está por π l ln De nueo l cpcitnci epene e fctores geométricos y e l permitii entre ls plcs. Ejercicio. Muestre ue si l istnci entre los cilinros, -, es muy peueñ compr con, l formul se reuce l ue se hí poio otener utilizno l ecución 6.. se l epnsión en series e n, con -/. 6.3 ONDENSADORES EN SERIE Y EN PARAEO. os conensores se pueen cominr e os mners: en serie y en prlelo. onensores en prlelo. figur 6.4 muestr tres conensores en prlelo y se trt e hllr l cpcitnci euilente e ese sistem. Pr es configurción l iferenci e potencil entre los puntos y es l mism. Figur 6.4 Tos ls plcs superiores están conects entre sí y l terminl, mientrs ue tos ls plcs inferiores están conects entre si y con l terminl. cpcitnci euilente e un conjunto e conensores conectos entre sí es l cpci e un único conensor ue cuno sustituye l conjunto prouce el mismo efecto eterior. Aplicno l relción c conensor se otiene: crg totl en l cominción es: cpcitnci euilente es: ; 3 3 ; y 3 3. e 3 6.3 Este resulto puee generlizrse fácilmente un número culuier e conensores conectos en prlelo sí: n e i i 6.4 onensores en serie. figur 6.5 muestr tres conensores conectos en serie. Pr conensores como se muestr, l mgnitu e l crg en c plc ee ser l mism. Así ee ser porue l crg net en l prte el circuito encerr por l líne
p. 6: onensores y ieléctricos 48 interrumpi en l figur 6.5 ee ser cero; esto es, l crg eistente en ests plcs inicilmente es cero, y el conectr un terí entre y sólo lugr un seprción e crgs, l crg en ests plcs sigue sieno cero. Figur 6.5 iferenci e potencil entre los etremos e un cierto número e conensores conectos en serie es l sum e ls iferencis e potencil entre los etremos e c conensor iniiul. Aplicno l ecución cpcitnci euilente es: c conensor se otiene: y ; ; 3 3. 3 3 3 e 6.5 cpcitnci euilente en serie es siempre menor ue l más peueñ e ls cpcitncis e l coneión. Este resulto puee generlizrse fácilmente un número culuier e conensores conectos en serie sí: 3 n e i i 6.6 Ejemplo 3. En el circuito mostro en l figur 6.6 los puntos y están un iferenci e potencil e oltios y conformo por los conensores 5µ F, 3µ F, 3 6µ F y 4 8µ F. Hllr l cpcitnci euilente entre los puntos y. crg y l iferenci e potencil trés e c conensor. Figur 6.6 Pr simplificr el circuito y hllr l cpcitnci euilente se utilizn ls ecuciones 6.4 y 6.5 en l siguiente secuenci ser.
p. 6: onensores y ieléctricos 49 3 ; 3 3 3µ F6µ F 3 µ F 3µ F 6µ F 3 8µ F µ F µ F 34 4 3 34 34 ; 34 5µ Fµ F 34 6µ F 5µ F µ F 34 Pr hcer l prte restnte, se us el hecho e ue, si se conocen os culesuier e los tres prámetros, y, el tercero se puee hllr e l ecución 6.. En 3, 34 6µ F,. Entonces, pr este conensor euilente, l crg es 34 6µ F 6µ. En los conensores e 5 µ F y µ F están en serie y tienen l mism crg el conensor euilente. Entonces, l iferenci e potencil pr el conensor es 6µ 5µ F 4 y pr el conensor 34 l iferenci e potencil es 34 34 6µ µ F 6. En, los os conensores 4 8µ F y 3 µ F están l mism iferenci e potencil e 6. Entonces, pr el conensor e 4 l crg es e 4 434 8µ F6 48µ y pr el conensor 3 l crg es 3 334 µ F6 µ. En l figur 6.6, los conensores y 3 tienen l mism crg ue 3. Entonces, pr el conensor l iferenci e potencil es 3 µ 3µ F 4 y pr el conensor 3 l iferenci e potencil es 3 3 3 µ 6µ F. Not:. Pr eterminr l cpcitnci euilente, el circuito se simplific susecuentemente ese l figur originl hst 3. Pr eitr errores, se iuj un nueo igrm espués e c pso.. En l segun prte e este prolem se comienz con el euilente 3 y se trj hci trás hst l figur originl 6.6. En c uno e estos psos se us y se l ecución 6.4 o l 6.5. Por ejemplo, en los os conensores están en serie y por ello een tener l mism crg ue el conensor euilente. Ejemplo 4. n conensor tiene plcs curs, c un e lo, y formno un ángulo θ entre sí, como se e en l figur 6.7. Encontrr l cpcitnci e ese conensor pr lores peueños e θ. Figur 6.7
p. 6: onensores y ieléctricos 5 Pr resoler este prolem se consier un conensor elementl e longitu y e seprción h como se muestr en l figur junt. cpcitnci e ese elemento es, l cpcitnci e un conensor plno o por: h Epresno h en función e y e θ como htgθ. os conensores elementles están en prlelo, por lo tnto l cpcitnci totl es l superposición e tos ls cpcitncis elementles. Entonces: Hcieno cosθ tgθ u tgθ ; u tgθ y remplzno en l ecución nterior se tiene: cpcitnci el sistem es: Si θ es peueño, tg θ senθ θ. De one sen u tg θ θ θ u tgθ senθ ln tgθ θ ln θ omo θ es peueño, θ/ es mucho menor ue. sno l serie e [ ln sen ln ] ln 3 3 4 4 Tomno los os primeros términos e l serie en l cpcitnci se tiene: θ θ θ Nótese ue el cso limite se otiene cuno θ, ue un conensor plno e superficie A y espesor como l ecución 6.. 6.4 DIEETRIOS. Hst hor, no se h consiero prolems en los ue interienen meios ieléctricos y se hn trto csos en los cules el cmpo eléctrico es proucio eclusimente por un istriución específic e crgs o por crgs lires sore l superficie e los conuctores. En est sección se mejor est situción consierno el cso más generl. θ
p. 6: onensores y ieléctricos 5 n mteril ieléctrico iel es uel ue no tiene crgs lires. Sin emrgo, toos los meios mteriles se componen e moléculs, ests su ez se componen e entes crgos núcleos tómicos y electrones, y ls moléculs e los ieléctricos son, e hecho, fects por l presenci e un cmpo eléctrico. El cmpo eléctrico prouce un fuerz ue se ejerce sore c prtícul crg, empujno ls crgs positis en l irección el cmpo, y ls negtis en sentio contrrio, e moo ue ls prtes positis y negtis e c molécul se esplzn e sus posiciones e euilirio en sentios opuestos. Sin emrgo, estos esplzmientos el oren e un iámetro moleculr están limitos por intenss fuerzs resturors ue se formn por el cmio e l configurción e ls crgs e l molécul. El termino crg lig, en contrste con l crg lire e un conuctor, se us eces pr poner énfsis en el hecho e ue tles crgs moleculres no están lires pr moerse muy lejos o ser etrís el mteril ieléctrico. El efecto totl, ese el punto e ist microscópico, se isuliz más fácil como un esplzmiento e to l crg positi en el ieléctrico en relción con l crg negti. Se ice entonces ue el ieléctrico está polrizo. n ieléctrico polrizo, un cuno se eléctricmente neutro en promeio, prouce inulemente un cmpo eléctrico en los puntos eteriores e interiores l ieléctrico. omo resulto, eiste un situción lgo emrzos: l polrizción el ieléctrico epene el cmpo eléctrico totl el meio, pero un prte el cmpo eléctrico es prouci por el ieléctrico mismo. Aemás, el cmpo eléctrico istnte el ieléctrico puee moificr l istriución e crg lire sore los cuerpos e los conuctores y estos, su ez, proucir moificciones el cmpo eléctrico en el ieléctrico. uno se coloc un conuctor en un cmpo eléctrico eterno, los electrones lires entro el mismo eperimentn esplzmientos, como consecuenci e ls fuerzs ejercis sore ellos por el cmpo. Se h isto en cpítulos nteriores ue, en el esto e euilirio finl, el conuctor tiene un crg inuci sore su superficie, istriui e tl moo ue el cmpo creo por ell neutrliz el cmpo inicil en toos los puntos interiores, y se reuce cero el cmpo eléctrico neto entro el conuctor. Ahor se trt e entener, en términos tómicos, lo ue ocurre cuno se coloc un ieléctrico en un cmpo eléctrico. s moléculs e un ieléctrico se clsificn en polres y no polres. En un molécul no polr los centros e gre e los núcleos positios y e los electrones coincien normlmente, mientrs ue en un molécul polr no coincien. s moléculs simétrics, H, N y, son no polres. Por el contrrio, en ls moléculs, N y H, mos átomos e nitrógeno o e hirogeno se encuentrn un mismo lo el átomo e oigeno; tles moléculs son polres. Bjo l influenci e un cmpo eléctrico, ls crgs e un molécul no polr llegn esplzrse, como se muestr en l figur 6.8. Figur 6.8 En este cso ls moléculs se hn polrizo por el cmpo y los ipolos ue resultn se les enominn ipolos inucios. uno un molécul no polr se polriz, sore ls crgs esplzs entrn en juego fuerzs recuperors, ue tienen juntrls como si estuiern unis por un resorte. Bjo l influenci e un cmpo eterior o, ls crgs se seprn hst ue l fuerz recuperor es igul y opuest l ejerci por el cmpo sore ells. Nturlmente, ls fuerzs recuperors rín en mgnitu e un tipo otro e molécul, con ls consiguientes iferencis e esplzmiento pr un cmpo o. Si un ieléctrico se compone e moléculs polres o ipolos permnentes, estos están orientos l zr cuno no eiste cmpo eléctrico, tl como se inic en l figur 6.9. Figur 6.9 Bjo l cción e un cmpo eléctrico E, se prouce cierto gro e orientción y, cunto más intenso es el cmpo, tnto myor es el número e ipolos ue se orientn en l irección el mismo, como se represent en l figur 6.9. Sen o no polres ls moléculs e un ieléctrico, el efecto neto e un cmpo eterior es en efiniti el mismo ue el represento en l figur 6..
p. 6: onensores y ieléctricos 5 Figur 6. Dentro e ls os cps superficiles etremmente elgs, inics por ls línes e trzos, hy un eceso e crg, negti en un y positi en l otr. Ests cps e crg son ls ue n origen l crg inuci sore ls superficies e un ieléctrico. s crgs no son lires, sino ue c un está lig un molécul situ en l superficie, o próim ell. Dentro el resto el ieléctrico, l crg net por uni e olumen sigue sieno nul. El mteril como un too se conierte en un grn ipolo eléctrico ue tiene moerse en l irección en ue ument el cmpo eléctrico. 6.5 POARIZAION. polrizción P e un mteril es un cnti ectoril efini como el momento ipolr eléctrico el mteril por uni e olumen. Por lo tnto, si p es el momento ipolr inucio en c átomo o molécul y n el número e átomos o moléculs por uni e olumen, l polrizción es P np 6.7 En generl l polrizción P tiene l mism irección ue el cmpo eléctrico plico. Pr el cso especil e l figur 6., el ector polrizción P tiene el mismo lor en toos los puntos el ieléctrico; en otros csos, puee rir e un punto otro, y entonces ls mgnitues n y p se refieren un olumen muy peueño ue incluye el punto. polrizción P, como un momento ipolr eléctrico por uni e olumen, se mie en mm -3 o m -, ue correspone un crg por uni e áre. Se efinió en un cpitulo nterior ue el momento ipolr e un ipolo er el proucto e culuier e ls crgs ue formn el ipolo por l istnci ue ls sepr. El loue polrizo e l figur 6. se consier como un grn ipolo único, formo por ls crgs inucis σ A, seprs por el espesor el loue. El momento ipolr el loue es entonces p p p σ A, y, o ue su olumen es A, el momento ipolr por uni e olumen, o polrizción P, le en mgnitu P σ A σ A p p p σ p 6.7 olumen ensi superficil e crg lig es igul l polrizción. Aunue este resulto se h otenio pr un configurción geométric prticulr, su liez es generl y pr otr configurción l ensi e crg e polrizción está por A σ P nˆ P cosθ 6.8 p Done θ es el ángulo formo por el ector norml l superficie y el ector polrizción. Ejemplo 5. n rill elg e ieléctrico e sección trnsersl A se coloc sore el eje, ese hst como se muestr en l figur 6.. El ector polrizción es lo lrgo e su longitu, y está por P uˆ. Hllr l ensi superficil e crg e polrizción, en c etremo. p
p. 6: onensores y ieléctricos 53 Figur 6. Pr l solución e este prolem se us l ecución 6.8. omo primer pso se clcul el ector polrizción en c un e ls crs e l rill, ser: P uˆ P Por lo tnto en l cr l ensi superficil e crg es: σ P P nˆ Puˆ nˆ P crg superficil en es: P σ P ensi e superficil e crg en l superficie es: crg superficil en es: A A σ P P nˆ P uˆ nˆ P P A 6.6 SEPTIBIIDAD Y PERMITIIDAD EETRIAS. polrizcion P e un ieléctrico isótropo homogéneo tiene irección y sentio igules ue el cmpo eléctrico resultnte E, y epene e E y e l nturlez el ieléctrico. Se efine un propie el ieléctrico en l teorí e respuest linel, enomin susceptiili eléctric el mteril χ e, por l ecución χ es imensionl puesto ue tnto P como P χ e E 6.9 E se mien en m -. Pr l myorí e susceptiili eléctric e los mteriles χ e es un cnti positi. susceptiili eléctric el cío es nul, y ue solo puee resultr polrizo un mteril ieléctrico. susceptiili eléctric, ue escrie l respuest e un meio l cción e un cmpo eléctrico, está relcion con ls propiees e los átomos y moléculs el meio. Por est rzón, l susceptiili eléctric es iferente pr cmpos eléctricos estáticos y oscilntes. susceptiili eléctric inuci ei l istorsión el moimiento electrónico en átomos o moléculs es esencilmente inepeniente e l tempertur, puesto ue se trt e un efecto relciono con l estructur electrónic e los átomos o e ls moléculs y no con el moimiento térmico. Pr un loue plno como el e l figur 6. coloco en un cmpo eléctrico eterno norml sus crs, l ensi superficil e crg lig es igul l polrizcion; e moo ue en este cso
p. 6: onensores y ieléctricos 54 σ p χ e E. Si ese loue ieléctrico se coloc entre ls plcs e un conensor plno prlelo e áre A y seprción como el e l figur 6. el cul inicilmente est cío y con un ensi e crg superficil llm lire. ensi e crg superficil lire en ls plcs se enot por σ y entro el conensor prouce un cmpo E σ cuno no hy ieléctrico en él, l crg lig prouce un cmpo eléctrico en sentio contrrio el cul es E P σ P cuno el conensor se h lleno con el mteril ieléctrico. El cmpo resultnte resultnte E es: E E E P Figur 6.. Do ue estos cmpos tienen sentios opuestos como en l figur 6., el cmpo E E E P E σ P E χ e E E χ E e y, por tnto, E E σ E 6. χ e Done el coeficiente χ e 6. Es l permitii relti y es un número sin unies. A l permitii relti tmién se le llm l constnte χ y ieléctric. s tres mgnitues e, son otrs tnts forms iferentes e epresr l mism propie funmentl e un ieléctrico; esto es, el gro en el cul ue polrizo cuno se encuentr en un cmpo eléctrico. uluier e ells puee epresrse en función e y e un e ls restntes, y tos se introucen únicmente con el fin e simplificr l form ue tomn lguns ecuciones e uso frecuente. Aunue l ecución 6. se eujo pr un cso especil, el resulto nterior tiene liez generl cuno se sustituye el cío por un ieléctrico homogéneo e isótropo en toos los puntos one eiste cmpo eléctrico; l intensi E en un punto culuier, cre por crgs lires situs sore conuctores, ue reuci por el fctor /. presenci el ieléctrico reuce efectimente l intercción entre ls crgs eio l efecto e pntll proucio por l polrizcion e ls moléculs el ieléctrico. Ejemplo 6. n crg puntul está en el centro e un esfer e mteril ieléctrico e rio R como l figur 6. y susceptiili eléctric χ e 5. lculr el ector polrizcion en l superficie. lculr l crg totl e polrizcion en l superficie.
p. 6: onensores y ieléctricos 55 Figur 6. En l figur 6. el cmpo eléctrico en l superficie es el cmpo neto o por l ecución 6., eio l crg puntul y l cmpo e polrizcion. Este cmpo es: E 4π R ˆ u R El ector polrizcion es: P χ e χ ee u R 4π R ˆ χ e 4π R uˆ R on χ e 6. Por lo tnto el ector polrizción pr est situción es: P 5 4 π R ˆ u R. crg e polrizcion inuci en l superficie es: P 5 σ PA P nˆ r A uˆ s s s 4π R R nˆ r A 5 5 P A 4πR 4 R s π 4π R 5 P 6 6.7 ONDENSADOR ON DIEETRIO. Pr el cso e l figur 6., one l crg lire está en l superficie e ls plcs, el cmpo eléctrico entre ells en el cío es e cá en elnte E E σ ; y l iferenci e potencil, E uno hy ieléctrico en ls plcs, el cmpo eléctrico es E E, y l iferenci e potencil, E E 6.
p. 6: onensores y ieléctricos 56 omo, l iferenci e potencil es menor ue. s crgs inucis sore el ieléctrico eilitn el cmpo entre ls plcs, reucieno l iferenci e potencil. cpci e un conensor en el cío, con un crg sore ls plcs, es uno entre ells se introuce un ieléctrico, 6.3 Es ecir, l cpcitnci ument en el fctor cuno el ieléctrico llen por completo l región entre ls plcs. Pr un conensor e plcs prlels, one A ecución 6., se puee epresr l cpcitnci, cuno el conensor está lleno con un ieléctrico, como A A 6.4 ecución 6. es un cso especil e est relción ue se otiene l poner, y ue correspone l cso e cío entre ls plcs. Así pues, l cpcitnci e culuier conensor se puee escriir como: G G 6.5 Epresión en l cul G es un fctor geométrico y tiene ls imensiones e longitu. Pr un conensor e plcs prlels G es A/; pr un conensor cilínrico Ejemplo G es π ln. Se puee resumir l función e un ieléctrico entre ls plcs e un conensor en tres prtes ser:. Resuele el prolem mecánico e mntener os grnes plcs metálics istnci muy peueñ sin contcto rel lguno.. Puesto ue su rigiez ieléctric es myor ue l el ire, ument l iferenci máim e potencil ue el conensor es cpz e resistir sin romperse. 3. cpci e un conensor e imensiones s es ris eces myor con un ieléctrico ue sepre sus plcs ue si estuier en el cío. Ejemplo 7. El espcio entre ls plcs e un conensor e plcs plns prlels e áre está lleno con os loues ieléctricos, uno con constnte y espesor y el otro con y espesor como l figur 6.3. seprción entre ls plcs es. Figur 6.3 En este ejemplo es importnte hcer notr ue hy solmente un conensor entro el cul hy os meios ieléctricos ue no se mezcln. NO HAY DOS ONDENSADORES EN SERIE.
p. 6: onensores y ieléctricos 57 Pr clculr l cpcitnci euilente e este conensor se clcul primero el cmpo eléctrico en c meio usno l ley e Guss, espués l iferenci e potencil entre ls plcs y por último se plic l ecución 6.. En l figur junt ue prece jo l erech se hn iujo os superficies gussins cilínrics con tps e áre S ue rcn el ieléctrico y el ieléctrico respectimente. seprción entre ls plcs es muy peueñ compr con A e moo ue se pueen psr por lto ls irregulries e ls línes e fuerz en los etremos l clculr l cpcitnci. El flujo en l superficie ue está entro el conuctor pr c superficie gussin es cero, porue el cmpo eléctrico entro e un conuctor ue tiene crg estátic es cero. El flujo trés e ls prees e los cilinros es cero porue ls línes e fuerz entro el conensor son prlels. Así pues, solo uen los flujos en c cr ue está en los ieléctricos. Estos son: E S σ S y E S σ S Entonces, σ σ E y E Que están e cuero con l ecución 6.. iferenci e potencil entre ls plcs es Done E y E E l E l E puntn en irecciones opuests l, o se, l E l El E E σ cpcitnci e ese conensor es σ σ A A Si / l cpcitnci se puee escriir como A A Si, l cpcitnci es l por l ecución 6.. Ejemplo 8. n oltímetro electroestático está formo por os semicilinros coiles rígimente unios ue pueen girr lreeor e su eje, situo éste en l superficie e un líuio e constnte ieléctric como se muestr en l figur 6.4. os rios son y y l longitu e los cilinros es. Hllr l cpcitnci e este sistem.
p. 6: onensores y ieléctricos 58 Figur 6.4 sno el resulto el ejemplo pr un conensor cilínrico se clculn los fctores geométricos e c conensor y espués, pr hllr l cpcitnci e c uno e ellos se utiliz l ecución 6.4. os fctores geométricos son: G α ln y G π α ln s cpcitncis son: α G ln G π α ln π α ln os conensores e l figur 6.4 están en un cominción en serie, se otiene ln ln α π α α π uno se tiene l cpcitnci e un conensor semicilínrico. 6.8 DESPAZAMIENTO EETRIO. D ector polrizción P y el proucto E como: Se efine el esplzmiento en culuier punto e un ieléctrico polrizo como l sum ectoril el Pero P χee E E D P E 6.6, e moo ue en el ieléctrico En el cío P, D E E D E 6.7 El concepto e esplzmiento eléctrico simplific cierts ecuciones, y tiene propiees útiles e interesntes. figur 6.5 muestr el conensor con ieléctrico.
p. 6: onensores y ieléctricos 59 Figur 6.5 integrl e superficie e E pr l superficie gussin e l figur 6.5, form por un cilinro un e cuys ses se encuentr en l plc metálic, y l otr, en el ieléctrico. Dentro e l plc metálic E. En el interior el ieléctrico, E na ˆ E na ˆ P S integrl e superficie e E eteni un superficie cerr es igul multiplico por l crg net interior l superficie, incluyeno tnto ls crgs lires como ls e polrizción. De l ecución 6.8 se otiene el cmpo eléctrico entro el ieléctrico, ue es: 6.8 σ E A A P Simplificno est últim ecución se tiene: P 6.9 Est epresión muestr ue l crg superficil inuci P es siempre menor en mgnitu ue l crg lire y es igul cero cuno no hy ieléctrico. En el ejemplo 6, 6 ue l sustituirl en l ecución 6.9 P 5/6. Al reemplzr l ecución 6.9 en l ecución 6.8 y hcieno operciones, se otiene: E na ˆ S E na ˆ E na ˆ 6. S S Est relción es importnte, unue se h erio pr un conensor e plcs prlels, es plicle en toos los csos. Si en l ecución 6. se reemplz l ecución 6.7 se otiene: D na ˆ S 6. Que es l ley e Guss pr el ector esplzmiento eléctrico y es plicle cuno hy ieléctricos. Desrrollno l ecución 6. pr l gussin e l figur 6.5, se tiene ue: D σ
p. 6: onensores y ieléctricos 6 En form generl l ecución 6.6 y 6. son e liez generl y puee etenerse conuctores e culuier form. En generl pr culuier conuctor, l ensi e crg se puee escriir como: σ D nˆ D cosθ 6. Done θ es el ángulo formo por el ector norml l superficie y el ector esplzmiento eléctrico. Ejemplo 9. n esfer conuctor e rio R, ue tiene un crg, se introuce en un ieléctrico líuio e constnte ieléctric como se muestr en l figur 6.6. uál es l fuerz ue ejerce sore un crg puntul situ en el líuio un istnci r el centro e l esfer?. Figur 6.6 Se construye un superficie gussin e rio r, como en l figur. De l ecución 6. y coniciones e simetrí se tiene: Pero 4 r D D na ˆ DA D4π r S 4π r y D D E 4 π r π es l intensi el cmpo eléctrico E ue prouce en el cío ls crgs lires e l esfer; o se, fuerz sore l crg es E E F E E 4π r, e moo ue el efecto el ieléctrico es reucir l crg net por el fctor. s propiees el esplzmiento D permite hllr el cmpo en l crg, sin tener ue clculr preimente l crg e polrizción P. 6.9 ENERGIA AMAENADA EN N ONDENSADOR ARGADO. El proceso e crgr un conensor consiste en el pso e crg ese l plc e menor myor potencil y reuiere, por tnto, consumo e energí. Se supone ue el proceso e crg comienz con
p. 6: onensores y ieléctricos 6 ms plcs escrgs, y ue espués se sc repetimente peueñs crgs positis e un e ells y se ps l otr. En un tiempo t h pso un crg t e un plc l otr. iferenci e potencil t entre ls plcs es t/. Pr incrementr l crg en un cnti, l cnti e trjo necesri pr llerl reuiere un trjo icionl o por: W Si se continú el proceso hst crgr completmente el conensor con un crg, el trjo reuerio pr ello es: W 6.3 Que ue como energí lmcen en el conensor y es euelt, e orinrio, en form e chisp, cuno el conensor se escrg. n conensor crgo es el euilente eléctrico e un resorte estiro, cuy energí potencil elástic es igul /K. crg es nálog l elongción, y /, l constnte elástic K. Tmién, se puee escriir l energí lmcen en el conensor cuno se reemplz en l ecución 6.3 sí: 6.4 uno entre ls plcs e un conensor se introuce un ieléctrico, l energí lmcen en él es moific por l presenci e este. energí ntes e introucir el ieléctrico es: Después e colocr el ieléctrico entre ls plcs el conensor, se tiene: y, por consiguiente, o y 6.5 6.6 energí espués e introucir el ieléctrico es menor en un fctor /. energí Fltnte es fácil e comprener pr el gente eterno ue introuce el ieléctrico entro el conensor. El conensor ejerce un fuerz sore el ieléctrico y reliz trjo sore él, en l cnti e W 6.7 Si el ieléctrico se introuce sin ningún esfuerzo y si no hy péris por fricción, el ieléctrico oscil e un lo l otro entre ls plcs el conensor. Ejemplo. n conensor e plcs plns prlels con un áre A y un seprción. n terí crg ls plcs comunicánoles un iferenci e potencil. Entonces se esconect l terí, y se introuce un loue ieléctrico e espesor y constnte ieléctric como se muestr en l figur 6.7.
p. 6: onensores y ieléctricos 6 Hllr, como función e, l cpcitnci euilente el sistem, l energí el sistem, c l fuerz ejerci sore el loue y l fuerz promeio necesri pr introucir too el loue ieléctrico. Figur 6.7 Pr l situción e l figur 6.7 hy os conensores en prlelos con un cpci euilente por: A Se oser ue cuno, y cuno,. energí potencil pr l configurción mostr, en términos e es: o c En l figur 6.7 se muestr como se proucen ls fuerzs sore l plc ieléctric en función e l trcción entre l crg lire e ls plcs y ls crgs superficiles inucis ue precen en el ieléctrico cuno este se introuce en el conensor. Pr ue el ieléctrico penetre sin celerción hy ue sostenerlo con un fuerz como se muestr en l figur. Esto signific ue se tiene ue hcer trjo negtio sore el ieléctrico, o, consierno l iners, ue el sistem conensor ieléctrico tiene ue hcer trjo positio. Este trjo pr introucir el ieléctrico un cnti en el conensor es el o por. Por lo tnto l fuerz pr culuier posición lo lrgo e es: k F F fuerz promeio pr introucir completmente el conensor entre ls plcs se puee hllr e os mners, ser:
p. 6: onensores y ieléctricos 63 Directmente e l ecución 6.7 como: Entonces l fuerz promeio es: F W prom F prom W Se hll usno el resulto otenio en c y e l efinición e F prom, como: k Fporm F Hcieno u y u, se tiene ue F prom u u u u F prom omo er e esperrse. Hst hor se h socio l energí e un conensor con l energí potencil e sus crgs, otro punto e ist es triuir est energí l cmpo eléctrico ue eiste entre ls plcs. Así, por ejemplo, cuno se ument o en ls ecuciones 6.3 y 6.4, ument tmién el cmpo eléctrico E; cuno y len cero, tmién E le cero. En generl l cpcitnci e un conensor e plcs prlels, con ieléctrico como en l figur 6.5, es A A El potencil eléctrico entre ls plcs el conenso, es E energí lmcen en este conensor est por A E E A E A 6.8 Done A es el olumen el espcio comprenio entre ls plcs. Así pues, l ensi e energí u, ue es l energí por uni e olumen, si no se hn tomo en cuent ls irregulries en los ores, es uniforme en el olumen y está por
p. 6: onensores y ieléctricos 64 u olumen E A A u E E 6.9 Est ecución, unue se erió pr un conensor e plcs prlels se puee plicr e form generl pr toos los csos en one eist un cmpo eléctrico ecución 6.9 se puee epresr en términos el ector esplzmiento sí: E. r u E E D E D Ejemplo. n conensor esférico está conformo por un esfer concéntric un cscron esférico e rios y respectimente como se muestr en l figur 6.8, con y. Hllr l energí electrostátic lmcen en el conensor. cpcitnci e ese conensor. c uál es el rio R e un superficie esféric entro el conensor tl ue uee l mit e l energí lmcen?. r Figur 6.8 A culuier istnci ril el centro e l esfer y pr l superficie gussin mostr por línes interrumpis en l figur el cmpo eléctrico E es: E 4π r ensi e energí culuier istnci ril r se otiene e l ecución 6.9, con k, o se, u E 3π r 4 energí ue hy en un cscron esférico entre los rios r y rr es: 4 r r u π 8π r r
p. 6: onensores y ieléctricos 65 energí totl lmcen en el conensor es: r r 8 8 π π 8π cpcitnci e este conensor esférico se hll igulno l ecución 6.3 con l energí encontr en el numerl nterior sí: 8 π 4 π 4π c ½ e l energí oteni en se igul l energí entre y R como: 8 6 R r r π π ; R R R R De one se otiene, espués e hcer lguns operciones, R