CAPÍTULO Aplicciones de l integrl. Momentos centro de un ms.. Centro de ms de un sistem unidimensionl Considerr el sistem unidimensionl, tl como se muestr en l siguiente figur, formdo por un vrill (de ms desprecible) ls mss m & m. m 60 kg m 90 kg d 0:6 m A d 0:4 m Como se puede precir, l vrill tiene un longitud de un metro se encuentr pod en el punto A. En un etremo se encuentr l ms m en el otro l ms m un distnci de 0:6 m 0:4 de A, respectivmente. L vrill se encuentr en equilibrio lo cul implic que se cumple:.m /.d /.m /.d / (le de l Plnc) Se dice que el punto A sobre l vrill es el centro de ms del sistem unidimensionl formdo por ls mss l vrill. Cundo se tiene un ms en cd uno de los etremos de un vrill, cómo se determin el centro de ms del sistem? En otrs plbrs, dónde debe estr el punto sobre l vrill pr que se logre el equilibrio del sistem?. cnek.zc.um.m: / / 0
Cálculo integrl Considérese el eje horizontl como eje de referenci l vrill lo lrgo de este, como se muestr en l siguiente figur: m d d m Tl como se indicó nteriormente, pr que el sistem en cuestión se encuentre en equilibrio se debe cumplir:.m /.d /.m /.d / ).m /. /.m /. /: e est últim iguldd se puede despejr que represent el centro de ms del sistem, es decir, m m m m ) m C m m C m ) ) m C m m C m : Si se tiene un sistem unidimensionl formdo por ls mss m, m, m ubicds en,,, respectivmente, l epresión pr clculr el centro de ms es l siguiente: m C m C m m C m C m : Ejemplo.. Encontrr el centro de ms del siguiente sistem. 0 m 0 kg m 5 kg m 0 kg 9 H En este ejercicio, el centro de ms del sistem formdo por ls tres prticuls se obtiene l utilizr l informción conocid en l epresión: Esto es: m C m C m m C m C m :.0/./ C.5/./ C.0/.9/ 0 C 5 C 0 5:8 : Generlizndo, si se tiene un sistem formdo por un conjunto de n prtículs con mss m ; m ; m ; : : : ; m n, ubicds sobre un eje de referenci en los puntos ; ; ; : : : ; n, respectivmente, el centro de ms del sistem se clcul con l epresión: m C m C C m n n m C m C C m n m i i : m i
. Momentos centro de un ms Cd uno de los términos m i i del numerdor se conoce como el momento de l ms m i con respecto del origen. En este sentido el numerdor represent l sum de cd uno de los momentos. M m i i : A M se suele llmr momento del sistem con respecto del origen. Por otr prte, el denomindor de l epresión represent l ms m totl del sistem, esto es: Considerndo lo nterior: m m i : m i i m i M m :.. Centro de ms de un sistem bidimensionl Considerr ls mss, representds puntulmente en el plno, que se muestrn en l siguiente figur: 4 m m P m 4 Considere tmbién que m m m kg. En este cso se trt de un sistem bidimensionl cuo centro de ms es el punto P con coordends.; /. En el cso de un sistem bidimensionl, un ms m tiene un momento con respecto cd eje. m El momento de l ms m con respecto l eje es M.m/. /:
4 Cálculo integrl El momento de l ms m con respecto l eje es M.m/. /: Pr el cálculo de ls coordends & del centro de ms del sistem, se procede de l siguiente mner: momento del sistem con respecto l eje ms del sistem m C m C m m C m C m m i i m I i momento del sistem con respecto l eje ms del sistem m C m C m m C m C m m i i m : i Considerndo lo nterior:././ C./.4/ C././ C C././ C././ C./.4/ C C :I 8 :6: Pr un sistem formdo por un conjunto de n prtículs con mss m, m, m, : : :, m n ubicds sobre un plno de referenci en los puntos. ; /;. ; /;. ; /; : : : ;. n ; n /, respectivmente, el centro de ms del sistem es el punto P sobre el plno con coordends &, ls cules se clculn con ls siguientes epresiones: momento del sistem con respecto l eje ms del sistem M M m i i m i I momento del sistem con respecto l eje ms del sistem M M m i i : m i Un lámin pln delgd como l mostrd en l figur, represent un sistem bidimensionl: El punto P es su centro de ms. Si l lámin está suspendid del punto P, estrí blnced horizontlmente. En este sentido, se consider que el centro de ms de l lámin es su punto de equilibrio. 4
. Momentos centro de un ms 5 El punto P es donde se concentr l fuerz de grvedd, esto es, l fuerz de trcción que eperimentn lo objetos debid l grvedd. Es por esto por lo que tmbién este punto es llmdo centro de grvedd. Un lámin rectngulr con ms m densidd constnte tiene su centro de ms en el centro de l figur. Se trt de un sistem bidimensionl cuo centro de ms es el punto P, con coordends.; /. P.; / M m.m/. / I m M m.m/. / : m A continución se describe cómo hllr el centro de ms de un plc delgd de form irregulr. Considerr l plc con densidd constnte que se muestr continución en el plno : f./ cm b Como se puede puede precir, l plc está delimitd por ls rects, b, 0 por l gráfic de l función f./ [continu en.; b/]. Cómo clculr ls coordends & del centro de ms (cm) de l plc? Pr resolver este problem se divide l superficie de l lámin en n frnjs verticles de igul nchur. Observr un de ests frnjs mostrd en el siguiente plno: f. i / i i Centro de ms de l frnj. El centro de ms de l frnj verticl, con coordends i & i, se encuentr en el centro de est. El ncho de l frnj es su longitud, f.i /. Entonces: Áre de l frnj: Ms de l frnj: i A f. i /I i m i A f. i /: 5
6 Cálculo integrl Pr un número n de frnjs verticles, l ms M de l plc es M f.i /: Se obtiene un mejor proimción de M si el número n de frnjs tiende infinito ls tienden cero. Esto es: M lím f.i /: Por lo estudido nteriormente: n! M El momento de l frnj con respecto l eje es el momento de l lámin con respecto l eje es Tmbién: M lím f./d: i im i f. i /I M n! El momento de l frnj con respecto l eje es i im f. i / el momento de l lámin con respecto l eje es Como en ls eplicciones nteriores: M lím i f. i /: i f. i / f./d: i m f. i / f.i / Œf. i / I M n! Œf. i / : b Œf. i / Œf./ d: Por último, ls coordends & del centro de ms de l lámin con densidd constnte son M M M M f./d I f./d Œf./ d f./d : (.) Ejemplo.. eterminr el centro de ms de un plc delgd con densidd constnte, cu superficie está delimitd por f./ C 6 5 el eje del plno crtesino ( 0). 6
. Momentos centro de un ms H Pr resolver este problem, se plicn ls epresiones (.) obtenids nteriormente pr el cálculo de ls coordends & del centro de ms de un sistem bidimensionl. L región ocupd por l plc delgd se present en l figur siguiente: C 6 5. /. 5/ 5 Ls coordends del centro de ms son:. C 6 5/ d. C 6 5/ d. C 6 5/ d. C 6 5/ d. C 6 5/ d. C 6 5/ d ( 4 ) 4 C 5 5 ( ) 5 C 5. C 6 5/ d. C 6 5/ d 5 5 8 5 :6: : Z 5. C 6 5/ d. C 6 5/ d. C 6 5/ d. C 6 5/ d Centro de ms :6 5.. Centro de ms de un plc delimitd entre dos curvs Considermos que se tiene un plc delgd que ocup un región en el plno delimitd por l gráfic de dos funciones, tl como se muestr continución:
8 Cálculo integrl f./ Centro de ms de l frnj i g./ i b Observmos que el ncho de l frnj mostrd es i su lrgo es f.i / siguiente: g. i /. Se tiene entonces lo Áre de l frnj: i A [ f. i / g. i /] I Ms de l frnj: i m i A [ f. i / g. i /] : Es importnte observr: i f. i / C g. i / : Considerndo lo nterior, l ms de l plc es M Œf./ g./ d: El momento de l plc con respecto l eje es M Œ.f./ g.// d Œf./ g./ d: El momento de l plc con respecto l eje es M [ f./ C g./ ] Œ.f./ g.// d [ f./ g./ ] d: Por lo tnto, ls coordends del centro de ms son M M M M Œf./ g./ d I Œf./ g./ d [ f./ g./ ] d : Œf./ g./ d Ejemplo.. eterminr ls coordends & del centro de ms de un lámin pln delgd con l form de l región pln delimitd por ls gráfics de ls funciones f./ & g./. H L región delimitd por ls dos funciones se muestr continución. 8
. Momentos centro de un ms 9 f./ g./ 0 En este cso f./ g./ en Œ0;. Ls coordends & del centro de ms son M M ( ( Z Z [ b Œf./ g./ d 0 Z [ Œf./ g./ d 0 4 ) 4 8 0 ) 4 49 98 :5: 6 0 ] Z d [ ] d 0 ] Z [ ] d d 0 [ Z ( ) Z b [ M f./ g./ ]./ d ] d 0 M Z [ Œf./ g./ d ] d 0 ( 5 ) 4 5 49 0 ( ) 5 4 6 49 49 5 :8: 6 0 Z [ 4 ] d 0 49 Z [ ] d 0 Ejercicios.. Momento. Soluciones en l págin. Encontrr el centro de ms del sistem formdo por tres mss representds puntulmente sobre l rect `: m 0 kg m 5 kg m 0 kg 5 0 `. Encuentre el centro de ms del sistem formdo por ls mss puntules m kg, m kg, m kg & m 4 5 kg que se encuentrn loclizds en un plno crtesino, en los puntos P. ; /; P.; /; P.; / & P 4. ; /, respectivmente. 9
0 Cálculo integrl m m m 4 m. Pr l lámin que se muestr en l figur (con densidd constnte), determinr ls coordends de su centro de ms. f./ 0 0 4. etermine ls coordends del centro de l región delimitd por ls curvs, 6 & 0. 5. Encontrr el centro de ms. N; N/ de un lámin de densidd uniforme delimitd por ls gráfics de f./ & g./. 6. Encontrr el centro de ms. N; N/ de un lámin de densidd uniforme delimitd por ls gráfics de f./ & g./ p.. Encontrr el centro de ms de un plc semicirculr de rdio 5 (plc con densidd uniforme). 8. Pr un lámin con densidd constnte, cotd por l gráfic de ls funciones f./ 5 C & g./ C 5 C, encontrr el centro de ms. 9. Considerr un lámin con densidd constnte cotd por l gráfic de ls funciones f./ e & g./ en el intervlo Œ0;. Encontrr el centro de ms de l lámin. 0. Encontrr el centro de ms de un lámin (con densidd [ uniforme) delimitd por l gráfic de ls funciones f./ sen & g./ cos en el intervlo 0; ]. 4 0
. Momentos centro de un ms Ejercicios.. Momento. Pregunts, págin 9... 4 ; 8.. N 5 4 ; N 5 p 5 4. :; :4. 5. N ; N 6 5.. 6. N 9 0 ; N 9 0.. N 0; N 0. 8. N :5; N. 9. N C e e ; N e4 5 4 `e. 0. N p 4 p ; N 4 p. 4