TEORÍA DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS Práctcas de Físca I Departameto de Físca Aplcada I Escela Poltécca Speror
MEDIDA E INCERTIDUMBRE Toda ceca epermetal se basa e observacoes cattatvas qe llamamos meddas. A s vez todo proceso de medda está sjeto a lmtacoes qe se tradce evtablemete e la esteca de certa certdmbre asocada al resltado y qe costtye a dcacó cattatva de la caldad del msmo. Es esecal especfcar la certdmbre de a medda ya qe os dca el grado de fabldad y de eacttd de la msma! Medda = (Valor mérco ± certdmbre dades
Fetes de certdmbre Errores de calbracó. Codcoes epermetales o apropadas. Lectra sesgada de los strmetos. Resolcó fta del strmeto de medda. Apromacoes o hpótess establecdas e el método y e el procedmeto de medda. Flctacoes o varacoes e observacoes repetdas Etc.
Evalacó de la certdmbre típca de a medda drecta Colleva dos valoracoes dferetes: Evalacó tpo A: tee e ceta la varabldad de las meddas e las msmas codcoes. Reqere de aálss estadístco del cojto de observacoes:,, 3,. N. Se toma: A (= desvacó típca Evalacó tpo B: tee e ceta toda la formacó dspoble acerca de la resolcó del strmeto de medda, especfcacoes del fabrcate, certfcados de calbracó Falmete: ( = A + B
Aálss estadístco A partr de N observacoes depedetes,,, N se toma: El valor medo como resltado de la medda: La desvacó típca del valor medo como certdmbre típca tpo A: A ( ( ( Cado el úmero de meddas es peqeño (feror a 0: A má mí ( 6
Resolcó de strmeto S la medda se ha hecho co strmeto aalógco, se toma como resolcó (d de éste la meor dad qe peda medr. 0 3 = 0, cm cm S el strmeto es dgtal, se toma como resolcó (d a dad de la últma cfra. 34,75 = 0,0 ma ma La certdmbre típca debda a la resolcó del strmeto (evalacó tpo B es B ( 0,9 Esta certdmbre típca será la qe se se para el cálclo de la certdmbre típca combada, pero cado se qera epresar resltado fal de a úca medda co ese strmeto, la certdmbre reflejada o pede ser feror a la resolcó del strmeto 6
7 Icertdmbre de medda Icertdmbre epadda, U( Magtd qe defe tervalo e toro al resltado de a medcó, y e el qe se espera a fraccó mportate de la dstrbcó de valores qe podría ser atrbdos razoablemete al mesrado. Se obtee mltplcado la certdmbre típca combada por factor de cobertra k, qe típcamete toma valores etre y 3 y se basa e la probabldad o vel de cofaza reqerdo para el tervalo U( k ( c Icertdmbre típca relatva ( Icertdmbre típca combada relatva Icertdmbre epadda relatva U ( c (
Icertdmbre Epadda Magtd qe defe tervalo e toro al resltado de a medcó, y e el qe se espera a fraccó mportate de la dstrbcó de valores qe podría ser atrbdos razoablemete al mesrado. Se obtee mltplcado la certdmbre típca combada por factor de cobertra k, qe típcamete toma valores etre y 3 y se basa e la probabldad o vel de cofaza reqerdo para el tervalo U( k ( c
Icertdmbre relatva Es el cocete etre la certdmbre y el resltado de la medda U ( U r Se sele epresar e %. Para ello se mltplca por 00. Por ejemplo s = cm y (=4 cm, etoces r = 4/=0,33=33%. No tee dades. Da formacó sobre la bodad de la medda.
Ejemplos CASO : Spogamos qe medmos a temperatra cco veces co termómetro cya resolcó es de grado y obteemos: T = 64 ºC, T = 6 ºC, T 3 = 65 ºC, T 4 = 68 ºC, T 5 = 65 ºC Valor medo: T =64,6ºC Icertdmbre: A (T = (T Má -T mí /6 = (68 6/6 =, ºC B (T=0,9 ºC = 0,9 ºC (T=, + (0,9 =,34544 ºC Resltado: T = (64,6, ºC; r =,9%
CASO : Spogamos qe medmos a logtd tres veces co a regla gradada e mlímetros y obteemos: = 6,5 cm, = 6,5 cm, 3 = 6,5 cm B (=0, cm Resltado: = (6,5 0, cm, r =,5% LA INCERTIDUMBRE ( NO PUEDE SER INFERIOR A LA RESOLUCIÓN DEL INSTRUMENTO!
PRESENTACIÓN DE RESULTADOS Qé tee de etraño estas frases?: La etcó de los dosaros ocrró hace 65 mlloes de años y 3 días. Las prámdes se costryero hace os 4000 años y 7 segdos. El vaje de Marco Polo a Cha dró os 4 años, 3 meses, días, 3 horas, 3 mtos, segdos y 345 mlésmas.
Presetacó de resltados. El resltado de a medda debe epresarse co úmero de cfras qe vee determado por el valor de la certdmbre. Por ejemplo, es absrdo dar como resltado: =(,73345678534 ± 0,035 m Y tampoco tee setdo: L=(,389639 ± 0,865367 m Norma: Las certdmbres debe darse co dos cfras sgfcatvas Debe descartarse del resltado todas las cfras qe sea de orde feror a la certdmbre Resltados correctos: =(,73 ± 0,035 m L=(,4 ± 0,9 m
Presetacó de resltados: Redodeo La últma cfra coservada se redodea de la sgete forma: Ametádola e dad s la prmera cfra descartada es mayor qe 5. Dejádola tal cal s la prmera cfra descartada es meor qe 5 S la prmera cfra descartada es 5 y al meos a de las sgetes es mayor qe 0, la últma cfra coservada se ameta e a dad. S la prmera cfra descartada es 5 y todas las demás so 0, la últma cfra coservada o camba s es par o se ameta e a dad s es mpar (redodeo al par.
Algas observacoes... Para úmeros my grades o my peqeños covee sar la otacó cetífca, esto es, e potecas de 0: (8000 3000 Pa = (,80 0,30 0 4 Pa (0,0056 0,0007 N = (,56 0,7 0-3 N E ocasoes hay qe teer e ceta qe algos ceros o se pede sprmr: 0, cm INCORRECTO,00 0, cm CORRECTO
Ejemplos 4,8343 0,0466 3,894,8754 57 34 0,5378 0,00996 50353 550,3487 0,345 09,3 84,55 4,83 0,047 ; r = 0,98 % 3,3,9 ; r =, % 530 30 ; r = 4,5 % 0,5378 0,000 ; r =,8 % 50400 600 ; r = 5, %,35 0,34 ; r = 0,4 % 09 85 ; r = 7,8 %
Icertdmbre típca combada de meddas drectas Este també meddas drectas, es decr, magtdes A qe se calcla a partr de los valores,y,z de otras magtdes medate a fórmla: A=f (,y,z E este caso, la certdmbre típca combada de A vee dada por: ( ( ( ( z z f y y f f A c
Ejemplo: cálclo de certdmbre combada Se pretede calclar el volme de paralelepípedo, cyas arstas se mde co as reglas obteédose los sgetes valores: a =,00 0,0 cm b = 5,0,0 cm V = a b c = 45 cm 3 a c = 5,0,5 cm c b Icertdmbre combada: c V V V ( V ( a ( b ( c a b c V ( a bc ( a 37,5 a V ( b a c ( b 330 b V ( c a b ( c 4,5 c c (V=59,58703 cm 3 Resltado: V = (40 530 cm 3
Algas observacoes... Cado los cálclos se realza medate calcladora ordeador, covee coservar sempre todas las cfras qe éstos permta, procedédose al redodeo SÓLO e el resltado fal, NUNCA redodeado resltados termedos. S e la fórmla o ley qe permte el cálclo de a magtd aparece alga costate matemátca o físca (como π, N A, g, c, etc., covee cosderar, e el mometo de operar, el mámo úmero sgfcatvo de cfras, de forma qe el error cosderado sea desprecable frete a la certdmbre de las magtdes qe tervee e la fórmla.
Ejemplo Medcó de la desdad de a bola de acero m D D: Dámetro m: masa El dámetro D se mde co calbre cya resolcó es: 0,0 cm La masa m se mde co a balaza cya resolcó es: 0, g La epresó a tlzar será: m R 3 m 4 3 D m 4 3 8 4 3 3 D 3 6m D 3 0
Ejemplo Medcó de la desdad de a bola de acero Medda º 3 4 5 6 D (cm,38,45,39,44,40,43 Cálclo de D: X k X, k,38,45,39,44,40,43 D D 6,45 cm
Ejemplo Medcó de la desdad de a bola de acero Medda º 3 4 5 6 D (cm,38,45,39,44,40,43 Cálclo de certdmbre típca de D: ( X, má,m 6 X A,45,38 ( D 6 0,066667 ( 0,9 B ( D 0,90,0 0,009 cm ( A( B( ( D A ( D B ( D 0,066667 0,009 0,0070
Ejemplo Medcó de la desdad de a bola de acero 3 Resltado de D: D,45 0, 0070 D (,45 0,0 cm Resltado trcado y redodeado MUY IMPORTANTE: El dato ecadrado de D aqí epresado NO es resltado fal de la medda de D. Sólo se ha ecadrado el dato co el valor de D y la certdmbre típca (D qe SÍ será los valores a sar posterormete e el cálclo de la certdmbre combada c de
Ejemplo Medcó de la desdad de a bola de acero Se realza a úca medda de m, obteédose: m 57,7 g 4 Cálclo de certdmbre típca de m: E este caso la certdmbre típca sólo es cosececa de haber sdo estmada la magtd por a evalacó tpo B, ( m ( 0, g Resltado de m: m (57, 7 0, g Resltado trcado y redodeado MUY IMPORTANTE: El dato ecadrado de m aqí epresado NO es resltado fal de la medda de m, pes e este caso la certdmbre reflejada o pede ser feror a la resolcó del strmeto. Sólo se ha ecadrado el dato co el valor de m y la certdmbre típca (m qe SÍ será los valores a sar posterormete e el cálclo de la certdmbre combada c de.
Ejemplo Medcó de la desdad de a bola de acero 5 D (,45 0,0 cm m (57,0, g Cálclo de : 6m 657,7 3 D, 45 3 7,8394494 g/cm 3
6 Ejemplo N N N c f f f f y ( (... ( ( ( ( ( ( m m f D D f c 0,03606 0,0,45 57,700 8 ( 8 ( 4 4 D D m D D Cálclo de certdmbre típca combada de : 4 3 3 6 6 ( ( 0,09,838654 0,45 m m m D 4 c (,838654 0 0, 03606 Medcó de la desdad de a bola de acero 3 c ( 0,7458 g/cm 3 6 D m
Ejemplo Medcó de la desdad de a bola de acero 7 Resltado fal : 7,8394494 g/cm 7,8394494 0,7458 3 c ( 0,7458 g/cm 3 ( 7,8 0, g/cm Resltado trcado y redodeado 3
Represetacoes Gráfcas 8 V (0 mv Escala seclla Líea de ajste Ptos dstrbdos por toda la gráfca 7 Eje de ordeadas (v. depedete 6 5 Icertdmbres 4 3 Nca! El orge o tee porqé ser el (0,0 3 4 5 6 7 8 Eje de abscsas (v. depedete Idetfcacó de los ejes I (ma
(cm Ajste por mímos cadrados Por ejemplo spogamos qe qeremos comprobar la ley de Hooke F=-ky para resorte y para ello colgamos del melle masas de dstto valor del melle y medmos la elogacó de éste. Debe cmplrse Mg-ky=0, lego y=g/k M por lo qe esperamos qe s se represeta frete a M los datos se alee e a recta M(g y(cm 00 0,6 00 0,9 400, 600 3,0 6 5 4 3 Los ptos o está perfectamete aleados como cabría esperar debdo a los errores accdetales e strmetales del epermeto. El método de Ajste por Mímos Cadrados permte ecotrar la recta qe ajsta mejor a todos los ptos 800 4, epermetales 000 4,85 0 0 00 400 600 800 000 00 M (g
Ajste por mímos cadrados La recta qe bscamos es: y = m + b. m Pedete b Ordeada e el orge Se calcla de la sgete maera. Para os ptos (, y, (, y (,y y y m m y b c b m y m ( c c m b ( (
Coefcete de correlacó y y y y r Hay qe darlo sempre qe se hace ajste por mímos cadrados. Es úmero qe está etre y - y qe os da formacó de cómo de beo es el ajste (cato más cercao a o -, mejor. U ajste por mímos cadrados es aceptable solo s r > 0,9! Sempre se debe epresar co todas ss cfras hasta la prmera qe o sea 9, redodeádola e s caso: r = 0,999674 r = 0,9997
E estro ejemplo: M(g y(cm m = 0,00487607 cm/g; c(m=0,000540 cm/g 00 0,6 00 0,9 400, 600 3,0 800 4, 000 4,85 b = 0,09089 cm; r = 0,9978 Resltado fal: c(b=0,80964 cm m = (0,00487 ± 0,00054 cm/g b = (0,09 ± 0,80 cm r = 0,997 Frecetemete la recta de regresó os permte calclar alga magtd de terés. E este caso, por ejemplo, la costate del melle. E efecto, segú la teoría y g k Lo qe mplca qe g/k es la pedete y la ordeada e el orge es cero
Por lo tato m cm 98 k s 0004, 08 k m cm 0, 0049 s g g g g c k = k m m + k g g = 0430,0 g s k = (0,0,0 0 4 g/s ; r = 0 %