º Bchilleto Mteátics II Dvid Miguel del Río IES Euop (Móstoles) Vos coside ls tices coo u disposició ectgul de úeos que cotiee ifoció. Si se quiee es u fo de ode ifoció. Po ejeplo: * Teeos quí el p de u ciudd (Koigseg) que está tvesd po u ío soe el que h vios puetes: de qué fo está coectdos los ios de l ciudd? Podeos costui l tiz del úeo de puetes ete ios: e este cso heos oteido u tiz cudd que deás es SIMÉTRICA. * Los úeos coplejos i puede epesse de uchs fos. U de ells es l siguiete otció ticil: i po qué seá sí? Pies pieo qué efecto se poduce l ultiplic dos úeos coplejos co especto l posició de los putos e el plo coplejo. * Y cooceos l utilidd de ls tices e l esolució de sistes de ecucioes tvés de l tigulció de l tiz.
º Bchilleto Mteátics II Dvid Miguel del Río IES Euop (Móstoles).- Algus defiicioes Vos ve lgus tices co oe popio: * E pie lug ls tices puede se ectgules ( fils colus), o cudds (e el cso de tee el iso úeo de fils que de colus). Csos líite de tices ectgules so l tiz fil (tié lld vecto fil) l tiz colu (tié lld vecto colu): Vecto fil: tiz de fil colus: ( ) Est es l fo tdiciol de epes u vecto clásico que idic l posició, po ejeplo, de u puto e el plo o e el espcio. Vecto colu: tiz de fils colu: * Ls tices cudds de ode puede tee disposicioes peculies de sus eleetos, de fo que ecie difeetes oes: Mtiz digol: es quell e l que todos los úeos, ecepto los de l digol picipl, so ceo: 6 Mtiz idetidd o uiti: es quell cu digol picipl está fod po uos el esto po ceos: Mtiz tigul supeio o ifeio: es quell que h sido tiguld: 9 8 Mtiz siétic: es quell tiz cudd que epite sus vloes co especto u eje que ps po l digol picipl: 7 * Mtiz tspuest: es quell que se costue cido ls fils po colus. De est fo u tiz se covetiá e u : 6 6 E el cso de tices siétics l tspuest coicide co l popi tiz. Adeás l tsposició de tices es u opeció iestdo, es deci, l tspuest de l tspuest vuelve se l tiz iicil.
.- Su de tices P zo cóo se su dos tices vos ecod cóo se su dos vectoes, qué deí ocui p que se pudie su qué oteíos: u u, u v v, v sudo sus copoetes oteíos que: Suáos dos vectoes ( ) ( ) Si u ( u, u ) v ( v, v ) u v ( u, u ) ( v, v ) ( u v, u v ) Es evidete que p pode su los vectoes éstos deí tee l is diesió, esto es, el iso úeo de copoetes. E cso cotio soí copoetes soe los que ctu l su ceceí de setido. Tpoco deeos olvid que est su vectoil teí su justificció geoétic l epeset los vectoes que suáos. Si etedeos u tiz coo u cojuto de vectoes fil pildos uos eci de otos podeos geeliz l su de tices de l siguiete e: M N M N Es evidete que p que dos tices se pued su dee tee ls iss diesioes, es deci, el iso úeo de fils de colus. L opeció su soe el cojuto de ls tices de diesió es u opeció ite, es deci, d coo esultdo ot tiz. Est tiz esultte tié tiee l diesió cuple ls siguiete popieddes álogs l su de úeos odiios: Popiedd socitiv: si A, B C so tices podeos suls e el ode que queos: A (B C) (A B) C Popiedd couttiv: si A B so tices podeos suls tié e el ode que ás os coveg: A B B A Eiste eleeto euto, es deci, h u tiz pticul que sud culquie ot l dej coo est. Est es l tiz ul O de diesioes : M, tiz, O : M O Eiste eleeto siético, es deci, p cd tiz pticul h ot que sud co ell d coo esultdo l tiz ul (el eleeto euto). L tiz que cuple este equisito es l tiz opuest u dd: M º Bchilleto Mteátics II Dvid Miguel del Río IES Euop (Móstoles)
A! A : A ( A) O : Po lo tto l opeció su soe el cojuto de tices M diesió es u GRUPO ABELIANO O CONMUTATIVO (M,) es gupo elio o cuuttivo..- Poducto de u úeo el po u tiz Podeos ecui quí, tié, lo que seos que ocuí co los vectoes geeliz p ls tices. Si ultiplicáos u vecto po u costte lo que hcíos e ultiplic cd copoete del vecto po es costte. Esto tiee u justificció geoétic iedit: ultiplic u vecto po e hcelo dos veces ás lgo, etc. Tié podeos ecui l popi defiició de su de tices. Si ultiplicos u tiz po lo que estos hciedo es sul veces, lo que se tduce e ultiplic po todos los copoetes de l tiz: A A A Geelizdo: k R A L opeció poducto de u úeo el po u tiz cuple ls siguietes popieddes, siedo eles M N tices: Popiedd socitiv it: ( M) ( ) M Popieddes distiutivs: - Popiedd distiutiv co especto l su de úeos eles: ( ) M M M - Popiedd distiutiv co especto l su de tices: (M N) M N Eisteci de eleeto uidd: A A º Bchilleto Mteátics II Dvid Miguel del Río IES Euop (Móstoles)
.- Poducto de tices Volveos los vectoes p tt de geeliz, pti de ellos, cóo se ultiplic dos tices. Si teíos los vectoes u ( u, u ) v ( v, v ) su poducto e: u v u, u v, v u v u v ( )( ) Lo que heos hecho h sido ultiplic de fo oded los copoetes sulos. E el cso de epes los vectoes coo si fue tices fil colu podíos el pie vecto coo tiz fil el segudo coo tiz colu: v u v ( u, u ) ( u v u v v ) Heos ptido de u vecto u de diesioes de oto vecto v de diesioes heos oteido u tiz esultdo de diesió. Osev que o podíos ultiplic los vectoes si el pieo fue el segudo, que os fltí copoetes p ultiplic: si A ( ) B A B ( ) Podeos coclui que si p pode ultiplic dos tices, el úeo de colus de l pie dee coicidi co el úeo de fils de l segud. Tié podeos ve que el esultdo es u tiz cus diesioes seá el úeo de fils de l pie po el úeo colus de l segud. Po lo tto ultipliceos tices vecto vecto: p p si A Bp p p p A Bp p fila colub fila colub fila colupb fila colub fila colub fila colupb C fila colu B fila colu B fila colupb p Es ipotte destc que el poducto de tices cuple popieddes coo l Opeció Ite, Popiedd Asocitiv, eisteci del Eleeto Neuto (l tiz idetidd, fod po todo ceos ecepto l digol picipl que so uos) eisteci del Eleeto Siético o tiz ives, Si ego, el poducto de tices NO cuple l popiedd couttiv. º Bchilleto Mteátics II Dvid Miguel del Río IES Euop (Móstoles)
El poducto de tices puede utilizse p clcul tsfocioes de putos e el plo o e el espcio, tles coo tslcioes o otcioes. Vos ve lgu de ls utiliddes del poducto de tices..- Tslció de u puto de coodeds (,). Si l tslció que plicos supoe desplz el puto de fo plel los ejes distcis (t,t ) podeos utiliz l tiz de t tslció: t. Multipliceos est tiz po el vecto colu que cotiee ls coodeds del puto p otee ls uevs coodeds.- Escldo de u figu: lo que hceos es pli o educi u figu. P ello st co ultiplic ls diesioes de l figu po el fcto de plició o educció. s Utilizos l tiz s dode s s so los fctoes de escldo..- Rotció de u puto: p deduci l tiz de otció que pliceos soe ls coodeds vos eliz u eve zoieto tigooético. Teeos el puto A l que queeos hce ot e cot de ls gujs del eloj u águlo p que se coviet e el puto A. Adeás el dio que detei el puto A fo u águlo α co el eje de ls sciss. Ls coodeds del puto A iicil seá A(,) (R cosα,r seα ) ls del puto A u vez hech l otció seá: A (, ) (R cos(α ),R se(α )) Aplicdo ls fóuls de l tigooetí segú ls cules: cos(α )cosα cos seα se ; se(α ) cosα se seα cos teeos:8 º Bchilleto Mteátics II Dvid Miguel del Río IES Euop (Móstoles) 6
º Bchilleto Mteátics II Dvid Miguel del Río IES Euop (Móstoles) 7 A (, ) (R cos(α ),R se(α )) (R(cosα cos seα se ),R(cosα se seα cos )) ( Rcosα cos Rseα se, Rcosα se Rseα cos ) ( cos - se, se cos ) Heos oteido que: A (, ) ( cos - se, se cos ) Que podeos epes e fo ticil de l siguiete e: cos cos se se dode es el águlo que se h otdo. EJERCICIO.- Heos oteido l tiz de otció e dos diesioes cóo seá ls tices de otció e tes diesioes? PISTA.- digo seá poque so tes tices: otció lededo del eje X, otció lededo del eje Y otció lededo del eje Z. Dee coveti el vecto colu e el uevo vecto después de he elizdo l otció. z z