Capítulo 1 LÍMITES Y CONTINUIDAD Versión Beta 1.1

Capítulo 1 LÍMITES Y CONTINUIDAD Versión Beta 1.1 www.mathspace.jimdo.com Tabla de contenido Capítulo 1...1 LÍMITES Y CONTINUIDAD...1 1.1. LÍMITES...2 1.1.1 Definición formal...2 1.1.2. Cálculo de límites...2 1.1.3. Asíntotas... 18 1.2. CONTINUIDAD... 21 1.2.1. Algebra de continuidad... 22 1.2.2. Clases de discontinuidad... 22 1.2.3. Continuidad en intervalos... 23 1.2.4. Teorema de Bolzano... 24 1.2.5. Teorema del valor intermedio para funciones continuas... 25 1.2.6. Teorema de valores etremos para funciones continuas... 26 Bibliografía... 27 1

1.1. LÍMITES 1.1.1 Definición formal Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene al punto a. Sea L R. Se dice que L es el límite de f() cuando tiende a a si: ε > 0 δ > 0 [0 < a < δ f() L < ε ] En este caso se escribe: Lím f() = L a 1.1.2. Cálculo de límites De una manera más intuitiva, se hace referencia a la siguiente definición: Una función f tiene límite L en un punto a, si f se aproima a tomar el valor L cada vez que su variable independiente se aproima a tomar el valor a. Lo que se denota como: f() = L a 2

1.1.2.1. Cálculo de límites con tablas y gráficas Ejemplo 1. Veamos cual es el comportamiento de la función f() = 2 cerca al punto = 3. Note que se hace una aproimación a = 3 en las dos direcciones (por izquierda y derecha) y se observa que los valores resultantes de f() se aproiman al valor de 9. f() f() 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.99 2.999 3 2 = 9 3+ 2 = 9 + 3 2 = 9 Instrucción en Geogebra: f(3) = 9 3

Ejemplo 2. 2 3; < 2 Veamos cual es el comportamiento de la función f() = { 3; = 2 e 2 ; > 2 cerca al punto = 2. Haciendo un análisis similar al ejemplo anterior, tenemos: f() f() Instrucción en Geogebra: Ejemplo 3. (Función parte entera) Veamos cual es el comportamiento de la función f() = + cerca al punto = 1. Haciendo un análisis similar al ejemplo anterior, tenemos: 4

f() f() Instrucción en Geogebra: Conclusiones: 1. Los límites por izquierda ( Lím unilaterales). a 2. Lím a f() puede eistir o no, cuando eiste puede coincidir con f(a). Lím f() = f(a) cuando la gráfica de f es continua en = a. a f() ) y por derecha ( Lím f()) pueden coincidir o no. (Límites a+ 3. Por tanto, Lím f() eiste si y solo si Lím f() y Lím f() eisten y son iguales. a a a+ 5

Resultados básicos de límites y límites especiales a partir de gráficas y = c 1 y = 2 y = e 3 y = Ln() 4 6

y = Sen() 5 y = Cos() 6 y = Tan() 7 y = Arcsen() 8 7

y = Arcocos() 9 y = Arctan() 10 y = Ln() 11 y = (1 + ) 1 12 8

y = sen() 13 y = 1 cos() 14 1.1.2.2. Cálculo de límites aplicando propiedades Algebra general de límites Si f() = L y g() = M. L, MεR.. Entonces. f() g() (f() + g()) L M L+M L + + L - + M + - M - + + + - - - + - Indeterminado - + Indeterminado f() g() (f() g()) L M L-M L + L + + M + - M + + Indeterminado - - Indeterminado + - + - + f() g() (f()g()) L M LM L>0 + + L<0 - - + + + - - + + - - - + - 0 + Indeterminado + 0 Indeterminado 9

L f() g() M 0 ( f() g() ) L M L + 0 L - 0 L>0 0+ + L>0 0- - L<0 0+ - L<0 0- + + M>0 + + M<0 - - M>0 - - M<0 + + 0+ + + 0- - - 0+ - - 0- + 0 0 Indeterminado + + Indeterminado + - Indeterminado - + Indeterminado - - Indeterminado Propiedades algebraicas de límites Si f() = L y g() = M. L, MεR.. Entonces. 1. [f() ± g()] = f() ± g() = L + M. 2. [f()g()] = f() g() = LM. 3. [ f() ] = f() g() g() = L M. M 0. 4. [f() g() ] = f() g(). f() > 0. 5. kf() = k f() = kl. Ejemplo 4. Calcular 2 ( 2 + 3 + 2). 2 (2 + 3 + 2) = 2 + 3 + 2 2 = ( ) 2 + 3 + 2 2 2 = (2) 2 + 3(2) + 2 = 12 2 2 Ejemplo 5. Calcular 1 ( 42 1 2+2 ). 1 1 (42 2 + 2 ) Ejercicio 1. Resolver: 1. 2 (33 2)(6 + 1) 2. 3 (4 2 5) 2 3. e (2 1) 2 (3 10) 10

Teorema. Límite de una función radical Sea n un entero positivo. El siguiente límite es válido para todo c si n es impar, y para todo c > 0 si n es par. n n = c Ejemplo 6. Calcular 3 8 3 3 = 8 8 = 2. Ejemplo 7. Calcular 2 9 2 2 = 9 9 = 3. Casos cuando el límite no eiste Caso 1 Si f() = + o f() = entonces Ejemplo 8. Considere la función f() = Ln. El Ln no eiste, ya que: Ln = 0 0+ f() no eiste. Caso 2 f() no eiste si y solo si f() no eiste, eiste o + o ambos eisten pero son distintos. f() no Ln; > 0 Ejemplo 9. Considere la función f() = { sen; < 0 El Ln no eiste, aunque f() no eiste, ya que: 0 f() = 0 (sí eiste). 0 0+ 11

Caso 3 Si f() es una función oscilante, entonces f() no eiste. Ejemplo 10. Considere la función f() = cos. El f() no eiste, pues la función cos es una función oscilante. Teorema de intercalación o del emparedado Si h() f() g(), para todo en un intervalo abierto que contiene a c, ecepto posiblemente en el propio c, si: Entonces f() = L h() = g() = L Ejemplo 11. Considere la función f() = 2 sen ( 1 ). Determine f(). 0 Solución Observe que 0 2 sen ( 1 ) = 0 2 0 sen ( 1 ) = 0(NE) NE: No eiste. Así que, haciendo uso del Teorema del Emparedado, se tiene: 12

1 ( 2 )( 1) 2 sen ( 1 ) 1; Para todo real diferente de cero. ( 2 )sen ( 1 ) (1)( 2 ); Multiplicando por 2 2 sen ( 1 ) 2 0 2 = 0 2 = 0 0 0 2 sen ( 1 ) = 0 Ejercicio 2. Use el Teorema del emparedado para determinar el valor del siguiente límite: sen 0 1.2.2.3. Cálculo de límites por sustitución o cambio de variable Donde Si f(g()) entonces f(g()) = f(u) a a u g(a) u = g() a u g(a) Ejemplo 12. Determine el valor del límite: π sen(2 ) Sea u = 2 π u π De ahí que: π sen(2 ) = sen(u) u π = sen(π) = 0 Por tanto, π sen(2 ) = 0 13

Ejemplo 13. Determine el valor del límite: Ln [sen ( + π 0 2 )] Sea u = + π 2 0 u π 2 Entonces Ln [sen ( + π 0 2 )] = Ln[sen(u)] u π 2 Realizamos de nuevo un cambio de variable: Sea v = senu u π 2 v 1 De ahí que: Ln [sen ( + π 0 2 )] = Ln[sen(u)] u π 2 = Ln[v] v 1 = 0 En conclusión Ln [sen ( + π 0 2 )] = 0 Ejercicio 3. Resolver 0 e arcsen(1 ) Ejercicio 4. Resolver + sen(arctan) Ejercicio 5. Resolver 1 (1 + ln) 1/Ln 14

1.1.2.4. Formas indeterminadas Forma 0 0 Recomendaciones: Para einar la indeterminación 0/0 en un cociente de polinomios en, se factorizan numerador y/o denominador y se einan los factores comunes en el límite de la función. (Al aplicar el límite a la función, los factores einados son diferentes de cero). Para einar la indeterminación 0/0 en una función en la que el numerador o el denominador contienen radicales, se racionaliza la función y se simplifica el resultado. Una manera de racionalizar es, multiplicar por el conjugado del término irracional. Las epresiones irracionales se reducen, en muchos casos a una forma racional introduciendo una nueva variable. Ejemplo 14. Resolver: 3 1 1 1 = 0 0 3 1 1 1 = = ( 1)( 2 + + 1) 1 1 1 2 + + 1 = 3 Ejemplo 15. Resolver: + 1 1 = 0 0 0 Racionalizando se tiene: + 1 1 0 = + 1 1 0 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 ( + 1) 1 ( + 1 + 1) = 0 ( + 1 + 1) = 0 1 ( + 1 + 1) 15

= 1 2 Ejemplo 16. Resolver: Realizando un cambio de variable, se tiene. 1 1 1 ; 1 0 Sea = y 2 1 y 1 De ahí que: 1 y 2 1 1 1 = y 1 y 2 1 = = = y 1 y 1 y 2 1 y 1 y 1 (y 1)(y + 1) 1 y 1 y + 1 = 1 2 Ejercicio 6. Resolver: Arcsen 1. 0 2. sen 0+ 1 cos Forma Recomendación: Para einar la indeterminación / en el límite de una función algebraica racional, se divide entre la mayor potencia de la variable que esté en el numerador y/o denominador y se evalúa el resultado. 16

Ejemplo 17. Resolver: + 1 1 = + 1 1 = +1 1 (Dividiendo entre el denominador con la potencia más alta) 1 1 + = 1 1 = 1 Ejemplo 18. Resolver: 6 2 2 1 3 3 2 1 = 6 2 2 1 3 3 2 1 = = 6 2 2 1 3 3 3 2 1 3 6 1 1 (Dividiendo entre el denominador con la potencia más alta) (Simplificando) = 0 Ejercicio 7. Resolver: 1. 4 3 + 2 3 +3 2. 2 +1 +1 Recomendación: Si f() es una función racional y a n n y b n m son monomios en el numerador y denominador, respectivamente, con las mayores potencias de, entonces ± f() = ± a n n b n m. 17

Ejemplo 19. Resolver: 4 3 5 2 4 3 5 2 Ejercicio 7. Resolver: = = = = 4 2 1 2 3 1 2 ( ) 1. 4 (3 1) 2 2. 5 2 2 +1 3 5 5 Forma + ( ) Ejemplo 20. Resolver: [Log(2 1) Log()] [Log(2 1) Log()] = Log ( 2 + 1 ) Ejercicio 8. Resolver: = Log (2 + 1 ) = Log(2) 1. [ Ln()] 2. ( + + 22 ) 1.1.3. Asíntotas Una asíntota es una recta que se encuentra asociada a la gráfica de algunas curvas y que se comporta como un límite grafico hacia el cual la gráfica se aproima indefinidamente, pero nunca la toca. A medida que la variable independiente de la función tiende hacia un cierto valor, la correspondiente variable dependiente tiende a infinito, cualquiera que este sea. 18

Asíntotas verticales Sea R() = P() una función racional, donde P(a) 0 y Q(a) = 0; la recta = a es una asíntota vertical de Q() R() = ±. R() si a Ejemplo 21: R() = ± ó a+ Sea la función f() = 1. (Observe que el dominio de la función f() es: R {3}). 3 Como 1 3 3 función dada. = y 1 3+ 3 = +, entonces la recta = 3 es un asíntota vertical de la gráfica de la Asíntotas horizontales Sea la función con ecuación y = f (). Si f() = L ó f()= L, entonces la recta con ecuación y = L + es una asíntota horizontal de la gráfica de f (). Ejemplo 22: Sea la función f() = Arctan(). Como Arctan() = π/2 y + asíntotas horizontales de la gráfica de la función dada. Arctan() = π/2, entonces la recta y = π/2 e y = π/2 son 19

Asíntotas oblicuas Si los límites: f() = m y f() m=b, entonces la recta con ecuación y = m + b es una asíntota oblicua de la gráfica de la función f(). Ejemplo 23: La función f() = 4 + 1 1 tiene asíntota oblicua y = 4 1, ya que: f() = (4 + 1 1 ) y f() m 2 = = 4 = 1 = m = b (4 + 1 1 4) 20

1.2. CONTINUIDAD Una función es continua en = a si y solo si satisface las siguientes condiciones: 1. a f() eiste. 2. f(a) eiste. 3. a f() = f(a). Nota 1: Toda función polinómica es continua en cada número real. Nota 2: Sea R() = P() una función racional, entonces R() es continua en cada a R, Q(a) 0. Q() Nota 3: Si una función no es continua en un punto, se denomina discontinua en dicho punto. Ejemplo 24: Sea la función R() = 1. Como R() es una función racional, es continua en cada con 0; o lo que es lo mismo, R() es discontinua en = 0. Ejercicio 9: Determine si la función dada es continua en = 0. + 1; 0 h() = { 2 + 1; > 0 Ejercicio 10: Determine si la función dada es continua en = 0. g() = { sen (1 ) ; > 0 2 ; 0 Ejercicio 10: Determine si la función dada es continua en = 2. f() = { Ln( 1); 1 < < 2 Arcsen( 2); 2 3 21

1.2.1. Algebra de continuidad Si f() y g() son funciones continuas en a, entonces: 1. f() ± g() es continua en a. 2. f()g() es continua en a. 3. f()/g() es continua en a, g(a) 0. 4. f() g() es continua en a, f(a) > 0. Ejemplo 25. Sea f() = 2 e. Es f() continua en =2? 1 Observe que: 2 es continua en =2. e es continua en =2. 1 es continua en =2. Por tanto, f() = 2 e. es continua en = 2. 1 1.2.2. Clases de discontinuidad Definición: Sea f() una función discontinua en a, se dice que f() presenta una discontinuidad removible o evitable en a, si a f() eiste. Se dice que f() presenta una discontinuidad no removible o no evitable si a f() no eiste. Ejemplo 26. Sea f() = sen. f() es discontinua en = 0. sen Como = 1, (eiste), entonces la discontinuidad de la función dada es evitable, así que redefiniendo 0 la función f() se tiene: sen F() = { ; 0 1; = 0 Ahora, F() así definida sí es continua en = 0. 22

Ejemplo 27. 1; > 0 f() = { 1; < 0 f() es discontinua en = 0. Como 0 f() no eiste, entonces la discontinuidad de la función f() es no removible. 1.2.3. Continuidad en intervalos Definición: Se dice que f() es continua en el intervalo (a, b) si f() es continua en cada punto de (a, b). Definición: Se dice que f() es continua en el intervalo cerrado [a, b] si f() es continua en el intervalo abierto (a, b) y f() = f(a) y f() = f(b). a+ b Análogamente se puede definir la continuidad en intervalos semiabiertos. 23

Ejemplo 28: Sea la función g() =. (Función parte entera de ). g() = es continua en los intervalos: g() = es discontinua en los intervalos: Ejemplo 29: Sea la función f() = 1 f() = 1 es continua en los intervalos: f() = 1 es discontinua en los intervalos: 1.2.4. Teorema de Bolzano Sea f() continua en [a,b], si se cumple que: [f(a)>0 y f(b)<0] ó [f(a)<0 y f(b)>0]. Entonces, eiste c (a,b) tal que f(c)=0. 24

Ejemplo 30: Sea f() = 2 + 3 4. Verificar el Teorema de Bolzano en el intervalo [0,2]. Dado que f() es una función polinómica, entonces es continua en todo R, particularmente en el intervalo dado. A continuación, se determinan las imágenes de la función en los etremos del intervalo, para verificar el signo de dichos valores, es decir: f(0) = 4 < 0 f(2) = 6 > 0 Luego, se cumplen las hipótesis del Teorema de Bolzano, por tanto, eiste c (0,2) tal que f(c) = 0. Encontremos entonces el valor o valores de "c": f(c) = c 2 + 3c 4. De ahí que c 1 = 4 y c 2 = 1 Como 1 (0,2), entonces c 2 = 1 es el valor que buscábamos. 1.2.5. Teorema del valor intermedio para funciones continuas Sea f() continua en [a, b], sea m un valor intermedio entre f(a) y f(b), es decir: [f(a)<m<f(b)] ó [f(b)<m<f(a)]. Entonces, eiste c (a,b) tal que f(c)=m. 25

Ejemplo 31: Sea f() = 2 + 1. Use el Teorema del Valor Intermedio para probar que eiste c (0,2) tal que f(c)=2. Dado que f() es una función polinómica, entonces es continua en todo R, particularmente en el intervalo dado. Se determinan las imágenes de la función en los etremos del intervalo (0,2), es decir: Se verifica que: f(0)=1 f(2)=5 1 < f(c) < 5 1 < 2 < 5 Luego, se cumplen las hipótesis del Teorema del Valor Intermedio, por tanto, eiste c (0,2) tal que f(c)=2. Encontremos entonces el valor o valores de "c": De ahí que c=±1. f(c) = c 2 + 1=2 Como 1 (0,2), entonces c = 1 es el valor que buscábamos. 1.2.6. Teorema de valores etremos para funciones continuas Sea f() continua en [a, b], entonces eisten 1, 2 en [a, b] tales que: f( 1 ) f(); Para todo en [a, b] f( 2 ) f(); Para todo en [a, b] f( 1 ) se llama valor máimo absoluto de f() en [a, b] y f( 2 ) se llama valor mínimo absoluto de f() en [a, b] 26

Bibliografía LEITHOLD, Louis. Cálculo con Geometría Analítica. PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral. PINZON, Alvaro. Cálculo Diferencial. APOSTOL, Tom, M. Calculus. Volumen I y II. Ed. Reverté. SALAS, HILLE. Calculus. Volumen I y II, 2a Edición. SWOKOWSKJ, Earl W. Cálculo con Geometría Analítica, 2a Edición. LARSON, Roland E. Cálculo y Geometría Analítica, Volumen I, 6a Edición. Edwards and Penney. Cálculo con Geometría analítica. Cuarta edición. VILLENA, Moisés. Continuidad de funciones. Notas de clase 27