MOF - OMPETENIA FUNDAMENTOS DE LAS OPERAIONES FINANIERAS apalzacó ompuesa. apalzacó Smple. Acualzacó ompuesa y Smple. Equvalecas Faceras. Aplcacoes de la apalzacó y del Descueo. Valores Medos: Ufcacó de apales.
APITALIZAIÓN OMPUESTA > ÁLULO DEL MONTANTE = ce... +... = + = (+ ) = + = (+ ) = ( ) + = + = (+ ) = ( ) Luego el valor del moae a lo largo de años es: = ( ) + Los ereses obedos so I = = [( + ) ] > LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN OMPUESTA Nº deermado de años: L ( ) (+ ) = sedo = ce Fechas: y x = duracó de la operacó ( y > x ) L( x;y ) = (+ ) y x > ASO VARIABLE... = + = (+ ) = (+ ) (+ )... = (+ ) (+ )...( ) El moae obedo es = (+ ) + Los ereses obedos so I = j= j - -
EJEMPLO RESUELTO Averguar el empo que permaecó verdo u capal de 8. u.m. al % de erés efecvo aual s se sabe que proporcoó u moae de.348.46,5 u.m. Daos: =.348.46, 5 = 8. =, Se pde: Resolucó: + ( ) =.348.46,5 = 8.( +,) = 5 años EJEMPLO RESUELTO Ua persoa mpoe e ua cuea bacara 5. u.m.. y ee la ecó de rerar dcho capal juo co los ereses al cabo de año y medo. Sabedo que se aplca la ley de capalzacó compuesa, averguar el po de erés efecvo aual de esa cuea s el moae obedo fue de 58.78,37 u.m. Daos: = 5. = 58.78, 37 =, 5 Se pde: Resolucó: + ( ) = 58.78,37 = 5.(+ ) =, 5,5 EJEMPLO RESUELTO 3 U capal de 74. u.m. se covró e.49.73,676 u.m. al cabo de cuaro años, sedo los aos de los res úlmos años el 9%, 9,5% y %, respecvamee. Averguar cuál fue el.. del prmer año. = 74. =.49.73, 676 =? =,9 3=,95 4=, 3 4 4 = (+ ) (+ ) ( + 3 ) (+ 4 ).49.73,676 = 74. ( + ) (+,9) (+,95) ( +,) =,8 = 8% - -
EJEMPLO RESUELTO 4 Hace 3 años se ha verdo u capal de 5. u.m. durae 5 años segú la ley facera de capalzacó L () = (+,3) Debdo a la coyuura ecoómca acual, el deudor quere devolver el dero y para ello os sugere que le señalemos las codcoes e las cuales esaríamos de acuerdo e la devolucó. Se raa, pues, de calcular lo que le exgríamos e cocepo de deuda y e cocepo de demzacó por la cacelacó acpada, sabedo que el dero que os aboa sólo se puede verr ahora al %. = 5. 5 = (+,3) 5 = 5. (,3) 5 = 9.7,6 =,3 3 5 3 = 5. ( +,3) = 3 H 7.448,5 El deudor ee que eregar ua cadad complemeara H que cumpla: 3 ) ( +,) 5 ( H + = (H + 7.448,5), H = 39.888,36 u.m. = 9.7,6 EJEMPLO RESUELTO 5 Ua persoa desea cubrr las ecesdades fuuras de sus hjos y para ello al acmeo de su prmer hjo deposa. u.m., e ua carlla de ahorro que le proporcoa u 9% aual de erés compueso. Al cabo de 5 años, esa persoa ee oro hjo y por al movo, dvde el moae obedo e la carlla, de la sguee maera: los 3/5 para el hjo acdo e prmer lugar y la pare resae para el segudo hjo. Averguar el moae que obedrá cada hermao al cumplr los años, supoedo que vere sus capales al po de erés del 9%. apalzacó compuesa, luego 5 = ( ) + 5 = ( + ) =. ( +,9) = 84.634,67 5 para el er 3 hjo: 5 para el º hjo: 5 ' 5 =.78,9 = 5 '' 5 = 73.853,9 = 5 er ' ' 5 6 Para el hjo = ( + ) =.78,9 ( +,9) 439.834, u.m. 5 = ' ' '' = 5 ( + ) = 73.853,9 ( +,9) = Para el º hjo 45.59,3 u.m. - 3 -
EJEMPLO RESUELTO 6 Ua operacó facera esa defda por ua presacó de capales (5.; x + ), (6.; x + 3), (8.; x + 6) y por ua corapresacó (; x + ), (7.; x + 7).Sabedo que =% y que la ley facera de capalzacó es: equvaleca facera e y = x+9. L(x, y) y x = ( + ). Averguar la cuaía del capal plaeado ua Represeamos los capales e ua líea emporal: 5. 6. 8. 9. =, x+ x+ x+3 x+6 x+7 y = x+9 Presacó de capales: ( 5.; x + ) (6.; x + 3) (8.; x + 6) orapresacó: ( ; X + ) (7.; X + 7) Equvaleca facera e y = x + 9 : Igualamos la presacó y la corapresacó valoradas e el msmo momeo de empo segú la ley facera de capalzacó y x compuesa L(x; y) = ( + ). 8 6 5. ( +,) + 6. ( +,) + 8. ( +,) = ( +,) + 7. ( +,) =.69, 996 3 7-4 -
APITALIZAIÓN SIMPLE > ÁLULO DEL MONTANTE = ce... = + = (+ )... = + = ( + ) + = (+ ) [ + ( ) ] + = ( ) = + = + Luego el valor del moae a lo largo de años es: = ( + ) Los ereses obedos so I = o = > LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE Nº deermado de años: L ( ) = + ( > ) sedo = ce Fechas: L ( x; y ) = + (y x) (y > x) > ASO VARIABLE - = (+ ) = (+ ) + = (+ + )... = (+ + +... ) + = + j j= - 5 -
EJEMPLO RESUELTO 7 Hace 4 años ua persoa presó a su amgo. u.m. al 8% de erés smple aual. Averguar el capal que deberá devolver el amgo e el momeo presee. =. 4 =,8 4 = ( + ) 4 =.( + 4,8) = 58.4 u.m. EJEMPLO RESUELTO 8 Se ha verdo u capal de 6. u.m. al 9% de erés smple aual durae 3 años. alcular el erés producdo al fal de la operacó = 6. =,9 3 I = 3 = ( + 3) = 3 = 6. 3,9 = 7. u.m. EJEMPLO RESUELTO 9 alcular el capal verdo hace 3 años al 9% de erés smple aual s e el momeo acual represea u moae de 7. u.m. =? 3 = 7. =,9 3 + = ( ) = ( + 3 ) 3 7. = ( + 3.9) =. u.m. - 6 -
EJEMPLO RESUELTO El baco X cocede u présamo de 4. u.m. al 9,5% de erés smple aual. El capal a devolver por pare del presaaro es de 354. u.m.. SE PIDE: Averguar durae cuáo empo permaecó presado dcho capal. = 4. = 354. =,95 =? = ( + ) + = = 354. 4. Luego, = = = 5 años 4.,95 EJEMPLO RESUELTO Ua persoa vere dos capales e dos egocos dsos. El prmer capal lo vere al 8% de erés smple aual y el segudo al 7%. El prmer capal es feror al segudo e 4. u.m. y s embargo, sus ereses suma. u.m. más que los del segudo. Sabedo que esa versó esá referda a u año averguar la cuaía de ambos capales. =,8 =,7 I + + = 4. () = I.,8 =,7. () + Resolvedo el ssema: =.98. u.m. = 3.. u.m. - 7 -
ATUALIZAIÓN OMPUESTA Y SIMPLE Descueo = dfereca ere la cadad a pagar e fecha fuura y su valor e u momeo aeror. D = = Valor Descoado = Valor Nomal >ATUALIZAIÓN OMPUESTA O DESUENTO RAIONAL OMPUESTO = D rc () Valor Descoado: = (+ ) Descueo: Drc = = ( + ) = [ ( + ] ) Ley facera: A() = ( + ) = L() o be A(x;y) = (+ ) (y x) >DESUENTO OMERIAL OMPUESTO = D (d = ao de descueo) Valor Descoado: = Facor de Acualzacó = ( d) ( d) Descueo: D = = ( d) = [ ( d ] cc ) y x Ley facera: A() = ( d) o be A(x; y) = ( d) RELAIÓN ENTRE EL TANTO DE INTERÉS Y EL TANTO DE DESUENTO d PARA QUE EXISTA EQUIVALENIA ENTRE EL D R Y EL D : Igualado los descueos: D = ( V ) = [ ( d ] rc D cc V = ( d) ) V = ( d) V = d = d + d = d d = + - 8 -
>ATUALIZAIÓN SIMPLE O DESUENTO RAIONAL SIMPLE = D rs () Valor Descoado = Descueo D rs = = Facor de Acualzacó = + = = + + = (+ ) + Ley facera A() = (+ ) o be A(x; y) = [ + (y x) ] >DESUENTO OMERIAL SIMPLE = D cs (d) Valor Descoado = = ( d) Facor de Acualzacó: d Descueo = D = = ( d) d cs = Ley facera A() = d o be A(x; y) = (y x) d RELAIÓN ENTRE Y d PARA QUE EXISTA EQUIVALENIA ENTRE D cs Y EL D cs D rs = D cs = d + d = + d = d - 9 -
EJEMPLO RESUELTO alcular el valor efecvo que se obee de descoar ua lera cuyo omal es de 35. u.m. al % de descueo compueso aual durae u año. Averguar ambé el descueo comercal compueso. =? 35. = ( d) = 35.(,) = 3.5 u.m. [ ( d) ] = 35.[ (,) ] 38. 5 Dcc = = d =, EJEMPLO RESUELTO 3 Hallar el valor acual de u capal sabedo que colocado al % de erés smple aual durae años alcazó u moae de 7. u.m. Averguar ambé el descueo racoal smple. =? = 7. D =, 7. = = = + + +, = 7., = = + +, rs = 6. u.m.. u.m EJEMPLO RESUELTO 4 Ua edad bacara cocede a u clee u crédo de 9. u.m. medae lera a 9 días, descoada ai % aual, co ua comsó de,5 por ceo y uos mbres de.5 u.m.. SE PIDE: Averguar el líqudo de esa lera. 9. d =, 9 36 = ( d) OMISIÓN TIMBRES,5 = ( d) 5 S susumos: = 9. 9 = 36 y d =, = 869.7 u.m. es el valor líqudo. - -
EJEMPLO RESUELTO 5 Averguar cuál fue el capal verdo hace años s e el momeo presee el moae (capal más erés) ascede a 3.5 u.m. y la operacó se realzó al % de erés compueso aual. =? ( + ) =, = = = ( + ) = 3.5 ( +,) 5. u. m EJEMPLO RESUELTO 6 Hallar el valor acual de u capal 3 = 58.,6 que esuvo verdo al 9% de erés compueso aual durae 3 años. Averguar ambé el descueo racoal compueso de la operacó. =? 3 =,9 3 = ( + ) 3 3 = 3 ( + ) = 58.,6 ( +,9) = 4. u.m. D rc = ( V ) 3 3 [ ( + ) ] = [ ( + ) ] = 58.,6 [ ( +,9) ] 8.',6 u. m Drc = 3 = EJEMPLO RESUELTO 7 alcular el valor descoado de ua lera s vece al cabo de 6 días cuyo omal es de 5. u.m. y se aplca u ao de descueo comercal smple del %. Averguar ambé el descueo comercal smple realzado. 5. 3 36 d =, 6 = ( d) = 5. (,) 49. u.m. = 36 D 36 6 cs = d = 5., =. u.m. - -
EQUIVALENIAS FINANIERAS > TANTO EFETIVO ANUAL () Y EL TANTO EFETIVO FRAIONADO ( K ) ASO APITALIZAIÓN OMPUESTA: = + = k k ( + k ) ( + ) k El perodo dvddo e k pares guales = h h ( + h ) ( + ) h El perodo dvddo e h pares guales Tpos de erés equvalees: Aplcados al msmo capal cal, durae el msmo perodo de empo, produce gual moae. RELAIONES ENTRE TANTOS EQUIVALENTES EN APITALIZAIÓN OMPUESTA TANTO ANUAL TANTO FRAIONADO k = (+ k ) k (+ ) = (+ k ) NO SON PROPORIONALES k k = (+ ) TANTO FRAIONADO k TANTO FRAIONADO h k h k ) = ( h ) + NO SON PROPORIONALES ( + - -
RELAIONES ENTRE TANTOS EQUIVALENTES EN APITALIZAIÓN SIMPLE TANTO ANUAL TANTO FRAIONADO + = + k k k k = SON PROPORIONALES TANTO FRAIONADO k + k = + h k h h k h TANTO FRAIONADO h k = SON PROPORIONALES >TANTO NOMINAL ANUAL = j k Se defe el ao omal aual capalzable k-esmalmee como u po de erés aual proporcoal al fraccoado. j k = k k RELAIONES ENTRE TANTOS NOMINALES Y EFETIVOS EN APITALIZAIÓN OMPUESTA j k k = k = k ( + ) k > TANTO ANUAL PREPAGABLE (*) ( *) Sea u capal que se presa e el momeo cal, a u ao aual prepagable * (los ereses se aboa al prcpo del perodo). Duracó de la operacó: perodo Los ereses que se aboa al prcpo so: *, luego el capal eo presado al prcpo es: * = ( *), y el capal a devolver por el deudor al fal del perodo es. Se edrá que verfcar que ( *) ( + ) = * = + - 3 -
EJEMPLO RESUELTO 8 Sabedo que u íulo de rea fja devega u erés del 8% pagadero semesralmee se quere calcular el ao efecvo de erés. Dao: j =, 8 Se pde: jk k j,8 Relacó: = ( + ) = ( + ) = ( + ) =, 86 k EJEMPLO RESUELTO 9 Se coloca u capal de u.m. a erés compueso, que capalzado semesralmee cosuye al cabo de años u moae de cuaía 3. SE PIDE:. alcular el ao efecvo aual.. alcular el ao omal aual. 3. alcular el ao semesral equvalee. = 3 3.... = ( ) + 3 = ( + ) 3 = ( + ) =, 6. j = ( + ) = ( +,6) =, 93 () j 3. = =, 5647 EJEMPLO RESUELTO U depóso a u año ofrece u po de erés del % prepagable. alcular el po de erés a vecmeo equvalee. Ulzamos la fórmula * = para * =, y obeemos +, = =, =,% + Es decr, u po de erés del % prepagable es equvalee a u,% a vecmeo. - 4 -
EJEMPLO RESUELTO Ua persoa desea verr u capal de mlloes de u.m. y puede elegr ere las sguees posbldades: a) olocar el capal al % omal aual capalzable por semesres. b) olocar el capal al % omal aual acumulable por rmesres. c) olocar al % de erés efecvo aual compueso. d) olocar al % de erés efecvo aual smple. alcular el moae obedo e cada ua de las posbldades aerores al cabo de años. a) = () j, () 4 j =, = = =, 6 = ( + ) =.54.954 u.m. b) = (4) j4, (4) 8 j 4 =, = = =, 3 = ( + ) =.533.54, u.m. 4 4 c) = =, = ( + ).58.8 u.m. = d) = =, = ( + ).48. u.m. = - 5 -
RITERIO LINEAL RITERIO EXPONENIAL ONVENIOS ulzados e la prácca para obeer u capal fal cuado la duracó de la operacó o es u úmero eero de perodos. >RITERIO EXPONENIAL c.c c.c X x X ( ) = dode + Luego, x θ +θ X = ( + ) h x + k = ( = º eero de perodos) El crero expoecal cosse e capalzar usado capalzacó compuesa durae el úmero eero de perodos y capalzar el resulado obedo e capalzacó compuesa por la fraccó de perodo resae. >RITERIO LINEAL Ese crero cosse e capalzar a u erés compueso el úmero eero de perodos y después, capalzar ese resulado a u erés smple por la fraccó de perodo que resae. c.c c.s X X x = θ ( + ) ( + θ) El moae obedo segú el crero leal será mayor que el obedo segú el crero expoecal. - 6 -
>MÉTODO DEL DIVISOR FIJO S se expresa e AÑOS: I = deomado D = (D =dvsor fjo) I = deomado = N ( = º comercal) D N I = D S se expresa e MESES: D = 36 S se expresa e DÍAS: D = NOTA: S el po de erés esá expresado e porceaje, eoces D =. D = 36. D = D =... d El razoameo es el msmo para el aálss e el descueo smple - 7 -
EJEMPLO RESUELTO Averguar el moae obedo de ua versó de 5. u.m. s se ha verdo a u erés del 8% durae 4 años y meses. Ulícese para el cálculo del crero leal. = 5. c.c c.s X 4 4 años y meses X = (+ ) (+ θ) 4 alculamos prmero: = ( + ) = 5. ( +,8) 68.44, 48 X = Luego: X = ( + θ) = 68.44,48 ( +,8) = 689.34, 4 EJEMPLO RESUELTO 3 U capal de. u.m. se vere durae u empo X, a u po de erés del 8% proporcoado u moae de 5.85 u.m. SE PIDE: Deermar el valor de X s e el cálculo se uvo e cuea el crero leal. =. c.c c.s X = 5. 85 X = ( + ) x ( + θ ) 5.85 =. ( + ) ( + θ ),585 = ( + ) ( + θ ) ( e TABLAS ) Luego x es 5 años y uos meses = 5,585 = ( +,8) θ =,33 años 5 ( + θ,8) Luego x = 5 años, 3 meses y 9 días. - 8 -
VALORES MEDIOS. UNIFIAIÓN DE APITALES. >APITALES MEDIOS NOTA: E ese ejemplo los / esá asocados a los capales. x x... x r r x r Fechas de vecmeos ( ;x) colocado a ( ;x ) colocado a... ( r;x r ) colocado a r x m x m x... m x r ( m;x) colocado a ( m;x ) colocado a... ;x ) colocado a r ( m r APITAL MEDIO ( m ) : Se raa de susur la sere de capales,,... r por oros de cuaía uforme y cuyos vecmeos cocda co los aerores. >TANTOS MEDIOS x x... x r ( ;x) colocado a r ( ;x ) colocado a... ( r;x r ) colocado a r x r m m... ( ;x) colocado a m m ( ;x ) colocado a m r... ( r;x r ) colocado a m x x x x r TANTO MEDIO ( m ) es u ao de erés al que aplcado a u cojuo de capales dado, por sus respecvos empos, proporcoa gual cuaía oal de ereses que el que se hubera obedo de aplcar a cada capal su respecvo po de erés. Es decr, r j= I r j ( j ) = Ij(m ) j= - 9 -
> APITAL ÚNIO Y VENIMIENTO OMÚN x x... x r r x r ( ;x) colocado a ( ;x ) colocado a... ( r;x r ) colocado a r x x x r ( ;x ) colocado a Sedo: = APTAL ÚNIO x = VENIMIENTO OMÚN Dado u cojuo de capales ( ;x), ( ;x )... ( r ;x r ) verdos a los pos de erés,,... r ; se raa de deermar el capal úco equvalee ( ;x ) al ao. >VENIMIENTO MEDIO VENIMIENTO MEDIO: Momeo e el que vece u úco capal que susuye a los aerores co la codcó de que se verfque que =. r j j= aso parcular: o la ley de Descueo omercal Smple, el vecmeo medo se calcula usado m = r j= r j= j j j - -
EJEMPLO RESUELTO 4 Se quere susur dos capales y por oro capal úco. Sabedo que = 5. u.m., =. u.m. y = 5. u.m. que vece al cabo de 6, 8 y años respecvamee. y que el po de erés compueso es =,8. alcular el vecmeo que debe de eer el capal a susur para que la operacó resule equvalee. = 5. =. = 5. 6 8 8 EQUVALENIA FINANIERA EN = 6 8 ( + ) + ( + ) = ( + ) 5. (,8) 6,837 = (,8) l,837 +. (,8) 8 = 5. (,8) = l,8 =, 739, es decr, años 8 meses y 4 días. EJEMPLO RESUELTO 5 U comercae ee e su carera 4 capales por mpores, 5, 3 y 4 5, odos co vecmeo a años y al pos de erés del 5%, 5 5%, 6% y 7% respecvamee. alcular el ao medo aual e régme de capalzacó compuesa y calcular el ao omal aual equvalee al ao medo aual aeror. TANTO MEDIO: 4 4 I j (j) = Ij(m ), dode I = = ( + ) = [ ( + ) ] j= j= [,5 ] +,5 [,55 ] + 3 [,6 ] + 4,5 [,7 ]= [( + ) ] +,5 [( + ) ] + 3 [( + ) ] + 4,5 [( + ) ] m m =,67748 m m m alculamos el ao omal aual equvalee: ( + m ) = ( + () ) () =,5864379 j () = () =,63755 - -
EJEMPLO RESUELTO 6 Ua socedad ee pedees de pago 4 leras comercales de cuaía, 9., 4. y. a 4,, 8 y días.. alcular el capal medo segú la ley de descueo racoal smple al 5%.. alcular el vecmeo medo segú la ley de descueo comercal smple.. apal medo 9 4 4 8 365 365 365 365 m m m m 4 365 365 8 365 365 Equvaleca facera e = : 9 4 + + + = 4 8 +,5 +,5 +,5 +, 5 365 365 = + 365 m +,5 + 4 365 365 m +,5 + 365 m +,5 + 8 365 m,5 365 m = 6.34,7739. Vecmeo medo = 4 j= j = 5 m 4 j j 4 j= 3.7. m = = = 48 días, = 5 5. j = j= 4 j= j - -
EJEMPLO RESUELTO 7 U comercae debe a su proveedor 4 leras comercales, de omales:. co vecmeo a 3 meses, 4. co vecmeo a 4 meses, 3. co vecmeo a 5 meses, y. co vecmeo a 6 meses. Sedo ésa su suacó orgal. a) El comercae ras aalzar la propuesa de su proveedor, le eresa coocer oras opcoes, y para ello se pregua sempre respeco a su suacó orgal: a.) cual es el vecmeo medo (e meses y días) correspodee a dchas leras y cuáo edrá que pagar e dcho momeo, co la ley de descueo comercal smple. a.) cual es el capal úco equvalee co vecmeo a 4meses, co la ley de descueo racoal compueso (a u ao efecvo semesral del,5%). b) Falmee, el comercae elge la opcó del vecmeo medo (la opcó a.); y el proveedor lo lleva al descueo al baco. El baco le presea la sguee arfa: ao de descueo, 7%; comsó de cobraza,,5%; Tmbre: 33,66 euros; Gasos de correo:,3 euros. alcule el líqudo que recbrá el proveedor. a.) = =. j. 3 + 4. 4 + 3. 5 +. 6. j j m = = j = 4 meses y 8 días. 4,6meses 3 4 6 6 6 6 6 a.).,5 + 4.,5 + 3.,5 +.,5 =,5 5 6 4 = 9.975,49 38 b) =. (,7).,5 33,66, 3 = 9.647,77 L 36-3 -
EJEMPLO RESUELTO 8 Se vere 3. euros e capalzacó compuesa durae años a u ao omal aual pagadero por mesualdades. El moae al fal de años es 9.9,6 euros. Y se sabe que los ereses correspodees al úlmo mes ha sdo 98,3 euros. alcule razoadamee: ) El ao efecvo mesual; el ao omal aual pagadero mesualmee; y el ao efecvo aual al que se ha realzado la operacó. ) El úmero de años que ha durado la operacó. E el caso de que los 3. euros se hubera verdo durae 8 meses e capalzacó smple, y el moae obedo fuera 3.45 euros, calcule: 3) El po de erés efecvo aual, y el po de erés efecvo mesual, al que esuvo verdo la operacó. 4) Los ereses correspodees al úlmo mes. 3 9.9,6 ) S los ereses correspodees al úlmo mes ha sdo 98,3, el capal acumulado hasa el úlmo mes será 9.9,6 98,3 = 9.83,3, y capalzado el úlmo mes obeemos el moae fal () j 9.83,3 ( + ) = 9.9,6 () () j j () =, = =, = (+ ) =,685 () () j ) 3. ( + ) = 9.9, 6 3., = 9.9, 6 = años 8 () 3). ( + ) = 3. 45 =, = =,8333 3 4) = 3., = 5 I - 4 -
EJEMPLO RESUELTO 9 Ua persoa gresó 5. euros e u depóso a plazo: durae 3 años y 3 meses (crero expoecal), que le proporcoó u ao aual capalzable rmesralmee del 3%. Trascurrdo dcho plazo, el moae obedo lo vró e oro depóso, durae años y meses (crero leal), que le proporcoó u ao efecvo aual equvalee al del depóso aeror más u puo. Trascurrdo dcho plazo, compró u auomóvl valorado e 33. euros, que lo pagó ua pare co el moae obedo e los depósos (redodeados a mles de euros), y el reso frmó 4 leras de omal (suma arméca): N, N, N, N co vecmeo a 3, 4, 5 y 6 meses. Pero ua vez pagada la prmera lera, que cocde que es el de marzo de 9, egoca co el cocesoaro las leras pedees de pago. Y ése le presea dos propuesas: ) pagar ua sola lera co vecmeo e el vecmeo medo (valorada co la ley de descueo comercal smple). ) pagar ua sola lera co vecmeo dero de meses (valorada al ao efecvo aual del 6% co la ley racoal smple). El comprador elge la propuesa a) (la del vecmeo medo); y el cocesoaro lleva al descueo dcha lera al baco, el cual le presea la lqudacó coforme a la sguee arfa: u ao de descueo aual del 6%, ua comsó de cobraza del 7 por ml, y u mbre de 6,83 euros. Se pde: a) alcule el moae obedo e el prmer depóso (crero expoecal); así como, el moae obedo e el segudo depóso (crero leal). b) alcule el omal de las uevas leras e cada ua de las dos propuesas, así como el vecmeo medo e la propuesa a). c) alcule el líqudo que cobra el cocesoaro. d) alcule el ao de redmeo que el baco obee e esa operacó ulzado la ley de capalzacó smple. a) Prmer depóso: ( 4 ) j 4 x = 5. ( + ) 3 = 7.55,6 Tpo de erés efecvo aual = ( + ) =, 33399 Segudo depóso: Tpo de erés efecvo aual = +, =, 43399 = 7.55,54 (+ ) (+ ) = 3.8,696 x ( 4 ) j 4 4-5 -
b) Faca 3., luego N + N + N + N = 3. N = 5 Vecmeo medo: j j 5 +. +. 3 m =, meses = meses.5 = j y 6 días ) apal que vece e el vecmeo medo: = j =.5 ) Valoramos odos los capales e = usado la ley de DRS: 5 (+ 3,6). (,6). (,6) (,6 ) + + + + = + =.497,56454 66 c) L =.5 (,6).5,7 6, 83 =.438,7 36 d) El baco adelaa al cocesoaro la cadad de.455, y recbe.5 al cabo de 66 días. El cocesoaro sólo recbe.438,7 ya que ee que pagar el mbre. 66 = 365.455 ( + r).5 r =, 37 r =,37% - 6 -
MOF - OMPETENIA ESTUDIO Y VALORAIÓN DE FLUJOS DE APITALES Defcoes - lasfcacó de las Reas - Noacoes. Reas Auales Dscreas de Térmos osaes. Reas Auales Dscreas de Térmos Varables. Reas cuya Perodcdad o es Aual: - Reas Fraccoadas o co Perodcdad Iferor a u año. - Reas Plurauales o co Perodcdad Superor a u año.
INTRODUIÓN A LA TEORÍA DE RENTAS > DEFINIIONES RENTA: U cojuo de capales (M ; x ) (M ; x )... (M ; x ) co vecmeos equdsaes M M M 3 M x x x x 3 x - x Luego x - x = x 3 - x = = x - x - TERMINO DE LA RENTA: es cada uo de los capales que la cosuye. ORIGEN DE LA RENTA: es el momeo e el que comeza la operacó = x. FINAL DE LA RENTA: es el momeo e el que se exgue la operacó = x. DURAION DE LA RENTA: x - x VALOR ATUAL: apal equvalee al prcpo de la operacó al cojuo de cobros o pagos fuuros. VALOR FINAL: apal equvalee al fal de la operacó al cojuo de cobros o pagos fuuros. > LASIFIAION DE LAS RENTAS. Segú la auraleza de la cualdad de los érmos eras: Aleaoras: So aquéllas e las que odos sus érmos represea a capales deermados y los vecmeos esá fjados. So aquéllas e las que be alguo de los érmos de la rea o alguo de sus vecmeos vee represeado por ua varable aleaora. U ejemplo de rea aleaora la cosuye la rea valca e la que su duracó depede de la supervveca de ua persoa.. Segú la medda de los períodos Dscreas: ouas: So aquellas e las que la amplud de sus ervalos es fa. So aquellas e las que la amplud de sus ervalos es fesmal. 3. Segú el úmero de érmos de que cosa las reas Temporales: So aquellas reas que cosa de u úmero fo de érmos. Perpeuas: So aquellas reas que cosa de u úmero lmado de érmos. U ejemplo de rea perpeua lo represea la pesó de jublacó de ua persoa. - 7 -
4. Segú el momeo de la valoracó de la rea Imedaas: So aquéllas e las que la valoracó acual de la rea ee lugar e el prmer período e el que la duracó de la rea se ecuera dvddo y la valoracó fal ee lugar e el úlmo de los perodos. V.acual M M M V. fal Dferdas: So aquéllas e las que la valoracó acual de la rea ee lugar e u úmero deermado de períodos aes del vecmeo del prmer érmo de la rea. Ese úmero, que lo dcaremos por d, recbe el ombre de período de dfermeo. V.Acual M M M d d+ d+ d+ Acpadas: So aquéllas e las que la valoracó de la rea ee lugar e u úmero deermado de períodos después del vecmeo del úlmo érmo de la rea. Ese úmero, que lo dcaremos por f, recbe el ombre de período de acpacó. M M M V. fal +f 5. Segú la cuaía de los érmos osaes: So aquéllas cuyos érmos so odos de gual cuaía. uado los érmos de la rea so cosaes e guales a la udad de capal, se dce que la rea es uara M M M Varables e progresó geomérca: ada érmo es gual al érmo aeror mulplcado por u úmero al que llamamos razó de la progresó, es decr = M q dode q es la razó. M M M q M q - 8 -
Varables e progresó arméca: ada érmo es gual al érmo aeror más u úmero fjo al que llamaremos razó de la progresó, es decr M + π dode π es la razó. = M M M π + ( ) π + M 6. Segú el vecmeo de los érmos de la rea Prepagables: So aquéllas e las que cada érmo vece e el exremo feror del correspodee período. M M M Pospagables: So aquéllas e las que cada érmo vece e el exremo superor del correspodee período. M M M A las reas prepagables alguos auores las deoma co pago acpado, y las pospagables, reas co pago por vecdo. 7. Segú la amplud del período de la rea Eera: uado el perodo de la rea cocde co el período de capalzacó o de acualzacó del ao de erés. S el período de la rea es de u año, se dce que la rea es aual. M M M (aual) Pluraual: uado el período es superor a u año, se dce que la rea es pluraual o be, que se raa de ua rea co perodcdad superor a u año. La rea es plurperodal sempre que el período de la rea sea superor a la del ao. M M M M (aual) 4 6-9 -
Fraccoada: Tomado como refereca la rea eera (aual), s el período de ora es feror a u año, se dce que la ueva rea es fraccoada o be, que se raa de ua rea co perodcdad feror a u año. FRAIONADA DE TÉRMINOS ONSTANTES: (k) (k) M M M (k) (k) (k) M M M (k) (k) (k) M M M (k) (aual) FRAIONADA DE TÉRMINOS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRIA: M (k) q M (k) q (k) M q M (k) q M (k) q M (k) q (aual) FRAIONADA DE TÉRMINOS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTIA: (k) (k) M M M (k) (k) (k) M + π M + π M + ( ) π M + ( ) π (k) (k) (aual) - 3 -
FÓRMULAS DE RENTAS Rea de refereca Valor acual Valor fal Rea aual, de érmos cosaes, pospagable, medaa y emporal ( + ) ( Va) = M = M a (+ ) ( Vs) = M = M s Rea aual, de érmo varables e progresó geomérca, pospagable, medaa y emporal A(M ;q) q (+ ) M + q = M (+ ) s s q + q = + S(M ;q) (+ ) q M + q = M (+ ) s s q + q = + Rea aual, de érmo varables e progresó arméca, pospagable, medaa y emporal A(M ; π ) π = (M + ) a π (+ ) S(M ; π ) π = (M + ) S π Rea pluraual de érmos cosaes, pospagable, medaa y emporal [ h] (Va) = M a S [ h] (Vs) = M S S h h h h
RELAIONES ENTRE RENTAS Valor Acual y Valor Fal Valor fal Valor acual ( + ) = úmero de perodos de la rea Reas fraccoadas k = úmero de perodos e los que se dvde el año Fraccoada rea eera asocada (k) j k k M = érmo aual de la rea eera Reas prepagables Prepagable Pospagable ( + ) s es aual k k = úmero de perodos e los que se dvde el año ( + ) s es fraccoada h = úmero de años ere dos érmos cosecuvos h ( + ) s es pluraual Reas dferdas Reas acpadas Reas perpeuas d Dferda Imedaa (+ ) El dfermeo o afeca al valor fal d = úmero de perodos aes del prmer perodo de la rea f Acpada Imedaa ( + ) La acpacó o afeca al valor acual f = úmero de perodos después del ulmo érmo de la rea (Va) = M Perpeuas A(M ;q) = M s q < + + q No ee sedo calcular el valor fal π A(M ; π) = (M + ) a
EJEMPLO RESUELTO 3 alcular el valor acual y valor fal de ua rea aual, de érmos cosaes guales a. durae años, pospagable, valorada al po de erés aual del 8%. ( Va) =. a,, 8,,8 = ( Vs) =. S,, 8,,8 = 6.7'8 4.486'56 EJEMPLO RESUELTO 3 alcular el valor acual de ua rea aual de érmos, sedo el prmero de. y el reso aumeado aualmee e u %. Tpo de erés efecvo aual del 5%.,,5 = A(M =.;q = ') ' '5 =. '5 '.846'657 EJEMPLO RESUELTO 3 alcular el valor acual de ua rea de érmos auales, duracó =, prmer érmo M =., y el reso aumeado aualmee u % sobre la cuaía del prmer érmo. Tpo de erés de valoracó del 6%. '6 A (M =. ; π =,. ),, 6 = (. + ) a '6 =.9'965 '6 '6 EJEMPLO RESUELTO 33 alcular el valor acual y valor fal de ua rea de 5 mesuales, duracó = años, medaa y pospagable. Tpo de erés efecvo aual del 8%. () Va),,8 = 5 a (),, j = 4.76'95 () Vs),,8 = 5 S (),, j = 9.6'36 ( 8 ( 8 EJEMPLO RESUELTO 34 alcular el valor acual de la rea salaros, que edremos que empezar a pagar dero de u año, sedo ésos de mesualdades de., más dos pagas exras e juo y dcembre de la msma cuaía que la mesualdad, aumeado aualmee u 3% sobre el año aeror (ao el salaro mesual como las pagas exras) y co ua duracó de años. Tpo de erés efecvo aual del 3%. (),,3 '3 A(M =. ; q =,3) + '3 A(M =. ; q =,3) = '3. '3 + '3. '3 () () j j =.93.698,38 + 3.798.45'55 = 6.73.5'93 (),,3-33 -
EJEMPLO RESUELTO 35 El drecor écco de ua empresa esá esudado esablecerse e u deermado mucpo co u proyeco de versó que presea los sguees pagos y cobros: PAGOS Maquara: 8. rmesralmee durae años. Maera prma:. al prcpo de cada rmesre el prmer año, co u cremeo aual del % sobre la aualdad del prmer año. Mao de Obra: 3. mesuales co pagas exras e juo y dcembre de gual cuaía a la mesualdad cremeádose aualmee de forma acumulava e u 4%. Maemeo: 9. cada 3 años. INGRESOS Veas: El prmer año espera uas veas de 75. mesuales que se cremeará aualmee e u 6% sobre las veas del año aeror. S el po de erés es del 6% aual y la duracó del proyeco es de años, calcular el beefco o pérdda acualzada. PAGOS (4) P = (Va),,6 = 4 8. a (4),, 6 j = 599.75,8454 = 4 P (4) A(M =. 4; π =,. 4),,6 =.6 A(M (4) = 8.; π = 8.),,6 = 856.36,9986 j () () 3 = A(M = 3. ;q =,4),,6 + A(M = 3. ;q,4),,6 P = = 3.6857,9+ 58.9, 59 = 3.734.866,43 [ h 3 P = ] 4 (Va) = 9. a9,,6 S = 3,,6 3,,6 = 9.83,457 INGRESOS I = A(M = 75. ;q =,6) (),,6 = j () 75.,6 = 8.7.6,4 BENEFIIOS 4 B( = ) = I( = ) Pj( = ) = 3.338.364,9 j= - 34 -
EJEMPLO RESUELTO 36 Ua empresa auxlar de auomocó decde mplaar ua líea de yeccó de alumo para sumsrar bloques de moor para u auomóvl. Para calcular el preco de vea, se ee e cuea los sguees daos: - Se compra y acodcoa u pabelló, pagádose mlloes de u.m. al coado, y el reso medae 4 leras de gual omal de mlloes de u.m. cada ua, co vecmeo a 3, 6, 9 y meses. - Se ecarga el desarrollo del proyeco a ua geería que cobra mlló de u.m. mesuales durae los ses meses de esudo, mas 5 mlloes de u.m. e el momeo de puesa e marcha de la salacó. Tras la elaboracó del proyeco, comeza la ejecucó del msmo que se prologa por espaco de 6 meses. Se curre e los sguees gasos: - ompra de u horo de reverbero, de cose 3 mlloes de u.m., a pagar el 5% al coado, y el reso el día de puesa e marcha. - Maquara de yeccó y dversa, pagádose e res leras de 5 mlloes de u.m. cada ua co vecmeos a 6, y 8 meses. Tras la ejecucó y puesa e marcha, comeza la produccó de bloques, que se va a maeer durae años. Supoe los sguees gasos: - Maemeo: mlló de u.m. al año, más la reovacó complea del refracaro del horo cada res años, que supoe mlloes de u.m.. - Maeras prmas: mesualmee mlloes de u.m al prcpo de cada mes., co u cremeo aual del 4% sobre el prmer año. - Eergía: mlloes de u.m. cada dos meses, cremeádose cada año u 3% respeco al aeror. - Mao de obra: mlloes de u.m. mesuales, más dos pagas exra e juo y dcembre de gual cuaía, co u cremeo aual por coveo del 3%. Se oma para odos los cálculos u ao de valoracó del % aual. Se desea calcular el preco de vea uaro e el prmer año de produccó y e el úlmo, sabedo que el úmero de udades veddas es cada mes durae el prmer año, que se cremea u 5% cada año respeco al aeror, que el preco de vea a sólo se cremea u % cada año respeco al aeror, y que se desea obeer u beefco del % sobre el preco de cose ESTUDIO DEL PROYETO EJEUION DEL PROYETO AÑOS DE PRODUION - - - - - - - 6 MESES MESES AÑOS OMIENZO DE LA EJEUION DEL PROYETO PUESTA EN MARHA DE LA INSTALAION - 35 -
ÁLULO DE LOS GASTOS ATUALIZADOS:. Pabelló: G ) 4 =.. +.. a ( 4 9.54.4,66 u.m. ( = ( + ) =,43689) = 4,. Proyeco: G =.. a ) 6, ( + 5.. ( + ) = (4).38.495,58 u.m. () ( = ( + ) =,79744) 3. Horo: G = 5.. =... = 7.938.3, 47 u.m. 3 a, j 4. Maquara: () G ) 3, 4 = ( + ) 5.. a ( =... = 5. Maemeo: 3..66,8 u.m. G5 = ( + ).. a, + (+ ).. a9, S 3, =... = 8.749.399,8 u.m. 6. Maeras prmas: G 6 = / Ä(M =.., π = 4. ) (), = ( + ) A(M =.., π = 4.8.) =... = 8.37.994,34 u.m. j V 7. Eergía: G = (6) 7 = / A(M =.. 6,,3), = V A(M..,,3),, j6 =... = 78.66.38,34 u.m. 8. Mao de obra: G () () 8 = / A(M =..,,3), + / A(M =..,,3), =... = 784.78.363,5 + 8.3.48,4 = 9.993.77,9 u.m. 8 GT acualzados = G =.87.98. 994 u.m. = - 36 -