rhklzxcvmqweruiosdfghklzxcvmqweru iosdfghklzxcvmqweruiosdfghklzxcvm qweruiosdfghklzxcvmqweruiosdfghklz xcvmqweruiosdfghklzxcvmruiosdfgh klzxcvmqweruiosdfghklzxcvmqweruio sdfghklzxcvmqweruiosdfghklzxcvmq ECOOMETRÍA CO SERIES DE FOURIER weruiosdfghklzxcvmqweruiosdfghklzx Frcisco Prr Rodríguez Docor e Ciecis Ecoómics UED cvmqweruiosdfghklzxcvmqweruiosd fghklzxcvmqweruiosdfghklzxcvmqwer CURSO DE ECOOMETRIA AVAZADO Frcisco Prr Rodríguez is licesed uder Creive Commos Recoocimieo-oComercil Uored Licese uiosdfghklzxcvmqweruiosdfghklzxcv mqweruiosdfghklzxcvmqweruiosdfghk lzxcvmruiosdfghklzxcvmqweruiosdf ghklzxcvmqweruiosdfghklzxcvmqweru iosdfghklzxcvmqweruiosdfghklzxcvm qweruiosdfghklzxcvmqweruiosdfghklz xcvmqweruiosdfghklzxcvmqweruios dfghklzxcvmqweruiosdfghklzxcvmqwer
Coeido TEMA I- AALISIS ESPECTRAL 5 Series emorles escioris 5 Aálisis esecrl 9 TEMA II- ESTIMACIÓ DEL PERIODOGRAMA DE UAS SERIE ARMOICA Series de Fourier Coeficiees de Fourier Orogolidd Cálculo de los coeficiees Fourier 4 Form comle de l serie de Fourier 5 Trsformd de Fourier 6 Cálculo del eriodogrm 7 Teorem de Pservl Tes sore el eriodogrm 9 Clculo del eriodogrm rvés de l Trsformd Discre de Fourier Efeco Gis 9 TEMA III- AALISIS ARMOICO DE PROCESOS BIVARIATES 44 Proceso ivrie 44 Aálisis rmóico de u roceso ivrie 45
Teorem de Plchrel 4 Coeficiee de correlció de Perso 5 Mulilicció se series rmóics 54 Vriz Covriz de Procesos Esciorios 66 Regresió d secrum 77 Regresió co coeficiees Be deediees del iemo 7 TEMA IV- FILTROS LIEALES 97 Oerdores de series de iemo 97 Filros lieles 9 Filros elemeles Filros FIR El filro como roduco de covolució 6 Series de iemo 6 Tios de filros 6 Diseño de Filros 4 TEMA V- APROXIMACIÓ DE UA FUCIO UTILIZADO EL AALISIS ARMÓICO 54 Flexiilidd 54 Flexiilidd locl 55 Form Flexile de Fourier (FFF 5 L roximció FFF mulivrid 6 Aroximció FFF uilizdo fucioes rmérics 7
TEMA VI- REGRESIO ARMOICA Iroducció Méodos sdos e el eriodogrm 4 Méodo del esecro mixo Méodo de l regresió rmóic diámic 9 BIBLIOGRAFÍA
TEMA I- AALISIS ESPECTRAL Series emorles escioris Se x( u couo de oservcioes de u vrile leori x ; e disios momeos del iemo Cosidermos x( como u relizció de u roceso esocásico ergódico; deido que solo disoemos de u relizció del roceso esocásico que h geerdo l serie de dos; e l imosiilidd de oservr disis relizcioes de x( lo lrgo de u eriodo de iemo U roceso esocásico es esciorio e seido esrico; cudo r odo > l fució de disriució cou de: F( x, x,, x F( x k, x k,, x k ; k Es decir; l fució de disriució cou es ideediee de ; ivrie e rslcioes de iemo E u seido mlio; r que u roceso se esciorio es suficiee que su eserz su fució de uocovriz se ideediee de Es decir; E ( x E ( x ; k k Si u roceso es esciorio e medi; eoces ˆµ es u esimdor x i i isesgdo cosisee de E x ( Si u roceso es esciorio e covriz; se cumle l siguiee iguldd ({ x( E[ x( ]} { x( τ E[ x( τ ]} γ ( γ (, τ E τ ; lo que sigific que l fució de uocovriz o deede de ; γ ( τ γ ( τ ; el esimdor de
γ (τ viee ddo or k C( K ( x ˆ( µ x k ˆ µ L vriz; γ ( ; se esimrí rir de C( ( x ˆ( µ x ˆ µ Eemlo Geermos u serie leori de dos; co medi desvició íic ; que reresemos e l figur siguiee: Tl ºI dos geerdos leorimee x( x( x( x( -;6 6 -;574 5 -;577574 76 ;79 -;7767 7 ;979 5 ;44767 77 -;775 ;4457 ;656797 5 -;797664 7 -;559 4 ;764754 9 ;756547 54 -;6557995 79 ;749 5 ;95 -;6549667 55 ;75776 ;6466 6 ;7 ;66455 56 ;466775 ;566 7 -;5764 -;6976 57 ;74676 ;447546 -;44 ;5947 5 ;5957477 ;99 9 ;955 4 ;9946 59 -;7499 4 ;96 -;6765 5 ;99559 6 -;5754 5 ;957 -;6946 6 -;4577 6 ;699944 6 ;4574 -;694 7 -;57955 6 ;664 7 -;55474 -;4699 ;675 6 -;9977 -;546757 4 -;977695 9 -;4 64 -;4947 9 -;77465 5 -;77575 4 ;75766 65 ;5567 9 ;9
x( x( x( x( 6 -;79 4 -;444664 66 ;55779765 9 ;44445 7 -;567947 4 -;4775 67 ;75 9 ;67965 -;444757 4 -;55799 6 -;9966 9 ;479 9 ;455 44 -;677 69 ;4459 94 -;699 -;654995 45 -;4799 7 ;479 95 ;95 -;6996 46 ;7 7 ;79 96 -;7 -;745 47 -;76 7 ;946 97 -;9977 ;46455 4 ;9455 7 ;677 9 -; 4 -;5446 49 -;7447 74 -;66547 99 -;4997 5 -;65765 5 -;764769 75 -;9969 -;4565 Se comrue que se r de u serie esciori e medi; que culquier romedio que clculemos co dichos dos drá u resuldo cerco cero: romedio 5 -;4694 romedio 5 -;757466 romedio 4 -;47 romedio 5 ;9 Ddo que l medi es cero; el esimdor de l fució de uocovriz será C( K k ( x ( x k Que clculdo r diferees vlores de k; ofrece los siguiees resuldos: K C(K ;49 ;4597 -;5659 4 ;4967 5 -;979 6 -;49659 7 -;5997 -;4 ;54769 ;695 -;6496 -;549
Como se uede recir el vlor de C(K es ideediee de K; o e su vlor como e su sigo De es form que el roceso leorio que h geerdo uesros dos es esciorio Si geermos rir de esos dos u serie del io: Y u,5 Y dode u es l serie geerd e el roceso erior Y,5Y-u 5 4-7 9 5 7 4 49 55 6 67 7 79 5 9 97
Oeemos u serie que oeemos so diferees o es esciori; que los romedios que romedio 5 ;955 romedio 5 6;474 romedio 4 ;449749 romedio 5 ;575 Y u fució C( K ( x ˆ( µ x k ˆ µ deediee del iemo: k Aálisis esecrl L ide ásic del álisis esecrl es que odo roceso esocásico esciorio dmie u descomosició úic de su vriz; e l orció que l mism reliz rmóicos de diferees frecuecis U rmóico de frecueci es u fució de l form: cos( si( L exresió cos( si( d lugr u fució eriódic de eriodo
E el álisis rmóico; ls series emorles o so cosiderds fucioes coius como l; sio que se oiee rir de u sum de ciclos co u mliud u eriodo deermido; o lo que es lo mismo de diferees rmóicos: x cos( si( ; < < < < ( ( i i i i i Siedo i i vriles leoris co E( E( i σ ; si i E( i E( i ; si i E( i, i i E ese io de rocesos l fució de uocovriz γ (τ se oiee: γ ( τ i σ cos( τ i i E dode σ i es l vriz del rmóico i-esimo; de mer que e γ ( σ se muesr que l vriz ol del roceso es l sum de ls i i vrizs de cd rmóico L escioriedd de ese roceso leorio uede seguirse e Corers, D Escolo J (94: EI álisis esecrl como isrumeo r deecr l esciolidd ESTADISTICA ESPAÑOLA úm 4, i 94, ágs 44 h://wwwiees/reviss/eses/4_6df
TEMA II- ESTIMACIÓ DEL PERIODOGRAMA DE UAS SERIE ARMOICA Series de Fourier U serie de Fourier es u serie ifii que coverge uulmee u fució coiu eriódic f ( cos( si( o Dode T se deomi frecueci fudmel; se deomi Coeficiees de Fourier Los coeficiees de u serie de fourier uede clculrse grcis l orogolidd de ls fucioes seo coseo U mer leriv de reser u l serie de Fourier es: f ( C C cos( θ Siedo; C o ; C θ rc Y que cd r de érmios: cos( se( o Se uede seguir e "Series de Fourier, Trsformds de Fourier Aliccioes",Gero Gozález, disoile e wwwdmeumes/weersolbrolo/vrilecomle/vcprei/9_series_de_fourier
se uede exresr como: ( cos( se hciedo se θ θ cos rc θ l sum uede exresrse solo e fució del coseo: [ ] cos( ( cos( cos C se se C θ θ θ Orogolidd Se dice que ls fucioes del couo { } ( f k so orogoles e el iervlo < < si dos fucioes culesquier ( f m ; ( f de dicho couo cumle: m r r m r (d (f f m Ls fucioes se cos so orogoles e el iervlo < < ; que: cos se d se
Ls fucioes del couo: {,cos(,cos(,cos(,,si(,si(,si(, } ; o o o o o o dode T so orogoles e el iervlo T T < < ; Se verific roádolo res: f ( ( cos( m : f m T/ T/ se(m cos(md m se(mt/ se(m m m T/ T/ f ( ( se( m : f m T/ T/ cos(m se(md m [ cos(mt/ - cos(mt/ ] m T/ T/ c ( cos( ( cos( m : f f m T / r m cos(m cos(d T / r m T / uilizdo ls ideiddes rigoomérics [ cos( A B cos( A B ] cos θ ( cos θ cos A cos B
d ( se( ( se( m : f f m T/ r m se(mse( d T/ r m T/ uilizdo ls ideiddes rigoomérics seaseb [ cos( A B cos( A B ] θ ( cos θ d ( se( ( cos( m : f f m se T/ T/ se(m cos( d r culquier m, uilizdo l ideiddes rigoomérics seacos B [ se( A B se( A ] Cálculo de los coeficiees Fourier Los coeficiees de fourier se clcul mulilicdo f ( or cos( m º e iegrdo de T/ T/: T / T / f ( cos( m d T / T / T / T / se( cos(m d cos(m d T / T / cos( cos(m d que dd l orogolidd de ls fucioes de seo coseo imlic que: / T f ( d T T / T / ( cos( T f m d m,,, m T /
T / ( ( T f se m d m, m T /,, Form comle de l serie de Fourier Cosideremos l serie de Fourier r u fució eriódic f ( ; co eriodo T : f ( cos( si( o Es osile oeer u form leriv usdo ls fórmuls de Euler: susiuedo: f ( cos( se( i ( e ( e i i e e i i i i i i [ ( e e i ( e e ] ddo que i i f ( i i [ ( i e ( i e ] defiiedo: c c ( i, c ( i, quedrí como: f i c e ( exresió que se cooce como form comle de fourier
Y sus coeficiees como se dio; o ie: c uede oeerse rir de los coeficiees ; c T T f ( e i d Trsformd de Fourier L Trsformd de Fourier; F ( ; se defie r u fució coiu de vrile rel; f ( ; medie l siguiee formul: i F( f(e d siedo i ; e i cos( ise( u u vrile que rerese ls disis frecuecis L Trsformd de Fourier es u fució comle co u re rel or re imgiri; es decir: F ( R( I ( dode R( es l re rel I ( es l re imgiri L rereseció gráfic de l fució de mgiud F ( se le deomi Esecro de Fourier se exres e érmios del modulo del úmero comleo: F ( R ( I ( l cudrdo de dich fució F( se le deomi Esecro de oecis El gráfico de los módulos l cudrdo free l frecueci es el eriodogrm o esecro emírico de l sucesió f (x El eriodogrm recoge l coriució que iee cd rmóico l hor de exlicr l vriz de cd serie; cd rmóico es crcerizdo or l
frecueci e que iee lugr los ciclos Los ciclos que iee u elevdo eriodo (desde que iee lugr u máximo l siguiee máximo edrá u frecueci vicevers Cálculo del eriodogrm Cosideremos l serie emorl X de l que disoemos de u couo discreo fiio de oservcioes T oservcioes; geerds or u roceso leorio x ( como el descrio e el em Ddo que se usc u rereseció de X que se use T oservcioes; usmos los dos u olígoo rigoomérico que se semee u serie de fourier; escogiedo i como: i i T es decir: X k i ( i ( i i si o i cos T T x k ( X ( ( ˆ µ i i i cos i si i T T 4 L form hiul de oeer el eriodogrm; es esimr or míimos cudrdos los coeficiees i i r cd T k rmóico si el úmero de 4 óese que T X i T, lo que imlic que T T X i
oservcioes es r T o ( de l siguiee form: k T si es imr; e u modelo esecificdo x cos si v E l que x serí l serie rmóic; ; T es el mño de l T serie coicide co el eriodo de mor ciclo que es osile esimr co el mño de l serie; T v idic el orde del rmóico de los ciclos; es u residuo o exlicdo l que se uede cosiderr irreleve (cso deermiisico o que verific ls roieddes clásics de l erurció de los modelos ecooméricos El eriodogrm o esimdor del esecro se oedrí eoces rir de l rereseció de I( i ( T free los rmóicos; e o que l 4 ( coriució de l vriz or cd rmóico; serí Si u serie emorl de ciclos emíricos rese e su eriodogrm uos ocos ciclos que exlic u orcee sigificivo de su vriz; se uede oeer el ciclo eórico de dich serie emorl rir de los rmóicos corresodiees dichos ciclos i de los Teorem de Pservl Se f u fució coiu e el iervlo [, ] de eriodo ; co desrrollo de Fourier de f : f ( x x c e ix dode los coeficiees c h sido oeidos rir de los coeficiees, Eoces se verific que:
f ( x dx Priculrizdo l serie fució eriódic f (, co eriodo T : f ( cos( si( o L ideidd de Pservl quedrí: [ f ( ] o Ls series emorles o so cosiderds fucioes coius como l; sio muesrs de señles coius omds u mism disci emorl rir de u vlor iicil Y o siedo T el mño de l serie De cuerdo lo erior; e l fució eriódic f ( l oeci romedio esá dd or: T T T T 4 [ f ( ] o ( que muesr sí que el eriodogrm esudi de hecho l disriució de l vriz o oeci de l serie e fució de los diversos rmóicos: ( T, q q T σ Tes sore el eriodogrm U form de corsr l exiseci de lgú ciclo e el eriodogrm de u serie emorl es el es de Fisher; esdísico g (Fisher; 99 o relció ere l mor vriz socid u deermid frecueci ( ; l vriz ol de l serie i
g mx w P w Pr ror l sigificció del eriodo se cors el esdísico g cor l z de u disriució orml (;; siedo l regl de decisió rechzr l hióesis ul sore u comoee eriódico e Y si l g clculd excede de l z e u ivel de sigificció del α% L mer hiul de corsr l exiseci de lgú ciclo e el eriodogrm de u serie emorl rvés del esdísico es clculdo: G mx S S El ciclo es sigificivo si el vlor G de es relció es igul l vlor críico clculdo segú l siguiee fórmul: Gc l( l( m m e Siedo l( el logrimo eerio del ivel de roilidd elegido m el úmero ol de dos de l serie (e series de más de dos U rue r esudir l deedeci seril (Duri; 969 e series de oservcioes escioris eriodogrm cumuldo:,, T se reliz sore l grfic del s r m r r r dode r,, m es el eriodogrm ordirio: r T e T ( ir T
El eriodogrm clculdo r series,, T de vriles ideediees ( µ, σ ; se clcul: T i cos T T T ; i si T T ;,,, T, dode T T r T T sumimos que el exremo de T es T m r el exremo de T; or simlicidd Y su rereseció gráfic de cor rese u l rieci de irregulridd e su isecció visul Por ello; u meor mer de reser l iformció de los cumuldo; s ' s es hcerlo rvés del gráfico del eriodogrm Se resuoe que cudo,, T es ideedieemee ormlmee disriuid; s,, s m se disriue igul que el orde esdísico de m muesrs ideediees de l disriució uiforme (; Brle s (954;966; 6 sugiere r ror l ideedeci seril; ror l máxim discreci ere s su execiv; ie / m Pr u ror u exceso de s frecuecis relivs free ls frecuecis; que equivldrí l execiv de reseci de correlció seril osiiv ese efoque coduce l esdísico: c mx s m Por el corrio u es cor excesos de vricioes de l frecueci el esdísico roido es: c mx El esdísico que corresode ls dos res de l rue serí: m s
( c, c mx s mx c m Ese esdísico es esrechmee relciodo co el de Kolmogoroiv- Smirov D, D, D su form modificd C, C, C (959 Bruk (96 Por eemlo; D mx{ s ( ( m } cosiderdo or Pke C c Los vlores críicos r esos esdísicos esá ddo e l Tl ºI; el rocedimieo r uilizr esos vlores es como sigue Si desemos ror el es de u exceso de s frecuecis free ls ls frecuecis; eoces el vlor oeido e l l, c es el vlor críico roido l vlor de diurí e el gráfico l líe; c ;se co m l recori que muesr s ; oeiedo los vlores que sores l líe ( m, s Si s cruz l líe; se rechz l hióesis de ideedeci seril De igul mer; u es sore l exceso de ls frecuecis free ls s frecuecis se rechz si el recori de s cruz l líe co m
Eemlo Primos de u serie emorl geerd rir de u seo leorio o rdom wlk: Y,5 Y u (Eemlo L serie Y rese u edeci esocásic; vmos descomoerl uilizdo u modelo rmóico; riedo de u rereseció de l
edeci ó movimieo releve de l serie emorl oeid rir de u edeci cudráic; T ciclos rmóicos ( k u residuo leorio v : k ( si o v Y c cos de mer que k ( si o v Y c X cos E ls figurs siguiees se rerese l serie de edeci l serie de ciclo e l que se v esimr u modelo de regresió rmóic: 6 5 4 serie edeci - 5 9 6 4 5 57 64 7 7 5 9 99 El rmóico de eriodo se elor rir de cos( si ( r ; ; L rereseció gráfic de ms series rece e l figur siguiee:
L regresió miimo cudráic ere ms series l serie lire de edeci ( X ; ofrece el siguiee resuldo: (,9775si ( v X,964599 cos El rmóico de eriodo edrá l rieci de l figur siguiee: Ese roceso reeido r los 5 eriodos ermie oeer los coeficiees co los que elorr el eridogrm (Tl ºII oeer l coriució de cd rmóico l vriz de l serie:
Tl ºII Peridogrm de X u,5 X Frecueci Periodo I( i T ( 4 (,9646,9,7,9495 5-4,59 -,46 76,45,, -,6,9,596,5 4 5,6,47 5,775,66 5,467 -,,9,9 6 6,7 -,59 -,6,7,7 7 4,,44 -,64 4,64,74,5,944,49 7,596,4769 9,,97 -,,47,776,4 -,95,94, 9,,549 -,7,65,4,,45 -,66 4,55,674 7,7 -,94 -,4,7,4 4 7, -, -,656 4,9,696 5 6,7,5 -,69,59,94 6 6,,9 -,54,,45 7 5,9,66, 4,,75 5,6 -,6,45,4745,9 9 5,,49 -,7,497,6 5,47,6666,545, 4,,779 -,447,47,5 4,5 -,45,64,69,4 4,, -,5,5,64 4 4,,497 -,947,497,57 5 4 -,4 -,79,69,9 6,,4 -,5,,7 7,7 -,79,66,476,99,6,7 -,49,99,6 9,4,4 -,74,,54, -,7,6,74,,,4 -,65,6476,47,,77 -,76,56,664 -, -,94,47,7 4,9 -,6,64,64,
Frecueci Periodo I( i T ( 4 ( 5,9 -,59 -,6,4,5 6,,5 -,,, 7,7, -,54,465,9,6, -,6,74,454 9,6 -,64 -,,,95 4,5, -,96,544,4 4,4,5 -,59,546,4 4,4,54,976,7,4 4,,44 -,466,6, 44, -,,7,6,65 45,,7 -,75,45,6 46,,,457,,4 47,, -,45,69, 4,,7,,56,4 49,4 -,4,6, 5, -,99,7,44 Como vemos es el segudo rmóico; el ciclo de eriodo 5; el que más coriue l vriz de l serie L rereseció gráfic del eriodogrm de l serie de ciclo serí eoces el siguiee: Pr comror l sigificció esdísic del ciclo de o eriodo 5; mx S,7999 clculmos es esdísicog, 765 S,6
El ciclo es sigificivo r u ivel de roilidd del 95% que el vlor G l(,5 l(5 49 de es relció suerior l vlor críico clculdo Gc e, 5 L rereseció gráfic del es sore el eriodogrm cumuldo:,4,,,,6,4,, -,,,,4,,6,,,44,5,56,6,6,74,,6,9,9 Corsr l reseci de ciclos de frecueci free los ciclos de l frecueci; l cruzr l recori de críicos del es s ; l d suerior de los vlores Clculo del eriodogrm rvés de l Trsformd Discre de Fourier 5 Tomdo muesrs de u señl eriodic f de eriodo T e ises serdos or iervlos regulres: k ( k T T kt,,,, k,, T ( T 5 Elordo rir de h://ersoluses/corers/5ffdf (ues de Amlició ls Máemáics, de Muel D Corers, Escuel Técic Suerior de Igeieri (Uiversidd de Sevill
Ce roximrl medie u comició ( g de fucioes T-eriódics coocids que ome e dichos uos el mismo vlor que f Ese rocedimieo se cooce como ierolció rigooméric Ls fucioes T-eriódics que se uiliz so los rmóicos comleos w e co T w ueso que h uos; si queremos que el rolem eg solució úic deemos comir u ol de rmóicos L fució ( g uilizd e l roximció; om eoces l form geerl: ( ( ( iw w w w e e e e g β β β β β Tl que ( k k g r cd k;; ;- Eoces: k ik o w k w e e k η η η β β β ;,,, k Siedo w ex l ríz rimiiv -ésim de l uidd E form mricil se exres: ( ( ( ( ( ( 4,, k k k k k k w w w w w w w w w w w w w w w w β β β β β η η η η dode [ ], k k w F l mriz de Fourier de orde Al vecor β se le deomi rsformd discre de Fourier del vecor ; deoádose como : DFT ( β
U form de oeer l DFT es rvés del lgorimo FFT (Fs Fourier Trsform; desrrolldo or diseñdo or JW Coole Joh Tuke e 965 Si l fució que ierolmos es u fució rel de eriodo T; g ( k ; k dode k,,, ; que uiliz l form geerl: ( cos( w si( w g ( co w ; suoiedo que M ; si β DFT ( ; eoces: T β o ; Re( β ; Im( β ; (,,, M ; M β M ; el oliomio rigoomérico: g ( M ( cos( w ( w M cos( Mw Eemlo Uilizmos los dos del eemlo ; serie R: X ; si edeci; que se crg e <- c(77 ; -7464; -6647; 76696; 647679; 45799; 54669; 556467; 766757; 4; 696749; 576545; -49949; -677664; -56; - 44566; -466995; -445674; -46665; -466799, -545996, -564675; - 79577675; -7597; -77467; -4766669; -464766; -76654; 999469; 7447; 49454; 96994; 59597; 57575; 4566576; 4557; 4996956 ; 4766; 45649; 57476; 9474; 95774; 677; 5; 9796; 6545; 65474; 76974; 55474; 4479; -7476; -9777; -597; -459;- 495464; -449; -97476; 9977; -9594; -6596; -554769; -4967; - 699; -575765; -4769; -97; -556747; -445; -9777; -69776; - 67766; 74747; 9574754; 7555; -4966595; 595; -47744; -799; - 465; -79679; 6999; 69744; 697945; 464; 77599; 6449; 4756; 664599; -9979; 67955; 6457; 95447; 7577; -7577; 9795955; 44756; -55594; -569997; -995; -5749 Se clcul l rsformd de Fourier z <- ff(
A rvés de l ivers se oiee l serie <- ff(z;iversetrue/ Pr rereser el eriodogrm: CF s(ff(/sqr(^ P (4/*CF[:5] # Solo se ecesi los (/ vlores de l FFT f(:5/6 # Pr crer ls frecuecis rmóics de / e sos de 5 lo(f; P; e"l" # gráfic del eriodogrm; io l gráficos de líe P 4 5 5 5 f Se uede clculr direcmee el esecro co: secgrm(
Series: Rw Periodogrm secrum e- e- e 4 5 frequec dwidh 9 Ves Hs hor hemos suueso que ls frecuecis er frecuecis de Fourier or o ; dode T idic el orde del rmóico de los T T ciclos si T es r o si T es imr; se ierre como el úmero de veces que u siusoide (u rmóico de frecueci eecu u ciclo comleo e l muesr cosiderd; es decir si 4 ; l frecueci socid 4 4 l rmóico deermi que ese eecue 4 ciclos comleos lo T lrgo de T A ese io de frecuecis se deomi frecuecis de Fourier;
Si suoemos que exise u rmóico que se reie curo veces medi; dich frecueci o roducirá ciclos eeros e l muesr os ecormos co u frecueci que o es de Fourier Ess frecuecis origi u rolem que se deomi lekge o disorsió; que deermi que los esos sigificivos del eriodogrm se rer ere frecuecis coigus U de ls mers de solucior el lekge cosise e licr rsformr l serie origil mulilicádol or u exresió que se deomi D Widows o er ; oeer el eriodogrm rir de l serie rsformd Así es esimdor de l fució de desidd esecrl uede cosiderrse como: f ˆ ( w I Dode w es l fució de esos o ve esecrl I es el eriodogrm Ddo de que lo que se r es de romedir lguos vlores coiguos del eriodogrm; odrí uilizrse u medi móvil de mliud : ; ± ± ± ± w ; e oro cso H sido rouess gr úmero de ves; ls más uilizds so: Ve de Tucke w cos ;,,, T T Cudo ; eemos l ve de Tucke-Hmmig 4 Ve de Prze
T 6 6,,,, T T w T,,, T M Boxcr ; w ( cos,,,, m m, m, m, T m ( cos, T m,, T T dode m es rirrio; si ie suele elegirse u vlor de m m l que siúe ere ; ; m se T Eemlo Primos hor de u serie emorl geerd mié rir de u seo leorio: X,7 X u X,7X-u 7 6 5 4-7 9 5 7 4 49 55 6 67 7 79 5 9 97 Al igul que e el eemlo erior l reresemos rir de u edeci cudráic; T ciclos rmóicos ( k u residuo leorio v :
k ( cos ϖ wo v X c si 7 6 5 4 serie edeci - 5 9 6 4 5 57 64 7 7 5 9 99 ciclo 5 7 9 5 7 4 49 55 6 67 7 79 5 9 97-5 - -5 E l Tl ºII figur el eriodogrm oeido r l serie del ciclo; l coriució de cd rmóico l vriz de l serie del ciclo:
Tl ºII Peridogrm de X u,7 X Frecueci Periodo I ( i T ( 4 (, -,,7,65649,97666 5,,667 -,7 7,55954,599555,,494,59,96,9777 4 5, -,79,97 9,66,475 5, -,4,4 5,56555,4955 6 6,7 -,466,66,9954,5967 7 4,,4 -,44,59759,9995,5 -,6 -,667,5597,494 9, -,666 -,,6465,957, -,56 -,,5699,69 9, -,446,55,57465,6775,,7 -,595,59,969 7,7 -,575,7,7674,75 4 7,,57 -,47,464,5544 5 6,7 -,7,4,5669,5449 6 6,, -,77,94,5695 7 5,9,9 -,49,456,694 5,6 -,96,46,6,64 9 5, -,79 -,54,7,46755 5,,9,7,57,9556 4,,,7,75,7765 4,5,6,5,57946,64 4,,66,79,646464,4755655 4 4, -,6 -,79,467,9664 5 4, -,6,66,599,57479 6,,5,9,79,799 7,7 -,6 -,,9746,646,6 -,5,5,7945,6554 9,4,969,46,67,697, -,7 -,6,79775,546, -,5 -,6,695,6, -, -,,57,66774,,5,5,45,79 4,9,4 -,774,559,7 5,9 -,5,,7947,74649 6, -,47,4,65,65 7,7 -,6,6,55,95796,6 -,,7,66,69557 9,6 -,7,76,5999,754 4,5 -,455,47,666,994 4,4 -,9,7,64,79466 4,4,5,6,995,659 4, -, -,54,4575,95775 44, -,57 -,,66,695467 45, -,6 -,,79,4 46, -,,56,679,955 47, -,47 -,,65549,666645 4,,56,4,976,9 49, -,,7,97,5 5, -,57,,5,6755
Como vemos es el segudo rmóico; el ciclo de eriodo 5 el que más coriue l vriz de l serie; ero mié iee imorci los ciclos de eriodo 5; ercer curo rmóicos; l como se reci e l rereseció del eriodogrm de l serie de ciclo: mx S,599 El esdísicog, ; es e el límie de ivel de S 6,56 roilidd del 95% Circusci que o cocurre e los oros rmóicos releves Alicmos l rsformció de Tucke-Hmmod l serie X el eridogrm de l serie rsformd w : X ; oeemos
Tl ºII Peridogrm de X w Frecueci Periodo I ( i T ( 4 cos T I ( w,,656494,99964,65445 5, 7,55954,996575 7,4456,,96,99465,9465 4 5, 9,664,9495 9,544 5, 5,565556,97555 5,4697 6 6,7,995,9644,9544 7 4,,597569,95456,5569,5,55974,954,6 9,,646475,9696,6446559,,5699,945497,7559 9,,57465777,5566,7949,,595,64444,7746964 7,7,76747,4755,694 4 7,,469967,7995,749 5 6,7,5669,79966,99795 6 6,,94,767997,774 7 5,9,4564,74767,7669 5,6,664,79646,997 9 5,,799,64676,56649 5,,577,6545497,9995 4,,746,6444944,7775 4,5,579464,5969657,44545 4,,6464695,5666667,649767 4 4,,467,5956,77657 5 4,,599,5,796445 6,,799,466474,596496 7,7,97467,47,4665,6,7944,4694,7569 9,4,6765,7565556,6757,,79775,45495,7566,,6957,59774,655744,,577,754,675974,,4599,596,547 4,9,5596,66,997 5,9,794665,6774,444456 6,,65,5,9949 7,7,55,5776447,4,6,664,55566,49976 9,6,5999,47479,674765 4,5,66576,95495,6 4,4,6459,7767,9945 4,4,99495,64666,66 4,,45757,4756474,69575 44,,6664,5757,66 45,,797,44774,467 46,,675,5749,479 47,,655494,5675,4997 4,,9769,94649,77759 49,,976,9666,779 5,,5779 w i
E l figur se comrue el suvizdo que iroduce l ve e el esecro 4 5 5 5 5 4 7 6 9 5 4 7 4 4 46 49 Efeco Gis U de ls muchs derivcioes iereses; uque desde luego o l más imore; que h ddo lugr el álisis de Fourier; es el llmdo feómeo de Gis; que surge medidos del siglo XIX Ese efeco ivesigdo or JW Gis se s e l o covergeci uiforme de l serie de Fourier e ls cercís de u uo de discoiuidd Si l serie de Fourier r u fució f( se ruc r logrr u roximció e sum fii de seos coseos; es url esr que medid que greguemos más rmóicos; el sumorio se roximrá más f( Pero eso se cumle exceo e ls discoiuiddes de f(; e dode el error de l sum fii o iede cero medid que gregmos rmóicos Por eemlo; si cosideremos l siguiee serie rmóic: f 4 5 [ se( se( se(5 ] (
5 S e r ie c o r m ó ic o 5-5 - - 5 - - 5 5 f 4 ( [ se ( ] 5 S erie co rm ó icos 5-5 - -5 - -5 5
5 Serie co 5 rm óicos 5-5 - -5 - -5 5 5 S e r ie c o 7 r m ó ic o s 5-5 - - 5 - - 5 5
5 S erie co rm ó icos 5-5 - -5 - -5 5 5 Serie co 5 rmóicos 5-5 - -5 - -5 5
5 S erie c o rm ó ic os 5-5 - -5 - -5 5
TEMA III- AALISIS ARMOICO DE PROCESOS BIVARIATES Proceso ivrie U roceso ivrie z ( es u r formdo or dos rocesos uivries; x( ( ; dode E[ x( ] µ ( E[ ( ] µ ( x L fució de uocovriz de x( será: {( x( µ ( ( x( τ µ ( } γ (, τ E τ x x x e o que l fució de uocovriz de ( será: {( ( µ ( ( ( τ µ ( } γ (, τ E τ Se deomi fució de cross-vriz o covriz cruzd : {( x( µ ( ( ( τ µ ( } γ (, τ E τ x x H que señlr que γ x (, τ o es igul γ x (, τ ; ero exise u relció ere ls dos fucioes; que γ (, τ γ ( τ, τ x x Señlr; or úlimo; que l covriz ere x( ( serí γ (, x Si se sume l escioriedd de x( ( [ ] E x( µ ; eoces [ ] x E ( µ ; l fució de cross-vriz o deederá más que del rerdo τ Suoiedo que µ ; se comrue que γ (, τ ; o deede más que x µ del rerdo τ ; es decir γ (, τ x γ x ( τ {( x( ( ( τ } E{ ( x( s ( ( s }, s γ x (, τ E τ, x
L fució de correlció cruzd se defie como: ρ ( τ x γ ( τ γ ( γ ( x x Cudo τ ; γ ( x es l covriz hiul ρ ( x γ ( γ ( γ ( x x el coeficiee de correlció de Perso ere x( ( Los esimdores de γ x (τ ρ x (τ se clcul sí: C x ( k T T T k T k ( x( x( ( k ( x( x( ( k ; k ; k,,,,, T, ( T r x ( k x C x ( k C ( C ( Aálisis rmóico de u roceso ivrie L fució de uocovriz que oeemos e el domiio emorl; iee mié su corresodiee rereseció e el domiio frecuecil; es es el cross-esecro o esecro cruzdo Así; si rimos de dos rocesos esciorios x( ( ; co l siguiee rereseció esecrl: x ( cos du x ( se dvx ( ( cos du ( se dv (
Dode U ( e V ( ; i x, so rocesos esocásicos co domiio defiido i i e (, ; co medi de icremeos icorrelciodos Ddo que dichos rocesos so coumee esciorios e covriz; se demuesr que: [ ( du ( ' ] E[ dv ( dv ( ' ] E[ du ( dv ( ' ] E[ dv ( du ( ' ] E du x x si ' x x E E [ du ( du ( ] E[ dv ( dv ( ] C( d x x [ du ( dv ( ] E[ dv ( du ( ] q( d x x Fucioes que ermie exresr l cross-vriz como: γ ( τ cos C( d se q( d x Que imlic que l covriz ere x ( e ( se: γ ( C( d x El cross-esecro se formul como: f iτ x ( γ x ( τ e ; τ Ddo que e geerl el cross-esecro es comleo; se defie el cross-esecro (C como l re rel de cross-esecro el esecro de cudrur (Q como l re imgiri; que demás coicide co C ( q ( : f x ( C( iq( Eoces se deduce que: C ( γ x τ ( τ cosτ
q( γ x ( τ seτ τ Or form de reser ls fucioes C ( q ( ; serí l siguiee: C ( γ x τ ( τ cosτ C ( τ cosτ ; ( γ x τ L rereseció rigooméric del cross-esecro será: f x ( α ( e x iφx ( Dode α ( ( x C q ( Se cooce como esecro de cross-mliud Y Llmdo esecro de fse q( φx ( rcg C( Del cross-esecro de l fució de desidd esecrl idividul de ls dos series x( e ( se oiee l fució de cohereci: C ( q ( R( f x ( f ( El cross-esecro rerese l orció l covriz ere x( ( sus diversos comoees rmóicos Como su ierreció o es simle; se de
uiliz ls fucioes de esecro de fse cohereci; que el esecro de fse revel el desfse o rerdo que e el comormieo cíclico sigue u serie reseco l or; el álisis de l fució de cohereci ermie ideificr si l correlció que se d ere ls dos series se dee que ms sigue u comormieo cíclico e deermidos eriodos; ermiiedo ideificr l durció o eriodo de los rmóicos que domi e ms series l vez que roduce u l correlció L cosrucció del cross-esecro cudo τ ; γ ( es l covriz hiul; d lugr ls siguiees fucioes C ( q ( : γ x ( C ( q ( x Y que el coseo de τ ; es uo; su seo es cero Si E [ x( ] µ [ ( ] x E µ ; es decir ms series iee u vlor medio igul cero; l covriz ere x e rel del cross-esecro se oedrí rir de: ; serí γ x ( T x ; l re C( T x Teorem de Plchrel Se A (x B (x dos fucioes coius de eriodo cuos desrrollos de Fourier so A ( x x e ix B ( x x e ix
Eoces se verific l relció de Plchrel ere los corresodiees roducos esclres: A ( x B( xdx Si A ( x B( x se oiee l ideidd de Prsevl A ( x dx De igul mer que l ideidd de Prsevl esudi l disriució de l vriz de u serie desrrolld e sus rmóicos, l de Plchrel esudi l covriz ere dos series desrrollds e sus rmóicos k Priedo de u serie rmóic x ( cos si o k * * defiid como ( cos ϖ si o el úmero de oservcioes es r T o ( l iguldd de Plchrel serí:, e dode ϖ or k T rmóicos si k T si es imr, l exresió de T T T T x * * ( El roduco esclr de x or T x T k * * ( cos ϖ si ϖ o( cos ϖ si ϖ o
equivle T T * * ( coseo 6 Coeficiee de correlció de Perso, grcis l orogolidd de ls fucioes seo Ddo que l covriz ere ls series rmóics x e se desrroll rir de los coeficiees de Fourier; σ xr r T * * ( ce cosiderr cd exresió * * ( como l coriució del rmóico l formció de l covriz, de mer que l rereseció de C ( w xz * * ( T free los rmóicos ermie recir ls 4 frecuecis ere ls que ls series x covrí su seido osiivo o egivo Se uede oservr que u ciclo releve e ms series origirá T 6 Ddo que cos( ϖ se( ϖ siedo T T Uilizdo ls ideiddes rigoomérics cos A cos B [ cos( A B cos( A B ] seaseb, [ cos( A B cos( A B ], seacos B [ se( A B se( A ] se θ ( cos θ cos θ ( cos θ, Se lleg que T T cos ϖ, T T si ϖ, cos m si ϖ T T si mϖ si ϖ cos mϖ cosϖ T ϖ
u vlor lo e C ( xz w, e o que u ciclo oco releve e lgu de ls dos series drá lugr u vlor o e C xz ( w E o que el coeficiee de correlció de erso se oedrí rir de: ρ ( x k * * ( k k * * ( ( Por oro ldo, si uilizmos l defiició leriv de ls series de fourier: f ( C C cos( θ, eemos que x( C C cos( θ k e k * * * C cos( k ( C θ, e dode C o, C, θ rc, * * * * * C, ( ( * * C, θ rc * Se reci eoces que e cd rmóico, θ deermir el águlo de desfse e rdies de cd serie de fourier, si queremos oeer el desfse e uiddes de iemo, h que dividirlo or l frecueci fudmel, θ : Eoces l difereci o los rmóicos de ls dos series * θ θ * θ θ o, deermir el desfse ere E defiiiv; los coeficiees de Fourier mié ermie lizr l covriz cruzd los desfses que se d ere ls frecuecis releves de dos series rmóics Eemlo 4 Uilizdo los coeficiees de Fourier de los eridogrms clculdos e ls Tls ºII ºII; se comrue que l covriz de los ciclos oeidos e ls dos series de seos leorios; se uede oeer rir de:
( * * ( Tl ºII4 Aroximció de l covriz rir de los coeficiees de Fourier Frecueci Periodo * * ( ; ;6564 5; ;4457 ; -;445466 4 5; -;544475 5 ; ;654 6 6;7 ;55557 7 4; -;476565 ;5 -;959495 9 ; -;64 ; ;5569 9; ;54544 ; -;775457 7;7 ;97 4 7; -;797 5 6;7 ;7467 6 6; -;677 7 5;9 ;465564 5;6 -;47574 9 5; -;4 5; ;5544 4; -;994 4;5 -;59 4; ;5959 4 4; -;556 5 4; -;4749 6 ; ;95964 7 ;7 -;65 ;6 ; 9 ;4 ;55574 ; ;45 ; ;54 ; ;554 ; -;454 4 ;9 ;6979 5 ;9 -;44555 6 ; ;955 7 ;7 ;66757 ;6 ;55 9 ;6 ;4467 4 ;5 ;9955 4 ;4 ;76474 4 ;4 ;596
4 ; ;676 44 ; ;94749 45 ; -;74 46 ; ;4546 47 ; ;9955 4 ; ;64597 49 ; ;769 5 ; ;67657 L covriz de ms series de ciclo es C (, 579 ; e o que k * * (,479 se comrue que el ciclo de eriodo es el ciclo más releve r lizr dich covriz x Oeemos hor el ciclo deermie del seo leorio uilizdo e el eemlo,467 cos 4,59se del seo leorio uilizdo e el eemlo :,666 cos 4,59se ; los reresemos e el gráfico duo: 6 4-5 9 7 5 9 7 4 45 49 5 57 6 65 69 7 77 5 9 9 97-4 -6 Segudo rmóico del seo leorio eemlo Segudo rmóico del seo leorio eemlo
Uilizdo l deomició leriv C cos( θ ; el segudo rmóico del eemlo se oedrí rir de: eemlo rir de: el segudo,75cos, 9 4,774 cos, 7 el del Se comrue; eoces; que rmóico del eemlo es e rersdo ;7 rdies; si queremos oeer el rerdo e uiddes de iemo; h que dividirlo or l θ,7 frecueci fudmel : ; es decir dicho rmóico esrí rersdo ;7 uiddes de iemo; e o que el segudo rmóico del eemlo θ, es deldo 5;9 uiddes de iemo ( E cosecueci ere el segudo rmóico del eemlo el del eemlo medi 4;75 uiddes de iemo Mulilicció se series rmóics L mulilicció de dos rmóicos de diferee frecueci, q q k k [ cos ( si( ] [ cos( si( ] d lugr l siguiee sum: m m q k q k cos( cos( q k q k si( cos( m m cos( si( si( si( m m que uilizdo l ideidd del roduco 7 : 7 cos( α β cos( α β cosα cos β cos( α β cos( α β siα si β si( α β si( α β siα cos β
k [ cos( cos( ] k k k [ si( si( ] [ si( si( ] [ cos( cos( ] d como resuldo: m m m m m m m m k k k k ( ( ( cos ( ( si( ( ( k k k k ( ( ( cos ( ( si( ( ( m m u serie rmómic co frecuecis gulres que se oiee rir de l sum difereci de ls frecuecis gulres de los rmóicos múlilos, co coeficiees de Fourier oeidos rir de los coeficiees de los rmóicos múlilos m m L oeció del érmio i-esimo del eriodogrm resule de mulilicr dos fucioes eriódics co dos o más rmóicos, es lgo más comleo que el resuldo de l mulilicció es u sum de roducos de rmóicos, que d lugr u sum de rmóicos co diferees frecuecis gulres como cosecueci de ls sums diferecis de ls frecuecis gulres de cd roduco de rmóicos si( α β si( α β cosα si β
Por eemlo, el roduco de dos series oeids rir de dos rmóicos: f ( cos( si( cos( si( g( cos( si( cos( si( Se oedrí l siguiee secueci de fucioes de seo coseo coeficiees de Fourier: Coeficiees de Fourier Fucioes coseo Coeficiees de Fourier Fucioes seo ( cos( o o ( ( cos( o ( cos( o ( ( cos( ( ( si( o o cos( o o ( cos( o ( ( si( o si( si( o si( o cos( ( cos( cos( ( ( ( si( o si( si( si( cos( ( cos( si( si( o Que drí lugr l siguiee serie de Fourier:
( ( ( ( ( ( ( ( g f si cos si cos si cos si cos ( ( α Dode: ( ( α ( ( o ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( L mulilicció de dos series de logiud T oeids como sums de k rmóicos, cus frecuecis gulres so oeids rir de T i i es decir
g( k i ( i ( i i si i cos T T e f ( k i ( i ( i i si i cos T T d como resuldo u uev serie rmóic de T/ eriodos h( f ( g( η E dode k i cos i ( i ( i isi T T η k i i i i i k Priedo de dos series rmóics de T, lo que d lugr ls dos series de Fourier que se rese coiució: f ( cos( cos( si( si( cos( cos( si( si( g( cos( cos( si( si( cos( cos( si( si( Dode oese queη es l covriz olciol ere f ( ( g
,4 4,56,57,75 o L mulilicció sucesiv de los curo rmóicos de ( f or el rimer rmóico de ( g drí lugr ls siguiees frecuecis gulres: 4 o o,75 4 4 de form que 9 cos( cos( si( si( 9 si( si( cos( cos( x x x x
L mulilicció sucesiv de los curo rmóicos de ( f or el segudo rmóico de ( g drí lugr ls siguiees frecuecis gulres: 4 4 4 4 de form que cos( cos( si( si( L mulilicció sucesiv de los curo rmóicos de ( f or el ercer rmóico de ( g drí lugr ls siguiees frecuecis gulres: 4
4 4 4 4 de form que cos( cos( si( si( L mulilicció sucesiv de los curo rmóicos de ( f or el curo rmóico de ( g drí lugr ls siguiees frecuecis gulres: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Teiedo resee que:
cos( si( cos( si( cos( si( se oiee los coeficiees de fourier de l serie resule de l mulilicció de ( ( g f rir del siguiee sisem mricil:, o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o gg i i & & θ f &
f h gg i i o o & & & &, θ η Prescidiedo de l rimer fil de gg i i &&, θ se oiee u mriz i i ( gg ii && θ que d lugr l re rmóic de ( h, e cosecueci, crí oeerse f & oerdo co los coeficiees de Fourier: ( h i gg ii f θ θ && & E cso de que ( ( k i i i T T g X i si i cos ( η, T, defiimos: I o o XX η θ & & Demosrdose que: Y Z X X & & & & θ Siedo Z A Z ' ( &, X A X ' ( & Y A Y ' ( &, A u mriz TxT cuo elemeo geérico es:
( ( ( T T T T T T T, ( /,5,7,,( si /(,4,6,,( cos Oerdo ( ( ( ( Y A I X Y A X A A Y A X A Y X Z T & & & & ' ( ' ' ( ' ' ' Es decir Y A I X Z A T & & ' ( ' ( Oerdo Y Y A I X A Z XX T & & & & & θ ' ( ' ( Siedo Y A I X A T X X & & & ' ( ' ( θ Y ( Z Y X X & & & & θ Eemlo 5 cos, si, cos,4 si, cos, si,5 cos,5 ( f
cos si,5 cos,6 si,7 cos, si, cos,9 ( g el roduco ( ( g f d como resuldo : Ddo que e el eemlo, se uede simlificr l mulilicció e el modo exueso
,9,,,7,5,5 4,,7,6,5,,9,7,,5,,7,7,5,6,,7,5,5 4,5,5,,7,7,,5, 4,5,,7,,6,5 4,,7,5,5,,7,9,,5,6,7,7,5,,7,,,9 4,99,,5,,65,5,,6,,6,55,,4,775,4,,5,,,4,,75,5 Que d lugr l siguiee serie: g( 99,65 cos,6 si,55 cos,775 si 4,5 cos,4 si,75 cos Vriz Covriz de Procesos Esciorios Se defie u roceso es esciorio com quel que su medi es cose e ideediee del iemo, su vriz es fii cose, el vlor de l covriz ere dos eriodos o deede del iemo e el cul se h clculdo, sio de l disci o desfse ere quellos E el eemlo, se
muesr u io de roceso esciorio riculr es el deomido ruido lco, formdo or u sucesió de vriles leoris co disriució orml, eserz cero, vriz cose e icorrelciods ere sí Pero, or qué resul imore r el ivesigdor que el roceso lizdo se esciorio? L rzó fudmel es que el modelos de regresió de series emorles esá diseñdos r ser uilizdos co rocesos esciorios Si ls crcerísics del roceso cmi lo lrgo del iemo, resulrá difícil rereser l serie r iervlos de iemo sdos fuuros medie u modelo liel secillo Si emrgo, or regl geerl, ls series ecoómics o so series que roced de rocesos esciorios, sio que suele eer u edeci, se creciee o decreciee, vriilidd o cose Dich limició e l rácic o es imore orque ls series o escioris se uede rsformr e ors que sí lo so, que l mor re de ls series ecoómics se coviere e roximdmee escioris desués de licr diferecis e u ó más es To l vriz muesrl como l covriz muesrl, se desrroll segú los eorems de Prsevl Plchrel, e: T ( * * σ σ x, T ( L mulilicció uo uo de x e d lugr l serie : T ' ' ( cos ϖ si o T * * ( x µ z de igul mer que el cudrdo de x d lugr l serie : T ' ' ( cos ϖ si o T ( x x µ z
T z Ddo que, eoces el roduco esclr de de x e T lugr l covriz l vriz olciol x de x, d Cudo los rocesos so esciorios, ls covrizs vrizs muesrles h de coicidir co l olciol, ddo que ms se cosider fiis coses, e ideediees de los eriodos de iemo uilizdos e su cálculo E cuo cso el coeficiee de correlció de Perso es u esimdor eficiee e l regresió de u serie sore l or L coicideci ere ls covrizs vrizs de uesr muesr coicid co l de l olció, imlic que el roceso de fourier z T ' ' ( cos si o ϖ de l covriz de l vriz de lugr u couo de oservcioes escioris z,, z T, de medi cero, u mer de eserlo es uilizdo el es de Duri que se exlicó e el em I Eemlo 6 Primos de los dos de l Tl ºIII Tl ºIII Cosumo de Eergí Fil Elécric (TEP PIB (Mill de euros coses de Esñ corresodiees l eriodo 99- Cosumo de Eergí Fil Elécric (TEP PIB (Mill euros ño 99 44 445 99 7 4795 994 777 49 995 6 5545 996 655 576 997 67 544 99 4 577 999 54 599966 65 66 779 6555 7759 679 96 69695 4 94 749 X L(TEP Y L(PIB x 9,76,9 -, -,9 9,7,7 -,7 -,97 9,79,4 -,4 -,6 9,4,57 -,564 -,677 9,445,766 -,9 -,4 9,5,45 -,56 -,5 9,56,5 -,975 -,6 9,67,46 -,69 -,5 9,69,59,44,5 9,757,97,96,69 9,746,464,6,96 9,47,4469,9,65 9,95,479,65,57
5 7 74 6 5 7695 7 54 79767 9,944,546,5,94,,554,45,6,4,59,647,67 El eriodogrm del logrimo del PIB serí: Tl ºIII Periodogrm del logrimo del PIB Frecueci Periodo I ( i T ( 4 ( Y su vriz 6,56 -,6,959,7,5 -,9,995,79 5;,49 -,74,94,7 4 4,44 -,449,499, 5 ;,57 -,,454, 6 ;6667,4 -,6,6, 7 ;57,77 -,69,4,7,4,,69, σ x (, 76 7 El eriodogrm del logrimo del Cosumo de Eergí Elécric Fil serí: Tl ºIII Periodogrm del logrimo del Cosumo de Eergí Elécric Frecueci Periodo I( i T * * ( 4 * ( * 6, -,,46,5,49 -,767,9,9 5;,9 -,5,54, 4 4,67 -,9,75, 5 ;,7 -,,,7 6 ;6667,96 -,,,5 7 ;57,4 -,7,,5,6,,, Y su vriz:
σ * * * (, 557 7 L covriz del PIB el Cosumo de Eergí Elécric se desrrollrí eoces: Tl ºIII4 Covriz del PIB el Cosumo de Eergí Elécric Logrimos Frecueci Cosumo Eergí Fil Elécric * Periodo 6, -,,56 -,6,64,49 -,767,5 -,9,56 ;,9 -,5,49 -,74, 4,67 -,9,44 -,449,5 5 ;,7 -,,57 -,, 6 ;667,96 -,,4 -,6,7 7 ;49,4 -,7,77 -,69,6,6,,4,, PIB * * * ( µ 7 * * *,9 L serie rmóic socid ls muliliccioes cudrdos ms series e diferecis sore sus medis, iee e odos los csos u eriodogrm e dode soresle los ciclos d frecueci, l como muesr el es de Durí que se rerese de form gráfic uo l serie:
Covriz,,,,6,4, 4 5 6 7 9 4 5 6,6,4,,,6,4, -, -,4 4 5 6 7 Bd suerior covriz Bd iferior Vriz l(pib,,7,6,5,4,,, 4 5 6 7 9 4 5 6
,6,4,,,6,4, -, -,4 4 5 6 7 Bd suerior vriz l(pib Bd iferior Vriz (TEP,4,,,,6,4, 4 5 6 7 9 4 5 6
,6,4,,,6,4, -, -,4 4 5 6 7 Bd suerior vriz l(tep Bd iferior Ddo que o se r de series escioris el coeficiee de correlció de correlció de Perso clculdo co los dos muesrles o segur l esilidd de l esimció eficiee rvés del coeficiee de correlció Si emrgo, es regresió led e rimers diferecis logrímics, o ss de crecimieo si que griz u regresió esle, que o ls vrizs como ls covrizs de ls series so escioris: Tl ºIII5 Cosumo de Eergí Fil Elécric (TEP PIB (Mill de euros coses de Esñ corresodiees l eriodo 99-, e diferecis logrímics Cosumo de Eergí Fil Elécric (TEP PIB (Mill euros ño 99 44 445 99 7 4795 994 777 49 995 6 5545 996 655 576 997 67 544 99 4 577 999 54 599966 65 66 779 6555 7759 679 X L(TEP- Lm(TEP - Y L(PIB- l(pib - x -,6 -,4 -,449 -,4,469,6,7 -,,4,45 -,59,6,45,9 -,7 -,7,77,,,6,,47 -,6,,76,464,64,47,6,49,7,76,64,5,99,4,74,67 -,6 -,5,6,5,9 -,
96 69695 4 94 749 5 7 74 6 5 7695 7 54 79767,474,,,5,49,55,46,,57,94,9,77,,5 -,,5,9,6 -,4 -, El eriodogrm de l rimer difereci del logrimo del PIB serí: Tl ºIII6 Periodogrm de l difereci del logrimo del PIB Frecueci Periodo I ( i T ( 4 ( 6 -,9 -,,45, -,76 -,,6, 5; -,77 -,,, 4 4 -,7,7,, 5 ; -,5 -,,7, 6 ;6667, -,,, 7 ;57, -,,, -,5,,, Y su vriz σ x (, 7 El eriodogrm de l rimer difereci del logrimo del Cosumo de Eergí Elécric Fil serí: Tl ºIII7 Periodogrm de l difereci del logrimo del Cosumo de Eergí Elécric Frecueci Periodo I( i T * * ( 4 * ( * 6 -,6 -,,7, -, -,6,, 5; -,9 -,9,, 4 4 -,4 -,77,, 5 ;, -,6,5, 6 ;6667,4 -,4,, 7 ;57,,6,, -,,,,
Y su vriz: σ * * * (, 447 7 L covriz del PIB el Cosumo de Eergí Elécric se clcul eoces: Tl ºIII Covriz del PIB el Cosumo de Eergí Elécric Logrimos Frecueci Cosumo Eergí Fil Elécric * Periodo 6 -,6 -, -,9 -,,995 -, -,6 -,76 -, 4,9E-5 ; -,9 -,9 -,77 -,,677E-5 4 -,4 -,77 -,7,7 -,75E-6 5 ;, -,6 -,5 -, 5,6E-6 6 ;667,4 -,4, -, 7,E-6 7 ;49,,6, -,,76E-7 -,, -,5, 9,67E-7 PIB * * * ( µ 7 * * *, Covriz,,5,,5 -,5 4 5 6 7 9 4 5 6
,6,4,,,6,4, -, -,4 4 5 6 7 Bd suerior covriz Bd iferior Vriz (-Ll(PIB,,,6,4,,,,6,4, 4 5 6 7 9 4 5 6,6,4,,,6,4, -, -,4 4 5 6 7 Bd suerior vriz (- Ll(PIB Bd iferior
Vriz (-Ll(TEP,5,,5,,5 4 5 6 7 9 4 5 6,6,4,,,6,4, -, -,4 4 5 6 7 Bd suerior vriz (- Ll(TEP Bd iferior Regresió d secrum El rámero míimo-cudráico de l esimció: x e es el siguiee: ˆ MVCO x x L relció de Plchrel muesr que se verific l siguiee corresodeci de roducos esclres: (, x ( β,γ
dode β DFT ( γ DFT (x Por su re, l iguldd de Prservl que cosiue el cso riculr de x ˆ MVCO ( β, γ ( γ, γ ( x, x ( γ,γ E cosecueci: Uilizdo l oció de los coeficiees de Fourier, l covriz de x e se oedrí rir de: σ x q T * * ( T T L vriz del roceso x quedrí defiid rir de: σ x q T ( T Eoces: ˆ MCO k * * ( k ( T T * T H (96 fue quie rouso l regresió e domiio de l frecueci (regresió d secrum Egle (974, demosró que dich regresió o ler los suuesos ásicos de l regresió clásic, cuos esimdores er Esimdores Lieles Isesgdos Oimos (ELIO Hrve (97 u
vris de ls ves de es regresió, or u ldo, l regresió e el domiio de l frecueci ermie omiir deermids ds de frecueci o oscilcioes de eriodos cocreos, or oro ldo, ofrece solució ls regresioes e ls que los residuos esá serilmee correlciodos E Egel (974 el eriodogrm de l exlicivs x es defiido como fˆ ( θ x k w k x siedo wk el vecor fil: w k iθ k iθk ( T iθk (, e, e,, e dode θ k k ; ;; ;T-; T x w k rsformd fii de Fourier del vecor colum de x serí el elemeo k-ésimo de l T el cross-eriodogrm ere ls series x e fˆ x ( θ ( w x ( w k k k Dode * es l comle cougd de l rsues El eriodogrm es u esimdor isesgdo del esecro, si emrgo es sióicmee isesgdo e icosisee co l vriz de cd esimdor esecrl medid que l muesr iede ifiio Es icosiseci que oligrí l uso de ves e el eriodogrm co el fi de oeer esimcioes del esecro, o ul ls roieddes de l regresió relizd co el eriodogrm Hciedo
W w w w w Se comle que WW ' I W ' W deido ls orogolidd de los roducos de seos coseos Y oediedo el vecor ~ x como l rsformd de Fourier de x e T eriodos, odemos rsformr el modelo de regresió múlile: xβ u ( E ~ ~ xβ u~ ( Se r de u regresió co vriles leoris comles ero que o fec los suuesos ásicos del modelo de regresió clásico Ls roieddes del error u ~ : vr( u ~ E( uu ~~ ' E( Wuu' W ' WE( uu' W ' σ WΩW ' u Si Ω I, eoces vr( u~ σ I u Asumiedo que x es ideediee de u, el eorem de Guss-Mrkov imlicrí que ( ~ x ~ ' x ~ x ' ~ ˆ β es u esimdor ELIO co l siguiee mriz de vriz covrizs: vr( ˆ β ~ σ ( ~ u x' x
El esimdor míimo-cudráico βˆ e érmios del eriodogrm se formulrí: dode f ( θ fˆ x ( θ k xx k ˆ β T k fˆ xx T ( θ fˆ ( θ k k ˆ es l mriz del cross-eriodogrm de cd frecueci e es el vecor del cross-eriodogrm de x e x k Esimr ( meiedo úicmee deermids frecuecis, uede llevrse co omiiedo ls oservcioes corresodiees ls reses frecueci e (, si ie, ddo que ls vriles e el domiio de l frecueci so comles, Egle (974 sugiere l rsformd ivers de Fourier r recomoer el modelo esimdo e érmios de iemo Relizr dich regresió requiere defiir u mriz A de mño x de ceros exceo e ls osicioes de l digol ricil corresodiees ls frecuecis que queremos icluir e l regresió remulilicr ~ x~ or A, de form que reemlzrimos ls frecuecis que de desemos elimir or ceros, co ls vriles e el domiio de l frecueci rsformds se relizrí l regresió d secrum Devolver l domiio del iemo ess oservcioes requiere: ~ * T W A W T AW ~ * T x W Ax W T AWx ( Al regresr sore * sore * x oeemos u * β ideico l esimdor que oedrímos l esimr or MCO A ~ free A ~ x Cudo se reliz l regresió d secrum de es mer, ocurre u * * rolem socido los grdos de lierd de l regresió de sore x que sume los rogrms esdísicos covecioles, - k, e vez de los grdos
de lierd reles que serí '- k, dode ' es el umero de frecuecis icluids e l regresió d secrum Si l regresió esecrl v ser usd r oeer u esimdor sióicmee eficiee de β e reseci de uocorrelció e el ermio de error, l mriz A h de ser reemlzd or or mriz digol, V E / u dich digol ricil h de icluirse el esimdor de ( λ, dode u ( λ es l rsformció del ermio de error oeido e ( l domiio de l frecueci λ Puede uilizrse u rogrm coveciol r oeer β hciedo u rsformció álog (; ver Egle d Grder [976] Si emrgo, si el rocedimieo v ser ierivo, lo que odrí llevr u meor e ls roieddes de ls muesr equeñs, l rsformd ivers de fourier e ( deerí emlerse e cd ierció (Hrve, 97 A efecos de rsformr los dos origiles del domiio del iemo l domiio de l frecueci uilizdo series fiis de seos coseos e l regresió d secrum evir el uso de ls rsformds de Fourier, Hrve (97 sugiere uilizr u mriz orogol W, co el elemeo (,h : w, T T si ( cos T ( ( T T T,4,6,,( T /( T (,5,7,,( T / T T De es form los rolems derivdos del uso de l rsformd comle de Fourier uede ser eludidos Asimismo firm que el vecor de residuos d lugr u vecor de residuos del modelo rsformdo rvés de A
( X Wuˆ vˆ W β De mer que : T ˆ ˆ v v,,, si T r T vˆ vˆ,,, si T imr T ˆ v, T imr o ˆ v Puede ser uilizdo de form cosisee como esimdor del eriodogrm deû Hui T d Ashle R (999, rooe u rocedimieo r l relizció de l regresió d-secrum que cos de res es: - Trsformr los dos origiles del domiio del iemo l domiio de l frecueci uilizdo series fiis de seos coseos Imlicrí remulilicr los dos origiles or u mriz orogol, A, sugerid or Hrve (97 - Permiir l vrició de β k rvés de m ds de frecueci usdo m vriles Dumm ( D Ess vriles se elor rir de D sumuesrs de ls T oservcioes del domiio de frecuecis, de es form D ~ s x si l oservció esá e l d de frecuecis s D, e el s k reso de los csos Pr oeer ls sumuesrs rooe el silogrm es (Ashle, 94 - Re-esimr el resuldo del modelo de regresió e el domiio del iemo co ls esimcioes β β k los coeficiees de ls m vriles Dumm Imlicrí remulilicr l ecució de regresió mlid or ls vriles Dumm or l rsues de A Eemlo 6
E l Tl ºIII figur ls cifrs de Cosumo de eergí fil elécric (TEP del PIB e Milloes de euros de Esñ e el eriodo 99 7 L rsformció de los dos del domiio del iemo l domiio de l frecueci se reliz remulilicdo los dos origiles or l siguiee mriz orogol (W: w, 4 5 6 7 9 4 5 6,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,54,7,5,5, -,5 -,5 -,7 -,54 -,7 -,5 -,5,,5,5,7,,5,5,7,54,7,5,5, -,5 -,5 -,7 -,54 -,7 -,5 -,5,54,5, -,5 -,54 -,5,,5,54,5, -,5 -,54 -,5,,5 4,,5,54,5, -,5 -,54 -,5,,5,54,5, -,5 -,54 -,5 5,54,5 -,5 -,7,,7,5 -,5 -,54 -,5,5,7, -,7 -,5,5 6,,7,5 -,5 -,54 -,5,5,7, -,7 -,5,5,54,5 -,5 -,7 7,54, -,54,,54, -,54,,54, -,54,,54, -,54,,,54, -,54,,54, -,54,,54, -,54,,54, -,54 9,54 -,5 -,5,7, -,7,5,5 -,54,5,5 -,7,,7 -,5 -,5,,7 -,5 -,5,54 -,5 -,5,7, -,7,5,5 -,54,5,5 -,7,54 -,5,,5 -,54,5, -,5,54 -,5,,5 -,54,5, -,5,,5 -,54,5, -,5,54 -,5,,5 -,54,5, -,5,54 -,5,54 -,7,5 -,5,,5 -,5,7 -,54,7 -,5,5, -,5,5 -,7 4,,5 -,5,7 -,54,7 -,5,5, -,5,5 -,7,54 -,7,5 -,5 5,5 -,5,5 -,5,5 -,5,5 -,5,5 -,5,5 -,5,5 -,5,5 -,5 6 Ls vriles rsformds l domiio de l frecueci figur e l Tl º III9 Tl ºIII9: Cosumo de Eergí Fil Elécric PIB de Esñ corresodiees l eriodo 99- Trsformdos e el domiio de l frecueci Cosumo de Eergí Elécric (CEE PIB Cose CEE esimdo e el domiio de CEE esimdo e el domiio del iemo 674 5577 4 674 995-7 -566-46
-669-47 - 4-6 -5-96 77 5-57 -656-595 5 6-97 -796-6 444 7-77 -94-6 544-5 -6477-659 9 - -6-75 -9-64 -96 5 - -99-4 799-69 -5795-96 -94-6 -957 5 4-6 -556-46 675 5-557 -9-4 67 6-66 -5-4 99 L regresió MCO relizd co ls vriles rsformds e el domiio de l frecueci quedrí: Resume Esdísics de l regresió Coeficiee de correlció múlile,99994 Coeficiee de deermició R^,99949 R^ usdo,97 Error íico 44,6666 Oservcioes 6 AÁLISIS DE VARIAZA Grdos de lierd Sum de cudrdos Promedio de los cudrdos F Vlor críico de F Regresió 476777 446 9,4,497E-5 Residuos 4 6,64 596,45454 Tol 6 4769655 Coeficiees Error íico Esdísico Proilidd Iferior 95% Suerior 95% Iferior 95,% Ierceció #/A #/A #/A #/A #/A #/A X,67965,5796 6,55659,57E-,5547,6,5547 Ce -664,7679 74,46-7,7577 5,57E- -745,4-545,77-745,4 Pr relizr l regresió d secrum co ls frecuecis de eriodo 6, ls ls frecuecis h que rsformr los dos e el domiio de frecueci l como figur e l Tl ºIII:
Tl ºIII: Cosumo de Eergí Fil Elécric PIB de Esñ corresodiees l eriodo 99- Trsformdos e el domiio de l frecueci selecciodo ls frecuecis de eriodo 6 Cosumo de Eergí Elécric (CEE PIB Cose CEE esimdo e el domiio de CEE esimdo e el domiio del iemo 674 5577 4 674 55-7 -566-6 454-669 -47-49 49 4-6 -5-946 44 5-57 -656-5997 9 6 5 7 647 65 9 6 77 5 75 96 4 6 5 56 6 L regresió d secrum relizd co ls frecuecis de eriodo 6 d lugr los siguiees resuldos: Resume Esdísics de l regresió Coeficiee de correlció múlile,9999654 Coeficiee de deermició R^,9999 R^ usdo,6665744 Error íico,759 Oservcioes 5 AÁLISIS DE VARIAZA Grdos de lierd Sum de cudrdos Promedio de los cudrdos F Vlor críico de F Regresió 4774746 6774 6,466 4,6E-5 Residuos 74,4 96,77 Tol 5 4777 Coeficiees Error íico Esdísico Proilidd Iferior 95% Suerior 95% Iferior 95,% Ierceció #/A #/A #/A #/A #/A #/A
X,76,76 4,646777,7946E-5,4574,449,4574 Ce -7,6577 56,67 -,4754699,6 -,569-5,754 -,569 E l figur siguiee, se h reresedo los dos cerdos de ls diferecis logrímics del cosumo de eergí elécric cerds, los resuldos de l regresió e el domio de frecuecis relizd exclusivmee co ls frecuecis de eriodo 6, u vez rsformdos l domiio del iemo: Regresió co coeficiees Be deediees del iemo El oeivo es esimr u modelo de io Y β X u ( Dode X es u vecor de T x oservcioes de l vrile ideediee, β, is u vecor de T x rámeros, e Y es u vecor de T x oservcioes de l vrile ideediee u es u vecor de T x errores de medi cero vriz cose, sumiedo que ls series X, β e Y so rsformds e series de Fourier: Y η [ cos( si( ] β η β β β [ cos( si( ]