Tema 7 (III) Teoremas de Rolle y del valor medio Aplicaciones al cálculo de ites: regla de L Hòpital Teorema del máimo Teorema de Rolle Se dice que f () tiene un máimo local (o relativo) en un punto si f ( ) f ( ), para todo de un entorno de Se dice que f () tiene un mínimo local (o relativo) en un punto si f ( ) f ( ), para todo de un entorno de Teorema del máimo Sea f () una función definida en un intervalo abierto (a, b) Si es un máimo de f () en dicho intervalo y si f ( ) eiste, entonces f ( ) El recíproco del teorema no es cierto Esto es, que la derivada sea no asegura que el punto sea máimo También basta con observar la figura adjunta, en la que se 3 dibuja la gráfica de f ( ) Para esta función la derivada se anula en y sin embargo en ese punto no hay máimo ni mínimo Teorema de Rolle Si f () es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y si f (, entonces eiste algún punto c (a, b) tal que f ( Geométricamente la comprobación es evidente: eiste un punto al menos de ese intervalo, en el que la tangente a la curva es horizontal En ese punto c se da el máimo o el mínimo de f () en ese intervalo La función f ( ) verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [, ], pues: es continua y derivable en todo R; en particular en el intervalo [, ] f ( ) 4 y f ( ) 4 Esto es, toma el mismo valor en los etremos del intervalo En consecuencia, eiste un punto c (, ) en el que su derivada vale : f ( ) / El valor c / es el que asegura el teorema: f ( / ) b) La función f ( ) no satisface las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [, ], pues no es derivable en el punto de ese intervalo Por eso, aunque tenga máimo en no se cumple que f ( )
Teorema del valor medio de Lagrange Si f () es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces eiste algún punto c (a, b) tal que f ( b a Interpretación geométrica: eiste un punto perteneciente al intervalo en el que la tangente a f () es paralela a la secante que pasa por los puntos de abscisa a y b De otro modo: eiste un punto del intervalo en el que la tasa de variación instantánea coincide con la tasa de variación media de todo el intervalo Recuerda que la tasa de variación media de una función en un intervalo viene dada por la epresión: TVM [ a, b] b a Interpretación física: si se realiza un trayecto a velocidad media v, en algún instante de ese trayecto se ha llevado esa velocidad v Ejemplo: La función f ( ) 3 6 es continua y derivable en el intervalo [, ] c, < c < f () f ( ) tal que f ( ( ) En efecto: 5 4 3 6 ( ) 3 3 6, El valor que cumple el teorema es, el número que pertenece a (, ) Teorema de Cauchy Si f () y g () son continuas en [a, b] y derivables en (a, b), y si b) y f () y g () no son ceros a la vez, entonces, eiste un punto c (a, b) tal que f ( b) Con las mismas hipótesis, si tomamos a < < b, eistirá un punto c (a, ) tal que f ( ) f ( [ f ( ) ] [ f ( ) ] f ( )
3 Aplicación al cálculo de ites Regla de L Hôpital Indeterminaciones: En el cálculo de ites pueden aparecer siete epresiones (formas) indeterminadas Son: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Hasta ahora, cuando se presentaba alguna de esas indeterminaciones, las resolvíamos, si podíamos, mediante transformaciones algebraicas Sirva como recordatorio el siguiente ejemplo: ( ) 3 ( )( ) A partir de ahora podremos emplear otro procedimiento más eficaz y que puede utilizarse para una mayor variedad de funciones Este procedimiento se sirve de las derivadas y recibe el nombre de regla de L Hôpital Regla de L Hôpital para resolver la indeterminación f ( ) En el caso de que a ) entorno de a, se cumple: a y de que f () y g () sean funciones derivables en un Si f ( ) y ), siendo ) en un entorno de a, entonces, si eiste a f ( ) f ( ), entonces también eiste y se cumple que a ) a ) (Esto es válido si a se sustituye por a, a,, o ) a f ( ) f ( ) ) a ) Esto es, el ite de un cociente del tipo [/] es igual al ite del cociente de las derivadas sen cos ( ) L H sen cos sen ERROR: (?) OJO: NO se hace la derivada del cociente b) La regla también se puede aplicar a funciones racionales Así: ( ) 3 L H 3
4 Regla de L Hôpital para resolver la indeterminación f ( ) En el caso de que ) se cumple: a Si f () y a ), entonces, si eiste a f ( ) f ( ) f ( ) y se cumple que a ) a ) a ) (Esto es válido si a se sustituye por a, a,, o ) ( L H ) ln / b) e e e Resolución de las formas [ ] e [ ] a f ( ), entonces también eiste ) Para resolver las indeterminaciones del tipo [ ] e [ ] hay que transformarlas, operando previamente, en alguna de las formas o Si ese propósito se consigue, entonces se aplica la regla de L Hôpital ( cos )cot ag ( ) [ ] (Recuerda que cotag /tag / ) Sustituyendo cotag por /tag se tiene: cos sen ( tag tag b) e [ ] Haciendo la resta indicada se tiene: e e e ( e ) (L H) e e (L H) ( cos )cot ag) [ ] ( L H ) e e e
5 Resolución de las formas [ ], [ ] y [ ] Si al intentar calcular f () f ( ) a aparece alguna de estas formas (esto es: f () [ ] a a [ ], o f ( ) [ ]) se calculará, si se puede, el ite ln( f ( )) a a, o Con esto, la indeterminación inicial se transforma en otra del tipo [ ], que se resolverá como se ha indicado antes Una vez resuelto, si ln( f ( )) L, se tiene que el ite buscado vale a a L f ( ) e Recuerda: Los ites cumplen la siguiente propiedad: ln[ f ( ) ] ln f ( ) a a Por definición: ln A L A e L ; y también: ln(b p ) p ln B [ ] Aplicando logaritmos: ln ln [ ] (transformando) ln (L H) Por tanto, e e NOTA: Este resultado suele tomarse como definición de e b) [ ] Aplicando logaritmos: ln ln [ ( ) ] ln / (transformando) ( ) ( ) / L H / Por tanto, e ( ) / ln 4 [ ] Aplicando logaritmos: ln / ln ln ( ) ( ) ( 4) 4 ln 4 ln /( 4) / 4 / ln 4 e Por tanto, ( ) (L H) ln 4 (L H)