Uiversidad Michoacaa de Sa Nicolás de Hidalgo Facultad de Igeiería Eléctrica Aputes para la Materia de Cálculo IV f()= + Para las Carreras: Igeiería Eléctrica Igeiería Electróica Igeiería e Computació. octubre de 5
Nombre de la materia: CÁLCULO IV Clave: CB3-T No. De horas /semaa: 5 Objetivo: ) Itroducir al estudiate a los coceptos básicos de la teoría de las fucioes de variable compleja, revisar los coceptos de límite, cotiuidad, derivada e itegral para este tipo de fucioes, itroducir el cocepto de fució aalítica, el desarrollo e serie de Lauret y el teorema de los residuos y su importacia e la teoría de itegració de fucioes complejas. ) Se dará ua itroducció a la Trasformació de Laplace, sus propiedades, el uso de las Tablas de Trasformadas de Laplace y su aplicació a la solució de ecuacioes difereciales. 3) Tambié se dará las bases del aálisis de Fourier para señales cotiuas e el caso periódico y e el caso o periódico. Coteido. Elemetos de la Teoría de Variable Compleja.... 9 hrs.. Itegració e el plao complejo...... 9 hrs. 3. Serie de Lauret y teorema de los residuos...... hrs. 4. Trasformada de Laplace....... 4 hrs. 5. Itroducció al aálisis de Fourier....... hrs. Exámees parciales......... 6 hrs. Total... 8 hrs. Bibliografía: Texto pricipal:. Matemáticas Avaadas para Igeiería. Tomos I y II. Erwi Kreysig Ed. Limusa Wiley Programa Desarrollado. Elemetos de la Teoría de Variable Compleja. ( horas).. Repaso de úmeros complejos... Formas de represetació de úmeros complejos: rectagular, polar, par ordeado, forma gráfica, vectorial y forma expoecial.... Coversió de rectagular a polar..3. Coversió de polar a rectagular y correcció e el segudo y tercer cuadrates...4. Operacioes elemetales co úmeros complejos (suma, resta, multiplicació y divisió de úmeros complejos)..5. El argumeto y el argumeto pricipal de u úmero complejo..6. El complejo cojugado y sus propiedades..7. El módulo o magitud de u úmero complejo y sus propiedades..8. Potecias y raíces de úmeros complejos.. Desigualdades y regioes e el plao complejo.3. Fucioes de ua variable compleja.3.. Fucioes compoetes.3.. Fució de variable compleja como trasformació o mapeo etre dos plaos.4. Límites y cotiuidad de ua fució compleja.5. Derivada y derivabilidad de ua fució compleja.6. Codicioes ecesarias para la derivabilidad de ua fució compleja y ecuacioes de Cauchy Riema..6.. Codicioes suficietes para la derivabilidad..7. Fucioes aalíticas y putos sigulares..8. Fucioes Armóicas y la ecuació de Laplace..9. Fucioes expoeciales y logarítmicas.. Fucioes trigoométricas... Fucioes hiperbólicas. Primer exame parcial ( Horas).. Itegració e el plao complejo. ( horas).. Itegrales de líea o de camio... Defiició de camio o arco suave a troos.... Camios y su parametriació...3. Defiició de itegral de camio o de líea y sus propiedades básicas...4. Ejemplos de itegració de fucioes a lo largo de camios abiertos y cerrados... Idepedecia de la trayectoria y primitivas.3. El teorema de Cauchy-Gousart.3.. Domiios simple y múltiplemete coexos.3.. El pricipio de deformació de camios..4. Fórmulas itegrales de Cauchy 3. Serie de Lauret y teorema de los residuos. ( horas) 3.. Sucesioes y series 3... Progresioes o sucesioes, térmio geeral, covergecia de ua sucesió 3... Series, sucesió de sumas parciales, covergecia de ua serie. 3..3. Ejemplos de sucesioes y series típicas (aritmética, geométrica, armóica y otras) 3..4. Serie geométrica y su covergecia 3..5. Expasió e serie de /(-). 3.. Series de Taylor y Maclauri y su regió de covergecia. 3.3. Series de Lauret y su regió de covergecia. 3.4. Defiició de ceros, polos y residuos 3.5. Teorema de los residuos. Segudo exame parcial ( Horas). 4. Trasformada de Laplace. (4 horas ) 4.. Orige de la trasformació de Laplace 4.. Defiició de la Trasformada de Laplace bilateral y uilateral de ua fució de variable real. 4.3. Cálculo de trasformadas de Laplace mediate la defiició. 4.4. Ejemplos de fucioes típicas y su trasformada. La fució escaló, la fució rampa. 4.5. Propiedades de la Trasformada de Laplace 4.5.. Propiedad de Liealidad 4.5.. Primera propiedad de traslació (traslació o corrimieto real). 4.5... La fució escaló co corrimieto y su trasformada 4.5... La fució pulso y su trasformada 4.5..3. La fució Impulso Uitario o Delta de Dirac y su trasformada 4.5.3. Seguda propiedad de traslació (traslació o corrimieto complejo) 4.5.4. Trasformada de la derivada y de la derivada múltiple 4.5.5. Trasformada de la itegral 4.5.6. Teorema del valor fial 4.5.7. Teorema del valor iicial 4.5.8. Propiedad de cambio de escala. 4.6. La covolució y su trasformada de Laplace 4.7. La trasformada iversa de Laplace 4.7.. La fórmula de iversió 4.7.. Propiedades de la Trasformada iversa de Laplace 4.7.3. Cálculo de la trasformada iversa mediate el uso de Tablas y expasió e fraccioes parciales. 4.8. Solució de ecuacioes itegro-difereciales por medio de trasformada de Laplace. 5. Itroducció al aálisis de Fourier. ( horas) 5.. Fucioes y señales periódicas. 5... Defiicioes. Fució periódica, periodo fudametal, frecuecia fudametal, frecuecia e Hert, frecuecia agular 5... Fucioes siusoidales, Amplitud, frecuecia y fase. 5.. Fucioes ortogoales, ortogoalidad de fucioes siusoidales. 5.3. Series de Fourier e su forma trigoométrica para ua señal de periodo arbitrario T. 5.3.. Coeficietes de Fourier y su obteció 5.3.. Valor promedio y compoete de CD, compoetes armóicas. 5.4. Series de Fourier e su forma expoecial compleja, espectro de frecuecia discreto. 5.5. Simetrías par e impar y serie de Fourier de señales simétricas 5.6. De la Serie a la Itegral de Fourier 5.7. Formas equivaletes de la itegral de Fourier 5.8. La trasformada de Fourier. 5.9. Propiedades de la trasformada de Fourier. 5.. Trasformada de Fourier para alguas fucioes del tiempo simples. Espectro de frecuecia cotiuo. 5.. La fució rect, la fució sic y la fució sic ormaliada 5.. Relació etre la trasformada de Laplace y la trasformada de Fourier. 5.3. Teoremas de Parseval y de Rayleigh. 5.4. Codicioes de existecia de la Trasformada de Fourier. 5.5. Señales de eergía fiita y de potecia fiita. 5.6. La desidad espectral de eergía y de potecia. 5.7. La autocorrelació y la desidad espectral de eergía. Tercer exame parcial ( Horas) Última Revisió: Juio de 5. José Jua Ricó Pasaye. 9
Capítulo. Elemetos de la Teoría de Variable Compleja. Números Complejos La pricipal raó por la cual se itroduce los úmeros imagiarios e el cojuto total de úmeros es la misma por la cual se itroduce los úmeros egativos e el cojuto de úmeros reales: Así como los úmeros egativos permite hallar la solució de ecuacioes de la forma x + =, los úmeros imagiarios permite hallar la solució de ecuacioes de la forma x + = la cual o tiee solució e el cojuto de los úmeros reales R. Para coseguir u objetivo aú más geeral se itroduce los úmeros complejos. Estos úmeros proporcioará además las solucioes de las ecuacioes algebraicas geerales de la forma a + a x +... + a x co coeficietes ai R. = El cojuto de los úmeros complejos que de aquí e adelate se deotará por el símbolo C cotiee todos los tipos de úmeros que se requiere e Igeiería como se ilustra e la figura. y por lo tato permite ecotrar la solució de cualquier ecuació cuya solució sea u úmero. Cojuto de los Números Complejos C Números Racioales Q c Q Números Irracioales Números Eteros Z Números Naturales N Números Imagiarios Números Reales R El cero Fig...- El cojuto de los Números Complejos cotiee a todos los cojutos de úmeros...- Defiicioes El úmero i se deomia uidad imagiaria y es el úmero tal que i =. E ocasioes se deota i =. Tambié suele represetarse por la letra j e lugar de la letra i. U úmero se dice úmero imagiario si es u múltiplo del úmero i, es decir, u úmero imagiario tiee la forma iy, dode y R.
U úmero se llama úmero complejo y se deota C, si es la suma de u úmero real x más u úmero imagiario iy, es decir, = x + iy, dode x, y R. Si = x + iy, al úmero real x se le llama parte real de, deotado Re( ) y al úmero real y se le llama parte imagiaria de, deotado Im( ). (Obsérvese que la parte imagiaria o icluye al úmero i, es decir, la parte imagiaria es u úmero real). Ejemplo.. Si = 3 i C, etoces Re( ) = 3, Im( ) =. Ejemplo.. El úmero real = C (Auque = es úmero real, tambié es úmero complejo), e este caso Re( ) =, Im( ) =, es decir, = + i. De acuerdo al ejemplo aterior, todo úmero real es u úmero complejo co parte imagiaria cero y todo úmero imagiario es u úmero complejo co parte real cero. El úico úmero complejo que es real e imagiario a la ve es el cero, ya que = + i....- Represetació de úmeros complejos. U úmero complejo puede ser represetados de varias maeras: Forma rectagular.- Es la forma e que se defiió u úmero complejo, es decir, e forma de suma de u real más u imagiario, es decir, = x + iy (.) Forma de par ordeado.- Como u úmero complejo costa de dos úmeros reales, e ocasioes se represeta simplemete como = ( x, y), dode x es la parte real de, y y es la parte imagiaria de. Forma Gráfica.- Todo par ordeado se puede represetar como u puto o como u vector e u plao. Así, el úmero complejo = ( x, y) se puede represetar e el plao complejo C como el puto de coordeadas cartesiaas ( x, y ) o tambié como el vector que va del orige al puto ( x, y ). Ver figura.. Im() y =(x,y) x Re() Plao Complejo C Fig...- Represetació gráfica de u úmero complejo e el plao Complejo.
Forma polar.- E lugar de expresar las coordeadas rectagulares del puto = ( x, y) podemos expresar sus coordeadas polares = r θ, dode r es la distacia del puto al orige, se deomia magitud o módulo de y se deota como, y θ es el águlo de la recta que ue al puto co el orige, medido e setido ati horario co respecto a la parte derecha de la horiotal. Ver figura.3. r = r θ θ Plao Complejo C Fig..3. Coordeadas polares de u úmero complejo. Forma trigoométrica.- Observado las figuras. y.3 se observa que existe ua relació etre las coordeadas rectagulares = ( x, y) y las coordeadas polares = r θ de u úmero complejo x = r cos θ, y = r siθ (.) por lo tato, el úmero complejo = x + iy se puede escribir e la forma siguiete = r(cosθ + isi θ ) que alguos autores deota de maera abreviada como = r cis( θ ) (.3) (.4) Forma expoecial.- A Leohard Euler (Matemático Suio, 77-783) se le atribuye la llamada Fórmula de Euler siguiete, que relacioa ua fució expoecial co las fucioes trigoométricas seo y coseo, como sigue iθ e = cosθ + i siθ (.5) usado la fórmula de Euler se puede escribir la forma trigoométrica (.3) e ua ueva forma i = re θ (.6) deomiada forma expoecial del úmero complejo. Coversió etre represetació Rectagular y Polar. Las expresioes (.) permite la coversió directa de u úmero de polar a rectagular. Ejemplo.3.- El úmero complejo = 45 se escribe e su forma rectagular como = cos(45 ) + i si(45 ), es decir, = + i. 3
Si embargo, la coversió de rectagular a polar requiere u mayor cuidado. Primero se tiee que teer cuidado e la maera de expresar el águlo θ del úmero complejo, tambié llamado argumeto del úmero complejo o arg( ), ya que u mismo águlo se puede represetar de múltiples maeras, ya sea que se esté usado grados o radiaes, de hecho, o bie, θ = arg( ) = Θ + π k, k =, ±, ±, ± 3,... θ = arg( ) = Θ + 36 k, k =, ±, ±, ± 3,... (.7) dode Θ = Arg( ) se deomia argumeto pricipal de (ótese que se escribe co mayúscula para distiguirlo de θ = arg( ) y además π < Θ π (.8) o bie, 8 < Θ 8 Ua ve teiedo este cuidado, podemos obteer ua expresió para θ a partir de (.), dividiedo y etre x se obtiee θ = ta y x (.9) e forma similar, podemos obteer ua expresió para r del teorema de Pitágoras, ya que r es la hipoteusa del triágulo cuyos catetos so x e y, ver figura., es decir, r = x + y (.) Si embargo, se tiee que teer ua precaució adicioal al evaluar la fórmula (.9) mediate ua calculadora, ya que al hacer la divisió de y etre x se pierde la iformació de sigo de estas compoetes y etoces la calculadora o tiee elemetos para decidir e cual cuadrate se ecuetra el úmero complejo. Para aclarar esta situació se preseta los siguietes cuatro ejemplos: Ejemplo.4.- El úmero complejo = + i 3 se ecuetra e el primer cuadrate, etoces la calculadora o tiee problemas co el sigo de / y x, por lo tato θ ( ) r = + 3 =, por lo tato la forma polar de es = 6, o bie, = π / 3. = ta 3 = 6, además Ejemplo.5.- El úmero complejo = i 3 se ecuetra e el cuarto cuadrate, etoces la calculadora o tiee problemas co el sigo de / y x, por lo tato θ ( ) r = + 3 =, por lo tato la forma polar de es = 6, o bie, = π / 3. = ta 3 = 6, además 4
Ejemplo.6.- El úmero complejo = + i 3 se ecuetra e el segudo cuadrate, etoces la calculadora tedrá problemas co el sigo de y / x, ya que lo iterpretará como si estuviera e el cuarto cuadrate, es decir, co la calculadora se obtiee θ ( ) = ta 3 = 6 lo cual es icorrecto, para corregir el resultado hay que sumar 8, por lo tato el resultado correcto es θ ( ) = 8 + ta 3 =. Además r = + 3 =, por lo tato la forma polar de es =, o bie, = π / 3. E la figura.4 se muestra la correcció realiada = + i 3 Im() 3 8 (correcció) (correcto) - Plao Complejo C -6 (calculadora) Re() Fig..4. Correcció del águlo obteido por la calculadora cuado el úmero está e el segudo cuadrate. Ejemplo.7.- El úmero complejo = i 3 se ecuetra e el tercer cuadrate, etoces la calculadora tedrá problemas co el sigo de y / x, ya que lo iterpretará como si estuviera e el primer cuadrate, es decir, co la calculadora se obtiee θ ( ) = ta 3 = 6 lo cual es icorrecto, para corregir el resultado hay que restar 8, por lo tato el resultado correcto es θ ( ) = ta 3 8 =. Además r = + 3 =, por lo tato la forma polar de es =, o bie, = π / 3. E la figura.5 se muestra la correcció realiada Plao Complejo C Im() 6 (calculadora) - - (correcto) Re() = i 3 3-8 (correcció) Fig..5. Correcció del águlo obteido por la calculadora cuado el úmero está e el tercer cuadrate. 5
Observació: Si se cueta co ua calculadora o programa de cálculo umérico que cuete co la fució ata, se puede calcular directamete si ecesidad de hacer correccioes el águlo del úmero complejo = x + iy como θ =ata ( y, x)...- Operacioes Fudametales co Números Complejos. Ates de itroducir las operacioes fudametales, coviee defiir lo que se etiede por úmeros complejos iguales: Igualdad de úmeros complejos: Dos úmeros complejos de dice iguales si sus partes reales so iguales y sus partes imagiarias so iguales, es decir, = sii Re( ) = Re( ) y Im( ) = Im( ) (.) Ejemplo.8. Los úmeros complejos = + j y = 45º so iguales y tambié so iguales al úmero complejo 3 = 45º, o al úmero complejo 4 = 35º. Suma de úmeros complejos: La suma de dos úmeros complejos, es el úmero complejo + cuya parte real es la suma de las partes reales de, y cuya parte imagiaria es la suma de las partes imagiarias de,, es decir, si = x + iy, = x + iy, etoces + = ( x + x ) + i( y + y ) (.) Producto o multiplicació de úmeros complejos: La multiplicació de dos úmeros complejos = x + iy, = x + iy es el úmero complejo dado por = = ( x x y y ) + i( x y + x y ) (.3) El cojugado complejo (o simplemete cojugado) del úmero complejo = x + iy es el úmero complejo cuya parte imagiaria tiee sigo cambiado respecto a la parte imagiaria de, es decir, = x iy (.4) El cojugado de u úmero complejo tiee propiedades iteresates que utiliaremos a lo largo de este curso. A cotiuació se preseta ua lista resumida de dichas propiedades. Se recomieda al lector verificar cada ua de ellas. Propiedades del cojugado complejo i. = ii. = C ( Propiedad de ivolució ) 6
iii. = Im = R iv. Re v. = = imagiario puro + = + Se geeralia para sumados. Comprobar vi. = Se geeralia para factores. Comprobar vii. = viii. + = Re( ) ix. = i Im( ) Pues si = ( ) = = = Ejemplo de Aplicació Sea la ecuació: α + α +... + α co coeficietes αi C para i =,..., = Si p es ua raí de la ecuació, etoces p es raí de la ecuació co coeficiete cojugados α + α +... + α. = E particular, si αi R, para i =,...,, p y p so raíces de la misma ecuació, y obteemos la coocida propiedad de que las raíces de u poliomio co coeficietes reales, aparece como parejas de raíces cojugadas. Divisió de úmeros complejos: Usado la propiedad ix del cojugado complejo, podemos covertir ua divisió de úmeros complejos e ua multiplicació. Así, la divisió de dos úmeros complejos / se puede calcular multiplicado umerador y deomiador por el cojugado del deomiador como sigue / = = = (.5) sustituyedo = x + iy, = x + iy se obtiee ( x + iy ) ( x iy ) x x + y y + ix y ix y = = = x + y x + y Separado e parte real y parte imagiaria queda como sigue (.6) x x + y y x y x y = i + x + y x + y (.7) Se recomieda aprederse el procedimieto para covertir la divisió e ua multiplicació, más que aprederse el resultado dado por (.7). Ejemplo.9. Realiar las siguietes operacioes co los úmeros complejos dados e forma rectagular = + i, = + i: a) + b) c) d) / 7
Solució: + = ( + i) + ( + i), agrupado térmios semejates: a) + = + ( ) + ( + )i= + 3i= 3i b) = ( + i) ( + i), agrupado térmios semejates: = ( ) + ( )i= i c) = ( + i)( + i), multiplicado térmio por térmio: = ()( ) + ()( i) + ( i)( ) + i( i), simplificado = ( ) + ( i) + ( i) + ( i ), recordado que = i = y agrupado térmios semejates = 3 + i + i d) / =, multiplicado umerador y deomiador por el cojugado de + i: + i + i i ( + i)( i) = =, realiado la multiplicació e el umerador: + i i + = ( + ) + ( i i ) 3 i =, separado partes real e imagiaria: 5 5 = 3 5 5 i Ejemplo.. Realiar las siguietes operacioes co los úmeros complejos dados e forma polar = 45º, = 3º : a) + b) c) d) / Solució: La multiplicació y la divisió se realia fácilmete si los úmeros está e forma polar, si embargo, para la suma y la resta se requiere que los úmeros esté e su forma rectagular, por esta raó, primeramete los trasformamos a su forma rectagular: a) 3 = 45º = + i, = 3º = + i 3 + = ( + i) + + i, agrupado térmios semejates: 3 3 + = + + i b) c).866 +.5i 3 = ( + i) + i, agrupado térmios semejates: 3 = + i.34 +.5i = ( 45º ) ( 3º ), usado la forma expoecial: /4 /6 = ( ) i π e ( e i π ) = i( /4 /6) e π + π = i5 / e π, regresado a la forma polar: = 75 (es decir, solo se multiplica los módulos y se suma los águlos). 8
d) / = 45º 3º /4 i π e = iπ /6, usado la forma expoecial: i( /4 /6) = e π π / = e iπ, regresado a la forma polar: e = 5 (es decir, solo se divide los módulos y se resta los águlos). Ejemplo.. Realiar las siguietes operacioes co los úmeros complejos dados e diversas formas = 45º, = + i, pero expresar el resultado e forma rectagular. a) + b) c) d) / Solució: Primero covertimos los úmeros a la forma faltate: = 45º e forma rectagular es = + i, = + i e forma polar es = 35º y usamos la forma más coveiete de acuerdo a la operació a realiar: a) b) c) + = ( + i) + ( + i) = i = ( + i) ( + i) = = ( 45º ) ( 35º ) = 8º= d) / = 45º 35º = 9º = i El módulo de u úmero complejo y sus propiedades. Se llama módulo de u complejo = x + iy, o tambié magitud o valor absoluto del complejo, al úmero real positivo, desigado por, dado por = x + y (.8) Es decir, el módulo de es la magitud del vector correspodiete a = x + iy, o bie, la distacia del puto ( x, y ) al orige del plao complejo. Propiedades del módulo de u úmero complejo a) = = b) si R, es el valor absoluto del úmero real. c) = d) = e) = E efecto: = ( )( ) = = = ( )( ) = ( )( ) = 9
f) = ( ) = = g) E efecto: Sea = = ( ) ( )( ) ( ) + = + + = + + + = Aálogamete: = + Re( ) Por lo tato: + + = ( + ). Etoces + + Re( ) Alguas desigualdades importates que ivolucra el módulo de u úmero complejo a) Re, Im b) Desigualdad triagular: + + E efecto: Re( ) = = Luego + = + + Re( ) + + = ( + ) Por tato: + +,( geeraliable a sumados ) c) Aálogamete: d) Re + Im e) Desigualdad de Cauchy: aibi ai bi i= i= i= a, b C para i i i =,...,..3.- Potecias y Raíces de Números Complejos. Elevació a potecia etera. Se defie la -ésima potecia de como la multiplicació repetida por sí misma veces, es decir, para positivo: =... (.9) Además, veces = y = (.) De la defiició y propiedades de la multiplicació de úmeros complejos, se deduce que la elevació a potecia etera de expoete atural, cumple las mismas leyes de expoetes que e el caso de los úmeros reales: m + m m m m = ; = ( > m) ; ( ) = ; ( ) m = ; = ( ) Además, si expresamos el úmero complejo e su forma expoecial i = r e θ (.)
Y usado la Fórmula de Euler (.5), se obtiee = r cos( θ ) + i se( θ ) (.) ( ) Haciedo r =, se obtiee la fórmula de De Moivre; que proporcioa u procedimieto secillo para expresar cos( θ ), se( θ ) e térmios de cosθ, seθ : ( cosθ i seθ ) ( cos( θ ) i se( θ )) + = + (.3) Raíces de u úmero complejo. Se llama raí -ésima de (dode N), a todo complejo w tal que w = y se deota = w (.4) A cotiuació se demuestra la siguiete propiedad: Todo úmero complejo, posee raíces -ésimas distitas que deotaremos w k, todas ellas tiee el mismo módulo r y sus respectivos Arg kπ argumetos so θ k = + k =,,...,. E efecto, cosideremos la forma expoecial del úmero complejo como w i = re θ y de sus raíces =, de la fórmula de Euler se obtiee w = ρ cos( ϕ ) + ise( ϕ ) = = r cosθ + iseθ (.5) ( ) ( ) Pero de (.7) θ = arg( ) = Θ + π k, k =, ±, ±, ± 3,... Sustituyedo e (.5) se obtiee ρ cos( ϕ ) + ise( ϕ ) = r cos( Θ + πk) + ise( Θ + πk), k =, ±, ±, ± 3,... (.6) ( ) ( ) w ρ i = e ϕ, Para que la igualdad aterior se cumpla es suficiete co que se cumpla lo siguiete: ρ = r, ϕ = Θ + π k, k =, ±, ±, ± 3,... Despejado ρ = r, Θ + π k ϕ =, k =,,..., (.7) Obsérvese que e la expresió aterior o se cosidera todos los posibles valores de k, ya que a π k partir del -ésimo valor, el resultado de la divisió ϕ = Θ + difiere de los resultados previos e u múltiplo de π y por lo tato represeta la misma raí. E resume, / tiee resultados que so:
/ Θ + kπ = wk = r, k =,,..., (.8) O bie, / Θ + kπ Θ + kπ = wk = r cos + i se, k =,,..., (.9) Dode r = y Θ = Arg( ). Si represetamos geométricamete las raíces -ésimas de so los vértices de u polígoo regular de lados, iscrito e ua circuferecia de radio y uo de cuyos vértices es el puto Θ Θ w = cos + ise, al cual se deomia la raí pricipal de. E la figura.6 se represeta u úmero complejo y sus raíces -ésimas. w 3 π π Im() w π Θ w π Θ π w Re() w 4 π π π w - Figura.6.- U úmero complejo y sus raíces -ésimas Ejemplo.. Raíces de la uidad. E particular si =, sus raíces ω k so: / kπ kπ ω k = = cos + i se, k =,,..., (.3) π π Si llamamos ω = ω = cos( ) + ise( ), e este caso, se cumple que ωk de la uidad so, ω, ω,..., ω. Estas raíces se represeta e la figura.7 para el caso =8 Im() k = ω, etoces las raíces ω ω 4 ω 3 ω 5 π 4 π 4 π 4 π 4 π 4 π 4 π 4 π 4 ω ω 7 = ω Re() ω 6 Figura.7.- Las 8 raíces octavas de la uidad
Ua propiedad iteresate que se deduce del ejemplo aterior es la siguiete: Como la multiplicació k de u complejo por ω equivale a icremetar el argumeto de e π k resulta que: Si u es cualquier raí -ésima de, las raíces de será u, u ω, u ω,..., u ω (.3) π, dode ω = Ejemplo.3. Obteer las 3 raíces cúbicas de = + i y represetarlas e forma polar y e forma rectagular, tambié represetarlas e la forma (.3) y e forma gráfica. Solució: Primeramete expresamos el úmero e su forma polar: = + i = π / 4, es decir, r =, Θ = π / 4. Ahora aplicado (.8) co =3, se obtiee Para k=: Para k=: Para k=: ( π / 4) /3 3 = w = = 6 3 /3 3 ( π / 4 + π ) π = w = = 6 /3 π.55º.84 +.95i π +.5 35º.7937 +.7937i 3 3 3 ( π / 4 + 4 π ) π 4π = w = = 6 +.5 55º.95.84i 3 3 Que e forma gráfica se represeta e la siguiete figura Im() w π 3 π 4 = + i w π 3 π 3 6 Re() w Figura.8.- Las tres raíces cúbicas de = + i Usado la expresió (.3), co π u 6 = w =, las tres raíces so: u, u, u ω ω = 6 π, 6 π ω, 6 π ω π 3 Dode ω =..- Desigualdades y regioes e el plao complejo. 3
E el cojuto de los úmero reales (R) existe u orde, es decir, dados dos úmero reales x, y, siempre podemos saber si se cumple o o se cumple la desigualdad x < y, e otras palabras, e la recta de los úmeros reales siempre sabemos cuál de los dos úmeros x, y está a la iquierda del otro, ver figura.9. x y x < y Figura.9.- Orde e la recta de los úmeros reales Por esta raó se dice que el cojuto de los úmeros reales es u co juto ordeado. A diferecia de R, el cojuto de los úmeros complejos (C) o está bie ordeado, por esta raó la desigualdad < o tiee setido si o so úmeros complejos. Es decir, las desigualdades solo tiee setido etre úmeros reales, los cuales si embargo, puede estar especificados e térmios expresioes que ivolucra úmeros complejos. Así como las desigualdades que ivolucra úmeros reales coocidos y descoocidos, deota itervalos o subcojutos de la recta real, las desigualdades que ivolucra úmeros complejos descoocidos y reales coocidos, represeta regioes del plao complejo. Ejemplo.4: La desigualdad < x <, x R represeta la regió (itervalo) mostrada e la figura. R < x < Figura..- Desigualdad < x <, x R y su regió correspodiete Ejemplo.5: La desigualdad < <, C o tiee setido, pero por ejemplo, la desigualdad < Re( ) <, C si lo tiee y represeta la fraja vertical ifiita delimitada por las rectas verticales Re( ) = y Re( ) = mostrada e la figura. Im( ) R Re( ) < Re( ) < Figura..- Desigualdad < Re( ) <, C y su regió correspodiete 4
Ejemplo.5: E forma similar, la desigualdad < Im( ) <, C represeta la fraja horiotal ifiita delimitada por las rectas horiotales Im( ) = e Im( ) = mostrada e la figura. Im( ) < Im( ) < Re( ) Figura..- Desigualdad < Im( ) <, C y su regió correspodiete Como puede verse, las igualdades que ivolucra úmeros complejos descoocidos y reales coocidos tambié puede represetar regioes e el plao complejo Ejemplo.6. De acuerdo a los ejemplos ateriores: Re( ) = y Re( ) = so rectas verticales Im( ) = e Im( ) = so rectas horiotales Ejemplo.7. Ua regió de especial importacia es la regió dada por = r (.3) Dode r es u úmero real positivo. La expresió (.3) represeta el cojuto de putos del plao complejo que está a ua distacia dada r del orige, es decir, es u círculo de radio r co cetro e el orige. Ejemplo.8. E forma similar, la regió = r (.33) Dode es u úmero complejo coocido y r >, represeta los putos del plao complejo, tales que el vector tiee ua magitud igual a ua costate de valor r, es decir, represeta u círculo de radio r co cetro e el puto. Ver figura.3. Im( ) r = - Re( ) Figura.3.- Igualdad = r y su regió correspodiete (círculo) 5
Ejemplo.9. E forma similar, si e lugar de ua igualdad, escribimos ua desigualdad, por ejemplo, la regió < r (.34) Dode es u úmero complejo coocido y r >, represeta los putos del plao complejo, tales que el vector tiee ua magitud meor que ua costate de valor r, es decir, represeta el iterior de u círculo de radio r co cetro e el puto. A esta regió suele llamársele disco de radio r co cetro e. Ver figura.4. Im( ) - < r r Re( ) Figura.4.- Desigualdad < r y su regió correspodiete (disco) Cojutos abiertos y cerrados. Para defiir cuado u cojuto es abierto o cerrado, debemos hacer otar primeramete que u cojuto o regió e el plao complejo puede coteer por dos tipos de putos: Puto iterior: Es u puto del cojuto que está rodeado solamete de putos perteecietes al mismo cojuto. Puto frotera: Es u puto que puede perteecer o o al cojuto y que está rodeado tato de putos del cojuto como de putos que o perteece al cojuto U cojuto o regió e el plao complejo se dice que es abierto si está formado solamete de putos iteriores. U cojuto o regió e el plao complejo se dice que es cerrado si es el complemeto de u cojuto abierto, o bie, si cotiee todos sus putos frotera. El cojuto de todos los putos frotera de u cojuto se deomia simplemete la frotera del cojuto. Ejemplo.. Usado las defiicioes ateriores, la úica diferecia etre el cojuto dado por la desigualdad < r (.35) Co el cojuto dado por la desigualdad r (.36) Es que el primero es u disco abierto y el segudo es u disco cerrado, es decir, el segudo disco sí cotiee a su frotera que es el círculo = r y el primero o la cotiee. Ejemplo.. La doble desigualdad siguiete 6
r < < r (.37) Dode es u úmero complejo coocido y además r > r >, represeta los putos del plao complejo, tales que el vector tiee ua magitud mayor que r, pero meor que r, es decir, ua magitud de valor etre r y r. E otras palabras, es decir, represeta el iterior de ua regió aular delimitada por el círculo de radio meor r y el círculo de radio mayor r co cetro e el puto. A esta regió suele llamársele aillo de radio meor r y radio mayor r co cetro e. Ver figura.5. Im( ) r r Re( ) r < - < r Figura.5.- Desigualdad r < < r y su regió correspodiete (regió aular) Al cojuto dado por la desigualdad < r se le llama Bola abierta de radio r co cetro e o tambié Vecidad abierta del puto, de radio r. Al cojuto dado por la desigualdad r se le llama Bola cerrada de radio r co cetro e o tambié Vecidad cerrada del puto, de radio r. U cojuto D se dice que es acotado si existe u úmero fiito positivo r, tal que D se puede ecerrar completamete por ua bola abierta de radio r, de lo cotrario se dice que D es o acotado. Todo cojuto o acotado es forosamete abierto. Ejemplo.. Los cojutos de los ejemplos del.6 al. se clasifica a cotiuació: Las rectas horiotales y verticales del ejemplo.6 so cojutos o acotados, por lo tato so abiertos. El círculo del ejemplo.7 es u cojuto acotado y es cerrado ya que todos los putos que cotiee so putos frotera. El disco del ejemplo.8 es acotado pero abierto, ya que o cotiee su frotera. El disco del ejemplo.9 es acotado y cerrado, ya que cotiee toda su frotera. 7
El aillo del ejemplo. es acotado pero abierto..3.- Fucioes de ua variable compleja.3..- Repaso de coceptos básicos de fucioes Ua fució o aplicació es ua relació que se establece etre los elemetos de dos cojutos A, B, de maera que a cada valor del primer cojuto (A) le correspode solamete u valor del segudo cojuto (B). Ejemplo.3. Dados dos cojutos de úmeros A = {,,3, 4}, {,,3, 4,5,6,7,8} B = se puede establecer muchas relacioes etre los elemetos de los cojutos, pero o todas ellas será fucioes, por ejemplo, la relació r mostrada e la figura.6a o es ua fució, pero la relació f mostrada e la figura.6b sí lo es. 3 4 Cojuto A Relació r (a) 3 4 5 6 7 8 Cojuto B Figura.6.- Dos ejemplos de relacioes establecidas etre dos cojutos A y B Notació: Ua relació o fució f del cojuto A al cojuto B se deota simbólicamete f : A B y se puede represetar detalladamete haciedo ua lista de cómo se relacioa cada elemeto y del segudo cojuto (B) co el elemeto x del primer cojuto (A) como sigue: y = f ( x) (.38) Expresió que se deberá leer como: el elemeto y está e la relació o fució f co el elemeto x E la expresió (.38) tambié se acostumbra decir que el elemeto y B es la image del elemeto x A bajo la fució f, o bie, que x A es la preimage de y B bajo la fució f. A ua relació que asiga múltiples imágees a u solo elemeto del primer cojuto e ocasioes se le llama fució multivaluada. 3 4 Cojuto A Relació f (b) 3 4 5 6 7 8 Cojuto B 8
Otra maera de ver la otació (.38) muy usual e física y e igeiería es verla como la expresió de ua relació de depedecia. E este caso x e y se cosidera variables y se dice que y depede de x mediate la fució f. Por lo tato y es la variable depediete, mietras que x es la variable depediete. Ejemplo.4. Usado la otació aterior, la relació r mostrada e la figura.6a se puede represetar por la siguiete lista: = r(), 3 = r(), 4 = r(3), 5 = r(4), 7 = r(4) (.39) Obsérvese que esta relació asiga múltiples (dos) imágees al elemeto 4 A, es decir, r (4) = 5, 7 por esta raó o es ua fució, pero puede cosiderarse ua fució multivaluada. Y la fució f de la figura.6b se puede represetar por la siguiete lista: = f (), 3 = f (), 5 = f (3), 7 = f (4) (.4) Obsérvese que esta lista se puede abreviar euciado simplemete la regla algebraica para formarla: y = f ( x) = x (.4) La cual se aplica a cada elemeto del cojuto A para obteer su image e el cojuto B. Es de esperarse que si los cojutos A, B so ifiitos (como los reales o los complejos), e lugar de hacer ua lista como e (.39) o e (.4), se preferirá la expresió algebraica como e (.4). E el caso de cojutos ifiitos, ua forma equivalete a la lista de imágees co su preimage es x, f ( x ) que puede el cojuto de pares ordeados (preimage, image), es decir, ( ) represetarse e u plao y coforma la gráfica de la fució f. Ejemplo.5. Si e el ejemplo dado por la figura.6b y por la expresió (.4) los cojutos A, B se reemplaa por el cojuto de los úmeros reales, etoces f : R R y la gráfica de la fució f ( x) = x se muestra e la figura.7. f ( x) f(x) ( x, f ( x )).5 x x - Figura.7.- Ejemplo de fució f : R R y su gráfica (recta icliada) 9
.3..- Fucioes e el caso complejo. Si e ua fució f : A B cosideramos que los cojutos A, B puede ser R o Cetoces se tiee cuatro posibilidades: f : R R: Fució real de variable real f : R C : Fució real de variable compleja f : C R : Fució compleja de variable real f : C C : Fució compleja de variable compleja. Dado que e realidad R C (todo úmero real es tambié complejo) el cuarto caso de la lista aterior icluye los primeros tres casos. Si embargo e ocasioes se cosidera los cuatro casos para hacer éfasis e el tipo de valores que se espera que tome las variables cosideradas y los resultados de las operacioes realiadas. Ua fució compleja f de ua variable compleja e geeral es ua fució de u cojuto D C e C, es decir, f : D C y se deota por w = f ( ). Al cojuto D se le llama el Domiio de la fució. Es decir, f es la fució que a cada úmero complejo D, le asocia u úico úmero complejo w que se puede calcular co la expresió algebraica w = f ( ) Si a cada valor de e D correspode más de u valor de w, o se trata de ua fució, pero suele decirse que w es ua fució multivaluada o multiforme de (por ejemplo la fució / w =, que a cada úmero complejo le hace correspoder sus raíces -ésimas ). Ua fució multivaluada puede cosiderarse como ua colecció de fucioes moovaluadas. Cada miembro de la colecció se llama ua rama de la fució. Se suele cosiderar u miembro particular como rama pricipal de la fució multiforme y al valor de la fució correspodiete a esa rama se le llama valor pricipal. El cojuto image, recorrido o rago de ua fució es el cojuto de valores que toma la fució: R( f ) = w C w = f ( ) para algú D (.4) { }.3.3.- Fucioes compoetes. Ua fució compleja de variable compleja se puede expresar siempre e térmios de dos fucioes de reales de variable real llamadas sus fucioes compoetes. Así, si cosideramos la fució f : C C dada por w = f ( ), como tato wcomo so variables complejas, se puede expresar e forma rectagular como sigue w = u + iv, = x + iy
Pero como w depede de, etoces u, v depederá de x, y, es decir, w = f ( ) = f ( x + iy) = u( x, y) + i v( x, y) (.43) E otras palabras, la fució compleja de ua sola variable compleja w = f ( ) se puede expresar e térmios de dos fucioes reales de dos variables reales u = u( x, y), v = v( x, y), estas so las fucioes compoetes de w = f ( ). Ejemplo.6. La fució f ( ) =, puede expresarse como f ( ) ( x + iy) = ( x y ) + xyi tato sus fucioes compoetes so: u( x, y) = x y, v( x, y) = xy. =, por lo A la iversa, dadas dos fucioes reales u ( x, y), v ( x, y) de las variables reales x, y, se puede costruir siempre la fució w = u( x, y) + iv( x, y), la cual es ua fució de = x + iy, recordado que: y que + x = Re( ) = (.44) y = Im( ) = (.45) i Ejemplo.7. E el caso del ejemplo aterior, dode w = ( x y ) + xyi, sustituyedo las expresioes (.44),(.45) se obtiee: + ( ) w = ( + ) ( ) + i 4 4i i Simplificado se obtiee w = Ejemplo.8. Tomado ahora la fució Simplificado w = ( x + y ) + xyi, se obtiee: + w + = + + i i i ( ) w = + que es fució de e la que tambié iterviee. Más adelate se verá ua codició suficiete para que la fució u ( x, y) + iv( x, y) depeda úicamete de, si iterveció de, como ocurrió e el ejemplo.7 y o ocurre e los ejemplos.8 y.9. Ejemplo.9. Si cosideramos la fució f ( ) = =, se obtiee sus fucioes compoetes al sustituir = x + iy, etoces f ( ) = x + y, es decir, u( x, y) = x + y, v( x, y ) =, e otras palabras, el resultado es puramete real, por lo tato f es u ejemplo de fució real de variable compleja.
Si la variable se represeta e coordeadas polares = r θ, etoces, las fucioes compoetes queda de la forma : f ( ) = u( r, θ ) + iv( r, θ ).3.4. Represetació gráfica. La fució de variable compleja como trasformació o mapeo. No puede hacerse ua represetació gráfica de la fució w = f () ta coveiete como e el caso de fucioes reales de ua variable real y = f (x), que se represeta mediate curvas e el plao, o como e el caso de fucioes reales de dos variables reales = f ( x, y), que se represeta mediate superficies e el espacio tridimesioal. Para el caso de fucioes complejas w = f (), es decir u + iv = f ( x + iy), se ecesitaría u espacio de dimesió cuatro ya que iterviee cuatro variables (dos idepedietes x, y y dos depedietes u, v). Ua maera de lograr ua represetació gráfica es mediate dos plaos complejos; el plao (variable depediete) de ejes x e y, y el plao w (variable idepediete) de ejes u y v. Se traará alguos putos (arbitrarios) e el plao complejo y se obtedrá los putos correspodietes e el plao w. f ( ) = x + iy w = u + iv Toda fució f de variable compleja defie ua trasformació o mapeo etre el plao y el plao w como sigue: A cada puto P ( x, y) e el plao, e el domiio de defiició de la fució f le correspoderá el puto P '( u, v) e el plao w. Tambié se dice que el puto P ( x, y) se trasforma o se mapea e el puto P '( u, v) mediate la trasformació o mapeo f. Etoces P ' es la image de P bajo la trasformació f. Se puede obteer iformació más descriptiva sobre el comportamieto de f, estudiado cómo se trasforma alguas curvas o regioes seleccioadas del plao, e lugar de represetar simplemete la trasformació de putos idividuales. Ejemplo.3. Graficar e el plao w la trasformació del rectágulo marcado e el plao (figura.8). Marcar e el plao wlos putos: A, B, C y D correspodietes a la trasformació de los putos A, B, C y D respectivamete, mediate la fució compleja w = f ( ) =. C - y B x f ( ) = -9-4 - 4 D' C' B' v 8 - u D -3 A -8 Plao Z A' Plao W
Figura.8.- Mapeo de u rectágulo del plao Z al plao W mediate la fució w = f ( ) = Solució: Las fucioes compoetes de f ( ) = so u( x, y) = x y (.46) v( x, y) = xy (.47) A partir de estas dos ecuacioes podemos obteer la ecuació que describe el comportamieto de v e térmios de w de dos maeras: elimiado x o elimiado y: Para elimiar x se despeja e ua ecuació y se sustituye e la otra, obteiédose v u = x (.48) 4x La cual (si x es costate) es la ecuació de ua parábola simétrica respecto al eje horiotal u co vértice e u = x que se abre hacia la iquierda (coforme v crece, u se va haciedo más egativo). Para elimiar y se despeja e ua ecuació y se sustituye e la otra, obteiédose v u = y (.49) 4y La cual (si y es costate) es la ecuació de ua parábola simétrica respecto al eje horiotal u co vértice e u = y que se abre hacia la derecha (coforme v crece, u se va haciedo más positivo). El rectágulo dado e el plao Z costa de líeas verticales y horiotales. Al moverse u puto del plao Z por las líeas verticales x permaece costate y podemos aplicar la ecuació (.48), mietras que al moverse u puto del plao Z por las líeas horiotales y permaece costate y etoces podemos aplicar la ecuació (.49). v Segmeto AB: E este segmeto x =, obteiédose la parábola u = 4. Esta parábola solo se 6 recorre para valores de y e el itervalo 3 y, es decir, de acuerdo a la ecuació (.47), v varía el itervalo v 8, y por lo tato u varía e el itervalo 5 u 4, obteiédose el segmeto de parábola e color rojo mostrada e la figura.8. v Segmeto CD: E este segmeto x =, obteiédose la parábola u =. Esta parábola se 4 recorre para valores de y variado de a -3, es decir, de acuerdo a la ecuació (.47), v varía de -4 a 6, y por lo tato u varía de -3 a -8, obteiédose el segmeto de parábola e color aul mostrada e la figura.8. v Segmeto BC: E este segmeto y =, obteiédose la parábola u = 4, esta parábola se 6 recorre para valores de x de a -, es decir, de acuerdo a la ecuació (.47), v varía de 8 a -4, por lo tato u varía de a -3, obteiédose el segmeto de parábola e color verde mostrado e la figura.8. 3
v Segmeto DA: E este segmeto y = 3, obteiédose la parábola u = 9, esta parábola se 36 recorre para valores de x de - a, es decir, de acuerdo a la ecuació (.47), v varía de 6 a -, por lo tato u varía de -8 a -5, obteiédose el segmeto de parábola e color araja mostrado e la figura.8. A veces, para usar coceptos geométricos secillos como traslació, rotació, simetría, etc. se superpoe los plaos y w, cosiderado la trasformació etre putos de u solo plao. Por ejemplo, w = + represeta ua traslació de cada puto, dos uidades a la derecha, o bie, por ejemplo w =, trasforma cada puto e su simétrico respecto al eje real..4.- Límite de ua fució de variable compleja Defiició. Sea f ua fució de variable compleja defiida e todos los putos de u etoro de. Se dice que f ( ) tiede a w si para todo úmero ε >, existe otro úmero δ ( ε ) > tal que siempre que < < δ ocurrirá que f ( ) w < ε Al úmero w se le llama límite de la fució f cuado tiede a y se deota lim f ( ) = w (.5) E la figura.9 se muestra las vecidades circulares ivolucradas e la defiició del límite, obsérvese que de acuerdo a la defiició, dado ua vecidad de radio arbitrario ε que ecierra a w siempre podremos ecotrar ua vecidad detro de la cual se puede mover libremete si que w se salga del radio dado. y v δ < - < δ x w = f ( ) ε w - <ε u Plao Z Figura.8.- Siempre que se ecuetre e el disco de radio δ, w se ecotrará e el disco de radio ε Si expresamos los úmeros complejos ivolucrados e la defiició e forma rectagular: = x + iy, f ( x, y) = u( x, y) + iv( x, y), = x + iy, w = u + iv, la defiició aterior equivale a lo siguiete x x y y [ ] lim u( x, y) + iv( x, y) = u + iv (.5) Plao W Que correspode al límite de ua fució vectorial real de dos variables reales, es decir, de ua fució de R e R. Por lo tato, todas las propiedades de los límites de tales fucioes vectoriales so aplicables al límite de ua fució compleja de variable compleja. 4
De ahí que pueda afirmarse las siguietes propiedades que se demuestra e u curso de fucioes vectoriales de dos variables. Propiedades de los límites de fucioes de variable compleja i. Si el límite existe, es úico. lim [ f ( ) + g( ) ] = w + ω lim λ f ( ) = λw ii. Si lim f ( ) = w, y lim g( ) = ω, etoces lim f ( ) g( ) = w ω f ( ) w lim =, si ω g( ) ω lim Re f ( ) = lim u( x, y) = Re w = u x x f ( ) = u( x, y) + iv( x, y) y y = x + iy lim Im f ( ) = lim v( x, y) = Im w = v x x iii. Sea etoces y y w = u + iv lim f ( ) = w lim f ( ) = w lim f ( ) = w iv. Geeraliacioes de la defiició para límites que ivolucra al ifiito: lim f ( ) = M > δ ( M ) > tal que < < δ f ( ) > M lim f ( ) = w ε > N ( ε ) > tal que N f ( ) w < ε > lim f ( ) = M > N ( M ) > tal que > N f ( ) > M Ejemplo.3. Demostrar que ( ) ε > tal que i δ Solució: Supoiedo que ( ) factoriado es decir, pero si i lim + i = 3i ecotrado el úmero δ > correspodiete a u i < < implica que ( ) + i 3i < ε. + i 3i < ε, simplificado se obtiee i < ε i < ε ε i < ε < i < 5
por lo tato, si se elige δ ε / + i 3i < ε. que ( ) = se puede seguir los pasos del último hacia el primero y se garatia Ejemplo.3. Demostrar que el siguiete límite o existe lim (.5) Solució. Si el límite existe, de acuerdo a la propiedad (i) debe ser el mismo idepedietemete de la direcció por la cual tieda a cero. A cotiuació se calcula el límite por dos direccioes distitas: Si primero se supoe que tiede a cero e forma horiotal, es decir, tomado puros valores reales, es decir, si = x + iy supodremos que y =, por lo tato ( x + i) x lim = lim = lim = x x + i x x Ahora se supoe que tiede a cero e forma vertical, es decir, tomado puros valores imagiarios, o es decir, si = x + iy supodremos que x =, por lo tato ( + iy) iy lim = lim = lim = y + iy y iy Como el resultado depede de la direcció elegida, el límite o puede existir, pues si existiera el resultado habría sido úico. Ejemplo.33. Calcular el límite siguiete lim (.53) Solució. Podemos expresar todo e térmios de fucioes reales de variables reales y usar la propiedad (iii), es decir, lim = lim [ u( x, y), v( x, y) ] x y dode u( x, y), v( x, y ) so las fucioes compoetes de f ( ) =, es decir, 3 3 u( x, y) = x + xy, v( x, y) = y + x y x + y x + y Sustituyedo 3 3 x + xy y + x y lim = lim, x + y x + y Factoriado x y 3 3 x + xy y + x y = lim, lim x x x y + x + y y y 6
es decir, u, v, por lo tato f ( ) x( x + y ) y( y + x ) = lim, lim x x x y + x + y y y = lim x, lim y = [,] x x y y Solució. Por lo geeral es meos laborioso trabajar todo co úmeros complejos y usar la propiedad (ii): lim = lim ( ) = lim lim = = ( ).4.. Cotiuidad Defiició. Ua fució de variable compleja w = f ( ) se dice que es cotiua e u puto si lim f ( ) = f ( ) (.54) E forma similar, w = f ( ) se dice que es cotiua e u domiio D C si es cotiua e todo puto de dicho domiio. De acuerdo a la defiició aterior, existe tres formas e las cuales ua fució w = f ( ) puede o ser cotiua e u puto, etoces se dice que es discotiua e si: ) Si lim f ( ) o existe, ) Si f ( ) o existe, 3) O si ambos lim f ( ), f ( ) existe pero so distitos. Ejemplo.34. De acuerdo al ejemplo aterior, la fució f ( ) = es cotiua e todo puto del plao complejo, excepto e = De las propiedades de los límites se deduce las siguietes propiedades: Propiedades de las fucioes cotiuas f ( ) + g( ) λ f ( ) Si f (), g () so cotiuas e, tambié lo so las fucioes f ( ) g( ) f ( ), para g ( ) g( ) Si f () es cotiua e, lo so f () y f () 7
Si f ( ) = u + iv es cotiua e = x + iy, sus fucioes compoetes u ( x, y), v ( x, y) lo so e ( x ), y La composició de fucioes cotiuas, es cotiua..5. La derivada de ua fució de variable compleja Defiició. Sea w = f ( ) ua fució compleja de variable compleja, defiida e u etoro del puto. Se dice que f ( ) es derivable e si existe el límite f ( ) f ( ) f ( + ) f ( ) lim = lim (.55) Si dicho límite existe, recibe el ombre de derivada de f ( ) e. Notació. Se acostumbra deotar la derivada de f ( ) e de cualquiera de las siguietes maeras: f ( ), ' f = f, ( ). Ejemplo.35. Usado la defiició, calcular la derivada de la fució f ( ) = e. Solució. Directamete de la defiició f ( + ) f ( ) ( + ) f '( ) = lim = lim haciedo las operacioes + + ( ) + ( ) = lim = lim factoriado ( + ) = lim si se obtiee f '( ) = lim( + ) = Obsérvese que el resultado aterior es válido para cualquier puto arbitrario C, es decir, la fució f ( ) = es derivable e todos los putos del plao complejo. Ejemplo.36. Usado la defiició, ecotrar los putos del plao complejo e dode la fució f ( ) = es derivable. Solució. De la defiició se tiee que f ( + ) f ( ) + + f '( ) = lim = lim = lim = lim Como ya se demostró e el ejemplo.3, el límite aterior o existe para igú valor de C. 8
Ejemplo.37. Usado la defiició, ecotrar los putos del plao complejo e dode la fució f ( ) = es derivable. Solució. De la defiició se obtiee + ( + )( + ) f '( ) = lim = lim + + = lim = lim + + = + lim La úica maera e que este último límite puede existir es que =, es decir, la derivada solo existe si = y su valor es: f '() = + lim =.6.- Fucioes aalíticas y putos sigulares. La existecia de la derivada de ua fució compleja de variable compleja, tiee cosecuecias muy importates e lo que se refiere a las propiedades de la fució. La ivestigació de estas cosecuecias es el tema cetral de la teoría de fucioes de variable compleja. A cotiuació itroducimos u cojuto de defiicioes que os permitirá distiguir alguos aspectos relacioados co la existecia de la derivada de ua fució de variable compleja. Fució aalítica e u cojuto abierto. Ua fució de variable compleja f () se dice aalítica e u cojuto abierto A C, si es derivable e todos los putos de dicho cojuto A. Tambié se dice etoces que f () es regular u holomorfa e A. Para que f () sea aalítica e u cojuto cerrado C, se requiere que sea aalítica e algú cojuto abierto que cotega totalmete a C Fució aalítica e u puto. Ua fució de variable compleja f () se dice aalítica e u puto si es aalítica algú cojuto abierto que cotiee a dicho puto. Fució etera. Ua fució de variable compleja f () se dice etera si es aalítica e todo el plao complejo C. Puto sigular. U puto se dice puto sigular aislado o sigularidad aislada de f () si la fució o es derivable e, pero sí es aalítica e algú etoro de. Ejemplo.38 La fució f ( ) = es etera (ver ejemplo.35): 9
Ejemplo.39 E forma similar al ejemplo.35 se puede verificar que la fució poliomial f ( ) = a + a +... + a + a dode es u úmero atural arbitrario y a, a,..., a so costates complejas arbitrarias, es ua fució etera. Ejemplo.4 La fució costate f ( ) = a, la fució idetidad f ( ) =, y la fució potecia f ( ) = so casos particulares de la aterior, por lo tato so eteras. Además C. Ejemplo.4 La fució f ( ) = o es derivable e igú puto (ver ejemplo.36). d d = Ejemplo.4 La fució f ( ) = solo es derivable e =, (ver ejemplo.37)..6..- Relació etre derivabilidad y cotiuidad: Teorema: Si ua fució de variable compleja w = f ( ) es derivable e u puto, etoces es cotiua e Demostració: Sea f () derivable e, etoces f '( ) existe y por lo tato el siguiete límite f ( + ) f ( ) lim [ f ( + ) f ( ) ] = lim f ( + ) f ( ) = lim lim Se puede escribir como = f '( ) lim = Por lo tato Por lo tato f ( ) es cotiua e. lim f ( + ) = f ( ) Observació : El recíproco o siempre se cumple, es decir, existe fucioes que siedo cotiuas, o so derivables. Ejemplo.43: la fució ejemplo.37, solo es derivable e =. f ( ) = es cotiua e todo C y si embargo, como se ha visto e el Observació : Ua maera usual de aplicar el teorema aterior es e forma egada, es decir, si ua fució f () o es cotiua e u puto, o puede ser derivable e dicho puto. 3
Ejemplo.44 La fució f ( ) = o es cotiua e los putos i + =, = i, por lo tato o será derivable e = i, = i, se puede demostrar que fuera de estos putos la fució sí es derivable, por lo tato, estos so putos sigulares aislados de f ( ). Propiedades de las operacioes co fucioes aalíticas. i. Si f () y g () so derivables e, lo so tambié f + g, λ f, fg y tambié f g si g( ) y sus derivadas viee dadas por las mismas reglas de derivació que las fucioes reales de variable real. ii. Aálogamete si f () y g () so aalíticas e u domiio D, tambié lo so f + g, λ f, fge D y tambié f g si g ( ) D. iii. Si w = f () es aalítica e u domiio D y g (w) lo es u domiio que cotiee la image de D bajo f, etoces la fució compuesta h ( ) = g[ f ( ) ] es aalítica e D y se cumple la regla de la cadea: h '( ) = g' [ f ( ) ]. f '( ), D, es decir, dh dg df = (.56) d df d iv. Si w = f () es aalítica e u domiio D y existe la fució iversa D ', su derivada es: df ( ) = d f '( ) = f ( w) y es aalítica e Las demostracioes de estas últimas propiedades so formalmete idéticas al caso de fucioes reales de variable real, dado que la defiició formal de límite y de derivada so idéticas e ambos casos..7.- Codicioes ecesarias para la derivabilidad (codicioes de Cauchy-Riema) Sea w = f () defiida e u domiio D C. Si la fució se escribe e térmios de sus fucioes compoetes f ( ) = u( x, y) + iv( x, y). Qué codicioes que debe cumplir las fucioes compoetes u ( x, y), v ( x, y) para que f sea derivable e u puto D?. a cotiuació se obtiee dichas codicioes. Si se supoe que la fució w = f () es derivable e el puto D, es decir, que existe f '( ), etoces existe el límite f ( + ) f ( ) f '( ) = lim (.57) se puede escribir e térmios de las fucioes compoetes como u( x + x, y + y) + iv( x + x, y + y) u( x, y) iv( x, y) f '( ) = lim x + i y x y (.58) 3