CAPITULO 6 CONDENSACIÓN ESTÁTICA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ RESUMEN L ondensión esái de l mriz de rigidez, es l se fundmenl pr el nálisis sísmio de esruurs. Por ese moivo en el presene píulo se presen es emái oriend l uso del ompudor. Se presenn res forms de enonrr l mriz de rigidez ondensd, ser: l primer involur l inversión de un mriz, l segund impli l soluión de un onjuno de euiones lineles y l erer medine l eliminión de Guss. Por or pre, se presen l mriz de rigidez de los elemenos pr el nálisis sísmio de pórios plnos, de dos mners, l primer sin onsiderr nudos rígidos y l segund onsiderndo nudos rígidos. El nálisis sísmio de un esruur puede relizrse onsiderndo pisos rígidos o onsiderndo pisos flexiles, ems ue mién son nlizdos en el presene píulo. Pr el primer so, se presenn dos forms de modelr los elemenos, en l primer se onsider ue solo ls vigs son xilmene rígids y en l segund odos los elemenos son xilmene rígidos. Pr el modelo de piso flexile, se onsider ue odos los elemenos son olmene flexiles. Ese modelo permie relizr el nálisis sísmio on l omponene horizonl o veril de un sismo. En mio, on el modelo de piso rígido se puede onsiderr únimene l omponene horizonl de movimieno del suelo. Finlmene, se omen sore res vriles ue inervienen en l modelión de los elemenos y de l esruur, De l seleión de ellos depende l mriz de rigidez, ue se oeng pr el nálisis sísmio. Ls vriles ue se onsidern son: i) Modelión de ls ondiiones de poyo; ii) Modelión de ls ineris onsiderr en el nálisis; y, iii) Modelión de los nudos.
496 Roero Aguir Floní CEINCI-ESPE 6. MATRIZ DE RIGIDEZ PARA ANÁLISIS LINEAL En nálisis linel se onsider ue l rigidez flexión (EI) o, es onsne; lo propio suede on l rigidez l ore (GA) o. En onseueni, l mriz de rigidez de un elemeno es onsne y lo mismo suede on l mriz de rigidez de l esruur, omo se h viso en los píulos neriores. 6.. Análisis sin nudo rígido En l figur 6., se indi el sisem de oordends loles de un elemeno horizonl de un pório plno, en el ue no se onsider l deformión xil, hipóesis de álulo ue se puede uilizr en el nálisis sísmio de esruurs pr los elemenos horizonles. Figur 6. Coordends loles pr un elemeno xilmene rígido. Pr el elemeno horizonl indido en l figur 6., se iene ue el sisem de oordends loles es igul l sisem de oordends gloles. Por or pre, se reuerd ue ls esruurs se resuelven en oordends gloles. L mriz de rigidez del elemeno, es siméri on respeo l digonl prinipl, rzón por l ul solo se presen l mriz ringulr superior. Con relión l sisem de oordends loles de l figur 6., l mriz de rigidez es l siguiene. ' ' ' (6.) l form de l mriz de rigidez, indid (6.) es válid pr elemenos de seión onsne o de vrile. Pr elemenos de seión onsne, se iene: 4( EI) o φ L 4φ (6..) ' (6..) ( EI) o φ L 4φ (6..3)
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 497 6( EI) o L 4φ (6..4) ' (6..5) ( EI) o 3 L 4φ (6..6) 3( EI) o β φ ( GA) L (6..7) o donde E es el módulo de elsiidd del meril, I es l ineri flexión de l seión rnsversl, β es el for de form por ore de l seión, A es el áre de l seión rnsversl, G es el módulo de ore y L es l longiud del elemeno. EJEMPLO N.- Enonrr l mriz de rigidez, sin onsiderr nudos rígidos, pr un vig de seión onsne de 3 m. de se por 3 m. de lur y iene un longiud de 3.7 m. Por or pre, onsiderr E T/m y G84 T/m. SOLUCIÓN A.3.3.9m 3.3.3 4 I.675m 3..675 φ.493.9 84 3.7 4.675.493 5.Tm 3.7 4.493 ' 5.Tm.675.493 743.99Tm 3.7 4.493 6.675 69.4T 3.7 4.493 ' 69.4T.675 39.3T / m 3 3.7 4.493 39.3 69.4 5. 39.3 69.4 39.3 69.4 743.99 69.4 5. Pr un elemeno veril, en l figur 6., se indi el sisem de oordends gloles pr el so de ue el elemeno se olmene flexile.
498 Roero Aguir Floní CEINCI-ESPE Figur 6. Coordends gloles pr un elemeno veril, olmene flexile. L mriz de rigidez del elemeno veril, en oordends gloles es l siguiene. r r r ' ' ' (6.3) EA r (6.4) L Los resnes érminos de l mriz de rigidez, fueron indidos en ls euiones neriores. 6.. Análisis on nudo rígido En el nálisis esruurl se puede onsiderr ue los nudos son omplemene rígidos. En onseueni, l longiud de los elemenos ue ingres l nudo, ienen rigidez xil infini y rigidez flexión infini. Sen y ls longiudes de rigidez infini de un elemeno, omo el indido en l figur 6.3. Figur 6.3 Coordends loles pr un elemeno xilmene rígido y on dos seores de rigidez
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 499 infini. Ahor, l mriz de rigidez del elemeno, es l siguiene: ' ' ) ' ( ' ) ( ' (6.5) donde, los érminos de rigidez,, ',, ',, son los indidos en ls euiones (6.. 6..7). EJEMPLO N.- Se dese enonrr l mriz de rigidez, pr l vig de seión onsne del ejemplo nerior, onsiderndo nudos rígidos, pr el so de l figur 6.4. SOLUCIÓN Al reemplzr.5 y los resnes dos indidos en el ejemplo nerior, en (6.5), se oiene: 7.39 658.64 39.3 934.7 658.64 7.39 658.64 39.3 658.64 39.3 En l figur 6.5, se indi el sisem de oordends gloles, de un elemeno veril, en el ul se onsidern dos seores de rigidez infini de longiudes, pr el nudo iniil y, pr el nudo finl. L mriz de rigidez del elemeno, en ese so es l indid en (6.6). Figur 6.4 Geomerí de l vig on dos seores de rigidez infini.
5 Roero Aguir Floní CEINCI-ESPE r r r ' ' ' ' ) ' ( ) ( (6.6) Figur 6.5 Sisem de oordends gloles pr un elemeno veril, olmene flexile y on dos seores de rigidez infini. 6..3 Ensmlje de l mriz de rigidez L mriz de rigidez de un esruur, se oiene por ensmlje direo de ls mries de rigidez en oordends gloles de d uno de los elemenos de l mism. Pr ello es neesrio definir el veor de oloión, el mismo ue esá onformdo por los grdos de lierd del nudo iniil y finl de un elemeno. EJEMPLO N.- 3 Enonrr l mriz de rigidez de l esruur indid en l figur 6.6, onsiderndo nudos rígidos. Todos los elemenos son de 3/3. Se onsidern los mismos vlores de E y G, de los ejemplos neriores. Figur 6.6 Geomerí y grdos de lierd de pório plno, uilizdo en ejemplo 3.
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 5 SOLUCIÓN Se l olumn izuierd, el elemeno número, l vig el y l olumn dereh el 3. Los veores de oloión de esos elemenos, son: () (3) () [ 3] [ 4 5] [ 3 4 5] L mriz de rigidez del elemeno dos, se indió en el ejemplo nerior y l de los elemenos uno y res, l plir (6.6), se oiene: 49.6 468.8 845.53 38.4 49.6 655.7 845.53 468.8 34.8 49.6 655.7 845.53 797. Al efeur el ensmlje direo de l mriz de rigidez de l esruur, se oiene: 499. 655.7 8754.85 658.64 4497.4 39.3 658.64 8754.85 655.7 658.64 934.7 658.64 4497.4 6. CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ En l figur 6.7, se presen nuevmene l esruur ue se h venido nlizndo y uyos grdos de lierd se indiron en l figur 6.6. A l izuierd se indin odos los grdos de lierd y l dereh se indi únimene l oordend l ul se v ondensr l mriz de rigidez. Figur 6.7 Coordends "" y "", de esruur ejemplo.
5 Roero Aguir Floní CEINCI-ESPE En el sisem de oordends de un esruur, se puede diferenir un grupo de oordends ls ue se denomin ``oordends '', ue en el ejemplo de l figur 6.7 es l uno y ls resnes, ls ue se denomin "oordends ''. Al her eso, no el veor de rgs generlizds Q, omo el veor de oordends generlizds, esán priiondos de l siguiene form: Q Q Q (6.7.) (6.7.) Por or pre, l euión ási de nálisis esáio, ue relion el veor de rgs generlizds Q, on el veor de oordends generlizds, por medio de l mriz de rigidez de l esruur, es: Q (6.8) Al reemplzr (6.7.) y (6.7.) en (6.8) y l rjr on sumries, l mriz de rigidez de l esruur, mién esrá priiond, de l siguiene form: Q Q (6.9) L ondensión esái de l mriz de rigidez se d undo sos se desrrolln oninuión: Q o Q son eros, los dos 6.. Condensión ls oordends "" Ese so se presen undo el veor Q. Q de donde: Q luego: (6..) Q ( ) (6..) Se l mriz de rigidez ondensd ls oordends "". * (6..3)
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 53 6.. Condensión ls oordends "" Se presen undo el veor de rgs Q. Proediendo en form similr se oiene: (6..) Q ( ) (6..) Se l mriz de rigidez ondensd ls oordends "". (6..3) EJEMPLO N.- 4 Enonrr l mriz de rigidez ondensd l oordend lerl, indid en l figur 6.7, ue orresponde l esruur de l figur 6.6, ue se h venido nlizndo. SOLUCIÓN En ese so, l priión de l mriz de rigidez de l esruur se l reliz en l primer fil y primer olumn, od vez ue exise un sol "oordend ". Por lo no ls sumries, son: [ 499.] [ 655.7 655.7] 8754.85 658.64 4497.4 39.3 658.64 8754.85 658.64 934.7 658.64 4497.4 L sumriz es l rnspues de l sumriz. Pr plir l euión (6..3) es neesrio lulr l invers de..4.5 3.7.6.5.4.5 4.79.5 3.7 5 * * [485.77] [ 3.48]
54 Roero Aguir Floní CEINCI-ESPE 6.3 CONDENSACIÓN MEDIANTE SOLUCIÓN DE ECUACIONES El rjr on l euión (6..3) o on l euión (6..3) impli lulr un mriz invers, lo ul demnd sne iempo de álulo, rzón por l ul lo ue se he en l prái, es rnsformr el álulo de l mriz invers por un sisem de euiones lineles, omo se ve oninuión. 6.3. Cso en ue Q En l euión (6..3) se reliz, se define l mriz T de l siguiene mner: T (6..) Al muliplir mos ldos de l euión (6..) por se oiene: T (6..) Pr enonrr l mriz T, se dee resolver un onjuno de euiones lineles, uy mriz de oefiienes es l sumriz y los érminos independienes son ls diferenes olumns de l sumriz. Con el mio de vrile relizdo, l euión (6..3) se rnsform en: EJEMPLO N.- 5 * T (6..3) Enonrr l mriz de rigidez ondensd del ejeriio nerior, por inermedio de l mriz T. SOLUCIÓN Al susiuir ls sumries, del ejemplo nerior en (6..), se oiene: 8754.85 658.64 39.3 658.64 658.64 4497.4 658.64 934.7 39.3 658.64 8754.85 658.64 658.64 T 934.7 T 658.64 T 4497.4 T 3 4. 655.7. 655.7 L soluión del sisem de euiones lineles, repor.497.365 T.497.3599 T [3.48] * * [485.77] T
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 55 6.3. Cso en ue Q Se proede en form similr l indido en el prdo (6.3.), on lo ue se oiene: T T (6.3.) T (6.3.) (6.3.3) Ahor, l mriz T se oiene resolviendo un onjuno de euiones lineles ue ienen un sol mriz de oefiienes ue es pero diferenes érminos independienes ue son ls diferenes olumns de l mriz. 6.4 CONDENSACIÓN MEDIANTE ELIMINACIÓN DE GAUSS Si ien es iero, medine l soluión de un onjuno de euiones lineles, se opimiz l oenión de l mriz de rigidez ondensd. No es menos iero, ue odví se puede opimizr el proeso de álulo únimene ringulrizndo l mriz de rigidez, em ue se r oninuión y es válido únimene pr el so de ue Q. Q de donde: (6.4.) Q (6.4.) Si l euión (6.4.) muliplimos por -, y en és se reemplz l euión (6.3.), se oiene: I I T (6.4.3) Ahor, si l euión (6.4.3) muliplimos por - y summos l euión (6.4.), se enuenr: ( T ) Q (6.4.4) De uerdo (6.3.), l euión enre prénesis es l mriz de rigidez ondensd. Q ( T) (6.4.5) Al resriir en form mriil ls euiones (6.4.3) y (6.4.5) se hll. I T Q (6.4.5) Por onsiguiene, dd l mriz de rigidez ol, se pli l eliminión de Guss Jordn hs eliminr los elemenos orrespondienes ls oordends "" y lo ue se oienen son ls mries T y.
56 Roero Aguir Floní CEINCI-ESPE EJEMPLO N.- 6 Enonrr l mriz de rigidez ondensd, de l esruur ue se h venido nlizndo, pero plindo l eliminión de Guss Jordn. SOLUCIÓN Primero se dee enonrr l mriz de rigidez de l esruur, pr l nuev numerión de los grdos de lierd, ue se indin en l figur 6.8. Nóese ue l oordend lerl, se h numerdo l úlimo. Figur 6.8 Numerión de los grdos de lierd pr poder plir l eliminión de Guss 8754.85 658.64 39.3 4497.4 658.64 8754.85 Al ringulrizr l mriz de rigidez, se oiene: 658.64 934.7 658.64 4497.4 655.7 655.7 499..856.478.467.856.6764.645..36859.3.36 485.77 Finlmene, l llevr l form de l euión (6.4.5), se enuenr:
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 57..36859.3.36 485.77 Los vlores de ls uro primers fils de l uin olumn, orresponden l mriz -T, l difereni ue exise es deido l redondeo. El úlimo vlor es l mriz de rigidez ondensd l oordend lerl, de l esruur nlizd....pr fines práios l mriz de rigidez se oiene únimene de l ep de ringulrizión... 6.5 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL Se define...mriz de rigidez lerl, L... l mriz de rigidez soid ls oordends lerles de piso. Cundo en el nálisis sísmio de pórios plnos se onsider un solo grdo de lierd por piso, ese modelo se denomin...piso rígido... y sirve únimene pr el nálisis ne l omponene horizonl de movimieno del suelo. Exisen dos forms de modelr los elemenos de un pório plno, ne l ión sísmi horizonl. En l primer form se onsider ue únimene ls vigs son xilmene rígids y ls olumns olmene flexiles. En mio, en l segund form se onsider ue odos los elemenos son xilmene rígidos. El pório nlizdo en los numerles neriores orresponde l primer form de álulo. En l figur 6.9, se indin los dos modelos nodos, pr un pório plno de dos pisos y dos vnos. El modelo de l izuierd, orresponde l primer form de álulo y el de l dereh l segund form de álulo. En el pório de l izuierd se no ue solo ls vigs son xilmene rígids; en mio, en el de l dereh odos los elemenos son xilmene rígidos. Figur 6.9 Modelos de álulo pr deerminr L. 6.5. Vigs xilmene rígids y olumns olmene flexiles Pr ese modelo de álulo, ls mries de rigidez de los elemenos: vig y olumn, oriendos l nálisis en el ompudor, se indió en el prdo 6., rzón por l ul se omie el mro eório y únimene se presen un ejemplo de álulo.
58 Roero Aguir Floní CEINCI-ESPE EJEMPLO N.- 7 Pr el pório plno indido en l figur 6., uys vigs son de 3/3 y ls olumns de 3/4. Se dese enonrr l mriz de rigidez lerl, onsiderndo ue solo ls vigs son xilmene rígids. A l dereh de l figur 6., se indi l numerión de los elemenos. Por or pre, el módulo de elsiidd E 7376.5 T/m y no se onsider nudos rígidos. Figur 6. Geomerí del pório uy mriz de rigidez lerl se v lulr de dos forms. Se indi demás l numerión de los elemenos. SOLUCIÓN En l figur 6., se indi l izuierd los grdos de lierd del pório de l figur 6., l onsiderr ue solo ls vigs son xilmene rígids. Se h numerdo primero los orrimienos lerles de piso y luego los resnes grdos de lierd. A l dereh de l figur 6., se presenn ls oordends lerles de piso. Figur 6. Grdos de lierd, onsiderndo vigs xilmene rígids y oordends lerles de piso pr el nálisis sísmio. L mriz de rigidez es de 4 por 4; l sumriz es de por, l de por ; l es de por y l de por. En form resumid, ls operiones mriiles reporn: 66.3 83.5 83.5 4477.64 3558.7 83.5 3558.7 586.5
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 59 L 548.66 4455.8 4455.8 76.65 6.5. Vigs y olumns xilmene rígids Cundo odos los elemenos de un pório plno, onformdo por vigs y olumns, se onsidern xilmene rígidos, se disminuye nolemene el número de grdos de lierd y el álulo es más rápido. Pr el so de ue no se onsidere nudo rígido, ls mries de rigidez, son: Elemeno vig Figur 6. Coordends gloles pr un elemeno vig, de un pório en ue odos los elemenos son xilmene rígidos. ' (6.5) L euión (6.5) se enuenr de l euión (6.), eliminndo l primer y erer olumn, y, l primer y erer fil. El sisem de oordends de un elemeno soido on l euión (6.5) se indi en l figur 6.. Elemeno olumn Figur 6.3 Coordends gloles pr un elemeno olumn, de un pório en ue odos los elemenos son xilmene rígidos.
5 Roero Aguir Floní CEINCI-ESPE ' ' ' ' ' (6.6) Si en l euión (6.3), se elimin l segund y uin fil, por un ldo, y se elimin l segund y uin olumn, por oro ldo, se oiene l euión (6.6) ue es l mriz del elemeno olumn pr el sisem de oordends gloles indido en l figur 6.3. EJEMPLO N.- 8 Con relión l pório plno de l figur 6.. Enonrr l mriz de rigidez lerl, onsiderndo ue odos los elemenos son xilmene rígidos. SOLUCIÓN En l figur 6.4, l izuierd se indi los grdos de lierd del pório, undo odos los elemenos son xilmene rígidos. Exise un orrimieno horizonl en d piso y un roión en d uno de los nudos. A l dereh de l figur 6.4, se muesrn ls oordends lerles pr ls ules se deermin l mriz de rigidez lerl. Figur 6.4 Grdos de lierd, onsiderndo ue odos los elemenos son xilmene rígidos y oordends lerles de piso pr el nálisis sísmio. Mriz de rigidez del elemeno vig. 34. 65. 65. 34. Mriz de rigidez del elemeno olumn. 67.5 3338.8 67.5 3338.8 3338.8 5564.69 3338.8 78.34 67.5 3338.8 67.5 3338.8 3338.83 78.34 3338.8 5564.69
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 5 Veores de oloión, de ls vigs. (7) (8) (9) () [ 3 4] [ 4 5] [ 6 7] [ 7 8] Veores de oloión, de ls olumns. () () (3) (4) (5) (6) [ ] [ 4] [ 5] [ 6] [ 7] [ 8] Sumries,, 66.33 83.5 83.5 83.5 3338.83 3338.83 3338.83 3338.83 3338.83 3338.83 3338.83 3338.83 3338.83 433.6 65. 78.344 65. 78.344 3737.83 65. 78.344 65. 7.76 78.344 6868.93 65. 78.344 65. 873.36 65. 78.344 65. 6868.93 Mriz de rigidez lerl 66.3 83.5 83.5 456.58 359.39 83.5 359.39 5358.49 59.78 453.84 L 453.84 654.658 Se hn presendo dos modelos pr el álulo de l mriz de rigidez lerl, el primero es más deudo pero demnd de un myor nidd de números. En esruurs esels es
5 Roero Aguir Floní CEINCI-ESPE neesrio onsiderr l deformión xil en los elemenos. Se reomiend ue si l relión lonho en pln, es myor ue res se dee onsiderr l deformión xil. 6.6 SIGNIFICADO FÍSICO Los elemenos de l mriz de rigidez lerl, son ls fuerzs horizonles ue deen plirse nivel de piso, on el ojeo de oener un deermindo desplzmieno lerl unirio y los demás desplzmienos lerles nulos. Con los dos de l mriz de rigidez enonrdos on l primer form de álulo, en ls figurs 6.5 y 6.6, se presen el signifido físio de los elemenos de L. En l figur 6.5, l izuierd se plin los elemenos de l primer olumn de l mriz de rigidez y l dereh se oserv l deformd ue se oiene, el primer piso se desplz l unidd y el segundo no se desplz; se des ue exisen desplzmienos veriles y roiones en los nudos. Figur 6.5 Signifido físio de los elemenos de l primer olumn de l mriz de rigidez, pr el primer modelo de álulo. L figur 6.6, orresponde los elemenos de l segund olumn de l mriz de rigidez lerl, el piso inferior no se desplz, en mio el piso superior se desplz l unidd. Figur 6.6 Signifido físio de los elemenos de l segund olumn de l mriz de rigidez, pr el primer modelo de álulo.
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 53 6.7 ANÁLISIS CON PISO FLEXIBLE El modelje de un esruur on piso flexile, permie relizr el nálisis sísmio pr l omponene veril de movimieno del suelo o pr l omponene horizonl. En ese so se onsider ue odos los elemenos son olmene flexiles. Pr el nálisis sísmio de un pório plno onsiderndo piso flexile, se proede de l siguiene mner: i) Se numern odos los grdos de lierd horizonl de l esruur. ii) Luego se numern odos los grdos de lierd veril. iii) Finlmene se numern ls roiones de los nudos. iv) Se enuenr l mriz de rigidez por ensmlje direo. v) Se priion l mriz de rigidez, en se l número de grdos de lierd horizonles y veriles. vi) Se deermin l mriz de rigidez ondensd ls oordends horizonles y veriles. Elemeno vig, sin onsiderr nudo rígido Figur 6.7 Sisem de oordends gloles pr un elemeno vig, olmene flexile. En l figur 6.7, se indi el sisem de oordends gloles de un elemeno vig, el mismo ue se onsider olmene flexile. L mriz de rigidez se oiene inremenndo ls fils y olumns uno y uro l euión (6.), on los érminos de rigidez r. r r r ' ' ' (6.7) Pr el elemeno olumn, l mriz de rigidez en oordends gloles, es l indid en (6.3).
54 Roero Aguir Floní CEINCI-ESPE EJEMPLO N.- 9 Deerminr l mriz de rigidez ondensd ls oordends lerles y veriles de l esruur uy geomerí se indi en l figur 6.4, odos los elemenos son de 3/3, l luz es de 4. m, y l lur es de.5 m. Se onsider E T/m SOLUCIÓN En l figur 6.8, l izuierd se presenn los grdos de lierd de l esruur, uyos elemenos son olmene flexiles, se h nodo primero los grdos de lierd horizonl, luego los veriles y finlmene l roión. A l dereh se indin los grdos de lierd, pr los ules se v enonrr l mriz de rigidez ondensd. Figur 6.8 Numerión de grdos de lierd pr nálisis on piso flexile y grdos de lierd pr el nálisis sísmio ne omponene horizonl o veril. Se, l olumn izuierd el elemeno uno, l vig el dos y l olumn dereh el elemeno res. Los veores de oloión pr el ensmlje, son: () () (3) [ 3 5] [ 3 5 4 6] [ 4 6] El progrm CAL Compuer Assised Lerning of Sruurl Anlysis, es un uen yud, ue permie nlizr esruurs peueñs, en form senill. A oninuión, se presen el rhivo de dos, pr el ejemplo ue se esá resolviendo. Arhivo pr CAL B FRAME C TC I.675 A.9 E X, Y,.5 FRAME V TV I.675 A.9 E X,4 Y.5,.5 FRAME C3 TC I.675 A.9 E X4,4 Y,.5 ZERO R6 C6 LOADI R6 C3 3 5 3 4 4
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 55 5 6 6 ADD C N ADD V N ADD C3 N3 PRINT DUPSM AA R4 C4 L, DUPSM AB R4 C L,5 DUPSM BA R C4 L5, DUPSM BB R C L5,5 PRINT AA PRINT AB PRINT BA PRINT BB INVERT BB MULT AB BB AUX MULT AUX BA UX SUB AA UX PRINT AA QUIT Mriz de rigidez omple 48338.64 47.. 475. 48338.64... 75865.78.. 65.78 36.8. 53.56. 36.8 53.56.. 65.78 75865.78 53.56 53.56 36.8. 53.56 53.56 3685.5 78.75. 36.8 53.56 53.56 78.75 3685.5 Mriz de rigidez ondensd 4786.896 4749.665 4749.665 4786.896 64.63 64.63 64.63 64.63 64.63 64.63 75737.77 37.77 64.63 64.63 37.77 75737.77 Se dej l leor el desrrollo del presene ejeriio onsiderndo nudos rígidos. 6.8 VARIABLES EN LA MODELACIÓN Lo fundmenl del presene píulo es ilusrr el álulo de l mriz de rigidez ondensd pr el nálisis sísmio de esruurs. Sin emrgo, es imporne desr ue exisen res vriles ue son ásis pr l modelión de los pórios, ser: Modelión de ls ondiiones de poyo. Modelión de ls ineris onsiderr en el nálisis. Modelión de los nudos.
56 Roero Aguir Floní CEINCI-ESPE 6.8. Modelión de ls ondiiones de poyo Normlmene, se onsider ue ls olumns esán empords en su se, eso signifi ue l imenión es omplemene rígid y no permie ue l olumn gire. Pero si en l se de l olumn ún grndes momenos es prole ue exis roión en l unión olumn on l imenión, y se engn fuerzs y momenos olmene diferenes en l olumn, en relión los ue se oienen on se empord. Por ese moivo se reomiend ue l olumn se modeld en su se medine resores on rigidez roionl, pr undo exisn grndes momenos undo en l se de l olumn. L modelión de l se de l olumn, on resores roionles, iene su grdo de omplejidd en el senido de definir los prámeros de l rigidez del resore. Como lerniv se puede onsiderr ue ls olumns esán sore poyos riuldos en un vig de fundión de igules dimensiones ue l de los niveles superiores. EJEMPLO N.- Deerminr l mriz de rigidez lerl, onsiderndo nudos rígidos, de l esruur indid en l figur 6.6 pero onsiderndo ue ls olumns esán sore poyos riuldos sore un vig de igules dimensiones de l vig superior. SOLUCIÓN En l figur 6.9, l izuierd se muesr l geomerí de l esruur uy mriz de rigidez lerl L se v lulr y l numerión de los elemenos; l enro se indin los grdos de lierd onsiderdos pr resolver en form similr l figur 6.7 y l dereh el grdo de lierd horizonl, pr el ul se v enonrr L. Figur 6.9 Desripión de l esruur, grdos de lierd y oordend lerl del ejemplo, onsiderndo ue ls olumns se enuenrn sore poyos riuldos en un vig de imenión.
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 57 Mriz de rigidez de ls vigs y 39.3 658.64 7.39 39.3 658.64 658.64 934.7 39.3 658.64 7.39 Mriz de rigidez de ls olumns 3 y 4 49.6 845.53 468.8 38.4 49.6 655.7 845.53 468.8 34.8 49.6 655.7 845.53 797. Veores de oloión de ls vigs Veor de oloión de ls olumns () () [ 3] [ 4 5 6 7] (3) (4) [ 4 5] [ 3 6 7] Sumries, y [ 499.] [ 468.8 468.8 655.7 655.7] 48.8 934.7 34.8 934.7 48.8 34.8 8754.85 658.64 39.3 658.64 34.8 658.64 4497.4 658.64 934.7 39.3 658.64 8754.85 658.64 34.8 658.64 934.7 658.64 4497.4
58 Roero Aguir Floní CEINCI-ESPE Mriz de rigidez lerl L Cundo se luló on ls olumns empords, l mriz de rigidez lerl fue L 485.77. Por lo no, l lulr on olumns riulds sore un vig de dimensiones igules l vig del primer piso, l mriz de rigidez disminuye. Arhivo pr progrm CAL B LOAD V R6 C6 39.3 658.64-39.3 658.64 658.64 7.39-658.64 934.7-39.3-658.64 39.3-658.64 658.64 934.7-658.64 7.39 LOAD C R6 C6 49.6-468.8-49.6-655.7 845.53-845.53-468.8 38.4 468.8 34.8-49.6 468.8 49.6 655.7-845.53 845.53-655.7 34.8 655.7 797. ZERO R7 C7 LOADI R6 C4 4 5 3 6 4 6 3 7 5 7 ADD V N ADD V N ADD C N3 ADD C N4 DUPSM AA R C L, DUPSM AB R C6 L, DUPSM BB R6 C6 L, DUPSM BA R6 C L, INVERT BB MULT AB BB AUX MULT AUX BA UX SUB AA UX PRINT AA QUIT 6.8. Modelión de ls ineris En l filosofí de diseño sísmio se onsider ue un esruur ne un sismo de freuene de j mgniud no v sufrir ningún dño en ese so es muy orreo odo lo ue se h relizdo en el presene píulo de lulr on ineris gruess I o. Pero mién se onsider el so de ue v regisrrse un sismo muy fuere ue v produir dño en l esruur en ése so el nálisis sísmio dee relizrse on ineris grieds I r em ue se ord en el presene suprdo.
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 59 Un speo ue no se h omdo en uen, en ese exo, es l inorporión de l los en l resiseni y rigidez de ls vigs, pr el so de ue esos dos elemenos esruurles se onsruyn en form monolíi. Ese em es rdo de uerdo lo presrio por el ACI- y el Código Euorino de l Consruión CEC-. Figur 6. Nomenlur pr vigs L y T. En l figur 6., se indi l nomenlur uilizd pr deerminr l resiseni flexión y rigidez, de un vig "T" o "L", de uerdo l ACI-95 y NZS-3-8. El vlor del nho efeivo, pr undo el l se enuenr en ompresión, es el menor vlor de: Vig "L" de uerdo l ACI 38- Vlores pr deerminr resiseni flexión y rigidez. w 6h s (6.8.) lny w (6.8.) lx w (6.8.3) Vig "T" de uerdo l ACI 38- Vlores pr deerminr resiseni flexión y rigidez. w 6h s (6.9.) w l ny (6.9.) lx w 4 (6.9.3) siendo l x, l luz de l vig en l direión de nálisis, l ny, l disni lire l próximo nervio. Se des ue el ACI en el prdo 8..5 indi l neesidd de disponer rmdur perpendiulr l vig en l pre superior de l los on un seprión ue no exed 5 vees el espesor de l los ni 45 m.
5 Roero Aguir Floní CEINCI-ESPE Un vez deermind l onriuión de l los pr el álulo de ls ineris, se proede deerminr ls ineris grieds de uerdo l ACI- se iene: I I v.35 I.7 I g g ( 6.. ) ( 6.. ) L norm de Nuev Zelnd NZS-3-8 (), deermin el nho euivlene on ls euiones (6.8.) (6.9.3) únimene pr deerminr l resiseni flexión undo el l esá suje ompresión. Pr el álulo de l rigidez, los vlores son los siguienes: Vig "L" de uerdo NZS-3-8 Vlores pr deerminr rigidez. Vig "T" de uerdo NZS-3-8 Vlores pr deerminr rigidez. w 3h s (6..) lny w 4 (6..) l x w 4 (6..3) w 8h s (6..) lny w (6..) l x w 8 (6..3) Los vlores hn sido práimene reduidos en un 5% on relión los del ACI 38-95. Por or pre, Puly y Priesley reomiendn uilizr ls ineris grieds I r indids en l l 6., se indi demás el rngo de vriión. Tl 6. Vlores reomenddos por Puly y Priesley pr l ineri gried I r. ELEMENTO Y FORMA RANGO I r RECOMENDADO I r Vig Rengulr Vig T o L Column P>.5 f' A g Column P. f' A g Column P-.5 f' A g.3.5 de I g.5.45 de I g.7.9 de I g.5.7 de I g.3.5 de I g.4 de I g.35 de I g.8 de I g.6 de I g.4 de I g En l l 6., f' es l resiseni l ompresión del hormigón; A g, es el áre ol de l seión; I g, es el momeno de ineri grueso y P l fuerz xil. Al iniil el nálisis no se onoe l rg xil ue grvi sore l olumn P, por lo ue el álulo dee relizrse en form ieriv.
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 5 Finlmene el Código Euorino de l Consruión CEC- onsider l ineri gried en vigs el 5% de l ineri grues y l ineri gried en olumns el 8% de l ineri grues. De es form ne un sismo severo se iene previso un myor dño en ls vigs ue en ls olumns. I I v.5 I.8 I o o ( 6.3. ) ( 6.3. ) 6.8.3 Modelión de los nudos Se diseñ on el prinipio de nudo fuere - vig déil. Eso signifi ue eórimene el nudo no v dñrse durne un sismo severo. En ess ondiiones, el modelje de los elemenos dee onsiderr dos seores de rigidez infini en los exremos, de es mner l rigidez de los elemenos será myor. Ahor ien, durne un sismo el nudo esá sujeo fuerzs de ore de onsiderle mgniud lo ul provo un onsiderle fisurión digonl, espeilmene en nudos en los ules no se h relizdo el onrol del orne horizonl y veril rnsmiido l nudo. Exise l posiilidd de un deerioro de l dhereni en el nudo omo onseueni de ls fuerzs reversiles ue se produen deido l sismo, el ACI-95 on ls reomendiones esipulds pr el onrol de dhereni no esá resolviendo el prolem, únimene esá minimizndo los efeos de dhereni. En fin, ne l ión de un sismo severo es onveniene modelr los elemenos sin nudos rígidos en los pórios dúiles ompuesos por vigs y olumns. Por lo no, el modelje del elemeno on y sin nudo rígido depende del nivel de desempeño esperdo en l edifiión. Pr el nivel de desempeño denomindo operionl en ue no se esper dño en l esruur se dee modelr los elemenos on dos seores de rigidez infini, de igul mner se dee proeder pr el desempeño inmedimene oupionl. Pr los niveles de desempeño denomindos seguridd de vid y prevenión del olpso, lo más deudo es modelr los elemenos sin nudos rígidos. L nomenlur uilizd de los niveles de desempeño es l reomendd por VISION en l nuev filosofí de diseño sísmio de ls esruurs. En esruurs on muros de ore, es imporne modelr los elemenos on nudos rígidos deido ue ls deformiones en l unión muro de ore on ls vigs, ls deformiones del nudo serán prolemene muy peueñs. 6.9 EJERCICIOS PROPUESTOS En ls siguienes esruurs deerminr l mriz de rigidez lerl de l siguiene mner: i) Medine un modelo numério de álulo sin nudo rígido y onsiderndo ue solo ls vigs son xilmene rígids. ii) iii) iv) Medine un modelo numério de álulo sin nudo rígido y onsiderndo ue odos los elemenos son xilmene rígidos. Medine un modelo de álulo on nudo rígido y onsiderndo ue solo ls vigs son xilmene rígids. Medine un modelo de álulo on nudo rígido y onsiderndo ue odos los elemenos son xilmene rígidos.
5 Roero Aguir Floní CEINCI-ESPE v) Medine l rigidez de piso luld omo l sumori de ls rigidees Considerr E EI 3 H f ' f ' g / m Despreir el efeo del ore. EJERCICIO N.- EJERCICIO N.- EJERCICIO N.- 3 Resolver el ejeriio onsiderndo ineris grieds de uerdo l CEC-. EJERCICIO N.- 4 Resolver el ejeriio onsiderndo ineris grieds de uerdo l ACI-. EJERCICIO N.- 5 Resuelv los ejeriios 3 y 4 onsiderndo roiones en los poyos.