Tabla d coido Págia Opradors difrcials sismas d cuacios Opradors difrcials Oprador aulador 6 fiició 6 Sismas d cuacios difrcials lials 9 Solució d u sisma, méodo d los opradors 9 Rsum 5 Bibliografía rcomdada 5 Auovaluació formaiva 7
Coprigh 999 FUNACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN Faculad d Igiría d Sismas. Sisma d Educació Abira a isacia. Saa F d Bogoá,.C. Prohibida la rproducció oal o parcial si auorizació por scrio dl Prsid d la Fudació. La rdacció d s fascículo suvo a cargo d JAIME PRECIAO LOPEZ Sd Saa F d Bogoá,.C. isño isruccioal oriació a cargo d MARIANA BAQUERO E PARRA isño gráfico diagramació a cargo d SANTIAGO BECERRA SAENZ ORLANO IAZ CARENAS Imprso : GRAFICAS SAN MARTIN Call 6A No. -8 - Tls.: 5098-5985 Saa F d Bogoá,.C.
Opradors difrcials sismas d cuacios E s fascículo dfiirmos l cocpo d oprador difrcial lo mplarmos para corar l oprador aulador d ua fució; admás rabajarmos la solució d sismas d cuacios por l méodo d los opradors. Al rmiar l sudio dl prs fascículo, l sudia: Eplica l cocpo d oprador aular lo aplica corrcam. Ecura l oprador aulador para ua fució. Solucioa sismas d cuacios lials por l méodo d opradors. Opradors difrcials A mudo s uiliza l símbolo para rprsar la primra drivada d ua fució, dcir, para la sguda drivada así sucsivam, s rprsa la -ésima drivada d ua fució; símbolos podmos scribir: d d ; ; d d d d érmios d sa oació, la cuació difrcial lial d ord co coficis cosas a d a d pud scribirs como d d d a d a 0 g()
o a a a a g() 0 a a a a g() al poliomio érmios d a 0 a a a0 s l llama oprador difrcial lial d ord abrviado como P (). Si cosidramos odos los coficis d P () cosas, s pud afirmar dos cosas:. P () s facorizabl.. Los facors d P () saisfac la propidad comuaiva. Por jmplo, i) El oprador difrcial s pud facorizar como 0 5 ( 5)( 5) o ( 5) ii) pud facorizars como ( ) iii) s u oprador difrcial qu o i facorizació los rals; si mbargo, podríamos facorizarlo usado compljos, pro s momo sólo os irsarmos los rals. La afirmació () os dic qu podmos comuar los facors dl oprador difrcial, vamos u jmplo.
Ejmplo Si f () i sguda drivada, ocs 5 dbmos, para probar so, vr qu ( 5)( ) ( )( 5) ( )( 5) s lo mismo qu ( 5)( ) para hacrlo comcmos por ( )( 5) llamamos V ( 5) 5 así: ( )( 5) ( ) V V V d d 5 5 5 5 5 Ahora rabajmos co ( 5)( ) vamos qu obmos l mismo rsulado: ( 5)( ) ( 5) V V 5V d d 5 5 5 5 5
así podmos scribir qu ( )( 5) = ( 5)( ). Facoriza l oprador difrcial dado dmusra qu sus facors so comuaivos. (Obsrva l dsarrollo dl úlimo jmplo). 6. 9.. 5. 8 Oprador aulador fiició Si f () s ua fució drivabl al mos vcs, s llama oprador aulador d f : si a a a a0 a a a a f ( 0 0 ) Ejmplo i) El oprador aular d f ) k ( s porqu k 0. ii) El oprador aular d: a. f ( ) s a qu 0 b. f 5 ( ) s 6 6 5 a qu 0 c. f ( ) 7 6 8 s d. 5 por ao 7 6 8 0 f ( ) s ( ) 5 a qu 5 ( 7 ) 0 a qu ( ) 0. f ( ) s ( ) vamos 6
f. ( ) f ( ) s ( ) 0 ( ) vamos 0 E la abla qu sigu hmos rsumido, d mara gral, los opradors aulars para varias fucios; adicioamos uo para la combiació d pocials co fucios rigooméricas so coso. Oprador Aulado ( ) ( ),,,, Fució qu Aula,,,, cos, s, cos s cos, s, cos,, s,, f s l produco d los aulado- El aulador d ( ) g( ) rs. Ejmplo Ecormos l oprador aulador para: a. f ( ) 5 6 7
( ) aula a ( ) aula a 5 6 por ao l produco d sos auladors aula la suma d fucios así: vamos: 5 6 0 5 6 ( ) 5 6 5 5 5. 5 b. f ) cos (, 0 Aquí, d acurdo co usra abla, 6 Eocs: o. c. f ( ) s cos cos 0 5 cos 0, l aulador d s s ( ) l aulador d cos s ( 5), por ao 5 s cos 0. Ecura l oprador difrcial qu aul la fució dada:. 6. ( 8). 6 0 cos5. s 5. 9 cos 8
Sismas d cuacios difrcials lials os o más cuacios difrcials ordiarias qu coi las drivadas d dos o más fucios dscoocidas d ua sola variabl idpdi coforma u sisma d cuacios difrcials simuláas; so jmplos d sismas d cuacios difrcials: a. d d d d 5 d d d d 5 b. d d d 5 d 7 La solució d u sisma d cuacios difrcials s l cojuo d fucios drivabls g(), f (), z h( ), c, qu saisfac cada cuació dl sisma algú irvalo I. La búsquda d la solució d u sisma d cuacios difrcials pud llvars a cabo por varios méodos; osoros vamos a uilizar uo coocido como l méodo d los opradors dod mplamos los opradors difrcials qu hmos rabajado. Solució d u sisma, méodo d los opradors Para solucioar u sisma d cuacios difrcials podmos hacr uso dl pricipio d limiació algbraico, pro s caso o muliplicamos ua cuació por ua cosa para lugo sumarla co ora cuació; lo qu harmos s aplicar sobr las cuacios difrcials ua combiació apropiada d drivadas (opradors difrcials) d al forma qu al sumar (rsar) dichas cuacios, la cuació rsula 9
puda rsolvrs por alguo d los méodos coocidos. Vamos alguos jmplos. Ejmplo Cosidrmos l sisma d d d d podmos scribir s sisma como d d 0 d d 0 si hacmos uso d opradors difrcials mos 0 0 si aplicamos l oprador a la cuació () lugo l rsamos () obmos o la cuació auiliar d () s () () 0 0 0 0 () m m m d dod la raíz m s ral rpida, así la solució d () s ( ) C C () 0
Ahora, si muliplicamos la cuació () por la sumamos co () obmos: o la cuació auiliar s 0 0 0 m 0 m m d dod la solució corrspod a: ( ) C C () Ahora, si susiuimos las solucios () () () mos qu d dod C C C C C 0 C C C C C así la solució s ( ) C ( ) C C C C Ejmplo Rsolvamos Podmos ordar rscribir usro sisma co opradors difrcials como:
() () si aplicamos a () l rsamos () obmos o para rsolvr () dbmos buscar la cuació auiliar s d dod () h 0 m 0 ; rsolvmos la homogéa: m s raíz ral rpida, por ao la solució s h ( ) C p C Ahora, rsolvamos () busca d p, como () g( ) supomos ua solució d la forma: p k C sus drivadas so: p " p C C Si rmplazamos p sus drivadas () hacmos uso dl méodo d coficis idrmiados mos: C C k C o C k
d dod así por ao la solució gral s: C h C k p ( ) ( ) ( ) p C Vamos a buscar la solució () dl sisma, muliplicado () por sumádol () s obi 8 () Rsolvmos la cuació homogéa la cuació auiliar s la raíz 0 m 0 m s ral d muliplicidad, por ao h C Ahora, buscamos la solució paricular d () mplado coficis idrmiados; llvado a cabo l procdimio obmos: así la solució gral s: ( ) C C p 8 h C p 8
Si susiuimos () () d dod () la cuació qu rsula s C C C C C 0 C C C C así las solucios d usro sisma so ( ) C ( ) C C C C C 8. Rsulv l sisma d cuacios difrcials dado.. d 7 d d d. d d d d. d d d d. 5-0 0 5. d d 5 d d d d 5 d d 6. d d d d d d d d 0 7. z z 8. z z 0 z
E s fascículo hmos rabajado los opradors difrcials l oprador difrcial aular; admás, hmos rsulo sismas d cuacios difrcials por l méodo d los opradors; s ha hcho vid qu para rsolvr u sisma d cuacios dbmos mplar los méodos d rsolució d cuacios qu coocmos. Raivill, Earl. Oros. Ecuacios ifrcials. Méico: Ed. Pric Hall. ocava dició, 997, cap. 6 Zill, is G. Ecuacios ifrcials co Aplicacios d Modlado. Méico: Ed. Ir. Thomso Ediors, sa dició, 000, cap. 8 5
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Auovaluacióformaiva Ecuacios difrcials - Fascículo No. Nombr Apllidos Fcha Ciudad Smsr. Ecura l oprador difrcial qu aul la fució: s cos. Rsulv l sisma d cuacios: d d 6 d d 0 z 0 dz d 0 7