LCCIÓN 2 - NTS Y SISTAS D VCTRS 2.. Clsfccó de vectes. 2.2. met cetl de u vect. Cmb del cet de mmets. 2.3. met áxc de u vect. 2.4. Sstems de vectes deslztes. 2.4.. Sstems de vectes ccuetes. 2.4.2. P de vectes. 2.5. Sstems de vectes lgds plels. 2. CLASIFICACIÓN D VCTRS Se dce que ds vectes s equpletes cud tee l msm deccó, módul y setd. A pt de est defcó pdems clsfc, segú su put de plccó, ls vectes e: lbes: u vect es lbe cud puede susttuse p culque de sus equpletes s que p ell deje de epeset l msm mgtud. jempl: el vect velcdd del vet. deslztes: cud puede susttuse el vect p culque de sus equpletes cteds e su líe de ccó. jempl: el vect fuez e l deccó de u cued. lgds: puede susttuse p gu. jempl: el vect tesdd de cmp eléctc de u cg putul. 2.2 NT CNTRAL D UN VCTR. CABI DL CNTR D NTS. Se defe el mmet cetl de u vect espect de u put, () cm el pduct vectl () d sed u vect que tee p ge el put, y su extem e u put culque de l líe de ccó de. S s tees cce úcmete el módul del mmet:
P P ' () seϕ d d sed d l dstc más ct ete y l líe de ccó de l mmet cmb s se mueve el vect p su líe de ccó: () ' ( + PP') S ls cmpetes del vect s X, Y, Z y s ls cdeds de u put culque de su líe de ccó s (x,y,z ), l expesó de su mmet espect de (x,y,z ) seá: () x x x y j y y z k z z ' S e lug de expes el mmet espect de queems expesl espect de t put ': ' () ' (' + ) () ' ( ) + ' 2.3. NT ÁXIC D UN VCTR Se llm mmet áxc de u vect mmet de u vect espect u eje, l pyeccó sbe dch eje del mmet cetl del vect espect culque de sus puts: sed u el ves que defe l eje ( ) u ( ) u ux x x x y u Y y y u Z z z z
sed (x,y,z ) ls cdeds de u put culque de l líe de ccó del vect y (x,y,z ) ls cdeds de u put culque del eje. u ' ' ' () u y que ( ' ) y u s plels. l mmet cetl del vect sí depede del put del eje csded: ' () ( ) ' ( ' ) + ( ) pe sí l pyeccó sbe el eje, que es l msm: ((' ) + ) u 2.4. SISTAS D VCTRS DSLIZANTS ( ) u ( ) u ( ) u () u S demms sstem de vectes deslztes u cjut de vectes deslztes ( ), se llm esultte del sstem l vect sum de ls vectes que cmpe el sstem, csded ésts cm vectes lbes. R Se llm mmet esultte del sstem espect de u put l sum de ls mmets cetles espect de ese put de cd u de ls vectes del sstem. De fm álg se defe mmet áxc del sstem espect de u eje l sum de ls mmets áxcs de cd u de ls vectes del sstem. Al cjut de l esultte y el mmet esultte e u put se le llm ts del sstem e ese put.
l mmet esultte espect de t put ' seá ' ' ' ' ( ) + ( + ' ) ' + ' ' ' R + ' R 2.4.. Sstems de vectes ccuetes l sstem de vectes más smple es quel e que sus líes de ccó ps p u put. Se tt de vectes ccuetes. este tp de sstems, el mmet esultte seá: R C 2 3 es dec el mmet esultte es el mmet de l esultte (teem de Vg). 2.4.2. P de vectes Se dem p l cjut de ds vectes deslztes de gul módul y deccó, setd puest y dfeete líe de ccó. vdetemete, l esultte de u p es ul, p l que el mmet del p es depedete del put espect del que se clcule, y que ' ' R S clculms el mmet espect de u put de l líe de ccó de u de ls vectes: c d c dde c es u vect que v de u líe de ccó t. Su módul seá d, dde d es l dstc ete ls ds líes de ccó.
l setd de vee dd p l egl del tll (cte dextóg) plcd l p de vectes. 2.5. SISTAS D VCTRS LIGADS PARALLS Se u sstem de vectes plels ( ), u y el ge de u sstem de efeec bt. u es el vect ut e l deccó del sstem. S A es el put de plccó de, l esultte del sstem y el mmet esultte espect de s: R u ( A ) Tee especl teés, desde el put de vst de l ecác, quells puts espect de ls cules el mmet esultte del sstem se ul. S llmms C u culque de tles puts, plcd l ecucó del cmb del cet de mmets, se cumplá que: + C R C C R st últm ecucó sgfc que, s plcms l esultte del sstem e C, etces el mmet esultte del sstem y el mmet de l esultte (plcd e C) espect de culque put del espc, ccde. Se puede cmpb fáclmete que el put C que cumple l cdcó te es úc, s que tds ls psbles sluces se le fmd u ect, que se cce c el mbe de eje cetl del sstem de vectes. De tds ls puts del eje cetl exste u, que llmems G, que tee l ppedd ñdd de que, uque cmbems l deccó de ls vectes del sstem (cmbems u ), el mmet esultte del sstem espect de él sgue uládse. fectvmete, segú l ecucó te: C R C ( ) u C( ) u Pe p t pte, de l defcó de mmet esultte de u sstem, A u ( A ) u Dd que ls esultds de ls ds ecuces tees debe ccd; y mbs s el esultd de seds pducts vectles e ls que el segud multplcd es el msm, exste muchs puts C que cumple mbs gulddes, cm y hems dch. Pe s queems que mbs gulddes se mteg p culque deccó del sstem de vectes (culque vl de u ), l úc psbldd es que se
C ( ) A Y est cdcó sól l cumple u put, l que llmems G, y que se detfc, cm veems más delte, c el cet de gvedd de u cuep. Ls cdeds de G se puede clcul cm G A edte est ecucó se puede clcul l pscó de G, sempe y cud l esultte del sstem se ule ( ).
JRCICIS LCCIN 2: NTS Y SISTAS D VCTRS 2.- Hll el mmet de u vect v 4 + j plcd e el put (2,-2,) espect del ge de cdeds y espect de A(4,,), cmpbd que se cumple l elcó: A ( v) ( v) A v Sl. k ; 6k A 2.2- Clcul el mmet de u vect de módul 5 stud sbe l ect [y 2x+5; z] espect del ge de cdeds, e ds puts dstts de su líe de ccó, cmpbd que s gules. Sl. 5 5 k 2.3- U eje ps p el ge y p el put (,2,-2). Clcul el mmet espect de dch eje del vect V(2,-4,-3) plcd e P(3,,). Sl. 5/3 2.4- Clcul el mmet del vect v 2 4 j cuy líe de ccó ps p el put P(-,,), espect del eje defd p ls ecuces: x 2 y 3 z 2 2 Sl: 6 2.5- U vect deslzte de módul 5 tee cm líe de ccó l ect x y z-2. Detem el mmet del vect espect del put P(,2,3) y el mmet espect l ect que ps p A(-,5,-4) y B(,3,-2). 5 5 Sl. + k; 5 3 3 3 2.6- Dd el vect deslzte V (3,-4,5) y u put A (2,3,) de su líe de ccó, clcul: ) Su mmet _cpl. 2) Su mmet espect del put P (2,-3,5). 3) Su mmet espect de l ect que ps p ls puts B (,-,) y C (2,,). 4) Su mmet espect de ls ejes cdeds. Sl. 9 7 j 7k; 4 2j 8k ; 4/3; 9,-7,-7 2.7- Clcul el mmet del vect v 5 4 j 2 k plcd e el put P(2,-,-) espect de u eje que fm águls de 45º y 6º c ls ejes X y Y, sed su tece cse dect pstv, y que ps p A (-,,-3). Sl:.57 2.8- U sóld g leded del eje Y, sed l fuez plcd F 3 j + 2 k N. ) Clcul el mmet de F espect del ge, s el put de plccó de F es 5 m. b) Id espect del put ' stud e l cded (,-4,).
c) Cmpueb que ls cmpetes Y y 'Y s gules. Sl. j 5k Nm; 8 j 7k N ' 2.9- Hll ls mmets áxcs del vect 3 + 8 j k, plcd e (,2,-) espect de ls ejes ctess. Sl. X 6; Y -2; Z 2 2.- Dd el sstem de vectes: v 2 + 3 j + k y u put P (,,2) de su líe de ccó, v2 j + k y u put P 2(,2,) de su líe de ccó, v3 3 + 3 j + 3k y u put P 3 (,,) de su líe de ccó, detem: ) Resultte del sstem. 2) met esultte espect del ge de cdeds. 3) met esultte espect de (,,). Sl. R 5 + 7 j + 5k ; 5 + 2 j + 4k ; ' 3 + 2 j + 2k 2.- Dd el sstem de vectes plels: 2 + j + k y A (,,) u put de su líe de ccó, 2 2 j k y A 2 (,,) u put de su líe de ccó, 3 4 + 2j + 2k y A 3 (,,) u put de su líe de ccó, detem: ) Resultte del sstem. 2) met esultte espect del ge de cdeds. 3) l vect que dc l pscó del put G, G. 4) Cmpb que el mmet esultte del sstem espect de G es ul. Sl. R 4 + 2 j + 2k; 2 + j + 3k; G ( j + k) 2