MEDIDAS RESUMEN OBJETIVOS. Al término de la unidad el alumno podrá:

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1 3 MEDIDAS RESUMEN OBJETIVOS Al térmo de la udad el alumo podrá: 3. Compreder las meddas como ua herrameta más que descrbe los datos obtedos e ua vestgacó socal o de la vda dara. 3. Compreder los sgfcados de las dferetes meddas de tedeca cetral. 3.3 Calcular las dferetes meddas de tedeca cetral para datos o agrupados y agrupados. 3.4 Compreder los sgfcados de las dferetes meddas de poscó. 3.5 Calcular las meddas de poscó para datos o agrupados y agrupados. 3.6 Compreder los sgfcados de las dferetes meddas de dspersó e valor absoluto y e valor relatvo. 3.7 Calcular las dferetes meddas de dspersó para datos o agrupados y agrupados. 3.8 Dferecar varaca y desvacó estádar, de ua muestra y de ua poblacó 3.9 Compreder el sgfcado de la desvacó estádar al ser aplcada la regla empírca y el teorema de Chebyshev. 3.0 Eteder el sgfcado de sesgo y curtoss. 3. Calcular las meddas de forma para datos o agrupados y agrupados. 3. Eteder las gráfcas de caja- bgote y curva ormal. 3.3 Costrur las gráfcas caja-bgote y curva ormal como recursos para el aálss del comportameto de datos, basado e el cálculo de alguas meddas resume. 3.4 Aplcará las meddas resume detfcado las que mejor se adecue a stuacoes partculares.

2 3 MEDIDAS RESUMEN 3. Meddas resume, 8 3. Meddas de tedeca cetral, Meda artmétca, Meda geométrca, 3..3 Meda armóca, Comparacó teórca etre meda artmétca, geométrca y armóca, Medaa, Moda, Comparacó etre meda, medaa y moda, Rago medo, Eje medo, Cuadro resume de las meddas de tedeca cetral, Meddas de poscó, Cuatles: cuartles, decles y percetles, Meddas de varabldad, Rago, 38 o Itercuartílco, Desvacó meda, Varaza, Desvacó estádar, Iterpretacó de la desvacó estádar, 53 o Regla empírca, 53 o Teorema de Chebyshev, Coefcete de varacó, Putuacoes estadarzadas (putuacoes z), Cuadro resume de las meddas de varabldad, 57

3 3.5 Meddas de forma, Asmetría, Curtoss, Represetacoes gráfcas, Caja-bgote, Curva ormal, 6 Resume del capítulo, 6 Glosaro, 64 Fórmulas, 65 Respuestas a Autoeámees, 69 Bblografía, 70 3

4 Objetvo geeral: Idetfcar a las meddas descrptvas o meddas resume como u recurso de aálss que cocetra la formacó más relevate de u cojuto de datos. Objetvos de apredzaje del capítulo 3. Compreder las meddas como ua herrameta más que descrbe los datos obtedos e ua vestgacó socal o de la vda dara. Apartados del capítulo 3. Meddas resume 3. Compreder los sgfcados de las dferetes meddas de tedeca cetral. 3.3 Calcular las dferetes meddas de tedeca cetral para datos o agrupados y agrupados. 3. Meddas de tedeca cetral 3.. Meda artmétca 3.. Meda Geométrca 3..3 Meda Armóca 3..4 Comparacó teórco etre meda artmétca, geométrca y armóca 3..5 Medaa 3. 6 Moda 3..7 Comparacó etre meda, medaa y moda 3..8 Rago medo 3..9 Eje medo 3..0 Cuadro resume de meddas de tedeca cetral 3.4 Compreder los sgfcados de las dferetes meddas de poscó. 3.5 Calcular las meddas de poscó para datos o agrupados y agrupados. 3.6 Compreder los sgfcados de las dferetes meddas de dspersó e valor absoluto y e valor relatvo. 3.7 Calcular las dferetes meddas de dspersó para datos o 3.3 Meddas de poscó 3.3. Cuatles: cuartles, decles y percetles 3.4 Meddas de dspersó 3.4. Rago Itercuartílco Iterpercetílco 3.4. Desvacó meda Varaza 4

5 agrupados y agrupados. 3.8 Dferecar varaca y desvacó estádar, de ua muestra y de ua poblacó 3.9 Compreder el sgfcado de la desvacó estádar al ser aplcada la regla empírca y el teorema de Chebyshev. 3.0 Eteder el sgfcado de sesgo y curtoss. 3. Calcular las meddas de forma para datos o agrupados y agrupados. 3. Eteder las gráfcas de cajabgote y curva ormal. 3.3 Costrurá los gráfcos cajabgote y curva ormal como recursos para el aálss del comportameto de datos, basado e el cálculo de alguas meddas resume Desvacó estádar Teorema de Chebyshef Coefcete de varacó 3.4.7Putuacoes estadarzadas (putuacoes z) 3.4.8Cuadro resume de las meddas de varabldad 3.5 Meddas de forma 3.5. Asmetría 3.5. Curtoss 3.6 Represetacoes gráfcas 3.6. Caja-bgote 3.6. Curva ormal 3.4 Aplcará las meddas resume detfcado las que mejor se adecue a stuacoes partculares. 5

6 Pafut L. Vovch Chebyshef Nacó el 4 de mayo de 8 e la aldea rusa de Okatovo. De ño mostraba gra satsfaccó vetado juguetes mecácos. Su madre le do sus prmeras clases de lectura y escrtura, y su prma las de Artmétca y Fracés. E el año 83 la famla Chebyshev se trasladó a Moscú para facltar a sus hjos la preparacó para los estudos superores y la assteca a la Uversdad. A los 6 años se matrculó e la Facultad de Físca y Matemátcas de la Uversdad de Moscú y acabó la carrera e 84 co u trabajo de ecuacoes algebracas premado co ua medalla. Sus años uverstaros fuero de gra mportaca para él, pues o sólo adquró sóldos coocmetos so que, al msmo tempo, recbó de destacados profesores mportates mpulsos y estímulos para su propo trabajo. E 846, a los 5 años de edad, hzo su tess de Magster y a los 9 años era ya catedrátco de la Uversdad de Petersburgo. Desempeñó u mportate papel como creador de la escuela matemátca de Petersburgo. E sus clases, mpartdas de modo cautvador, tercalaba a meudo observacoes hstórcas sobre cualquer problema matemátco. Ayudaba a los estudates a superar muchas dfcultades co valosos cosejos. Les propoía para el estudo persoal problemas que prometía mportates e teresates solucoes y evaluaba trabajos para oposcoes y tess doctorales. Ua vez a la semaa recbía e su casa a todos los estudates y jóvees cetífcos que buscaba cosejo e cuestoes matemátcas. Chebyshev poseía la rara habldad de ofrecer a los jóvees problemas atractvos y rcos e varates, que sempre los etusasmaba de uevo por los estudos y por las Matemátcas. Alguos de sus dscípulos ha destacado y para muestra basta u botó; podemos ctar a Markov cuyas famosas cadeas de Markov, del campo de probabldades, ha tedo aplcacó e el estudo y la evolucó de la propagacó de certo tpo de cácer que seguía uo de los modelos de las llamadas cadeas de Markov. Llevó ua vda totalmete dedcada a la ceca ya que permaecó soltero y muró esperadamete el 6 de Novembre de 894. Es coocdo por su trabajo e el área de la probabldad y estadístca. La desgualdad de Chebyshev se emplea para la demostracó de la ley de los grades úmeros y el teorema de Bertrad-Chebyshev ( ). Se cosdera a Chebyshev uo de los fudadores de la matemátca rusa. Etre sus estudates estuvero Dmtry Grave, Aleksadr Kork, Aleksadr Lyapuov y Adre Markov, coocdos y prolífcos matemátcos. De acuerdo al Mathematcs Geealogy Project, Chebyshev tee alrededor de descedetes matemátcos. 6

7 3. MEDIDAS RESUMEN Detro del maejo de la formacó umérca, u aálss de datos o se lmta a la presetacó de ellos medate gráfcas y tablas, so además comprede el cálculo, resume y aálss de las característcas mportates de ua muestra o ua poblacó. Como ya se mecoó aterormete e el capítulo a estas meddas descrptvas o meddas resume se le llama estadístcos cuado se calcula a partr de ua muestra ( ˆ ) y parámetros ( ) cuado se geera a partr de ua poblacó. De forma geeral, las meddas resume descrptvas se dvde e: Cetralzacó o tedeca cetral. Se refere a los valores cetrales respecto a los que la mayoría de los datos tede a agruparse. Poscó. Dvde u cojuto ordeado de datos e subcojutos guales que cotee la msma catdad de datos. Dspersó. Idca la mayor o meor cocetracó de datos co respecto a las meddas de cetralzacó. Forma. Implca dos característcas que tee relacó co la smetría y el aputameto o curtoss que preseta la dstrbucó de los datos. Estas meddas resume puede ser calculadas tato para datos o agrupados como agrupados, es decr, puede geerarse a partr de los datos s procesar o també calcularse a partr de datos resumdos e ua tabla de frecuecas. 3. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL E el capítulo ateror, se mecoó que la presetacó gráfca de los datos proporcoa ua descrpcó geeral de los datos e cuato a su comportameto, s embargo, ésta o permte u tratameto estadístco de los msmos, para ello se utlza alguas otras meddas deomadas de tedeca cetral e las que se puede observar cómo se agrupa la mayoría de los datos alrededor de u valor cetral. 3.. MEDIA ARITMÉTICA La meda artmétca, es u valor cetral que se obtee al calcular el promedo artmétco de u cojuto de datos, se deota como ( barra) s se obtuvo de ua muestra y (letra grega mu) s la medda se obtee de la poblacó. El cálculo de la meda se realza co ayuda de las sguetes fórmulas: Poblacoal Muestral 7

8 Datos o agrupados N N (3.) (3.) dode: = Meda poblacoal N = Número de elemetos e la poblacó = Meda muestral = Número de elemetos e la muestra N Suma de todos los datos Datos agrupados N ( f N ) (3.3) ( f ) (3.4) dode: = Meda muestral = Meda poblacoal N = Número de elemetos e la poblacó = Número de elemetos e la muestra f = Frecueca de la clase o del tervalo =Marca de clase del tervalo N ( f * ) Suma de todos los productos f * EJEMPLO 3. E la carrera de Relacoes Iteracoales de la Uversdad Hspaoamercaa se obtuvo ua muestra de 33 alumos del grupo 00, de los que se regstró la edad e la tabla que se preseta a cotuacó a. Calcula el promedo artmétco para las edades del grupo SOLUCIÓN Para el cálculo de la meda, es precso otar que debdo a que los datos o está agrupados y se geeraro a partr de ua muestra, por lo tato la fórmula a utlzar es la sguete: 8

9 = =6/33=8.54 EJEMPLO 3. El úmero de cheques que se cobra e el Baco Satader durate el mes de abrl fuero: Clase f a. Calcula la meda artmétca del moto de los cheques que cobra el baco al mes SOLUCIÓN Como los datos so totales, respecto al regstro mesual, se asume que so poblacoales y debdo a que se preseta de forma agrupada ya que está resumdos e la tabla de frecuecas, por lo que se debe utlzar la fórmula (3.3): N ( f N ) Clase f pm f * Total 00 Total El cálculo de la meda se realza a partr de la suma de cada ua de las frecuecas multplcadas por la marca de clase y dvddo etre el úmero total de datos. Para este caso el cálculo es el sguete:

10 Observa que, tato para datos agrupados como para o agrupados, la eseca del cálculo es la msma, ya que se refere a la suma de los datos dvddos etre el total de los msmos. Ua de las vetajas de la meda es que es u cocepto que resulta claro, además de ser la medda de tedeca cetral más utlzada, por otra parte, para cada cojuto de datos este ua y sólo ua meda. Otra vetaja es que permte realzar comparacoes etre dos o más grupos de datos. Detro de las desvetajas que preseta la meda, la prmera es que, aú cuado el cálculo de la meda toma e cueta cada uo de los valores, ésta es afectada por la preseca de valores etremos, para evtar esto será ecesaro elmar los casos atípcos. Por otra parte, s se cueta co muchos datos, el cálculo de la meda para datos o agrupados es tedoso, por lo que se recomeda llevarlo a cabo a partr de ua tabla de frecuecas, y por últmo, s el cálculo de la meda se realza para datos agrupados a partr de ua tabla de frecuecas co tervalos abertos, el cálculo de la meda resulta mposble. Autoeame 3. Las respuestas se ecuetra al fal del capítulo.. E ua ofca del sector públco que se localza e u cetro comercal, dode se atede quejas relacoadas co el servco telefóco desarrolló u proceso para ateder a sus cletes durate ua hora pco. Se regstró el tempo de espera e mutos de ua muestra de 5 cletes desde el mometo de su llegada hasta el mometo e que los atedero a. Calcula la para el tempo de espera de los cletes desde el mometo e que llega hasta que so ateddos.. La edad de los resdetes de la Casa Hogar La Luz tee la sguete dstrbucó: Clase 0 Frecueca

11 a. Calcula la meda artmétca de edad de los resdetes de este lugar. 3.. MEDIA GEOMÉTRICA E ocasoes es ecesaro coocer la tasa promedo de varacó que preseta u grupo de datos que camba cada certo perodo. La meda geométrca se suele utlzar e seres de datos como tpos de terés auales, flacó, etc. Dode el valor de cada año tee u efecto multplcatvo sobre el de los años aterores. La meda geométrca de ua catdad fta de úmeros es la raíz -ésma del producto de todos los úmeros y se deota como M.G. M. G producto de todos los valores M. G ( )( )( 3)...( ) (3.5) Sólo es relevate la meda geométrca s todos los úmeros so postvos, s uo de ellos es 0, etoces el resultado es 0. S este u úmero egatvo mpar, etoces la meda geométrca es egatva o be estete e los úmeros reales. EJEMPLO 3.3 Las sguetes so las cfras de las Gree Cards otorgadas por el gobero de Estados Udos de Amérca a mecaos durate el perodo ,30 5,600 5,74 5,965 7,630 a. Calcula el promedo artmétco de Gree Cards otorgadas durate estos cco años SOLUCIÓN Para el cálculo de la meda geométrca, es precso otar que debdo a que los datos o está agrupados y se geeraro a partr de ua muestra, por lo tato la fórmula a utlzar es la sguete: M. G ( )( )( 3)...( ) 5 M. G 430 *5600 *574 *5965 *7630 5,84.07

12 Cuado las observacoes esta agrupadas e clases y se tee valores umércos grades, o es coveete utlzar la fórmula sguete: f f f 3 f M. G ( )( )( 3 )...( ) Es mejor la epresó matemátca que volucra a los logartmos e base 0, ya que los valores que se ecuetra so pequeños y por lo tato fácles de maejar: G atlog f log (3.6) Es coveete mecoar que, depededo del tpo de datos que se esté aalzado, será coveete utlzar la meda artmétca o la meda geométrca. Ua de las vetajas que preseta la meda geométrca es que e su cálculo se utlza todos los valores de la sere, por lo que o se perde gua formacó. S embargo, preseta el coveete de que su valor (tato e el caso de la meda artmétca como geométrca) se puede ver fludo por valores etremos, que se aparte e eceso del resto de la sere. Estos valores aómalos podría codcoar e gra medda el valor de la meda, perdedo ésta represetatvdad. Autoeame 3. Las respuestas se ecuetra al fal del capítulo.. Ua fábrca de telas ha elevado el costo de tul e u perodo que abarca los últmos cco años e los sguetes porcetajes % 0.5% 9.0% 6.0% 7.5% a. Calcula la meda geométrca para este perodo. U socólogo ha estudado el úmero de procesados asgados al Reclusoro Norte. Los datos está epresados e térmos de aumeto porcetual e el úmero de presos (u úmero egatvo dca ua dsmucó porcetual).

13 % 5% 0% 3% 6% -5% a. Calcule el aumeto porcetual promedo de 988 a 993 Cosejo: El térmo promedo e alguas ocasoes se utlza para señalar cualquer medda de tedeca cetral y, e forma partcular para detfcar a la meda. Por esta ambgüedad, es coveete o usar el térmo cuado se alude a ua medda de tedeca cetral específca. E su lugar, se deberá señalar el térmo cocreto, tal como meda, medaa, moda, rago medo y eje medo. Cuado e algú medo de comucacó se reporte u valor como promedo, se prestará a etederse que el valor puede ser el resultado de cualquera de las dsttas defcoes MEDIA ARMÓNICA La meda armóca, auque o es utlzada ta frecuetemete como la meda artmétca, se aplca cuado se requere promedar razoes. La razó usualmete dca la relacó etre dos tpos dferetes de udades, por lo que para estos casos es coveete la aplcacó de la meda armóca cuado se trata de promedar valores que so epresados e dferetes udades. Por ejemplo, s ua persoa camó 0 mllas e dos horas, esta razó puede ser epresada de la sguete forma: 0 mllas horas 5 mllas horas 5 mllas por hora horas 0 mllas 5 horas por mlla La meda armóca de ua catdad fta de úmeros es gual al recíproco, o verso, de la meda artmétca de los recíprocos de dchos úmeros y se represeta por H. Así, dados los úmeros,,..,, la meda armóca será gual a: 3

14 Datos o agrupados H (... ) dode: H = Meda armóca / = Recíproco del valor = Número de elemetos e la muestra (3.7) Suma de todos los recíprocos de cada dato H Datos agrupados ( f * ) dode: = Marca de clase del tervalo f = Frecueca del tervalo = Suma de las frecuecas absolutas (3.8) EJEMPLO 3.4 Tres autos recorre e ua competeca klómetros. Sus recorrdos está dados e la sguete tabla: Auto Km por hora A 90 B 80 C 00 a. Calcula el promedo del recorrdo de los tres autos SOLUCIÓN Para el cálculo de la meda armóca, lo prmero que se tee que calcular es el recíproco o la razó de cada competdor. Auto Km por hora A /90 B /80 C /00 E seguda se calcula la meda armóca 4

15 H klómetros por hora 3 3 La meda armóca resulta poco fluda por la esteca de valores etremos altos co relacó al cojuto, sedo e cambo más sesble a valores etremos pequeños. La meda armóca o está defda e el caso de la esteca e el cojuto de valores ulos o ceros. Esta medda se utlza comúmete para promedar velocdades, tempos, redmeto, etc. EJEMPLO 3.5 A cotuacó se preseta el úmero de reportes que se recbe e el departameto de soporte técco de la compañía EDS tomadas de ua muestra de 0 días. clases f SOLUCIÓN Para el cálculo de la meda armóca para datos agrupados se requere calcular clases Marca de clase f H H

16 Por lo tato, el promedo de reportes que se espera por día es COMPARACIÓN TEÓRICA ENTRE MEDIA ARITMÉTICA, GEOMÉTRICA Y ARMÓNICA Etre la meda artmétca, la meda geométrca y meda armóca se da sempre la sguete relacó: H G X MEDIANA La medaa de u cojuto fto de valores es el valor que dvde al cojuto e dos partes guales, de forma que el úmero de valores mayor o gual a la medaa es gual al úmero de valores meores o gual a estos. Su aplcacó se ve lmtada ya que solo cosdera el orde jerárquco de los datos y o las propedades de los M datos, como sucede e el caso de la meda. La medaa se deota por ~ e o. Para el cálculo de la medaa lo prmero que se requere es ordear los datos e forma ascedete o descedete (cualquera de los dos crteros coduce al msmo resultado), después se aplca la fórmula sguete segú sea el caso. Para el caso de datos o agrupados e el que el úmero de valores es mpar, el valor cetral es úco, pero cuado el úmero de valores e el cojuto es par, o este u solo valor medo, este dos valores medos y por lo tato, la medaa es el promedo de los msmos. Datos o agrupados Par =Número de elemetos del arreglo M e : ( ) Impar (3.9) 6

17 Datos agrupados dode: Me L f acum( ) * f medaa (3.0) L = Lmte real feror dode se ecuetra la clase medaa Clase medaa se ubca al ecotrar e la frecueca acumulada de la dstrbucó = Número de observacoes o frecueca total. f acum = frecueca acumulada ateror a la clase medaa. f medaa = Frecueca absoluta de la clase medaa = Acho de la clase e la que se ecuetra la clase medaa Alguas vetajas de la medaa es que al gual que la meda es que es u valor úco, es seclla e su cálculo y como es u valor medo respecto a la ubcacó, los valores etremos o tee efectos mportates sobre el cálculo de la msma, stuacó que s ocurre co la meda. EJEMPLO 3.6 Dados los tempos de esamble de u juguete e el área de electrócos. A partr de los tempos regstrados para sete trabajadores dferetes. Calcule la medaa para este cojuto de datos. Juguete Tempo SOLUCIÓN Como prmer paso se debe ordear el arreglo ateror Juguete Tempo Ua vez ordeado el arreglo, se observa que el úmero de datos es mpar M e 7 4 7

18 Por lo que el valor de la medaa es aquel que se ubca e la cuarta poscó cotado de derecha a zquerda o vceversa. Para este caso el valor de la ~ 4. 8 EJEMPLO 3.7 E el Hosptal Geeral, se regstraro las edades de las atecoes médcas brdadas por el hosptal. Calcula la medaa para los sguetes datos. Tabla de frecuecas de edad segú el úmero de atecoes e u f de semaa Itervalos Marca de clase f f acumulada [0-0) [0-30) [30-40) [40-50) [50-60) 55 5 [60-70) [70-80) SOLUCIÓN Para calcular la medaa, lo prmero que se tee que ubcar es la clase medaa. Dado que = 55 la clase medaa se ubca segú / 6. 5, por lo tato dode se ubca la clase medaa es el tervalo que correspode a [0-30). Ahora es ecesaro determar lo sguete: L 0 f 8 0 acum( ) f medaa Susttuyedo e la ecuacó tedremos: 0 Me L f acum( ) * f medaa 8

19 Me * Por lo tato se cocluye que el 50% de las persoas ateddas e u f de semaa por el hosptal tee ua edad feror a los 0.96 años MODA La moda de u cojuto de datos, que suele represetarse por M o; es el valor que ocurre co mayor frecueca, es decr, es el dato que se preseta e más ocasoes. Cuado gú valor se repte, se dce que o este moda. Cuado dos valores ocurre co la msma frecueca y ésta es la más alta, ambos valores so moda, por lo que se dce que el cojuto de datos es bmodal. Cuado más de dos valores ocurre co la msma frecueca y ésta es la más alta, todos los valores so moda, por lo tato el cojuto de datos es multmodal. Lo ateror se puede vsualzar e forma gráfca e la sguete fgura: S moda Datos o agrupados Valor o valores co frecueca mayor Datos agrupados d Mo LMo * d d (3.) 9

20 dode: L Mo = Límte real feror de la clase modal Clase modal= Ubcacó de la clase dode la frecueca sea mayor d = Frecueca de la clase modal meos la frecueca que se ecuetra por debajo de ella. d = Frecueca de la clase modal meos la frecueca de la clase que se ecuetra medatamete por ecma de ella = Acho de la clase o tervalo de la clase modal EJEMPLO Se tomaro los tempos de esamble de u juguete e el área de electrócos durate tres días segudos, tempos que se regstraro e la sguete tabla. Calcule la moda para el los días, y 3. Día Juguete Tempo Día Juguete Tempo Día 3 Juguete Tempo SOLUCIÓN Al observar el cojuto de datos y la defcó del cocepto moda, se puede coclur que para estos datos tomados durate tres días segudos, se tee que: a) E el día o este moda b) Para el día, la moda es el tempo 5. y a este caso se le deoma umodal c) El día 3 preseta tres valores que se repte dos veces cada uo de ellos, los cuales so 5., 5.0 y 4.8. Por lo que a este caso se le deoma multmodal. 0

21 EJEMPLO 3.9 Cuado se trata de datos agrupados, el cálculo de la moda se lleva a cabo medate la fórmula 3.0. Retomado el ejemplo del Hosptal Geeral durate u f de semaa. La clase modal se ubca e la clase dode se ecuetre la mayor frecueca, para este caso es [0-30), por lo tato: Tabla de frecuecas de edad segú el úmero de atecoes e u f de semaa Itervalos Marca de clase f [0-0) 5 8 [0-30) 5 0 [30-40) 35 4 [40-50) 45 8 [50-60) 55 [60-70) 65 [70-80) SOLUCIÓN L 0 d Mo d 0 Mo 0 6 *0 0 (.666 ) * La moda, por ser ua medda de poscó cetral, tee la vetaja de que es adecuada tato para datos cualtatvos como cuattatvos, o se ve afectada por valores etremos y se puede utlzar aú cuado ua o más clases sea de etremo aberto. Los tervalos se clasfca segú sus característcas e:

22 Es mportate señalar que la moda també puede obteerse o solo para datos umércos so també e datos categórcos. Observe la sguete tabla. Resultados de la votacó para Presdete de los EUM por etdad Federatva AGUASCALIENTES Partdo No. de votates PAN PRD 8990 PRI 9753 ALTERNATIVA 75 ALIANZA 5597 Para el caso de datos categórcos el cocepto de la moda sgue sedo semejate que para datos de tpo umércos, observe que para este ejemplo la moda correspode al Partdo de Accó Nacoal (PAN) que tee la frecueca más alta e votos COM PARACIÓN ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA Las dstrbucoes preseta ua característca deomada sesgo, el sesgo habla de la agrupacó del cojuto de datos o ua mayor cocetracó haca la o o Acotados No acotados [a,b] [a, b) (a,b] (a,b) (-, a] (-, a) [a, ) (a, ) A su vez se deoma cerrados o abertos segú etre o o los etremos. Así por ejemplo: o [,3] es cerrado o (3,6] es aberto a la zquerda y cerrado a la derecha o (4, 5) aberto o [7,9) es cerrado a la zquerda y aberto a la derecha

23 zquerda s es u sesgo postvo o haca la derecha s es u sesgo egatvo. Es mportate mecoar que cuado e u cojuto de datos la meda=medaa=moda se hace refereca a ua dstrbucó smétrca, lo que gráfcamete sgfcaría que: = ˆ = ~ E ua dstrbucó sesgada a la derecha (postva). Para determar el valor de la moda, prmero se ubca el puto más alto de la curva (,y) y el valor de la moda es el que toma la abscsa (); la medaa se ecuetra a la derecha de la moda y la meda se preseta a la derecha de la medaa. ~(,y) ˆ E ua dstrbucó sesgada a la zquerda (egatva), el valor de la moda es el que toma la abscsa (), pero el valor de la medaa se ecuetra a la zquerda y la meda se ecuetra co u valor por debajo de la medaa. ~ ˆ (,y) 3..8 RANGO MEDIO 3

24 El rago medo es ua medda de tedeca cetral que permte ubcar el cetro a partr de los valores etremos, també es llamado alcace. D Datos o agrupados Mayor D Meor Ragomedo Datos agrupados 3 (3.) EJEMPLO 3.0 Seguros Atlas regstra la edad de sus asegurados para el llevar a cabo el cálculo de las prmas SOLUCIÓN El rago medo se utlza geeralmete e aálss de tpo facero, meteorológcos porque es ua medda resume seclla, rápda y adecuada que caracterza a todo u cojuto de datos. La desvetaja de esta medda es que cuado se utlza e datos como accoes al cerre o lecturas de temperaturas o cualquer cojuto que o cotega datos etremos. Por lo que hay que teer mucho cudado al utlzar el rago medo, ya que como sólo toma e cueta dos valores. Así, cuado este u valor atípco o es muy coveete utlzar el rago medo. Autoeame 3. Las respuestas se ecuetra al fal del capítulo. De acuerdo co el sguete cojuto de datos que se regstraro como mutos de espera para la evaluacó de ua cajera e ua sucursal bacara fuero de 7,4,9,7,3,0, 4, 3, 5 a. Calcula el rago medo del cojuto de datos. b. Eplca s resulta recomedable utlzar para este cojuto de 3 Para datos agrupados se toma el L de la prmera clase y el L s de la últma clase como dato meor y mayor respectvamete 4

25 datos el rago medo como resume EJE MEDIO El eje medo es ua medda resume que se utlza para superar posbles problemas que troduce los valores etremos de los datos, ya que utlza para su cálculo los cuarteles, que so meddas de poscó o cetral que se utlza para resumr grades catdades de datos. Q Q Ejemedo 3 Datos o agrupados dode: Q = prmer cuartl Q 3 = tercer cuartl (3.3) Debdo a que los cuartles so deomadas meddas de poscó o ubcacó, el cálculo de las msmas se verá a fodo e la sguete seccó. A cotuacó se preseta u cuadro resume de las meddas de tedeca cetral más mportates y alguas de sus propedades. 5

26 6

27 3..0 CUADRO RESUMEN DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Tabla 3. Comparacó de las meddas de tedeca cetral Medas de tedeca cetral Meda Medaa Defcó Es el promedo artmétco de u cojuto de datos y se obtee al sumar todos los úmeros y dvdrlos etre el total de ellos Es el valor medo o el promedo artmétco de los valores medos de u cojuto ordeado de úmeros REPRESEN- TACIÓN SIMBÓLICA Muestral ( X ) Poblacoal ( ) M d Qué ta comú es? La más comú De uso comú Esteca Sempre este Sempre este Toma e cueta cada valor? Se ve afectada por los valores etremos? V: Vetajas y D: Desvetajas Sí Sí V: Es u cocepto famlar para la mayor parte de la gete, se calcula e forma rápda y es aplcable e muchos procedmetos estadístcos D: Es adecuada s se preseta ua clase de etremo aberto e la parte feror o superor de la escala, e el caso de datos agrupados No No V: Puede calcularse para ua dstrbucó de clase aberta, s la medaa o se ecuetra e dcha clase; se puede obteer para datos de vel ordal, de tervalo y de razó. Es ua buea alteratva s hay alguos valores etremos. Moda Es el valor que se preseta co más frecueca e u M O Meos comú, pero, bajo Podría o estr; podría D: Se sacrfca eacttud al elegr u valor o u promedo artmétco de u par de valores, para represetar ua dstrbucó. No No V: Amplamete útl para datos e vel de medcó omal y ordal; se puede determar para 7

28 Meda geométrca cojuto de datos Es la e-ésma raíz del producto de valores postvos G o MG certas crcustacas, puede teer u valor sgular. Es comú su empleo e las áreas de egocos y de ecoomía haber más de ua Sempre este cualquera de los veles de medcó. Los valores etremos o la afecta e forma debda y se pude obteer au cuado se tega ua o más clases de etremo aberto. D: Es dfícl de terpretarla y compararla cuado se tee ua dstrbucó de frecuecas multmodal. E muchos de los cojutos de datos o este o cada valor es ua moda. No es aprovechable para posterores procedmetos estadístcos. Sí Sí V: Para su cálculo o se requere la ordeacó de los valores como para la obtecó de otros valores medos. Su empleo cuado los datos se refere a meddas de varacoes acumulatvas o su aplcacó e temas de correlacó y úmeros ídces. Meda armóca Es el verso de la meda artmétca de los versos de los úmeros H De uso lmtado Sempre este D: No puede obteerse por ua smple ojeada de los datos; su valor o se calcula de maera ta seclla como ocurre co la meda. No puede usarse cuado e u cojuto de datos, uo de ellos es cero o egatvo Sí No V: Su empleo para promedar varables tales como productvdades, velocdades, tempos, redmetos, tpos de 8

29 cambo. Rago medo Eje medo Valor que está a la mtad, etre el valor más grade y el más bajo Es la suma del prmer cuartl co el tercer cuartl dvdda etre dos RM EM Es comú su empleo e las áreas de fazas y de meteorolo gía De uso lmtado Sempre este Sempre este D: No es acosejable e dstrbucoes de varables co valores pequeños y gú valor puede ser cero, e vrtud de que /0 esta determado No Sí V: La maera seclla de obteerse. D: S e el cojuto de datos se preseta u valor etremo, el rago medo o es apropado. No No V: No se ve afectado por valores etremos muy pequeños o muy grades. D: Medda de tedeca cetral poco coocda y utlzada. Cometaros geerales: E ua coleccó de datos apromadamete smétrca (Ua dstrbucó es smétrca s la mtad zquerda de su hstograma es apromadamete ua mage e espejo de su mtad derecha) todos los promedos tede a ser guales. E ua coleccó de datos smétrca es coveete trabajar co la meda y la medaa. No este crteros objetvos para determar la medda de tedeca cetral más represetatva para todos los cojutos de datos. Cada ua de ellas ofrece vetajas y desvetajas, como aterormete se ha señalado. Deberá recordarse que e ua vestgacó socal se obtee prmero ua dstrbucó de frecuecas y después se calcula para cada varable la medda de tedeca cetral más adecuada, de acuerdo a los propóstos de la vestgacó y los veles de medcó. La meda artmétca se utlza mucho y por lo geeral es lo que los vestgadores cta cuado usa la palabra meda. 9

30 3.3 MEDIDAS DE POSICIÓN 3.3. CUANTILES: CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES Las meddas de poscó o cetral també llamadas cuatles (o fractles) debe su ombre al úmero de partes e las que dvde a u cojuto de datos y se emplea como meddas resume cuado se tee grades catdades de datos umércos, lo que sgfca que para cada tervalo este el msmo úmero de valores. Cuado la dstrbucó cotee u úmero alto de tervalos y se requere obteer u promedo de ua parte de ella, se puede dvdr la dstrbucó e cuatro, e dez o e ce partes, así so deomados cuartles, decles y percetles segú correspoda. Parecdo a la medaa que dvde u cojuto de datos eactamete por la mtad (el 50% de las observacoes) los cuartles dvde el total de las observacoes e varos segmetos que correspode a: Q :cotee el 5% de los datos Q : cotee el 50% del cojuto de datos Q 3 :cotee el 75% del total de las observacoes La represetacó gráfca sería la sguete: Q Q Q 3 Valor mímo Valor mámo 5% 50% 75% 00% Otros cuatles utlzados so los decles que dvde al cojuto de datos e dez y los percetles que lo dvde e ce partes guales. Como se puede observar, los cuartles dvde el total de datos e cuatro partes guales y de acuerdo a la defcó de la medaa, este valor correspode també al del segudo cuartll o Q. S se tee ua sere de valores X, X, X 3... X etoces: Datos o agrupados 30 ( ) Q : 4

31 dode: Q = prmer cuartl Q = medaa=segudo cuartl Q 3 = tercer cuartl Q 3 3( : 4 ) (3.4) (3.5) EJEMPLO 3. Las sguetes so las edades de ua muestra de estudates tomada etre los asstetes a u curso e la compañía SPSS Méco. Calcule los cuartles Q, Q y Q 3 para el cojuto de datos SOLUCIÓN Para calcular el Q, Q y Q 3 es ecesaro ordear los datos, recordemos que por ser u cocepto smlar al de la medaa, lo que se está calculado es la poscó que dvde al cojuto de datos e cuatro partes guales. A cotuacó se preseta el arreglo de datos ordeados Q Q 3 Q Para ello se utlza la fórmula ( ) (30 ) 3 Q Q Observe que el valor que correspode a la poscó 8 es el 9, el valor Q =9. La obtecó del cuartl Q se obtee a partr de 3

32 la fórmula para la medaa de datos pares, es decr, se calcula el promedo de los dos valores cetrales y, por lo tato: Q M e.5 El valor que dvde al cojuto de datos e 50% por ceto es el.5. Para el cuartl Q 3 se utlza la sguete fórmula: Q 3 3( 4 ) 3(30 4 ) Gráfcamete se puede observar lo sguete: Q =.5 Q =9 Q 3 =30 Valor mímo 5 Valor mámo 55 5% 50% 75% 00% Recuerda que o ua tabla de frecuecas, los cuartles se localza medate las sguetes fórmulas, cabe aclarar que la fórmula dca la poscó del valor e el que se dvde los datos. : Datos o agrupados Q Q 3 ( ) 4 3( ) 4 3

33 dode: Q = Prmer cuartl Q = Segudo cuartl Q3= Tercer cuartl Datos agrupados C k úmerodecuartldeseado : ( ) totaldecuartles d c C k Lk * f c k (3.5) (3.6) (3.7) dode: C k= Cuatl k (recuerde que esta varable toma la letra Q k s se calcula cuartles, D k s so decles y P k s so percetles) L k = Límte feror real de la clase e la que se ecuetra el cuartl k = Número de datos d c = Dfereca etre el valor calculado del cuartl e estudo. Localza su pocsó e la columa de frecueca acumulada fa meos la frecueca ateror F c = Frecueca absoluta del tervalo dode se ecuetra ubcado el cuartl e estudo k = Ampltud del tervalo o la clase dode se ubca el cuartl k EJEMPLO 3. Las sguetes so las edades de ua muestra de estudates tomada etre los asstetes a u curso e la compañía SPSS Méco. Calcule los cuartles Q, Q y Q 3 para el cojuto de datos

34 SOLUCIÓN Para calcular el Q, Q y Q 3 es ecesaro ordear los datos, recordemos que por ser u cocepto smlar al de la medaa, lo que se está calculado es la poscó que dvde al cojuto de datos e cuatro partes guales. A cotuacó se preseta el arreglo de datos ordeados. Q Q 3 Q Para ello se utlza la fórmula ( ) (30 ) 3 Q Q Observe que el valor que correspode a la poscó 8 es el 9, el valor Q =9. La obtecó del cuartl Q se obtee a partr de la fórmula para la medaa de datos pares, es decr, se calcula el promedo de los dos valores cetrales y, por lo tato: Q M e.5 El valor que dvde al cojuto de datos e 50% por ceto es el.5. Para el cuartl Q 3 se utlza la sguete fórmula: Q 3 3( ) 4 3(30 4 ) Gráfcamete se puede observar lo sguete: 34

35 Q =.5 Q =9 Q 3 =30 Valor mímo 5 Valor mámo 55 5% 50% 75% 00% EJEMPLO 3.3 El vcepresdete de ua cadea de locales de comda rápda, estuda las vetas de 00 locales de comda que se ecuetra e el Dstrto Federal y ha preparado la sguete tabla de frecuecas. Calcule los cuartles para el sguete cojuto de datos. Vetas (mles de Frecueca pesos) SOLUCIÓN Para el cálculo de los cuartles se utlza la fórmula que correspode a datos agrupados: 35

36 Paso # Calcular la frecueca acumulada a partr de la tabla Vetas (mles de pesos) f fa Paso # Calculo de la ubcacó de los cuartles C : (00) 4 5 se ubca e el tervalo C : (00) 4 50 se ubca e el tervalo C 3 : (00) 4 75 se ubca e el tervalo C 4 : (00) 4 00 se ubca e el tervalo Paso #3 Se obtee la dfereca etre el valor calculado y la frecueca acumulada ateror al cuartl que se está calculado. C : C :

37 C : C : Paso #4 Susttur e la fórmula 3. para los cuartles cuado los valores está agrupados e tervalos 4 Q Q Q 3 Q (00) 0 9 (00) 7 4 (00) 0 (00) MEDIDAS DE VARIABILIDAD S be las meddas de tedeca cetral proporcoa formacó acerca de los valores partculares de u cojuto de datos, los vestgadores e el campo de las cecas socales requere de otras herrametas estadístcas que permta obteer ua descrpcó umérca más completa. Estas herrametas so las meddas de varabldad, que descrbe la dspersó de u cojuto de datos. Por ejemplo, e las udades de dagóstco médco de la cadea Pfzer se mde el porcetaje de grasa corporal a ua muestra aleatora de 50 varoes, realzado e u f de semaa y resulta que la medaa es de 5.8 %. El porcetaje de grasa es ormal e este grupo de hombres? La respuesta es o, de acuerdo co los valores omales ya establecdos; pero qué se puede esperar de los resultados de los otros hombres que se practcaro el estudo y o formaro parte de la muestra? ellos també tee u porcetaje de grasa de 5.8%? qué puede coclurse cuado se sabe que este dagóstcos de alguas co porcetajes de grasa que va desde u 5% a u 3%. Las meddas de varabldad proporcoa la formacó adcoal ecesara para cotestar estas pregutas. La fgura 3.5.X muestra tres dferetes grupos cuyas dstrbucoes preseta que la meda artmétca es la msma ( 50) pero las varabldades dfere. =50 =50 3 =50 37

38 Al observar estas dstrbucoes se puede coclur que es ecesara ua medda que permta complemetar la formacó descrptva que proporcoa la meda. Las meddas de varabldad se clasfca e absolutas y relatvas, como se lustra a cotuacó. MEDIDAS DE VARIABILIDAD DATOS NO AGRUPADOS / DATOS AGRUPADOS EN VALOR ABSOLUTO EN VALOR RELATIVO RANGO COEFICIENTE DE VARIACIÓN RANGO INTERCUARTIL DESVIACIÓN MEDIA VARIANZA DESVIACIÓN ESTÁNDAR Fgura 3.5.XX Clasfcacó de las meddas de varabldad Es mportate señalar que los métodos de cálculo de las meddas de varabldad al gual que para las meddas de tedeca cetral y las de ubcacó dfere para datos o agrupados y agrupados RANGO La medda de dspersó más seclla es el rago, també coocdo por los epertos e estadístca como alcace, recorrdo o ampltud total, es de cálculo secllo y se defe como la dfereca etre el valor más grade del cojuto de datos y el valor más pequeño. S be el rago es fácl de calcular y de compreder, es ua medda burda de varabldad que sólo descrbe la dstaca etre los límtes eterores del cojuto de datos; esto hace que sea ua medda lmtada de dspersó, además de que se ve afectada por valores atípcos. U uso mportate del rago es e el asegurameto de caldad, dode el rago se utlza para 38

39 costrur gráfcas de cotrol 4. La fórmula para la obtecó del rago tato para datos agrupados como o agrupados es la sguete: Datos o agrupados Datos agrupados 5 Rago D M Dm (3.8) A cotuacó se muestra e la tabla 3. que cotee formacó sobre el PIB trmestral a precos de 993 e valores absolutos del 004 hasta la fecha. Tabla 3. Valores absolutos del PIB a precos de 993 e el sector servcos Udad de Medda: Mles de pesos a precos de 993. Perodo Servcos 004/0,080,667,94 004/0,07,56,00 004/03,084,465,87 004/04,58,798,66 005/0,4,00,59 005/0,55,367,6 005/03,33,47,73 005/04,04,93, /0,84,857,898 El rago de precos e servcos e este cojuto se calcula obteedo la dfereca etre el valor más alto que es,04,93,569 y el valor mímo,080,667,94. El resultado es 3,65,655. o RANGO INTERCUARTIL Otra medda de varabldad es el rago tercuartl que se defe como la dfereca etre tercer y el prmer cuartl, es decr Q 3 Q ; e térmos de percetles, ésta es la dstaca etre los valores 75% y 5% (P 75 P 5 ). El rago tercuartl es especalmete útl e stuacoes e dode los usuaros de datos está teresados e valores haca el medo (rago del 50% cetral) y meos teresados e los etremos. 4 Gráfcos de cotrol. Establecdos por Shewhart como ua maera de estmar la certdumbre de ua medda y sus compoetes a partr de formacó que se recolecta. 5 Para datos agrupados el D M dato mayor correspode al límte superor de la últma clase o tervalo y el D m dato meor correspoderá al límte feror de la prmera clase o tervalo 39

40 Datos o agrupados Datos agrupados RagoIter cuartl Q 3 Q P75 P5 (3.9) EJEMPLO 3.4 La sguete tabla muestra las putuacoes obtedas por alcohólcos de seo masculo que está e pleo proceso de rehabltacó (de ua escala del 0 al 60 de valores cotuos el especalsta determa co base e pruebas bo-scológcas la putuacó del pacete): Putuacoes hombres SOLUCIÓN El cálculo del rago tercuartl requere a su vez la obtecó de los Q y Q 3 para ello es ecesaro segur el procedmeto ya vsto e el ejemplo. putaje f fa L real Ls real

41 Paso # Se obtee la ubcacó del cuartl buscado Q : (/4)*63=40.75 Q 3 : (3/4)*63=.5 Paso # Se calcula la dfereca etre el valor obtedo e el paso y la frecueca acumulada ateror al cuartl buscado Q = =3.75 Q 3 =.5-0=.5 Paso #3 Se aplca la fórmula para la obtecó de Q y Q 3.75 Q = 9.5 * Q 3 = 34.5 * Por lo tato el rago tercuartl es Q 3 -Q =5.33. Recuerde que el rago tercuartl es el alcace que este etre el Q 3 y Q, la vetaja de éste es que o es sesble a datos atípcos. Este 5.33 sgfca etoces que el 50% de los datos se ecuetra etre los datos 9.88 y 35.6 gráfcamete sucede lo sguete: Q Q DESVIACIÓN MEDIA Esta medda també coocda como desvacó meda absoluta 6 o desvacó promedo o desvacó promedo absoluta, se deota por las sglas DM y es el promedo de los valores absolutos de las dferecas respecto a la meda y e térmos de ua fórmula, se calcula para ua muestra como sgue: 6 Por qué se gora los sgos de las desvacoes de la meda? Esto es así para evtar que las desvacoes postvas y egatvas de la meda se compesa etre sí, lo que de ocurrr así provocaría sempre ua meda cero, lo que daría como resultado u estmador s gua utldad. 4

42 Datos o agrupados MD dode: el valor de cada observacó X es la meda de los valores es el úmero de observacoes e la muestra Idca el valor absoluto (3.0) Datos agrupados MD f dode: es la marca de clase f es la frecueca de clase X es la meda de los valores es el úmero de observacoes e la muestra (3.) Idca el valor absoluto EJEMPLO 3.5 SOLUCIÓN Ua muestra de los archvos de ueve empleados de la embajada de Japó e Méco, reveló que, durate u perodo de cuatro meses, perdero el sguete úmero de días por efermedades:, 0, 5, 4, 9, 3,, y 3. Calcule la desvacó meda e terprete el resultado. Para el cálculo de la desvacó meda es ecesaro realzar el cálculo de la meda artmétca DM= =

43 EJEMPLO 3.6 Se regstraró el cosumo de eergía eléctrca de ua muestra de 38 hogares de la coloa Sa Crstóbal durate u estudo socoecoómco realzado e el Estado de Méco. Cosumo de eergía eléctrca (Kwh) No. de hogares SOLUCIÓN Para el cálculo de la desvacó meda es ecesaro:. Se determa la meda artmétca medate el procedmeto ya coocdo.. Para calcular la desvacó meda se determa el valor absoluto de cada marca de clase meos la meda artmétca 3. Se multplca el valor absoluto por la frecueca de cada tervalos de clase. 4. Se suma todos los productos y se dvde etre el úmero total de observacoes. 5. Se obtee el valor absoluto de la dfereca de cada Se marca de clase. Itervalos de clase (Kwh) f Marca de clase f * f * f *

44 DM Para su terpretacó se tee que la DM se obtee los valores de lo cual obteemos los límtes (308.89, 35.95) al localzar estos valores detro de los tervalos de clase teemos que el se ecuetra e el tercer tervalo metras que el se ecuetra e el 5º. Itervalo por lo que sumado las frecuecas absolutas que correspode a estos tres tervalos es 3. Aplcado la regla de tres se tee que: % Lo que correspode a 60.5% de los datos cae e este tervalo. Es coveete aclarar que éste porcetaje es úco para este problema e partcular. Más adelate se estudará la terpretacó de la desvacó estádar y e ella se preseta la regla empírca que o es la que se está aplcado e este mometo. Cuado se trabaja la DM, se obtee el porcetaje para cada e partcular. La desvacó meda tee como vetaja que su compresó es seclla, ya que es el promedo de desvacó de todos los valores co relacó a la meda, además que utlza para su cálculo todos los valores de la muestra, lo que al calcular el rago y el rago tercuartl o sucede. Su prcpal desvetaja, es que usa los valores absolutos, y éstos requere u mayor esfuerzo para el tratameto algebraco. La desvacó meda se utlza co meor frecueca que otras meddas de tedeca cetral como la desvacó estádar y la varaza. Autoeame 3. Las respuestas se ecuetra al fal del capítulo.. La Procuraduría Federal del Cosumdor realza ua vestgacó co relacó a las deudas por uso de tarjetas de crédto e la Cudad de Méco y para tal efecto ecuesta a ua muestra de doce persoas etre los 5 y 40 años de edad que tee deudas mayores a los $5,

45 Los resultados mostraro que todos ellos pagaba u promedo de u poco más de $ al mes. A cotuacó se preseta las catdades que cada cosumdor aboó a su saldo u mes ateror. $50 $56 $505 $499 $5 $49 $500 $54 $50 $50 $493 $495 a. Cuál es el rago de las catdades aboadas? b. Calcule el rago tercuartl de las catdades aboadas e terprete el resultado c. Calcule la desvacó meda de las catdades aboadas e terprete. E ua compañía de Veta de bees raíces se realzó u estudo para determar las habldades que los agetes posee para realzar ua veta. Se realzaro dos medcoes e dferetes grupos. Uo epermetal (el Grupo ) que había recbdo u curso de apoyo y otro grupo más (Grupo ) que aú o recbía gua capactacó. La prueba de habldades tee 00 putos como calfcacó máma. La sguete tabla muestra los resultados obtedos por ambos grupos e la prueba de habldades: Itervalos Grupo Grupo f f a. Calcule el rago para los dos grupo Puede ser ésta ua medda resume de comparacó? b. Calcule el rago tercuartl para ambos grupos. c. Calcule la desvacó meda de cada grupo y compare VARIANZA Como se estudó e los apartados aterores, el rago y el rago tercuartl so meddas de varabldad que o cotempla la forma e que se dstrbuye o agrupa los valores que está etre los etremos. De todas las meddas de varabldad absolutas la varaza es ua de las dos más mportates que emplea todos los valores. La varaza mde la dspersó promedo alrededor 45

46 de la meda, es decr, qué tato varía los valores más grades que está por ecma de ella y cómo se dstrbuye los valores meores que está por debajo de ella. La varaza se basa e la dfereca etre el valor de cada observacó ( ) y la meda artmétca ( para ua muestra, para ua poblacó); a esta dfereca se le deoma desvacó respecto al promedo. Para ua muestra, la desvacó co relacó a la meda se epresa como ( ) ; para ua poblacó es ( ). Para calcular la varaza las desvacoes respecto al promedo se eleva al cuadrado y se dvde etre - para ua muestra y N para ua poblacó. La varaza de la poblacó se represeta por y de la muestra por s. Por lo tato la varaza se defe como la meda o promedo de los cuadrados de las desvacoes de los valores de la varable a la meda, es decr, el mometo de segudo orde respecto a la meda. Y cueta co las sguetes propedades más mportates: Por defcó la varaza uca puede ser egatva. Esto quere decr que, dado que la fórmula eleva al cuadrado las dferecas, la suma de las msmas uca podrá ser egatva. A meos que todos los elemetos del cojuto de datos de la poblacó o de la muestra tega el msmo valor, la varaza o puede ser cero. Es gual al mometo de segudo orde respecto al orge meos el de prmer orde elevado al cuadrado. S se suma o se resta el msmo úmero a todos los valores, la varaza o se modfca. S se multplca los valores de ua dstrbucó de frecuecas por ua costate k la varaza queda multplcada por el cuadrado de la costate. Poblacoal Muestral Datos o agrupados N N (3.) s (3.3) dode: N= Tamaño de la poblacó = Tamaño muestral = Meda artmétca muestral =Meda poblacoal 46

47 = Dato -ésmo Poblacoal Muestral Datos agrupados N f *( N ) s f * ( ) (3.4) (3.5) dode: N= Tamaño de la poblacó = Tamaño muestral = Meda poblacoal f = Meda muestral = Meda artmétca del cojuto de datos = Marca de clase del tervalo -ésmo s =Varaza muestral =Varaza poblacoal El uso del deomador o dvsor (-) al calcular la varaza de ua muestra es u procedmeto estádar que hace que la varaza resultate de la muestra sea u mejor estmador de la varaza de la poblacó de la cual se obtuvo la muestra. E realdad, para tamaños de la muestra grades (por ejemplo, 30), restar de mplca muy poca dfereca. EJEMPLO 3.7 Se regstraró el cosumo de eergía eléctrca de ua muestra de 38 hogares de la coloa Sa Crstóbal durate u estudo socoecoómco realzado e el Estado de Méco. 47

48 Cosumo de eergía eléctrca (Kwh) No. de hogares SOLUCIÓN Para el cálculo de la varaza es ecesaro:. Determar la meda artmétca medate el procedmeto ya coocdo para datos agrupados, fórmula ( ) Para calcular la varaza se obtee las dferecas etre las marcas de clase y la meda obteda e el paso ateror. Cosumo de eergía eléctrca (Kwh) No. de hogares Marca de clase f * s f *