UNIDD 9.- Sistes de ecucioes lieles UNIDD 9: Sistes de ecucioes lieles. SISTEMS DE ECUCIONES LINELES U siste de ecucioes lieles co icógits es tod epresió del tipo:.. Llos: - Coeficietes del siste los úeros reles ij - Térios idepedietes los úeros reles i - Icógits los j que dee ser clculdos Resolver u siste es ecotrr ls posiles solucioes del iso, es decir, los vlores que puede tor ls icógits de er que se verific siultáeete ls ecucioes. Direos que dos sistes de ecucioes so equivletes si tiee ls iss solucioes. Ejeplos de sistes de ecucioes: ) es u siste liel de ecucioes co icógits. Tiee u úic solució que es ) es u siste liel de ecucioes co icógits. No tiee solució. c) es u siste liel de ecucioes co icógits. Tiee ifiits solucioes que so de l for: co R TIPOS DE SISTEMS DE ECUCIONES EN FUNCIÓN DE SUS TÉRMINOIS INDEPENDIENTES ) Hoogéeos: Todos los térios idepedietes so ulos. es u siste hoogéeo ) No hoogéeos: lguo de los térios idepedietes es o ulo
UNIDD 9.- Sistes de ecucioes lieles es u siste o hoogéeo TIPOS DE SISTEMS DE ECUCIONES EN FUNCIÓN DE SUS SOLUCIONES ) Icoptiles: So quellos que o tiee solució es u siste icoptile. ) Coptiles: So quellos que tiee solució Coptiles deteridos: Cudo l solució es úic. es coptile deterido. Su úic solució es Coptiles ideteridos: Cudo tiee ifiits solucioes. es coptile ideterido. Sus solucioes que so de l for: co R. EXPRESIÓN MTRICIL DE UN SISTEM DE ECUCIONES U siste de ecucioes.. se puede epresr tricilete de l siguiete for: l tri se le ll tri de coeficietes o pricipl. l tri colu X se le ll tri o vector de ls icógits
UNIDD 9.- Sistes de ecucioes lieles l tri colu B se le ll tri o vector de térios idepedietes. De er reducid podeos otr el siste de ecucioes de for tricil sí: B X Ejeplo : Ddo el siste, su epresió tricil es: EXPRESIÓN VECTORIL DE UN SISTEM DE ECUCIONES U siste de ecucioes.. se puede epresr vectorilete de l siguiete for:, es decir de l for, B dode ls j so ls colus de l tri de coeficietes. Ejeplo. El siste se poe de for vectoril coo:. TEOREM DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS Ddo u siste de ecucioes.., deás de l tri de coeficietes que es de diesió, podeos cosiderr otr tri de diesió ), que result de ñdir l colu de térios idepedietes l tri de coeficietes. est tri l llreos tri plid del siste se ot por
UNIDD 9.- Sistes de ecucioes lieles Teore de Rouché-Fröeius: Ddo u siste de ecucioes, se tiee que: El siste es coptile rgo ) = rgo ) Cosecuecis del Teore de Rouché-Fröeius: : Si rgo ) rgo ), etoces el siste es icoptile : Si rgo ) = rgo ) = º de icógits ), etoces es u siste coptile deterido : Si rgo ) = rgo ) < º de icógits ), etoces es u siste coptile ideterido Ejeplo : Estudir o discutir el siguiete siste de ecucioes: Cosideros l tri de coeficietes l tri plid Epeos clculdo el rgo de : Meores de orde : Sólo h uo que es el deterite de = pr recordr lo hceos hciedo ceros desrrolldo, hceos F F F F ) = ) = rgo) = Clculos hor el rgo de : Meores de orde : Si os fijos es u sutri de, por tto el rgo ) rgo ) siepre, por tto e este cso rgo ). deás coo es de diesió, teeos que rgo ), sí rgo ) =. Etoces, rgo ) = rgo ) = = º de icógits, por el teore de Rouché-Fröeius, se trt de u siste coptile deterido tiee u úic solució) Ejeplo : Clsificr el siguiete siste de ecucioes depediedo del vlor del práetro : Teeos l tri de coeficietes l tri plid. Estudireos el rgo de e fució del práetro
UNIDD 9.- Sistes de ecucioes lieles Epeos clculdo el deterite de que es el or eor de orde de, pues ést es cudrd. = = Igulos, Co estos resultdos teeos posiiliddes o csos:, CSO : Coo rgo) = pues el or eor o ulo es el deterite de l propi. deás coo l tri plid,, es de diesió, es u sutri su, oviete teeos que rgo) = Por tto, cocluios que e este cso coo rgo) = rgo) = =º de icógits se trt de u siste coptile deterido por el teore de Rouché-Fröeius CSO : Lo priero que hceos es sustituir el vlor e el siste e ls trices socids Coo podeos oservr fácilete e el siste de ecucioes, l E l E so icoptiles pues os idic que =, por tto se trt de u siste icoptile. De tods ers vos hcerlo edite rgos plicdo el teore de Rouché-Fröeius. Coo teeos que por tto rgo) <. Todo e el eor de orde, deducios que rgo ) = tié se ve clrete que ls fils F F so igules por tto u de ells l podeos supriir el rgo)=) E, coo eor de orde teeos veos cuáto vle los deás de orde pr ver si h lguo o ulo. rgo) = Teeos que rgo) = rgo) = por el teore de Rouché-Fröeius, se trt de u siste icoptile CSO : Lo priero que hceos es sustituir el vlor e el siste e ls trices socids Coo podeos oservr fácilete e el siste de ecucioes, l E l E so l is por tto podeos reducir el siste otro equivlete co sólo dos ecucioes estudir e éste su coptiilidd. sí ls trices que os qued so, que oviete
tiee rgo por teer sólo dos fils ésts o ser proporcioles si queréis hcerlo por eores st tor el eor ) sí que rgo) = rgo) = < º de icógits = se trt de u siste coptile ideterido por el teore de Rouché-Fröeius.. RESOLUCIÓN DE SISTEMS. REGL DE CRMER. Método de Guss Este étodo es u geerlició del étodo de reducció cosiste e hcer opercioes etre ls ecucioes pr covertirlo e u siste trigulr que result u fácil de resolver. Veos co u ejeplo coo fucio: Ejeplo : Resolver el siste siguiete por el étodo de Guss perutos l E co l E ) efectuos ls opercioes E E E E pr hcer ceros e ls ) siplificos l E por -) ) efectuos l operció E E ) Co esto teeos el siste triguldo sólo rest ir resolviedo de jo hci rri v sliedo l solució. De l tercer ecució es evidete que De l segud sustituedo el vlor oteido teeos que Por últio, sustituios e l prier ecució, ) L solució es: B. Método de l tri ivers Se trt de poer el siste e for tricil cudo teeos u siste coptile deterido podeos clculr l ivers de l tri de coeficietes co ello despejr ls icógits directete. E el ejeplo terior teíos el siste, que e for tricil se escrie X = B, dode, X solució es C. Regl de Crer B, clculdo l ivers de, si l tiee, teeos que. Os dejo vosotros clculr l ivers hcer el producto ver que l Se plic e sistes coptiles deteridos, uque tié lo usreos e sistes coptiles ideteridos. 6 UNIDD 9.- Sistes de ecucioes lieles
UNIDD 9.- Sistes de ecucioes lieles Coo se trt de sistes coptiles deteridos, l tri de coeficietes es cudrd tiee rgo áio, o se,. Cd icógit se otiee del cociete etre: - El deterite que result de sustituir l colu de l icógit correspodiete por l colu de los térios idepedietes. - El deterite de Ejeplo : Resolver por Crer, si es posile el siguiete siste:. Teeos que rgo)==rgo)=º de icógits, se trt de u SCD lo resolveos por Crer: 6 ; Ejeplo 6: Resolver por Crer el siste Clculos Por tto, por lo de siepre es u SCD. Psos resolver por Crer 6 9 Que coo veos coicide co ls solucioes oteids e el ejeplo de resolució por Guss Ejeplo : Resolver por Crer el siguiete siste: Es fácil ver que se trt de u SCI siste coptile ideterido) pues rgo) = rgo) = < º de icógits. Bst cosiderr el eor Lo que hceos es pretrir u de ls icógits, e cocreto, quell o quells, que o heos usdo e el eor pr clculr el rgo. E este cso hceos rehceos el siste:
UNIDD 9.- Sistes de ecucioes lieles ) Y podeos plicr Crer ls solucioes e será e fució del práetro ) Podeos terir diciedo que ls ifiits solucioes del siste coptile ideterido so: co R Not: El siste ) lo podéis resolver por otro étodo, coo Guss por ejeplo. Ejeplo : Resolver el siguiete siste cudo se coptile: Este siste es el iso del ejeplo, luego teiédolo e cuet seos que: ) Si, es u SCD plicos Crer directete pr clculr ls icógits: = ) = ) ) = = ) ) = ) ) ) ) Ojo, este vlor o práetro o es lo iso que cudo resolveos u SCI. quí pr cd vlor de, teeos u SCD que tiee u úic solució, es l que heos clculdo tes. Por ejeplo, si, l solució será:,,
UNIDD 9.- Sistes de ecucioes lieles 9 ) Si, es u SCI os quedos co sólo ls ecucioes que er lielete idepedietes: E este cso o podeos hcer pues os quedrí el siste etoces lo cul es surdo. Deeos tor coo práetro ó, pr que podos plicr Crer. El siste os qued hciedo. Resolveos por Crer teeos: Ls solucioes so de l for: co R ª for: Vos resolverlo por Guss hceos E E ) De l E resultte, teeos que Sustituios e l E, pr clculr : os result ls iss solucioes: co R
. SISTEMS HOMOGÉNEOS Los sistes hoogéeos so quellos e los que todos los térios idepedietes so ulos. So de l for:.. Estos sistes siepre so coptiles puesto que l eos tiee u solució, lld solució trivil, es quell e l que tods ls icógits vle, es decir, i pr todo i. L coptiilidd tié es evidete por el teore de Rouché-Fröeius pues l tri plid es de oligtoriete. E estos csos, el teore de Rouché-Fröeius qued reducido : - Si rgo) = º de icógits se trt de u SCD - Si rgo) < º de icógits se trt de u SCI Ejeplo 9: Resolver el siste que coo veos tiee u colu de ceros su rgo será igul l Teeos que rgo) = = º de icógits Por el teore de Rouché-Fröeius teeos que es u SCD solució úic), coo seos que l ser hoogéeo tiee l solució trivil, etoces ést h de ser l úic UNIDD 9.- Sistes de ecucioes lieles