MATEMÁTIA D Módulo I: Análisis d Vril omplj Unidd Intgrción omplj Mg. Mrí Inés Brgtti Intgrl d un función d vril rl vlors compljos S (t u(t + i v(t un función d vril rl t vlors compljos, con u(t y v(t intgrls n [,], s dfin l intgrl d (t n [,] como: (t dt u(t dt + i v(t dt Ejmplos - ( 4t + it dt 4t dt + i t dt t + it 6 + i9 π - ( cost + isn t n dt π [cos (nt + i sn (nt]dt sn(nt n π cos(nt i n π n ( i n Actividd : Si (t u (t + i v (t y (t u (t + i v (t son intgrls n [,] y α y β son constnts compljs dmostrr qu : [ α (t + β (t] dt α (t dt + β (t dt (propidd d linlidd Si (t u(t + i v(t s intgrl n [,], dmostrr ls siguints propidds: R (t dt R[ (t ] dt Im (t dt Im[ (t ] (t dt (t dt dt
Actividd : Si (t s intgrl n [,] ntoncs vl l siguint dsiguldd (t dt (t dt A continución s osquj l dmostrción d st propidd y s dj crgo dl lumno justificr lgunos d los psos. Supongmos qu l rsultdo d l intgrl θ,, s dcir iθ (t dt r (t dt s un compljo d módulo r y rgumnto (t dt r (# y iθ (t dt r (## Tnindo n cunt (# y (## y otrs propidds y mncionds, justificr tods ls iguldds y dsiguldds qu s indicn continución: (t dt ( iθ (t dt ( iθ R (t dt θ [ ] i R (t ( dt (4 iθ (t dt (t dt (:por (# y (## (: (: (4: (5: (5 Actividd : Si (t s continu n [,] y si Z(t s un primitiv d (t, s dcir Z (t (t, ntoncs (t dt Z( Z( Usr n todos los csos l dfinición d intgrl dd más rri. Est propidd, como n l cso d funcions rls, s dnomin Rgl d Brrow. Ejmplo onocindo l rgl d Brrow pr funcions d vril rl vlors compljos, podmos hllr l intgrl propust n l jmplo dl siguint modo: π ( cost + isn t n dt π ( it n π int int dt in π ( n in i/n si si n n s s pr impr
Actividd 4: Si s un rco d curv suv d cución (t x(t + i y(t con t, clculr ' (t y dmostrr qu d '(t dt longitud dl rco Si M s un constnt positiv y (t M pr t, dmostrr qu (t dt M ( Intgrl d un función d vril complj sor un curv S un rco d curv suv d cución prmétric (t x(t + i y(t con t y f( un función continu sor, s dfin l intgrl d f sor l rco como: Ejmplo f( d f((t d[(t] f((t '(t dt Pr clculr l intgrl [ - R( - i]d, sindo l sgmnto d cución prmétric (t t + i (4t con - t usmos l dfinición d intgrl pr trnsformrl n un intgrl d un función d vril rl vlors compljos como s mustr continución: [ - R( - i]d - i4t ( + 4i dt - [ (t - R((t - i] '(t dt [ t i(4t t i] - ( + i 4 dt (6t 8it dt 8t i4t 4 - i Propidds - Propidd d linlidd: Si f( y g( son dos funcions intgrls sor l curv y α y β son dos constnts compljs ntoncs [ α f( + βg(] d α f( d + β - Módulo d un intgrl : l módulo d un intgrl stisfc l siguint dsiguldd: g( d f( d f( d
Actividd 5: Justificr ls propidds - y - ntriors usndo l dfinición y ls propidds d ls intgrls d funcions d vril rl vlors compljos. Ejmplos i d Dmostrr qu lím d R + sindo l smicircunfrnci R it, t π Pr podr dmostrr lo solicitdo trtmos d cotr l módulo d l intgrl usndo l propidd y rcordndo qu l módulo d un cocint s igul l cocint d los módulos: i d d + i + d i d (# + A continución cotmos l numrdor y l dnomindor i ix -y ix -y. -y -y pus y + R R, R Rcordr qu: ± - por lo tnto i + continur con l intgrl como s mustr continución: R y usndo st cotción dl intgrndo podmos R (# d d R R R R longitud d R πr R Hmos podido dmostrr qu i d d + R πr R omo n st últim frcción l grdo dl dnomindor s myor qu l grdo dl numrdor, tomndo límit pr R n st últim dsiguldd y usndo l torm dl sndwich, podmos firmr qu s cumpl lo pdido. 4
Rlción ntr l intgrl d un función d vril complj y l intgrl d lín d funcions rls onsidrndo x + i y, f( u(x,y + i v(x,y y d dx + i dy, l intgrl d f( sor l curv pud xprsrs como un compljo cuy prt rl imginri son intgrls d lín d funcions d dos vrils rls como s mustr continución: f( d [u(x,y + i v(x,y](dx + i dy [ u(x, y dx - v(x,y dy] + i [ v(x, y dx + u(x,y dy] [ u(x, y dx - v(x,y dy] + i [ v(x, ydx + u(x,y ] dy Propidds (continución - mio d orintción d l curv: Si y - rprsntn l mism curv pro rcorrid n sntidos contrrios ntoncs f( d f( d 4- Propidd ditiv d ls curvs: Si y rprsntn dos curvs orintds qu tinn lo sumo un númro finito d puntos n común ntoncs: f( d f( d + f( d Actividd 6: Justificr ls propidds - y 4- ntriors tnindo n cunt qu ls misms propidds son válids n l cmpo rl. Ejmplos y i - lculr Im( d, sindo : x y - dsd i hst -i -i x Si prmtrimos l curv tomndo y t, ntoncs l troo d práol qu nos intrs tin cución prmétric (t (t - + i t con - t pro h quddo ml orintd, por llo l dnominmos - y oprmos como s mustr continución : 5
Im( d Im( d Im((t'(t dt t ( t + i dt 4 / - lculr d, sindo : rcorrid n sntido ntihorrio Prmtrimos l curv, n st cso s un circunfrnci d rdio : (t it, t π d π '(t dt (t π it i it dt π it it i dt π i it it dt i i π 5- Indpndnci dl cmino El concpto d indpndnci dl cmino y fu studido con ls intgrls d lín d vril rl, no ostnt rcordmos qu: S dic qu un conjunto irto D s un dominio si pr todo pr d puntos d D xist un curv contnid n D qu los un. Un dominio D s simplmnt conxo si tod curv crrd contnid n D ncirr sólo puntos d D. Por jmplo osrvndo los siguints gráficos, s pud dcir qu: D s un dominio simplmnt conxo, D s un dominio pro no s simplmnt conxo y D D D 4 no s un dominio. D D D D 4 D D D 4 L intgrl f (d s indpndint dl cmino n un dominio D si pr todo pr d puntos y dl dominio D l intgrl tom simpr l mismo vlor sor culquir curv contnid n D qu un y Lugo d st últim dfinición, l prgunt nturl s: cómo sr si l intgrl d un función d vril complj s indpndint dl cmino n un dominio D? Pr podr rspondr st prgunt tnmos vris posiilidds qu dscriimos continución. 6
Ξ Torm : ondición ncsri y suficint pr qu l intgrl s indpndint dl cmino S f( continu n un dominio D. Un intgrl d lín d f( s indpndint dl cmino n D l intgrl d f( sor culquir curv crrd contnid n D vl cro. Actividd 7: Dmostrr l torm. (l dmostrción s idéntic l torm similr visto n vril rl. ΞTorm : ondición suficint pr qu l intgrl s indpndint dl cmino - Rgl d Brrow. Si f( s continu n un dominio D y xist F( n D tl qu F ( f( (como n l vril rl, dcimos qu F( s un primitiv d f( y s un curv contnid n D qu un con ntoncs f (d f ( d F( F(. omo l rsultdo d l intgrl dpnd sólo dl punto inicil y dl punto finl d l curv, podmos sgurr qu: si f( s continu n D y xist un primitiv n D ntoncs l intgrl s indpndint dl cmino n D. Actividd 8: Dmostrr l torm ntrior tnindo n cunt : Si l curv tin cución : (t x(t + i y(t, con t, tl qu (, ( ntoncs proponmos justificr tods ls iguldds qu s indicn continución : ( ( ( (4 f(d f((t'(tdt F'((t'(tdt [F((t]'dt F(( F(( F( F( (:. (: (: por rgl d l cdn s s qu [F((t] F ((t (t (4: como F ((t s un función d vril rl vlors compljos y F((t s un primitiv, pud plicrs l rgl d Brrow (5: (5 7
Ejmplos - lculr d, sindo l troo d práol y - x dsd (-, (, omo f( s continu n y tin primitiv F( Brrow sindo (-, - y (, i, por lo tnto:, podmos plicr l T. d d F(i F(- i (- -i + - lculr d, sindo : L función f( / s continu sor l curv, pus s continu n {}, y F( - / s un primitiv, por lo tnto pud plicrs l T. d Brrow y como l curv s crrd l intgrl vl (cro, pus l punto inicil coincid con l punto finl. - lculr d, sindo : L función f( / s continu sor l curv, pus s continu n l dominio D {}, pro n st dominio no s posil ncontrr un función F( tl qu F ( / (rcordr qu (Ln / slvo n los puntos dl j rl ngtivo, por lo tnto no pud plicrs l T. d Brrow. Est intgrl d clculrs prmtrindo l curv : (θ i θ con θ π, clculndo (θ i i θ y usndo l dfinición: d π i θ i iθ dθ i π dθ iπ Ξ Torm : Existnci d primitiv Si f( u(x,y + i v(x,y s continu n un dominio D y l intgrl d f( s indpndint dl cmino n D ntoncs xist F( n D tl qu F ( f( (como n l intgrl rl, s dic qu F( s un primitiv d f(. Admás si s un punto culquir d D s vrific qu d f ( * d * f( d Dmostrción 8
omo l intgrl f (d s indpndint dl cmino n D y smos qu ntoncs ls intgrls rls f (d [ u(x,y dx - v(x,y dy] + i [ v(x, ydx + u(x,y ] dy [ u(x, y dx - v(x,y dy] y [ v(x, y dx + u(x,y dy] son indpndints dl cmino n D (custionr st firmción, s posil qu sts intgrls rls no sn indpndints dl cmino? omo ls intgrls rls son indpndints dl cmino, s s qu ls xprsions u(x,y dx - v(x,y dy y v(x,y dx + u(x,y dy son difrncils xcts, s dcir xistn n D dos funcions U(x,y y V(x,y, dnominds funcions potncils, tl qu: U U du(x, y dx + dy u(x, y dx v(x, y dy, x y V V dv (x,y dx + dy v(x,y dx + u(x,y dy x y d dond s dsprndn ls siguints iguldds d (R: U x V y u(x, y U V, v(x, y y x Si considrmos F( U(x,y + i V(x,y, vmos qu: F( s drivl n D, pus U(x,y y V(x,y, como y vimos, cumpln ls condicions d (R y tinn drivds prcils continus por coincidir dichs drivds con l prt rl u(x,y o imginri v(x,y d l función continu f( U V Por sr F( drivl, smos qu : F ( + i u(x, y + iv(x, y f ( x x por lo tnto podmos firmr qu xist n D un función drivl F( tl qu F ( f(, Admás Por lo tnto (x,y f [ u(x*,y* dx * -v(x*,y* dy *] + i[ v(x*,y* dx * + u(x*,y* dy *] ( * d * (x,y ( x,y du(x*,y* + i dv(x*,y* U(x,y - U(x, y + i [V(x,y - V(x, y ] ( x,y U(x, y + iv(x, y - [U(x, y + i V(x, y ] F( - F( d f F( - F(, d dond f ( * d * F'( f( d ( * d * 9
Ejrcicios - lculr ls siguints intgrls: R( d csos: ; Im( d ; d n los siguints : (t + it, t :, rcorrid n sntido ntihorrio c : R, rcorrid n sntido ntihorrio onvnción: undo un curv s crrd y no s indic l orintción, d rcorrrs n sntido ntihorrio. k - lculr Im( d pr k, y dond s l sgmnto orintdo qu un con i :, dsd hst i, n sntido ntihorrio c s l poligonl qu un con y con i d Tnindo n cunt qu, y son trs curvs distints qu tinn l mismo punto inicil y finl, pud firmr qu l intgrl s indpndint dl cmino?, contrdic l torm fundmntl? - lculr i d sindo : dsd n sntido ntihorrio Dducir prtir d l rsultdo d l siguint intgrl d lín rl ( x + y sn x + y dx + (x + y cos x + y dy 4- Si : - R, con R, dmostrr qu ( d πi, ( d n pr n - k 5- lculr Ln d pr k,, sindo : R dsd R hst Ri n sntido ntihorrio, : R dsd R hst Ri n sntido horrio, : R, 6- lculr: ( - i d sindo l sgmnto qu un + i con i d sindo : y x dsd (-, (, 8 i i c sn( d i d d sor un curv contnid n y > -x i
7- Justificr qu: d 4π d + 7 Ln π d R R Ln R + π, R : (t R it, t π/ y dmostrr qu Ln lím d R R ( Ξ Torm d uchy S un curv crrd, simpl y suv por trmos y s f( un función nlític sor y su intrior cuy drivd f ( s continu sor y su intrior ntoncs f( d Dmostrción Pr dmostrr st torm usmos l torm d Grn qu rlcion un intgrl d lín con un intgrl dol: Torm d Grn: S un curv crrd, simpl y rgulr troos (suv contnid n un dominio D dl plno y s R l rgión limitd por, sn M(x,y y N(x,y dos funcions con drivds prcils continus n D ntoncs Mdx + Ndy R N M dx dy x y y R D dond d rcorrrs d modo d djr R su iquird x Si f( u(x,y + i v(x,y ntoncs smos qu: f( d [ y dx - v(x,y dy] + i [ v(x, ydx + u(x,y ] u(x, dy v u dx dy + i x y ( R R u v dx dy + i x y ( ( Aplicndo l torm d Grn cd intgrl rl ( omo f( s nlític, sus prts rl imginri vrificn ls condicions d (-R y por lo tnto cd intgrndo vl cro.
Osrvción Gourst fu l primro qu pudo dmostrr qu l hipótsis " f ( continu sor y su intrior " podí omitirs, nosotros cptmos sin dmostrción ls siguints vrints dl torm d uchy Ξ Torm d uchy Gourst (vrsión Si s un curv crrd, simpl y suv por trmos y f( s nlític sor y su intrior ntoncs f( d Ξ Torm d uchy Gourst (vrsión Si s un curv crrd, simpl y suv por trmos y f( s nlític sor y su intrior, slvo lo sumo n un númro finito d puntos xcpcionls dond s continu ntoncs f( d Ejmplos L intgrl d s igul pus vrific ls hipótsis dl T. d uchy Gourst : - i l curv s crrd y suv y f( s nlític sor l curv y su intrior i pus no s nlític n i, pro st compljo s xtrior l curv crrd sor l qu s intgr. L plicción dl torm d uchy Gourst no s tn inmdit pr l cálculo d l sn sn intgrl d, pus l función f( s nlític sor l curv crrd y su intrior slvo n, qu s intrior culquir circunfrnci d rdio >. Sin mrgo si clculmos l limit d l función n dich singulridd otnmos sn sn si lím y si considrmos l función g ( podmos firmr qu: si g( s continu n y si smos qu g( s nlític por sr cocint d
nlítics y l dnomindor no s nul, por lo tnto por l T. d uchy Gourst podmos firmr qu g( d. Osrvmos qu sor los puntos d l curv, l función g( coincid l función cuy sn intgrl qurmos clculr, s dcir g( pr los qu vrificn, ntoncs l sn intgrl d g( sor dich curv d coincidir con l intgrl d. por lo tnto sn d g( d onscuncis dl Torm d uchy - Sn y dos curvs crrds suvs por trmos y todos los puntos d son intriors y s f( un función nlític sor ls curvs y n l dominio R limitdo por lls ntoncs: f( d f( d R Ls curvs s rcorrn n l mismo sntido (ms n sntido ntihorrio o ms n sntido horrio Dmostrción Supongmos qu y ls rcorrmos n sntido ntihorrio. Si fctumos dos corts rctos unindo puntos d y, l dominio R qud dividido n dos rgions, qu dnominmos R y R R D B A R Ls frontrs d R y R son curvs crrds y ls indicmos R y R rspctivmnt. omo f( s nlític sor dichs curvs y su intrior, podmos plicr l T. d uchy Gourst ms y otnr qu :
R f( d R y f( d dond ls curvs R y R ls orintmos d modo d djr ls rgions R y R l iquird. R Sumndo stos rsultdos otnmos: f( d + R podmos scriir l últim iguldd dl siguint modo: f( d, y guiándonos por l gráfico A D B f(d + f(d f(d f(d f(d f(d f(d f(d B + A + + + + + D A B D 4444444 44444444 44444444 444444 sor l frontr d R sor l frontr d R B D A (* omo ls intgrls d lín sor los sgmntos s cncln pus s rcorrn n sntidos contrrios cundo s considrn n l frontr d R o n l frontr d R y tnindo n cunt qu (mirr l gráfico: B f( d + f ( d B 44 4 4 sor l frontr d R D sor l frontr d R f( d + f( d A D 44 4 4 sor l frontr d R A sor l frontr d R f( d f( d dond n l primr intgrl s h colocdo un signo mnos pus s osrv qu d rcorrrs n sntido contrrio l qu nuncimos l comnr, vmos qu l xprsión (* tom l form: f( d + f( d, y por lo tnto: f( d f( d - Sn, y trs curvs crrds suvs por trmos como s mustrn n l gráfico y s f( un función nlític sor ls curvs y n l rgión R limitd por lls ntoncs: R f( d f( d + f( d dond ls curvs s rcorrn d modo d djr l rgión R l iquird. Actividd 8: Justificr l iguldd prsntd n l conscunci - 4
- Si f( s nlític n un dominio simplmnt conxo D ntoncs l intgrl d f( s indpndint dl cmino n D. Actividd 9: Justificr l firmción prsntd n l conscunci. Ayud: tomr un curv crrd culquir contnid n D y justificr qu f( d st rsultdo pud firmr qu hy indpndnci dl cmino?, con Ejmplos f( - Si f( un función nlític n todo l plno y s s qu d π, pud f( conocrs l vlor d l intgrl d, sindo un curv suv por trmos, crrd, qu ncirr? Es importnt osrvr qu l intgrndo s nlítico n todo l plno compljo slvo n Si no cort ( s xtrior o intrior, como l intgrndo s nlítico n l rgión comprndid ntr l circunfrnci y l f( curv, plicndo l conscunci podmos firmr qu d π Si cort l circunfrnci, s considr otr curv crrd, l qu llmmos *, como l intgrndo s nlítico n l rgión limitd por y *, por l conscunci, podmos firmr qu l intgrl sor * vl π, como dmás l intgrndo s nlítico n l rgión limitd por y *, por l conscunci, l intgrl sor vl lo mismo qu l * intgrl sor *, s dcir l intgrl sor vl π f( Por lo tnto d π, sindo culquir curv suv por trmos, crrd, qu ncirr - Justificr, usndo l conscunci y tnindo n cunt f( l gráfico d l drch, qu si d y ( - ( - i f( f( d 7 ntoncs d - 4 ( - ( - i, ( - ( - i Suponr qu f( s nlític y qu ls curvs s rcorrn n sntido positivo. i 5
Ξ Fórmul d l intgrl d uchy Si s un curv crrd, simpl y suv por trmos y f( s nlític sor y su intrior, y s intrior ntoncs f( - d πi f( Dmostrción onsidrmos un circunfrnci cntrd n intrior : R y clculmos l intgrl propust como s mustr continución dond cd pso stá justificdo más jo f( f( f( - f( + f( f( - f( d d d d f( - ( ( ( - - + - 44444 A d - 44 (: son iguls por l primr conscunci dl torm d uchy pus l cocint f( / ( s nlítico sor ls curvs y y n l rgión limitd por ms (: sumndo y rstndo f( n l numrdor (: l intgrl d un sum s sum d intgrls y f( s constnt Dmostrrmos continución qu l intgrl A vl cro y l intgrl B vl πi y ntoncs l torm strá dmostrdo. Pr justificr qu l intgrl A vl cro, considrmos l función B f( f ( g ( f'( si si Anlicmos st función g(: si, g( s nlític por sr cocint d nlítics y l dnomindor no s nul f( f( g( s continu n pus lím g( lím f'( g( Por lo tnto g( s nlític sor l curv crrd y su intrior, slvo lo sumo n l punto dond smos qu s continu, por llo podmos plicr l torm d uchy Gourst (vrsión y firmr qu g( d. 6
Osrvmos qu sor los puntos d l curv, l función g( s igul l cocint incrmntl, por lo tnto f( f( d g( d, y qud dmostrdo qu l intgrl A vl cro. Pr clculr l intgrl B, prmtrimos l circunfrnci : (t R it, con t π, clculmos '(t Ri it π π it y otnmos : d Ri dt i dt πi - it R Ejmplos cos lculr d π, sindo l frontr dl triángulo d vértics, 4 ± i 4 f( omo l intgrndo tin l form, con f( cos, nlític n todo l plno, y - π stá n l intrior d l curv crrd, podmos plicr l T. d l fórmul d uchy pus s vrificn tods ls hipótsis, sí tnmos: cos d πi f( π πi cos( π πi π + lculr d i + En st jrcicio l intgrndo no tin l form vmos qu: + + + ( + i( i f(, pro si fctormos l dnomindor - omo l fctor ( - i s nul n i, qu s intrior l curv crrd dd, y l fctor ( + i no s nul sor l curv ni n su intrior, podmos scriir l intgrl d l siguint mnr: + d i + i + i + d i omo ( + / ( + i s nlític sor l curv crrd y su intrior, podmos usr l fórmul d uchy. Tomndo f( ( + / ( + i l vlor d l intgrl rsult: i + + d πi + f(i πi + i i πi - i + π iπ i 7
c lculr l intgrl dd n sor l curv : En st cso los compljos i y -i, qu nuln l dnomindor, son intriors l curv crrd. Vmos qu psr d sto pud clculrs l intgrl mdint l fórmul d uchy, pr llo considrmos dos curvs crrds y intriors y disjunts, qu sólo ncirr i y qu sólo ncirr - i. Por un d ls conscuncis dl torm d uchy Gourst, smos qu 4 4 4 + + + d d d + + + + i -i como n l intrior d ls curvs crrds y l intgrndo pud xprsrs como cocint ntr f ( / ( - i y f ( / ( + i rspctivmnt, sts intgrls s clculr n form similr l jmplo ntrior. 4 + S dj como jrcicio vrificr qu d (π - iπ + (-π - iπ -iπ + Actividd : Si f( s nlític n l nillo limitdo por dos circunfrncis concéntrics y y s un punto intrior dicho nillo, dmostrr qu: f( πi f( d - πi f( d dond ls curvs s rcorrn n sntido dircto. (Hcr un cort n l rgión somrd y plicr lgún torm qu fcilit l cálculo d cd intgrl Gnrlición d l fórmul d uchy L fórmul d l intgrl d uchy prmit dtrminr l vlor d un función nlític n un punto si conocmos los vlors qu tom dich función sor un contorno crrdo, simpl y suv por trmos qu incluy dicho punto. L fórmul d uchy pud gnrlirs y otnr un fórmul qu prmit clculr l vlor d tods ls drivds d un función nlític n un punto si conocmos los vlors qu tom dich función sor un contorno crrdo, simpl y suv por trmos qu incluy dicho punto. L fórmul gnrlid pud otnrs mdint ls siguints oprcions, qu NO constituyn un dmostrción. Si f( s nlític sor l curv crrd y suv por trmos y su intrior, y s intrior, smos qu 8
f( π i f( d. - Si considrmos como un vril y drivmos l xprsión ntrior rspcto d y suponmos qu podmos introducir l drivd n l símolo intgrl otnmos: d f( πi f'( d d - d f( d - d f( ( - d π i f'( f( ( - d Si drivmos nuvmnt rspcto d, otnmos: d f( πi f''( d d ( - d d f( ( - d f( ( - d Si drivmos otr v nos qud: π i f''( f( ( - d d f( πi f'''( d d d d f( ( - ( - d f( 6 4 ( - f( d! 4 ( - d (n Drivndo n vcs s otin: π i f ( f( n! n + ( - d D dond pud otnrs (n f( πi f ( d + n ( - n! El siguint torm rsum stos rsultdos Ξ Drivd d l fórmul d l intgrl d uchy Si f( s nlític sor l curv crrd, simpl y suv por trmos y su intrior, y s (n f( πi f ( intrior ntoncs d n+ - n (! Osrvción: Si n l últim xprsión s rmpl n s otin l fórmul d l intgrl d uchy pus intrprtmos f ( ( como f( y tnindo n cunt qu!. 9
Ejmplo lculr i ( + i ( π d, sindo l frontr dl triángulo d vértics, 4 ± i Si xminmos l dnomindor vmos qu l fctor ( + i no s nul sor l curv ni n su intrior. Sin mrgo ( - π s nul n π, qu s intrior d, por lo tnto podmos scriir: i i ( + i d d π ( + i π ( ( Ddo qu l intgrndo cumpl tods ls hipótsis dl torm d l drivd d l fórmul d uchy, lo plicmos tnindo n cunt qu n +, d dond n, y f( i / ( + i. Así, i ( + i i d πi f '( π πi i ( + i 6 4 ( π ( + i ( π + i i ( + i π i( π + i πi - Drivds d nlítics Si f( s nlític n un punto, smos qu s nlític n todo un ntorno d, y si tommos un curv crrd, simpl y suv por trmos contnid n dicho ntorno, podmos plicr l torm ntrior otnindo: (n f( πi f ( d + n ( - n! Admás tmién vl l iguldd f( + πi f d (n n ( - * n! sindo * culquir punto dl intrior d l curv (* * Si tommos n n l últim xprsión otnmos f( πi f d ( ( - * n! (* y sto nos indic qu xist l drivd sgund d f n todo punto intrior l curv y por lo tnto l drivd primr f ' s nlític Aplicndo un ronminto similr l función nlític f' podmos concluir qu f'' s nlític, y rpitindo l rgumnto ntrior llgmos l siguint rsultdo fundmntl. Ξ Torm : Drivd d funcions nlítics Si f( s nlític n un punto, sus drivds d todos los órdns son tmién funcions nlítics n s punto.
Ejrcicios 8- Si f( s nlític n un nillo y y son dos curvs crrds contnids n l nillo como mustr l figur, justificr qu f( d f( d y x - 9- Si f( s nlític n {, -, i} y f( d -i f( d +, f( d, Avrigur l vlor d l intgrl f( d n los siguints csos justificndo l rspust : s un curv crrd culquir qu ncirr y no ncirr ni - ni i s un curv crrd culquir qu ncirr i y no ncirr ni - ni s un curv crrd culquir qu ncirr y - y no ncirr i 4 s un curv crrd culquir qu ncirr, - y i Indicr clrmnt los posils dominios dond l intgrl s indpndint dl cmino. - lculr ls siguints intgrls nuncindo prvimnt l torm o propidd qu utili. ( 4 d, : - d, : - i + sn( i 4 c d, : 4 d d, : + 4 d d, pr k,, : ; : k - Si f( ( i 4 h( dond h( s nlític y no s nul sor l curv y su intrior, f'( justificr qu d 8πi, : i f( -lculr pr n, n, n, l intgrl torm o propidd qu utili. cos n d, : nuncir prvimnt l ( i
- Si F( i cos s un primitiv d f(, clculr l vlor xcto d f( d dond s un curv qu un π iπ con π. ( - π 4- Dd I d ( - ( sn lculr I usndo l fórmul d l intgrl d uchy, sindo qu s lo frontr dl conjunto A { / / /, Arg( π/4} Pud plicrs l fórmul d l intgrl d uchy pr clculr I si l curv s : 4/? Justificr l rspust. 5- Si f( s nlític y i f(g'( g(, clculr d i g( sindo qu f(i f( Otrs propidds importnts: Ξ Torm d Morr Si f( s continu n un dominio simplmnt conxo D y pr tod curv crrd contnid n D s s qu f ( d ntoncs f( s nlític n D. Dmostrción omo l intgrl d f( vl cro sor culquir curv crrd contnid n D ntoncs por Torm smos qu l intgrl d f s indpndint dl cmino n D y si s indpndint dl cmino n D, por Torm smos qu xist un función F( nlític n D tl qu F'( f(. omo hmos visto qu l drivd d un función nlític s tmién nlític y smos qu f s l drivd d l función nlític F, s dsprnd qu f s nlític n D Acptmos sin dmostrción l siguint propidd, conocid como principio dl módulo máximo Ξ Principio dl módulo máximo Si un función f( u(x,y + i v(x,y s nlític y no constnt n un dominio irto A v(x, y ntoncs l función f( ( ( A un punto tl qu f( f( Osrvcions u (x, y + no pos máximo n A, s dcir, no xist n
v(x, y - Si f( u(x,y + i v(x,y ntoncs f( ( ( vrils rls l qu dnominmos g(x,y u (x, y + s un función d dos Es importnt osrvr qu si xistn n A puntos d coordnds (x, y dond ls funcions u(x,y y v(x,y s nuln simultánmnt, s dcir u(x,y y v(x,y ntoncs n dichos puntos ( ( g (x +.,y u(x, y v(x, y omo l función g(x,y, por trtrs d un módulo, vrific g(x,y pr todo pr (x,y d A, y como g(x,y ntoncs podmos firmr qu: g(x,y g(x,y, pr todo pr (x,y d A y st últim dsiguldd nos dic qu l función g(x,y lcn un mínimo n los puntos (x, y n los culs ls funcions u(x,y y v(x,y s nuln simultánmnt. - Si un función f s nlític n l intrior d un conjunto crrdo y cotdo A y s continu sor l frontr d A, ntoncs l función f( g(x,y s continu n dicho conjunto crrdo y cotdo y s s d l vril rl qu sguro lcn un máximo y un mínimo soluto n A. Ests osrvcions nos prmitn nuncir l siguint torm. Ξ Torm Si f s un función continu n un rgión cotd crrd A, y nlític y no constnt n l intrior d A, ntoncs: l función f( lcn simpr un máximo y ocurr n lgún punto d l frontr d A, nunc n su intrior, s dcir xist l mnos un punto n l frontr d A tl qu f( f( si dmás f( n todos los puntos d A, l función f( lcn simpr un mínimo y ocurr n lgún punto d l frontr d A, nunc n su intrior. Si s limin l condición f(, l función f( pud lcnr un mínimo n un punto dl intrior d A cundo dicho vlor mínimo s. Ejmplo Si qurmos sr dónd l función f( - lcn un máximo o un mínimo n l rcinto crrdo y cotdo dfinido por, comnmos xprsándol n función d x y : f( (x + i y - (x + i y (x - y - x + i (xy -y y clculndo su módulo f( g(x,y ( x y x + (xy y como s s qu mximir un rí s quivlnt mximir su rdicndo, tomrmos l función g lvd l cudrdo, y como smos qu l máximo lo tomrá n lgún punto d frontr, podmos prmtrir l circunfrnci ponindo x cos t, y sn t, con t π, y uscr los máximos d l función Rcordr: cos t - sn t Módulo cos (t I - Unidd sn t cos t sn (t
G(t [g(cos t, sn t] (cos t sn t cos t + (cos t snt sn t (cos t cost + ( sn t snt S dj como jrcicio vrificr qu los puntos críticos d st función son t, t π y por lo tnto los posils puntos dond l módulo tom l máximo vlor son: (x,y (cos, sn (, y (x,y (cosπ, snπ ( -, omo f( g(, y f( g(-,, podmos firmr qu f( tom l máximo vlor n l punto - + i -, y pr todos los compljos d, s vrific f( Es intrsnt hcr notr qu f( tom l mínimo vlor n l punto + i, pus n dicho punto l función vl cro y smos qu por trtrs d un módulo s vrific f( y por lo tnto f( f( pr todo d Es importnt hcr notr qu n st jmplo ncontrmos un mínimo sor l frontr, pro sgún hicimos notr n l osrvción ntrior l función tom un mínimo n los puntos dl rcinto dond ls funcions u y v s nuln simultánmnt, s dcir puntos dond f(, n st cso s osrv qu - ó, por lo tnto l función pos un mínimo tmién n un punto dl intrior d l rgión. Ξ Propidd : Máximo d funcions rmónics Si f( u(x,y + i v(x,y s un función continu n un rgión cotd crrd A y nlític y no constnt n l intrior d A, ntoncs ls funcions u(x,y y v(x,y lcnn su máximo n l frontr d A y nunc n su intrior. Dmostrción Si considrmos l función g( f(, composición d f con l xponncil, podmos firmr qu g s continu n A y nlític y no constnt n l intrior d A, por l T. dl módulo máximo smos qu g( u(x,y lcn su máximo n un punto d l frontr d A. omo l función xponncil s crcint, s sigu qu l máximo vlor d u(x,y s lcn n un punto d l frontr d A. Si n cmio considrmos l función h( -if( cuyo módulo s h( v(x,y pud dmostrrs n form similr qu l máximo vlor d v(x,y s lcn n un punto d l frontr d A. Ξ Torm d Liouvill Si f( s nlític y cotd n todo l plno compljo ntoncs f( s un función constnt. 4
Dmostrción S un circunfrnci cntrd n un punto culquir y d rdio ritrrio R, s dcir : - R. omo smos qu f s nlític n todo l plno podmos plicr l fórmul d l drivd d f( uchy pr n : d π i f '( - ( omo smos qu f stá cotd n todo l plno, smos qu xist un constnt positiv M tl qu f( M, sto nos prmit cotr l intgrl ntrior como s mustr continución y s dj crgo dl lumno l justificción d cd pso: f( f( M '( πi d d d πr ( - π π R πr R f por lo tnto podmos firmr qu pr todo compljo y pr todo R vl : f '( M/R omo M s un constnt fij y R pud tomrs tn grnd como s quir, l cocint M/R s tn crcno cro como s quir, por lo tnto l únic posiilidd s qu f '(, como s culquir signific qu f'( pr todo dl plno compljo y por lo tnto l función f( d sr un constnt. Ejrcicios 6- L función d vril rl f(x sn x s drivl pr todo x y stá cotd pus sn x, sto contrdic l T. d Liouvill? Explicr 7- Hllr l máximo y l mínimo d f( n los rcintos indicdos f ( - + n y n - f( cos n A {(x,y / x π/4, - y } M M 8- lculr Mx B R sindo B R { / R, Arg( π/4} Mx D + sindo D { /, Arg( π/4} 9 - Justificr qu d, sindo culquir curv crrd qu no ps por l orign y n n s un nturl fijo myor o igul, sin mrgo l función f( / n no s nlític n, contrdic st hcho l T. d Morr? 5