. Velocdad y Aceleracón en Marcos de Referenca en Movmento.. Cnemátca de un cuerpo rígdo... Ángulos de Euler.. Teorema de Euler..4 Marcos de Referenca en Movmentos Traslaconal y Rotaconal..5 Dervada de un Vector en Marco de Referenca en Movmento..6 Teoremas de adcón de velocdades y de aceleracones Bblografía: H: Goldsten, Captulo IV.. Cnemátca de un cuerpo rígdo. Para descrbr el movmento de un cuerpo rígdo hay que saber el vector de poscón del centro de masa R ( coordenadas) y tres ángulos que defnen la rotacón del sstema de coordenadas lgada con el cuerpo (x,y,z), sstema de coordenadas móvl respecto de un sstema de referenca fa (X,Y;Z),sstema de coordenadas absoluta. Cualquer movmento de un cuerpo rígdo puede consderarse como una superposcón de dos movmentos: del traslaconal y rotaconal. El sstema de coordenadas móvl con el orgen en el punto O, lgada con el cuerpo rígdo partcpa en un movmento traslaconal el cual se descrbe a través del vector R y en un movmento rotaconal unto con el cuerpo alrededor del punto O (Fg.) Fg. Consderemos el movmento del punto P del cuerpo rígdo defndo a través del vector r '. El vector r ' en el sstema de referenca absoluta esta rotándose mentras que en el sstema de coordenadas móvl es una constante r e ' puesto que este últmo vector esta lgado con el cuerpo rígdo. Entre los vectores r ' y r e ' exste la sguente relacón: r' Âr ' (..) e donde  es la matrz de transcón desde sstema de coordenadas móvl xyz al sstema de coordenadas absoluta. La poscón de un punto P del cuerpo rígdo en el sstema de coordenada absoluta se defne a través del vector r que esta relaconado con los vectores R y r e ' :
r R Âre ' (..) donde el prmer térmno descrbe el movmento traslaconal R R t y el segundo rotaconal Ât Â. La matrz Â, la cual defne la transcón de un sstema ortogonal a otra es una matrz untara, es decr su producto con la matrz transpuesta es la matrz undad:   T  T  Ê;   T (..) Esta propedad de la matrz  es consecuenca del hecho que en las rotacones la longtud de cualquer vector a no se camba. En efectvo, sea el vector a en sstema de referenca móvl la relacón a Âa', la cual para los elementos puede escrbrse como: a ' entre ellos debe exstr a A a ' Como longtudes de los vectores a y a ' son guales: (..4) a A,,p A a ' a ' p p a' esta gualdad se cumpla para cualquer par de los vectores solo cuando: A A p p (..5) Esta últma ecuacón muestra que no todos los elementos de la matrz  no son ndependentes. Estos elementos están relaconados según (..5) a través de 6 relacones ndependentes: suma de los productos de los elementos de cada fla es gual a uno, y suma de los productos de los correspondentes elementos de cada par dferentes flas es gual a cero. De esta manera entre los nueve elementos de la matrz  hay solo tres elementos ndependentes y por eso toda la matrz  puede defnrse a través de solo tres parámetros los cuales pueden consderarse como coordenadas generalzadas de un cuerpo rígdo. Estas coordenadas pueden escogerse de dferente manera, pero con mas frecuenca la orentacón de un cuerpo rígdo en mecánca teórca se defne por medo de tres ángulos de Euler... Ángulos de Euler Los llamados ángulos de Euler se escogen de manera sguente. El plano Oxy del sstema coordenadas lgada con el cuerpo se nterseca con el plano XOY del sstema de coordenadas absoluta a lo largo de la línea NN que se llama la línea de los nodos (Fg.). El ángulo entre el ee OX y la lnea de los nodos se denota y se llama el ángulo de precesón. El ángulo entre ees OZ y Oz se denota y se llama el ángulo de nutacón. El ángulo entre ee Ox y la línea de los nodos se denota y se llama el ángulo de la rotacón propa.
Fg. Tres ángulos y, son ndependentes y pueden tomar cualquer valor dentro de los ntervalos: ; ; ; (..6) La transcón desde el sstema de coordenadas xyz al sstema XYZ se realza a través de tres rotacones sucesvas: prmera rotacón al ángulo alrededor del ee OZ, segunda al ángulo alrededor de la línea de nodos NN y la últma al ángulo alrededor del ee Oz... Teorema de Euler V V r P O ) En el cualquer momento del tempo las proyeccones de las velocdades de dos puntos de un cuerpo rígdo sobre la recta que une estos dos puntos son guales ) Las velocdades de la cualquera tres puntos que no están ubcados sobre una recta de defnen unformemente las velocdades de todos los puntos de un cuerpo rígdo. ) S las velocdades de algunos tres puntos de un cuerpo rígdo que no están ubcados sobre una recta en algún nstante del tempo son guales entonces el cuerpo en este momento del tempo partcpa en un movmento traslaconal. 4) S en algún momento del tempo las velocdades de unos dos puntos del cuerpo rígdo son guales a cero entonces el cuerpo o está en un reposo nstantáneo o partcpa en este momento en un movmento rotatoro alrededor de la recta que une estos dos puntos. 5) S la velocdad de un punto de un cuerpo rígdo en algún momento del tempo es gual a cero entonces el cuerpo o está en un reposo nstantáneo o en este momento partcpa en un movmento rotatoro alrededor de una ee que atravesa este punto.
6) En el caso general el movmento nstantáneo de cualquer cuerpo rígdo se puede presentar como la superposcón traslaconal con la velocdad de algún punto del cuerpo rígdo (polo) y de un movmento rotaconal alrededor de un ee que atravesa este punto. -------------------------------------------------------------------------------------------- que descrbe el desplazamento de cada partícula dr ' respecto de centro de masa como el resultado de rotacón a un ángulo nfntésmo d. Este últmo desplazamento es gual d r' r' d y por eso el desplazamento total de cada partícula de un cuerpo rígdo respecto de sstema de referenca fa es: dr dr d r' (5.) dr dr S ahora ntroducremos las velocdades: absolutav a, de centro de masas V c y angular d obtenemos la relacón entre ellos V V r' (5.) a c Cambaremos la poscón del sstema coordenadas, relaconada con el cuerpo suponendo que ésta ya no esta ubcada en el centro de masa. En este caso en (5.) hay que susttur R por R a y r' por r' a y la formula (5.) se transforma en la sguente: V V a r' (5.4) a c Comparando (5.) y (5.4) uno puede relaconar las velocdades de dos centros de coordenadas y velocdades angulares Vc ' Vc a; ' (5.5) Dos resultados mportantes puede ver desde la formula (5.5): ) La velocdad angular en todos sstemas de referenca relaconados con el cuerpo es la msma; La velocdad de centro de sstema de coordenadas relaconada con el cuerpo vara con el cambo de la poscón del orgen de estos coordenadas y exste un punto dondev. Este punto se llama el centro nstantáneo de rotacón. El movmento del cuerpo respecto de este punto puede consderarse como pura rotacón. c ' 5. Mecánca de cuerpos rígdos 5. Tensor de nerca y Energía cnétca El cuerpo rígdo en mecánca se defne como un sstema de partículas, con las dstancas entre ellas constantes. La masa de un cuerpo rígdo puede consderarse como suma de masas de las partículas o como una ntegral: M m dv (5.)
Para descrbr el movmento de un cuerpo rígdo hay que saber el vector de poscón del centro de masa R ( coordenadas) y tres ángulos que defnen la rotacón del sstema de coordenadas lgada con el cuerpo (x,y,z) respecto de un sstema de referenca fa (X,Y;Z). Cualquer movmento de un cuerpo rígdo puede consderarse como una superposcón de dos movmentos: del traslaconal del centro de masa dr y rotaconal que descrbe el desplazamento de cada partícula dr ' respecto de centro de masa como el resultado de rotacón a un ángulo nfntésmo d. Este últmo desplazamento es gual dr' r' d y por eso el desplazamento total de cada partícula de un cuerpo rígdo respecto de sstema de referenca fa es: dr dr d r' (5.) Fg. dr dr d S ahora ntroducremos las velocdades: absolutav a, de centro de masas V c y angular obtenemos la relacón entre ellos V a Vc r' (5.) Cambaremos la poscón del sstema coordenadas, relaconada con el cuerpo suponendo que ésta ya no esta ubcada en el centro de masa. En este caso en (5.) hay que susttur R por R a y r' por r' a y la formula (5.) se transforma en la sguente: V a Vc a r' (5.4) Comparando (5.) y (5.4) uno puede relaconar las velocdades de dos centros de coordenadas y velocdades angulares Vc ' Vc a; ' (5.5) Dos resultados mportantes puede ver desde la formula (5.5): ) La velocdad angular en todos sstemas de referenca relaconados con el cuerpo es la msma; ) La velocdad de centro de sstema de coordenadas relaconada con el cuerpo vara con el cambo de la poscón del orgen de estos coordenadas y exste un punto dondev ' c. Este punto se llama el centro nstantáneo de rotacón. El movmento del cuerpo respecto de este punto puede consderarse como pura rotacón. Ahora calcularemos la energía cnétca de un cuerpo rígdo, suponendo que el punto C esta ubcado en el centro de masa. Denotaremos m, r,v las masas vectores de poscón y de la velocdad para las partículas que forman un cuerpo rígdo. La energía cnétca total es: m V m m T Vc m Vc r' r' El segundo térmno usando la conmutacón cíclca en un producto vectoral mxto puede reducrse a la forma sguente Vc m r' y es gual a cero debdo a que los vectores tenen orgen en el centro de masa. Tenendo en cuenta que cualquer producto vectoral al cuadrado cumple la gualdad a b a b sn a b a b cos a b ab obtenemos la formula fnal para la energía cnétca de un cuerpo rígdo: MVc T m r' r' ; M m (5.6) De esta manera la energía cnétca de un cuerpo rígdo puede representarse como suma de dos partes: de la energía del movmento traslaconal de centro de masa (M es la masa total del cuerpo) y de la energía del movmento rotaconal alrededor de este punto.
La formula (5.6) en las anotacones tensorales obtene una forma mas smétrca. Introducremos los,, ; r' x ;,, se puede reducr la formula (5.6) a la sguente: vectores MV T c I ; ; I x x x m Aquí y en adelante para los ndexes repetdas se realza sumacón, por eemplo x x x x x y z ; I I El tensor,,, I se llama el Tensor de Inerca y en la forma explícta puede ser representado como: J yy J zz J xy J xz I J xy J xx J zz J yz ; J m( )x x x x dv (5.8) J J J J xz yz xx yy Como cualquer tensor smétrco tensor de nerca puede reducrse a una forma dagonal, usando una transformacón canónca cambando ees x, y, z por ~ x, ~ y, ~ z : J ~ J ~ y~ ~ y z~ z I ~ I J ~ J ~ x~ ~ x z~ ~ z I J ~ J ~ (5.9) I x~ ~ y~ ~ x y Los nuevos ees x~, y~, ~ z en los cuales el tensor de nerca es dagonal se llaman ees prncpales del cuerpo y los elementos dagonales de este tensor se llaman momentos prncpales de nerca. Momentos prncpales de nerca son valores propos de la matrz (5.8) y la transformacón canónca desde ees x, y, z haca ees x~, y~, ~ z se realza a través de la matrz formada por vectores propos de la matrz (5.8). Algunas propedades del tensor de nerca: ) El cuerpo con dos guales momentos prncpales de nerca ( I I I ) se llama el trompo smétrco y el cuerpo cono todos tres momentos prncpales dferentes se llama el trompo asmétrco. Cuando todos tres momentos son guales se llama el trompo esférco. ) I I I, suma dos momentos prncpales sempre no es menor del tercero ) Todo plano de smetría es perpendcular a un ee prncpal 4) Todo ee de smetría es un ee prncpal 5) Para un cuerpo plano (ubcado en el plano XOY) I m( )y ~ ( ) y~ dv ; I m( )x ~ ( ) x~ dv ; I I. (5.) I En conclusón escrbremos la expresón de la funcón de Lagrange para un cuerpo rígdo: c MV L I U (5.) Problemas. ) Demuéstrese que momentos prncpales de nerca de una molécula lneal formada por los átomos con las masas m,m,,,,,..., n son guales a: y las dstancas relatvas entre ellos, n n I m m, M m ; I M I ) Demuéstrese que los momentos prncpales de nerca de una molécula de tres átomos con las masas m,m, m, que forman un trangulo sósceles con la base a y altura h, son guales a: mm m I h, I a, I I I M 5. Momento angular de un cuerpo rígdo. Ecuacones de Euler. Calcularemos el momento angular de un cuerpo rígdo respecto del punto que concde con la poscón de centro de masa. En este sstema de coordenadas según la formula (5.) la velocdad de cada partícula V r' ( ) y el momento angular es gual: M' m( )r' r' m( ) r' r' r' (5.7)
En las denotacones tensorales esta msma formula puede reducrse a la sguente: x x x m x x x M' m( ) Tenendo en cuenta la defncón (5.7) obtenemos defntvamente M' I ; M' Î (5.) La últma relacón esta escrta en las denotacones vectorales, consderando el tensor de nerca como una matrz de orden tres. En las coordenadas con los ees orentadas a lo largo de ees prncpales x~, y~, ~ z esta formula da: M ' I; M' I; M' I (5.) Anotemos que el valor del momento angular depende del sstema de referenca escogda. Las formulas (5.) y (5.) son correctas solo en las coordenadas de centro de masa pegadas al cuerpo las cuales están rotándose unto con el cuerpo con la frecuenca angular. Se sabe que la dervada de cualquer vector A respecto del tempo calculadas en sstema de referenca que esta en reposo respecto de la prmera con la frecuenca angular están relaconadas como: da y la dervada da' en sstema que esta rotándose da da' A' La ecuacón dnámca para el momento angular dm N, donde N es el momento de las fuerzas externas (el tórque) respecto el orgen del sstema de coordenadas en reposo utlzando esta relacón puede ser escrta en la forma sguente: dm' M' N; (5.4) d Î Î N (5.5) Esta ecuacón tene una forma más senclla en coordenadas donde ees ~ x, ~ y, ~ z están orentadas a lo largo de ees prncpales del cuerpo rígdo en los cuales el tensor de nerca tene una forma dagonal: d I I I N; d I I I N ; (5.6) d I I I N; Estas son ecuacones de Euler para el movmento de un cuerpo rígdo. Partendo de estas ecuacones se puede deducr el teorema de la energía. Con esta fn multplcaremos ambas partes de la ecuacón (5.6) por el vector. El producto con el segundo térmno se anula y el producto con el prmer térmno da Î dt Î d d De esta manera se obtene el teorema de energía para un cuerpo rígdo según el cual la dervada de la energía cnétca es gual al producto escalar de los vectores de la frecuenca angular y del torque N : dt N (5.7) Ahora aplcaremos las ecuacones de Euler para analzar El movmento lbre de un cuerpo rígdo. 5. El movmento lbre de un cuerpo rígdo. En ausenca del momento aplcado, cuando N las ecuacones dferencales (5.6) se transforman a unas ecuacones homogéneas, las cuales pueden resolverse en una forma explícta para un caso partcular cuando el cuerpo rígdo es un trompo smétrco. En este caso I I y desde últma ecuacón (5.6) tenemos const, mentras que las prmeras dos ecuacones se reducen a un par de las ecuacones lneales: d d I I ; ; (5.8) I Expresando desde la segunda ecuacón a través de la dervada de y susttuyendo en la prmera se puede obtener para y un par de las ecuacones desacopladas:
d d I I ; (5.9) I ; y la segunda por y las sumamos se obtene: Además s multplcaremos la prmera ecuacón (5.8) por d ; const; Es fácl de convencerse de que las funcones que satsfacen a las ecuacones (5.9) y (5.) son (5.) t ; sn t ; cos (5.) donde y son dos constantes arbtraras. El vector velocdad angular tene tres componentes, una de las cuales orentada a lo largo de ee e es constante y otras dos en el plano ortogonal osclan según las formulas (5.) y su resultante está grando en este plano de tal manera que el extremo del vector resultante forma una crcunferenca (vease la Fg.) del rado. El vector velocdad angular total efectúa, por tanto, un movmento de precesón alrededor del ee e con velocdad angular, descrbendo su extremo una crcunferenca del rado. La precesón es en el msmo sentdo que s I I y en sentdo opuesto en el caso contraro. Según las formulas anterores la rotacón de un cuerpo rígdo tene tres constantes arbtraras, y, ya que ecuacones de Euler son tres ecuacones dferencales de prmer orden. Estas constantes determnan por las condcones ncales. Fg. El ee nstantáneo de rotacón, determnado por el vector, cuando efectúa la precesón alrededor del ee de smetría descrbe un cono en el cuerpo (cono lgado o cono polar móvl). El valor absoluto de la frecuenca angular total const (5.) es una constante. El semángulo de este cono vene dado por tg (5.) Anotemos que los resultados anterores se referen a un sstema de coordenadas móvles lgados al cuerpo, mentras que es más fácl analzar el movmento espacal respecto a una dreccón fa del espaco. En caldad de tal dreccón es convenente utlzar el vector del momento angular M el cual es una constante debdo a que el momento de las fuerzas externas N. El ángulo entre dos vectores M y vene dado por M Î T cos (5.4) M M M Según el teorema de energía (5.7) y la formula (5. )T y son constantes y por eso el ee de rotacón descrbe un cono en el espaco, el cono polar fo. Este cono tene un semangulo dado por (5.4) y su ee tene la dreccón del vector momento angular M. La generatrz de contacto de los conos polares fo y móvl es el ee nstantáneo de rotacón (el vector ). Puesto que este ee está en el cono móvl nstantáneamente en repozo, el cono móvl rueda sn deslzar alrededor del cono fo. Ello consttuye una descrpcón completa del movmento (véase Fg.)
Fg. 5.4 Ángulos de Euler Descrpcón del movmento de un cuerpo rígdo se puede realzar a través de coordenadas de centro de masa y tres ángulos que defnen la orentacón de tres ees x,x, x de un sstema de coordenadas lgados con el cuerpo rígdo y con el orgen en el centro de masa respecto a un sstema de referenca x,y,z. En caldad de estos ángulos es convenente escoger los llamados ángulos de Euler. Los ees lgados con el cuerpo rígdo en la Fg.4 se denotan como, y. La línea de nterseccón de los planos xoy y x Ox en la Fg.4 se llama la línea de los nodos. cos, sn, sn sn cos sn sn, sn cos, cos sn cos sn,,,, cos Problemas. Fg.4 ) En los vértces de un cuadrado con el lado a están dspuestas masas m y M Hállense los componentes del tensor de nerca respecto a: a) los ees x,y,z, b) los ees x,y que concden con las dagonales del cuadrado, así como al ee z a a m M a m M m M a m M 4a m M 4a m 4a M a m M 4 ) Hállense los momentos de nerca prncpales para sguentes cuerpos rígdos homogéneos de masa M: a) cubo con lado a ( I I I / I Mb / ; I Ma / ; I M a b / ) I MR / 4; I MR / 4; I MR / ); I I M R / 4 H / / ; I MR / Ma ; b) paralelepípedo rectangular con lados a, b y c ( I Mb c / ; I Ma c / ; I Ma b ) c) placa angosta rectangular con lados a y b ( d) dsco angosto de rado R ( e) clndro de rado R y altura H: f) bola del rado R I I I MR 5 g) cono de rado de base R y altura H: I I / 8M 4R H / ; I / MR
) Hállense los momentos de nerca prncpales para sguentes moléculas presentadas en la fgura: a)molécula lneal de tres átomos con masas guales / ma l al; I I I b)molécula de tres átomos de masa guales en forma de un trangulo sósceles I / ma ; I mh ; I m / ma mh c)molécula de cuatro átomos con masa guales en forma de un tetraedro. I I I ma 4) Demuéstrese que para cualquer cuerpo rígdo plano el tensor de nerca en J sstema coordenadas Oxyz con los ees Ox y Oy en el plano de obeto tene la forma xx J yx Como se camba el tensor al tener en cuenta el ancho del cuerpo rígdo? 5) El tensor de nerca de un cuerpo rígdo en cualquer sstema de coordenadas tene la forma Demuéstrese que los valores a) A+B+C, b)abc-ad -BE -CF -DEF; c)bc-d +AC-E +AB-F son nvarants al respecto de eleccón de sstema de coordenadas. J J yy xy A F E J xx J F B D yy E D C 6) Hállense los ees de nerca prncpales y los momentos de nerca prncpales de los sguentes sstemas: a) las masas m y M se encuentran en los vértces de un rectángulo con lados a y b (Fg a)), b) las masas m y m están en los vértces de un trángulo de catetos a y 4a (Fg. b)) 7) Un clndro homogéneo de masa m, longtud h y del rado R esta rotándose unformemente con una velocdad angular alrededor de ee AB que atravesa el centro de masa del clndro C y forma el ángulo con ee de smetría del clndro. Encuéntrese a) el valor del momento angular, b) el ángulo entre el momento angular y el ee de smetría, c) la energía cnétca. a) M m / R h sn 6R cos b) tg R h 6 R tg 8) Hállese ) la poscón del centro de masas, ) los ees prncpales y ) los momentos prncpales de nerca de una molécula que tene la forma de un trangulo sósceles presentado en la Fgura. Cual será 4) la energía y 5) el momento angular s molécula esta rotándose alrededor del ee CA (C es el centro de masas) que forma con el plano de molécula el ángulo 4 a a 5 / ; yc 4m h yc m ma ma ; my mh y 4mh 5 m4h 5 ) h 4a ; yc h 5 ) J xx m a J yy myc C C ma ; J zz ) I x J yy J zz ma ; I y J xx J zz ma ; I z J yy J xx 4ma ; 4 ) sn / ; cos sn; cos cos; tg a / y 5a h 5 cos tg 8; sn 5 8; x 5 ; y 9 ; 5 ) T I x x / I y y / I z z / ma 5 64 ma 9 64 4ma 8 4 ma 6 ) Lx I x x ma 5 6 4ma 5; Ly I y y ma 9 6 4ma ; L I 4ma / ma z z z z x y C 5 ;