Números reles NÚMEROS REALES NÚMEROS RACIONALES RELACIÓN DE ORDEN NÚMEROS IRRACIONALES RADICALES APROXIMACIONES TRUNCAMIENTO REDONDEO POR EXCESO ERRORES EN LA APROXIMACIÓN 8
Mi desconocido migo L misiv precí urgente y el generl Pernety, l que le uní un profund mistd con Sophie Germin, dejó un ldo sus despchos y ordenó su yudnte que hicier psr su mig. Trs tomr mbos siento, el generl comenzó hblr: Ahor, Sophie, cuéntme qué es eso tn importnte. L gitción volvió l mujer que, con voz nervios, comenzó hblr de mner tropelld: No permits que le pse lo mismo que Arquímedes! L guerr no respet ndie y él no h hecho ningún ml; su pérdid serí irreprble. De qué hbls? l interrumpió el generl. No entiendo nd. L guerr con Prusi! El ejército imperil invdirá l ciudd de Brunswick y llí vive un sbio que nd sbe de guerrs, se llm Guss. Protégelo cundo tus trops entren en l ciudd! Trnquil, me encrgré de que ningún ml le suced tu migo. Tiempo después, trs l cmpñ, de vuelt en Prís el generl Pernety volvió reunirse con Sophie: Estrás content, cumplí tu encrgo; sin embrgo, hubo lgo muy extrño, pues cundo le dije quién er su benefctor, él seguró no conocerte. Los mtemáticos son muy rros! Sophie sonrió, le dio ls grcis y le explicó que solo conocí Guss por correspondenci y que ell firmb sus crts con otro nombre: Le Blnc. En un de ess crts precen los números primos de Germin, son los números primos tles que su doble más un unidd tmbién es un número primo. Encuentr 0 números primos de Germin. Los primeros 0 números primos de Germin son:,,,,, 9,,, 8 y 89 + = + = 0
Números reles EJERCICIOS 00 Consider ls ríces cudrds de los números nturles desde hst 0, indic cuáles de ells son números rcionles y cuáles son números irrcionles. Son rcionles: =, =, 9 = y =. El resto son números irrcionles, porque no son cudrdos perfectos. 00 Escribe cutro números irrcionles, explicndo por qué lo son.,, y son irrcionles, porque no son cudrdos perfectos. 00 Indic de qué tipo son los números. ), 0,80 ) Rcionl, periódico puro. Rcionl, deciml excto. Irrcionl. 00 Rzon si ests firmciones son cierts. ) L sum de dos números irrcionles es siempre un número irrcionl. L ríz cudrd de un frcción es un número irrcionl. ) Es flso, por ejemplo: + y + + = 8 Es flso, cundo el numerdor y el denomindor son cudrdos perfectos. 9 = 00 Represent los siguientes números reles. ),,, π F F F G 0, 00 Hll con l clculdor los números, y 0, y represéntlos de mner proximd en l rect. 0 F F 0 G 0
SOLUCIONARIO 00 Observ est rect rel y escribe. A B C D 0 ) Dos números enteros entre A y C. Tres números rcionles no enteros entre B y C. Tres números irrcionles entre C y D. ) 0 y 0,; y 0,, y 008 Sc fctor común, oper y simplific l expresión resultnte. ) + + 0+ + 90 ) + = + = = + = + = 0 = 0 0 90. 890 9 + + = ( + + 90) = = 009 Clcul el opuesto y el inverso de los siguientes números reles. ) 0, e) π f) 8 8 ) Opuesto: Inverso: Opuesto: Inverso: 8 Opuesto: Inverso: e) Opuesto: Inverso: 0 Opuesto: 0, Inverso:, f) Opuesto: π Inverso: = π 00 Clcul el inverso de 0,0. 0 0, 0 = = 990 0, 0 990 0
Números reles 0 Expres medinte intervlos el conjunto de números reles que verificn que: ) Son menores que. Son myores que 0. Son menores o igules que. Son myores o igules que. ) (0, + ) +,,, 0 Represent sobre l rect rel y usndo l notción mtemátic. ) { x, x } { x, x< } { x, x> } { x, < x< 9} ) (, ] (, + ) [, ) (, 9) 0 8 8 9 0 0 Expres como intervlo estos conjuntos numéricos. ) x < x < x ) (, ) No tiene solución. (, + ) 0 Hll ls proximciones de,9 ls centésims y ls milésims, por defecto y por exceso. Decide cuál de ells es el redondeo. Centésims Milésims Defecto,, (redondeo) Exceso, (redondeo), 0 Aproxim ls centésims por truncmiento y por redondeo. ),8,9 e),,0,8 f), ) e) f) Redondeo Truncmiento,8,,,0,,,9,9,9,8,,,,,,,,
SOLUCIONARIO 0 Un profesor decide redonder ls nots de 0 lumnos. Qué nots les pondrá?,8, 9,,,8 8, 9,,,8, Les pondrá ests nots:,, 0,,, 8, 0,, y. 0 Clcul l digonl de un rectángulo cuyos ldos miden 8 cm y 0 cm. Qué clse de número se obtiene? Redonde el resultdo ls milésims. Es un número irrcionl: d= 8 + 0 =, 80 08 Obtén el error bsoluto y reltivo cometido: ) Al redonder, ls milésims. Al truncr, ls diezmilésims. Al redonder ls centésims. Al truncr ls décims. e) Al proximr por defecto, ls milésims. ) E =,, =0 E r =,,, = 0 0 % E =,, =0,0000 E r =,,, = 0, 00009 0,009 % E =, =0,008 E r =, = 0, 008 0, % E 0,00 = 0, = 0, E 0,009 r = = 0,99 % e) E =,, =0,000 E r =,,, = 0, 0009 0,0 %
Números reles 09 L cntidd de ntibiótico en un cápsul es de, g ± 0, %. ) Qué signific est firmción? Entre qué vlores oscil l cntidd de ntibiótico en cd cápsul? ) Signific que un cápsul contiene, grmos, con un error reltivo del 0, %. 0,, 0, 0, % de, = = = 0, 00 00 00 L cntidd oscil entre: (, 0,00;, + 0,00) = (,9;,0) 00 Escribe dos proximciones de, que tengn el mismo error reltivo. Por ejemplo, ls proximciones, y,. 0 Trnsform ls potencis en ríces. ) =.09 ( ) = = ( ) 8 = ) =. 09 = = 8 = 0 Clcul el vlor numérico, si existe, de los siguientes rdicles. ) 8 00 ) y No existe. 0 Hll, con l clculdor, el vlor numérico de ests expresiones. ) + ( ) ) +,989 =,989,89 =,88 No existe. 0 Pon dos ejemplos de rdicles cuys ríces sen y. Existe un rdicl con ríces y? Ejemplos: 9 y 8 No es posible que un rdicl teng como ríces y, y que en el cso de tener dos ríces, ests deben ser opuests.
SOLUCIONARIO 0 Expres ls siguientes potencis como rdicles y hll su vlor numérico. ) e) ( ) ( ) f) ( ) ) =, 80989 no existe. =,990 e) =,80 f) =,88 ( ) =,99 0 D dos rdicles equivlentes cd uno. ) 0 0 9 ) y 8 y 0 y 0 0 Rzon si son equivlentes estos rdicles. 0 ) y y 0 y y 0 ) = Equivlentes No equivlentes 0 No equivlentes = = Equivlentes 08 Expres en form de potenci. ) x xy x x x x ) ( xy ) x = ( 8x) 09 Compr los siguientes rdicles., y 0 = 0 = 0 = 0 < < 00 Simplific estos rdicles. ) ) b b b
Números reles 0 Introduce fctores dentro del rdicl. ) ) = = 8 =. 9 = 0 0 Simplific, si es posible. ).. 0 ) = 0 = = 0 Oper y simplific. ) + + ) + = + = =. 8 = = 0 0 Clcul. ( ) ) 9 ) = = = = ( ) ( ) = = 8 = = 8. 8 0 Hz est operción. 9 9 ( ) + 9 9 ( ) + = + = = = 9
SOLUCIONARIO ACTIVIDADES 0 0 08 09 00 Rzon cuáles de los siguientes números decimles son rcionles y cuáles son irrcionles. ), e),, f),, g),, h), ) Rcionl, periódico puro. e) Rcionl, periódico mixto. Rcionl, deciml excto. f) Rcionl, periódico puro. Irrcionl. g) Rcionl, periódico mixto. Irrcionl. h) Rcionl, deciml excto. Indic cuáles de los números son rcionles y cuáles son irrcionles. ) 0 g) 9 e) h) f) i) Son rcionles los números de los prtdos y h), y el resto son irrcionles. Averigu cuáles de los siguientes números son rcionles y cuáles son irrcionles. ) + 9 e) 8+ 0 f) Son rcionles los números de los prtdos, e) y f). Son irrcionles los números de los prtdos ), y. Escribe tres números rcionles y otros tres irrcionles. Explic cómo lo relizs. Los números rcionles son el resultdo de frcciones de números enteros; por ejemplo:,;, y,09. Los números irrcionles son números cuy prte deciml no tiene período; por ejemplo:, ;, ;, Escribe un número irrcionl comprendido entre: ) y 0, y 0, 0, y 0,, y, ), 0,0 0,,0000000000
Números reles 0 Clcul y determin qué tipo de número es, en un triángulo equilátero: h ) L ltur, si el ldo mide 0 cm. El áre, si el ldo mide cm. L ltur y el áre si el ldo mide cm. ) h= 0 = cm Es irrcionl. h= Es irrcionl. 9 h= = = cm A= = cm Son irrcionles. l = cm A= = cm 0 Orden, de menor myor, yudándote de l clculdor. + + 8 + < < < + < < 8 < + < + 0 Clsific los siguientes números reles en nturles, enteros, rcionles o irrcionles. Di de qué tipo es su expresión deciml. ), e) π g) f) h) 90 ) Rcionl, deciml excto. e) Irrcionl. Rcionl, periódico puro. f) Rcionl, periódico mixto. Rcionl, deciml excto. g) Entero. Irrcionl. h) Entero. 8
SOLUCIONARIO 0 0 Compr estos pres de números. ), y, 9 y ( ), y 9 ), >, 9 = ( ), < 9 Orden, de menor myor, los siguientes conjuntos de números reles. ),,,,...,,88,, 8, 8, 8, 8, y > ), <, <, <,, <,88 <, <, 8, < 8, < 8, < 8, 0 Clcul el inverso y el opuesto de: ) g) e)π h), f), i) 0, ) Inverso: = 0, Opuesto: Inverso: = 0, Opuesto: Inverso: = 0, Opuesto: =, Inverso: = 0, Opuesto: e) Inverso: 0 80988 Opuesto: π =,9 π =, f) Inverso: = 0, 8 Opuesto:, g) Inverso: = 0, 09 Opuesto: =, 00808 9 h) Inverso: = 0,9 0 Opuesto:, 90 i) Inverso: = 8,8 Opuesto: 0, =, 9
Números reles 0 Rzon si ls firmciones son verdders o flss. ) Hy números enteros que no son rcionles. Existen números irrcionles que no son números reles. Un número rel es rcionl o irrcionl. Culquier número deciml es un número rel. ) Fls, y que culquier número entero se puede expresr en form de frcción de números enteros: el mismo número dividido entre l unidd. Fls, pues los números irrcionles están incluidos en el conjunto de los números reles. Verdder. Verdder, porque los números decimles son rcionles o irrcionles, y todos son números reles. 08 Indic si son verdders o flss ls firmciones. Rzon tu respuest. ) Todos los números decimles se pueden escribir en form de frcción. Todos los números reles son rcionles. Un número irrcionl es rel. Existen números enteros que son irrcionles. e) Hy números reles que son rcionles. f) Culquier número deciml es rcionl. g) Un número rcionl es entero. h) Los números irrcionles tienen infinits cifrs decimles. i) Todos los números rcionles tienen infinits cifrs decimles que se repiten. ) Fls, pues solo se pueden escribir como frcción los números rcionles. Fls, y que los números irrcionles no son rcionles. Verdder. Fls. e) Verdder. f) Fls, porque los números irrcionles no son rcionles. g) Fls, y que es el cociente de dos números enteros. h) Verdder. i) Fls, pues los números decimles exctos tienen un número finito de cifrs. 80
SOLUCIONARIO 09 Reliz ls operciones, scndo fctor común. ) + + + + + + + 88 + + + + + + 9 ) ( + + + + + + + 8) = = 9 ( + + + + ) = =. + = = + 9 = = 00 Si y b son dos números reles y < b, qué sucede con sus opuestos? Y con sus inversos? Contest rzondmente. Inversos: > b Opuestos: > b 0 A qué número corresponde est representción? + = = 0 0 Utiliz el teorem de Pitágors pr representr en l rect rel estos números. ) 8 9 ) 8 0 G 0 8 G 0 8
Números reles 0 G 9 0 G 9 0 Orden, de menor myor, y represent estos números. 0, < < 0, < < < 0, F F F G G 0 0 Orden, de menor myor, y represent, de form exct o proximd., +, <, <, < < +,, F F G G 0 G + 8
SOLUCIONARIO 0 Describe y represent los siguientes intervlos en l rect rel. ) (0, 0) (, ) e) [, 0) (, ] [, ] f) [, + ) ) 0 < x < 0 < x 0 0 x < 8 x 0 e) x < 0 8 9 0 f) x 0 Escribe el intervlo que corresponde los vlores de x. ) < x< x e) x> g) x< 9 < x x< f) x h) 0 x ) (, ) (, ] e) (, + ) g) [, 9) (, ] (, ) f) [, + ) h) [0, ] 0 Expres medinte intervlos ests situciones. ) L ltur de ls css es menor que 8 m. El descuento se plic niños con eddes comprendids entre y ños, mbos incluidos. L trjet sirve pr menores de ños. L entrd es grtuit pr menores de ños o myores de ños. e) L tempertur osciló entre C y C. ) (0, 8) (0, ) (, + ) [, ] e) [, ] (0, ) 8
Números reles 08 Represent los intervlos (0, ) y (, ) en l mism rect, y señl el intervlo intersección. 0 El intervlo intersección es (0, ). 09 Represent los intervlos (, 8) y [, + ) en l mism rect, y señl medinte un intervlo los puntos que pertenecen mbos. 0 8 El intervlo intersección es [, 8). 00 Escribe dos intervlos cuy intersección se [, ]. Por ejemplo: [, ) ( 8, ] = [, ] 0 Escribe dos números rcionles y otros dos irrcionles contenidos en el intervlo [0, ]. Rcionles:, y, Irrcionles: y 0 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA EL INTERVALO QUE CONTIENE EL RESULTADO DE UNA OPERACIÓN? Si x pertenece l intervlo (, ) e y pertenece (, ), indic qué intervlo pertenece el resultdo de ests operciones. ) x+y x y PRIMERO. Se tomn los extremos de los intervlos y se oper como se indic en cd cso. Extremos inferiores Extremos superiores ) x+y + = x+y + = x y = x y = 0 SEGUNDO. Se tomn los resultdos como los extremos de los nuevos intervlos. ) x+ypertenecerá l intervlo (, ). x ypertenecerá l intervlo (, 0). 0 Si dos números reles, x e y, pertenecen los intervlos (, ) y [0, ], respectivmente, qué intervlo pertenece el resultdo de ls operciones? ) x+y x y y x x y ) (, ) (, ) (, ) (, ) 8
SOLUCIONARIO 0 Con yud de l clculdor, escribe en form deciml y sus proximciones por exceso y por defecto ls diezmilésims. =,008088909 Aproximción por exceso:, Aproximción por defecto:,0 0 0 0 Redonde ls milésims el número. Clcul sus proximciones por exceso y por defecto. Qué observs? Aproximción por exceso:, Aproximción por defecto:, Aproxim por exceso y por defecto con dos cifrs decimles. ), ) Aproximción por exceso: 0, Aproximción por exceso:, Aproximción por defecto: 0, Aproximción por defecto:, Aproximción por exceso:,0 Aproximción por exceso:, Aproximción por defecto:,09 Aproximción por defecto:, Qué precerá en l pntll de l clculdor científic, l introducir cd uno de estos números, si previmente pulsmos l secuenci de tecls necesri pr fijr decimles? Y si fijmos? ),89,8 0, e) 8,0009 8,98 f),908009 ) ) e) f) decimles decimles,89,89,898 0, 0, 0, 8,98 8,98 8,98,8,, 8,0009 8,00 8,00,908009,9080,9080 08 Escribe un número: ) Deciml periódico puro, cuyo redondeo ls milésims es,. Deciml periódico mixto, con truncmiento ls centésims 0,9. Irrcionl, cuyo redondeo ls diezmilésims se 0,00. ), 0,9 0,008 8
Números reles 09 00 Existe lgún cso en el que ls proximciones por exceso y por defecto coincidn? Y si considermos el redondeo, puede coincidir con l proximción por exceso y por defecto? Ls proximciones por exceso y por defecto coinciden cundo proximmos un orden y tods ls cifrs, distints de cero, del número son de órdenes superiores. El redondeo siempre coincide con uno de los csos nteriores; luego puede coincidir con uno o con los dos csos. Obtén el error bsoluto y reltivo cometido l redonder y truncr: ) ls centésims. 9,8 ls milésims. 0, ls décims. ) Redonder Truncr Error bsoluto 0,00 0,008 Error reltivo 0,00088 0,00088 Redonder Truncr Error bsoluto 0,000 0,0008 Error reltivo 0,00008 0,00008 Redonder Truncr Error bsoluto 0,0 0,0 Error reltivo 0 0,00999 0,0008 0 0 0 Si proximmos 0,9 por 0,, qué error se comete? Y si lo proximmos por 0,? Cuál es l mejor proximción? Por qué? Al proximr por 0,; el error bsoluto es de 0,0. Al proximr por 0,; el error bsoluto es de 0,09. Es mejor proximción 0,; y que se comete un error menor. Un proximción por defecto de 8,9 es 8,. Hll el error bsoluto y el error reltivo. Error bsoluto: 0,009 Error reltivo: 0,00098 Escribe el número en form deciml con l mínim cntidd de cifrs pr que el error se menor que centésim. 0, 0, < 0, 00 8
SOLUCIONARIO 0 Aproxim el número,, de form que el error bsoluto se menor que 0,00. Es válid culquier de ests proximciones:, o, 0 Consider el número de oro o número áureo: Φ= + =, 80 Aproxímlo por redondeo hst ls centésims, y hll el error bsoluto y reltivo. Φ, Error bsoluto: +, = 0,00900 Error reltivo: + +, = 0,00089 0 Reliz ests operciones y redonde los resultdos ls décims. Después, redonde cd número ls décims y resuelve l operción. Por qué procedimiento se comete menor error? ), + 8,, 8,9,, 0,9 :, ), + 8, =,0,, + 8, =,8 Se comete myor error redondendo cd sumndo., 8,9 =,9,, 8,9 =, Se comete el mismo error.,, =,,,, =, Se comete myor error redondendo el resultdo. 0,9 :, =,0, 0,9 :, =,98 Se comete myor error redondendo el resultdo. 8
Números reles 0 Siguiendo los psos de l ctividd nterior, hll un proximción por defecto. ), +,89,8,9,,9 00, : 8, ), +,89 = 8,99 8,, +,8 = 8, Se comete el mismo error.,8,9 = 00, 00,,8,9 = 00, Se comete myor error proximndo el resultdo.,,9 =,,,,9 =, Se comete el mismo error. 00, : 8, =,0, 00, : 8, =,09 Se comete myor error proximndo los fctores. 08 Obtén l proximción por redondeo hst ls diezmilésims. ) + + + 8 ) + =,, + =, 089, 09 = 0, 00 0, 00 + 8 =, 0909, 09 09 Qué error se comete l proximr el resultdo de,9 + 0, + 0,8 por el número 0,9?,9 + 0, + 0,8 = 0,8 E = 0,8 0,9 =0,00 080 08 Pr qué número serí., un proximción ls milésims por defecto? Es únic l respuest? Cuánts hy? L proximción es del número.,. L solución no es únic; hy infinits soluciones, tnts como números decimles que empiezn por., Se puede escribir π=? Justific l respuest y clcul el orden del error cometido. π=,9 =, 99 Es posible escribirlo, y que el error que se comete es menor que millonésim. E = π =,9,99 =0,000000 88
SOLUCIONARIO 08 08 08 Rzon si es verddero o flso. ) Si el ldo de un cudrdo es un número rcionl, l digonl es irrcionl. Si el ldo de un cudrdo es un número irrcionl, el áre es rcionl. Si l digonl de un cudrdo es rcionl, el áre es rcionl. ) Verddero, por ejemplo: Ldo = Digonl = Flso, por ejemplo: Ldo =π Áre =π Verddero, por ejemplo: Digonl = Ldo = Clcul, si es posible, el vlor numérico de los siguientes rdicles. ) 8 g) j) e). 9 h) f) 00. 000 i) 8 )± ± g) No es posible. j) ± e) ± h) f) 0 i) Indic en estos rdicles cuáles son el índice y el rdicndo. Después, expréslos como potenci de exponente frccionrio. Áre= ) e) 9 f) ) Índice:, rdicndo: Índice:, rdicndo: Índice:, rdicndo: Índice: 9, rdicndo: e) Índice:, rdicndo: f) Índice:, rdicndo: ( ) 9 ( ) 08 Trnsform los rdicles en potencis y ls potencis en rdicles. ) g) 0 j) e) h) f) i) ) f) j) e) g) h) i) 0 89
Números reles 08 De estos rdicles, cuáles son equivlentes? 0 9 8 0 0 ) e) g) i) f) h) Son equivlentes: 8 9 0 = = = 0 = 08 Extre fctores en cd uno de los siguientes rdicles. ) b 0 g) b j) b b c e) b 8 h) b k) b f) b i) l) b ) b g) b j) bc b e) b h) b k) f) b i) l) b b b b b b No tiene solución, por ser ríz pr de un número negtivo. 088 HAZLO ASÍ CÓMO SE EXTRAEN FACTORES DE UN RADICAL DESCOMPONIENDO EL RADICANDO EN FACTORES PRIMOS? Simplific el rdicl 0. 800. PRIMERO. Se fctoriz el rdicndo. 0.800 = SEGUNDO. Se expres el rdicl como potenci de exponente frccionrio. 0. 800 = ( ) = TERCERO. Si lgun de ls frcciones de los exponentes es impropi, se pone como l sum de un número entero y un frcción. + = CUARTO. Se expres como producto de potencis y se vuelve trnsformr en rdicl. + = = = = 0 = 90
SOLUCIONARIO 089 Extre fctores de ls ríces. ) 8 98 g) 8 e) h) 0 f) i). 000 0 0 ) e) f) g) 0 h) i) 090 Simplific estos rdicles. ) g) e) 8 h) 8 f) i) 8 ) e) f) g) h) i) 09 Introduce fctores en el rdicl. ) g) 0 e) h) f) i) 8 ) 0 g). 80 e) 8 h). f) i) 8 9
Números reles 09 Introduce fctores en el rdicl, si es posible. b ) e) 8 c + f) b c b 8 b ) e) b c No es posible. f) 8 b 09 Efectú ls siguientes operciones. ) + 9 8 0 + 8 ) 09 Reliz ests operciones. ) + 8 0 + 8 8 + 98 8 + ) 0 9 9 + = 8 + 8 + 8 = 9 + = 09 Oper y simplific. ) e) : g) : 8 f) : h) : ) e) g) 8 f) 0 h) 9
SOLUCIONARIO 09 Clcul. ) ( + ) ( ) ( ) e) f) ( ) 8 ( ) ( 9 ) ( 8 ) ) + + + e) f) 09 098 Oper y simplific. ( ) ( ) ) + ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( 0) + 0 ) = 0 9 = = 0 = 0 Clcul y simplific. ( ) ( ) + ( + ) ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ) ( ) + ( + + ) = + 9 9 ( ) ( + ) = 9 + + 9 ( ) ( + + ) = + 9
Números reles 099 Hz ls operciones y simplific. ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) + ) + = 9 9 + = + = = 0 + + = = 0+ 0 = + 00 Clcul. ) b b + + ) = = b : b b b b b = b = b b 9 9 b : b = b 0 0 b b = b = b 0 Efectú y simplific. ( ) ( ) ) + ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ) (9 ) + ( 80) = ( 0+ ) ( ) = 0 0 + 8 = = ( ) = + + ( ) + + + = = 0 8 9
SOLUCIONARIO 0 Efectú y expres el resultdo como potenci. ( ) ) 8 8 ( ) = ) 0 0 = 0 8 8+ = = = 0 Escribe los siguientes rdicles como potencis de exponente frccionrio. ) g) = = e) h) = f) i) 0 Expres medinte un solo rdicl. ) e) f) 0 0 ) = = e) 8 f) 9
Números reles 0 Rzon si son verdders o flss ests igulddes. ) n m n m b = b n m n b = ( e) f) g) h) n m n+ m b = b n n n + b = + b b = b b 8 = b b+ c = b+ c m + b = + b n m n m m ) b m n n n m b m b n n m = = b Fls. n m n+ m n m n m m b m n n = b = m b n b Fls. Fls, excepto cundo n=. Y se comprueb probndo con culquier vlor de, b y n. n m n b n b m n m m = b Fls, excepto si n=m. e) Fls, y que si elevmos l cudrdo los términos: ( ) = + + + = + + b b b b ( b ) f) b = b = b Verdder. 8 g) b = b = b b Fls. h) b+ c = b+ c b+ c Fls, excepto pr =. 0 Clcul el ldo de un cudrdo inscrito en un circunferenci de rdio cm. El número obtenido, es rcionl o irrcionl? L digonl del cudrdo coincide con el diámetro. Ldo = x Digonl = x x = 0 x= El ldo mide cm, que es un número irrcionl. 0 Hll l digonl de un cudrdo de ldo 8 cm. Si construimos un cudrdo cuyo ldo es es digonl, cuál es el áre del segundo cudrdo? Digonl = 8 cm Áre = ( 8 ) = 8 cm 9
SOLUCIONARIO 08 L bse de un rectángulo mide b=8 cm y su ltur es = b. Clcul l longitud de l circunferenci circunscrit este rectángulo y expres el resultdo con tres decimles. El diámetro de l circunferenci es l digonl del rectángulo. Digonl = 8 + = 0 cm, rdio = cm L longitud de l circunferenci es, cm. 09 Clcul el volumen del edificio y redonde el resultdo ls milésims. 0, m,9 m, m ) Redonde sus dimensiones ls décims, y clcul el volumen de nuevo. Qué relción tiene con el resultdo nterior? Hll el error bsoluto y reltivo cometido en cd cso. El vlor excto del volumen es: Volumen =,9, 0, = 8.9, m Si redondemos el resultdo ls milésims: Volumen = 8.9, m ) Volumen =,,8 0, = 8.98, m El resultdo es myor que el resultdo nterior. Volumen =,9, 0, = 8.9, m E = 8.9, 8.9, =0,000 E r = 8. 9, 8. 9, 8. 9, = 0, 0000000 Volumen =,,8 0, = 8.98, m E = 8.9, 8.98, =,8 E r = 8. 9, 8. 98, 8. 9, = 0, 00 9
Números reles 0 Hll l longitud de los ldos y el áre de cd un de ls piezs del tngrm. Suponemos que el ldo del cudrdo es l. l b c es l mitd de l digonl del cudrdo: = l + l = l l b b b c b es l mitd de : b= = c es l mitd de l: c= l l c c Vmos clculr hor el perímetro y el áre de cd figur. P = + l= l+ l= ( + ) l Figur : A= l l = = P = + l= l+ l= ( + ) l Figur : A= l l = = P= b+ c= + = l l + l Figur : l l A= c = 8 l + P= b+ c= + = l l Figur : b b A= l = P= b= l Figur : l A= b = 8 98
SOLUCIONARIO + l P= b+ c= + = l l Figur : b b A= l = P= b+ c= + = l l + l Figur : c c A= l = 8 Cuánto mide el áre de l cr de un cubo cuyo volumen es 9 cm? Expres el resultdo como rdicl y como potenci. Arist = 9 m Arist= 9 m Áre de l cr= 9 9 = 9 = 8 m = m Cuánto mide l rist de un cubo cuyo volumen es m? Expres el resultdo en form de rdicles. Arist = m Arist= m Si el volumen de un cubo es 0 cm, hll el vlor de l sum de sus rists. Arist = 0 cm Arist= 0 cm Sum de rists = 0 Con los dtos de l ctividd nterior, clcul l superficie lterl del cubo. Arist = 0 cm Arist= 0 cm Áre de l cr= 0 cm cm Áre lterl= 0 = 0 cm Generliz los resultdos de ls ctividdes nteriores, dndo el vlor de l rist y l superficie lterl de un cubo en función de su volumen. Arist = Volumen Arist= Volumen Áre de l cr Áre lterl = Volumen = Volumen Consider que A, B, C y D son cutro locliddes. L distnci entre A y B es 8 km, con un error de 00 m, y l distnci entre C y D es 00 m, con un error de, m. Qué medid es más decud? Por qué? 00 Comprmos los errores reltivos: = 0,00, < = 0,008 8. 000 00 Es más decud l medid de l distnci entre C y D por tener menor error reltivo. 99
Números reles Escribe proximciones decimles del número,, con ls siguientes cots del error bsoluto. ) 0,00 0,0 0,000 0, ),,,,8 8 Justific de qué orden tendrímos que tomr el redondeo de un número irrcionl pr que l cot del error bsoluto fuer menor que un millonésim. El orden del redondeo serí ls diezmillonésims. 9 Reflexion y responde. ) En qué csos ocurre que <? Y en qué csos ocurre que >? ) <, cundo 0< <. >, cundo >. 0 Rcionliz. ) + ) + = + ( + ) ( + ) = + + = + + ( ) ( + + ) = + + Explic cómo se rcionlizn ls frcciones del tipo n n. b n n Volvemos rcionlizr hst que eliminmos totlmente ls ríces del denomindor. n n b b = = n n n ( + b n n n n ( ) = + n n n ( ) + b b n n ( ) + b n n b = ( ) n n n n ( ) ( + + b = n n ( ) ( + ) ( + ) n n n n + b b = b b b b 00
SOLUCIONARIO EN LA VIDA COTIDIANA Un equipo de ingenieros eronáuticos v presentr un proyecto pr l construcción de un nuevo vión. Por ello quieren construir un mquet. Sin embrgo, se hn encontrdo con un problem. Te hs fijdo en est piez? Es un rectángulo de cm de lrgo, pero su ncho Sí, es cierto; debe medir cm. Pr no cometer errores en l construcción, se plnten cómo trzr un segmento que mid exctmente Así, el equipo h resuelto el problem pr poder relizr l mquet. cm. Podemos trzr un triángulo rectángulo cuyos ctetos midn cm y cm, y utilizr el teorem de Pitágors. Otr de ls piezs v ser un rectángulo que mid + cm de lrgo y cm de ncho. Cómo conseguirán dibujrlo con precisión? Un vez conocido el segmento de cm, trzmos el segmento de cm medinte un triángulo rectángulo, de ctetos cm y cm, y se hce lo mismo con el segmento de cm con un triángulo de ctetos cm y cm. Teniendo el segmento de con lo que result un segmento de cm, le ñdimos cm prolongndo l rect, + cm. 0
Números reles Trzmos l meditriz del segmento y conseguimos un segmento + de cm. Pr el otro ldo del rectángulo, trzmos primero un segmento de cm, medinte un triángulo rectángulo de ctetos cm, y proyectmos cutro veces el segmento utilizndo un compás, por lo que conseguimos un segmento de cm. En un cmpmento, los monitores hn pedido los chicos que se grupen, pinten un murl y, después, lo enmrquen. El grupo de Jun h hecho un murl cuy áre mide m y quiere enmrcrlo. Necesitn clculr l longitud del ldo, pero no disponen de regls pr medir ni clculdors. Vmos relcionrlo con, que es l longitud de l digonl de un cudrdo cuyo ldo mide m. Y cómo medimos? El monitor les pide que den l longitud con precisión de milímetros, por lo que deben determinr los tres primeros decimles de. Los chicos piensn en rectángulos cuy áre coincid con el áre del murl y en dimensiones cd vez más precids entre sí. Empezmos con un rectángulo de m de bse y m de ltur. A continución, tomn un rectángulo cuy bse es l medi entre l bse + y l ltur del nterior: = ; sí, l ltur debe ser : =, y tenemos que: < <. 0
SOLUCIONARIO Continundo este proceso, como l diferenci entre l bse y l ltur de estos rectángulos es cd vez menor y siempre está comprendido entre ells, Jun procede sí hst que ls tres primers cifrs de l bse y l ltur del rectángulo sen igules. Cuántos psos debe dr Jun pr logrrlo? PRIMER PASO: < < Cot de error: SEGUNDO PASO: + = : = < < Cot de error: 0 TERCER PASO: + = : = 08 08 8 8 < < Cot de error: 08. L cot es y menor que milímetro. =, 08 0