Colego Sagrada Famla Matemátcas 4º ESO 011-01 1.- TERMIOLOGÍA. TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA La poblacó es el cojuto de de todos los elemetos, que cumpledo ua codcó, deseamos estudar. Por ejemplo: los habtates de ua cudad, los alumos de u colego, las gallas de ua graja, etc. U dvduo es cada uo de los elemetos de la poblacó. Ua muestra es cualquer subcojuto de la poblacó (por ejemplo: 100 alumos del colego, 1.000 habtates de ua cudad, 300 gallas de ua graja, etc). Cada ua de las propedades que se puede estudar se llama carácter estadístco (por ejemplo: talla, peso, seo, estado cvl, etc). Puede ser cuattatvos s se puede medr umércamete (por ejemplo: la talla, el peso, etc) o cualtatvo s o se puede medr umércamete (Ej.: seo, estado cvl, etc). Al cojuto de valores que toma u carácter se le llama varable estadístca que podrá ser cualtatva o cuattatva, depededo de s el carácter es cualtatvo o cuattatvo, respectvamete. Ua varable será dscreta s sólo puede tomar determados valores (Ej.: úmero de hermaos, úmero de aprobados, etc). Ua varable será cotua s puede tomar todos los valores posbles de u tervalo (Ej.: altura de ua persoa, peso, etc). A veces (sobre todo e las v. cotuas) es ecesaro agrupar e tervalos los valores. A esos tervalos se les llama tervalos de clase. Al puto medo de cada tervalo de clase se le llama marca de clase ( ). Por ejemplo, s estudamos las alturas de 1.000 persoas, es lógco agrupar dchas alturas e tervalos de, por ejemplo, 10 cm. Es decr: [1 40, 1 0), [1 0, 1 60)... [ 40, 0). Las marcas de clase será: 1 4, 1, 1 6,..., 4. La frecueca absoluta (f ) es el úmero de veces que se repte u valor (s está agrupados e tervalos de clase, la frecueca absoluta del tervalo será el úmero de veces que aparece u valor cualquera de ese tervalo). La frecueca relatva (f r ) de u valor es el cocete etre la frecueca absoluta del valor el úmero total de datos f r f La frecueca absoluta acumulada (F ) de u valor es la suma de todas las frecuecas absolutas de los valores meores o guales al valor. La frecueca relatva acumulada ( F r ) de u valor es la suma de todas las frecuecas relatvas de los valores meores o guales al valor. Propedades de la frecueca relatva: 1. 0 f r 1. f 1 r =1 Tablas de frecuecas: So tablas dode se refleja los datos obtedos las dferetes frecuecas: Itervalos de clase Marcas de clase () f fr F Fr (grados) 10-160 1 1 1/1=0 066 1 0 066 4 160-170 16 3 3/1=0 4 0 66 7
Colego Sagrada Famla Matemátcas 4º ESO 011-01 170-180 17 4 4/1=0 66 8 0 3 96 180-190 18 7 7/1=0 466 1 1 168 Totales 1 360 GRÁFICOS ESTADISTICOS Dagramas de barras Asoca a cada valor ua barra, geeralmete vertcal, de altura gual a la frecueca (absoluta o relatva) 7 6 4 3 1 0 [10,160) [160-170) [170-180) [180,190) Las frecuecas represetadas puede ser las relatvas (dagrama de barras de frecuecas relatvas), las absolutas (dagrama de barras de frecuecas absolutas) o las acumuladas. Hstogramas Se utlza para varables agrupadas e tervalos. El gráfco asoca a cada tervalo u rectágulo, de maera que su área sea gual a la frecueca absoluta del tervalo. Polígoos de frecuecas Es la líea (polígoo) que ue los putos correspodetes a las frecuecas (que puede ser relatvas - polígoo de frecuecas relatvas-, o absolutas -polígoo de frecuecas absolutas-) o los etremos superores de las barras (s se realza sobre el dagrama de barras). 7 6 4 3 1 0 [10,160) [160-170) [170-180) [180,190) Dagrama de Sectores Cada valor vee represetado por u sector crcular de ampltud proporcoal a su frecueca. ormalmete se utlza tatos por ceto para reflejar las frecuecas. [180,190) [10,160) [160-170) [10,160) [160-170) [170-180) [180,190) [170-180).- PARÁMETROS ESTADÍSTICOS Descrbe el comportameto característcas de u cojuto de datos. So de dos tpos: meddas de cetralzacó de dspersó. Meddas de cetralzacó
Colego Sagrada Famla Matemátcas 4º ESO 011-01 Moda Es el valor co maor frecueca. Es la medda cetral más seclla es la medda más adecuada cuado se trabaja co datos cualtatvos. Puede ocurrr que esta dos valores co maor e gual frecueca. E ese caso se dce que es bmodal. Es poco represetatva s el rago es mu amplo. E el ejemplo estudado de las alturas la moda sería 18. Medaa La medaa deja tatos valores por debajo de ella como por ecma. Es decr, es el valor que acumula u 0 de frecueca relatva. Por tato, para su cálculo los datos debe estar ordeados de meor a maor. S el úmero de datos es mpar, la medaa es el valor que se ecuetra e la mtad de la sere de datos. S el úmero de datos es par, la meda se calcula como la meda de los dos valores cetrales. Preseta el msmo problema que la moda, pero tee la vetaja de poderse calcular fáclmete usado la gráfca del dagrama de frecuecas relatvas acumuladas. Ejemplo: S teemos las sguetes estaturas de u cojuto de alumos (178, 180, 168, 183, 168, 181, 174, 176, 171) para calcular la medaa los ordeamos: 168, 168, 171, 174, 176, 178, 180, 181, 183. Como ha 9 datos, la medaa será el quto, es decr, 176 (que deja cuatro datos por debajo de él cuatro por ecma). S los datos fuese los sguetes: 168, 168, 171, 174, 17, 176, 178, 180, 181, 183, la medaa (al ser u úmero par de datos) sería la meda de los datos cetrales, es decr, (17+176)/ = 17 Meda ( ) Es la mejor medda para descrbr el promedo. Se calcula co la sguete fórmula: 1 f 1 f r = valor (ó la marca de clases del tervalo ) f = frecueca absoluta del valor f r = frecueca relatva del valor = umero de valores dferetes = úmero total de valores E el ejemplo de las alturas la meda sera: 11163 17 4 18 7 1 0'06 16 0' 17 0'66 18 0'466 176'333 1 Meddas de dspersó Da ua dea del alejameto de los datos respecto de las meddas de cetralzacó. Rago, ampltud o recorrdo Es la dfereca etre el maor el meor valor de los datos. Al cosderar sólo el meor el maor de los datos, o proporcoa buea formacó del cojuto. E el ejemplo, el rago sera: 190-10=40 Este problema se puede tetar solucoar medate los cuatles (cuartles, decles percetles). Resulta cómodos de calcular sobre el polígoo de frecuecas relatvas acumuladas. Los cuartles se obtee ordeado los datos dvdédolos e cuatro partes co gual úmero de datos. A cada uo de los tres valores que establece la dvsó e cuatro partes se le llama cuartl. A la prmera dvsó (que acumula el 0 de frecueca relatva o el % de los datos) se le llama prmer cuartl (Q1). Al segudo, segudo cuartl (Q) al tercero tercer cuartl (Q3). De esa forma el segudo cuartl (que acumulará el % + % = 0% de los datos) cocdrá co la medaa. S e vez de cuatro partes, dvdmos los datos e 10 partes co gual úmero de datos cada uo, se obtee 9 valores que se llama decles se represeta como decl prmero ó D1 (que tedrá u 0 1 de frecueca relatva acumulada o acumula u 10% de los datos), decl segudo ó D, etc. Los percetles (o cetles) so los 99 valores que dvde el cojuto de datos e 100 partes guales. Los percetles 0, 40, 60 80 se llama qutles (pues dvde el cojuto e partes). Varaza (, V)
Colego Sagrada Famla Matemátcas 4º ESO 011-01 Srve para estudar la varacó que este etre varas muestras o poblacoes. Su fórmula es: s los datos o está agrupados: s los datos está agrupados: E el ejemplo: 1 ( ) 1 1 f ( ) 1 f (1 176' 333) 1 (16 176' 333) 3 (17 176' 333) 4 (18 176' 333) 7 1 (1' 333) (11' 333) (1' 333) (8' 667) 44' 08 1 Desvacó típca (, s V ) De uso más frecuete que la varaza, se obtee a partr de ésta: La meda es el valor equtatvo que se obtedría al repartr todos los datos etre cada uo de ellos, metras que la desvacó típca mde lo equtatvo o justo del reparto. A maor desvacó típca, meor equdad e el reparto. E uestro ejemplo, la desvacó típca sera: 44' 08 6' 63 Coefcete de varacó de Pearso (CV) Srve para comparar dos poblacoes o muestras. El CV os da la varacó relatva de cada poblacó o muestra. A maor CV maor varacó etre los datos. Se escogerá etoces la poblacó o muestra co meor CV, pues es la que preseta maor homogeedad etre los datos, por tato, ua maor represetatvdad de la meda (se cosdera que la meda es represetatva a partr de u valor del CV meor de 0 4=40%). CV 6'63 E el ejemplo: CV 0' 037 176'333 ota: Cuado se costrue la tabla de frecuecas se pretede calcular parámetros estadístcos, es ormal clur, además de las a dcadas, columas correspodetes a f, (fudametalmete) a ( ) a f ( ). Co ello se faclta el cálculo de los parámetros la comprobacó de los resultados: Itervalos de clase Marcas de clase ( ) f f r f ( ) 10-160 1 1 1/1=0 066 1-1 333 4 096 160-170 16 3 3/1=0 49-11 333 18 436 170-180 17 4 4/1=0 66 700-1 333 1 776 180-190 18 7 7/1=0 466 19 8 667 7 116 3.- DISTRIBUCIOES BIDIMESIOALES. CORRELACIÓ Y REGRESIÓ LIEAL El problema a estudar cosste e averguar s este relacó etre dos feómeos, represetados por las varables X e Y. Por ejemplo como varía el peso co la altura. Es decr, se estuda dos varables, tetado ver medr el grado de depedeca o correlacó que este (s este) etre ambas.
Colego Sagrada Famla Matemátcas 4º ESO 011-01 Como estudamos dos varables, el estudo se referrá a varables bdmesoales. Al estudar dos varables, las tablas de frecuecas será del tpo: ( ) ( ) 1 7 0 0 8 0 04 0 64 7 18 16 3 8 4 84 14 44 10 0-8 -4 7 84 17 64 1 8 8-3 8-6 14 44 38 44 9 0 180 4 8 17 64 33 64 =4 =71 =409 =44 8 =104 8 La esteca de correlacó se puede observar gráfcamete. Para ello se represeta los datos e como putos (,) e el plao, obteedo putos del plao. A dcha represetacó e el plao se le llama dagrama de dspersó. Al cojuto de putos (,) se le llama ube de putos. Los parámetros estadístcos os va a permtr saber eactamete el grado de correlacó estete calcular la recta de regresó: Medas o medas margales (, ) So las medas de cada ua de las varables: E uestro ejemplo: f f 7 1 9 1 18 10 8 0 4'8 14' Desvacoes típcas ( ( s ), ( s ) ) Será las desvacoes típcas de X e Y s s f f Las varazas será (S se utlza la tercera epresó, e la tabla e vez de las columas - e -, ( ) ( ) se escrbrá dos columas correspodetes a e ) E el ejemplo: s s Covaraza ( (S ) 49 4 1 81 4'8 34 100 64 400 14' 8'96 '993 0'96 4'78
Colego Sagrada Famla Matemátcas 4º ESO 011-01 També se le llama covaraza cojuta. Se obtee medate el cálculo: ( ) E el ejemplo: 7 16 0 8 180 4' 814 1364 S be la covaraza permte obteer coclusoes sobre la esteca tpo de correlacó, se utlza u parámetro que permte más segurdad e las coclusoes. Se trata del coefcete de correlacó leal de Pearso. E el ejemplo: r c. de correlacó= r 1364 0' 99 ' 993 4' 78 El coefcete de correlacó mde la correlacó leal etre las dos varables. Su valor oscla etre -1 +1. S se aproma a +1, este correlacó leal, es drecta..s aumeta la varable X, aumeta la varable Y. Cuato más se aprome a +1, maor correlacó este. S se aproma a -1, este correlacó leal, es versa. S aumeta la varable X, dsmue la varable Y, vceversa. Cuato más se aprome a -1, maor correlacó este. S se aproma a 0, o este correlacó algua. La ube de putos tee forma redodeada. Recta de regresó S el coefcete de correlacó es prómo a +1 o -1, se puede tetar calcular la recta que se ajusta a la ube de putos. Dcha recta recbe el ombre de recta de regresó permte estmar el valor (descoocdo) de ua de las varables, coocedo el valor de la otra varable. La ecuacó de la recta de regresó será: E uestro ejemplo: 13'64-14' = ( 4'8) 1' 6'89 8'96 13'64 4'8 ( 14') 0'60 4'43 0'96 ( Varable e fucó de ) ( Varable e fucó de ) A veces sólo tee setdo estudar ua recta de regresó. Por ejemplo, s = kg de fertlzates e = Redmetos obtedos, es lógco ver como depede frete a. Es decr ver como varía los redmetos al varar la catdad de kg de fertlzates usados. Calcularíamos por tato la recta La otra o llegaría a estudarse a que la catdad de fertlzates utlzados o depede (e la práctca) de los redmetos obtedos..