Pro. Enrique Mteus Nieves otoro en Euión Mtemáti Integrles múltiples. Introuión. En el primer urso e Funmentos se plnteó el prolem e hllr el áre ompreni entre l grái e un unión positiv y x, el eje OX y ls rets x, x. ih áre se represent omo x x Vimos que este prolem est reliono on el álulo e un primitiv e Brrow nos segur que si x. El Teorem e Fx es tl que Fx x entones A x x F() - F() Nuestro prolem es el álulo el volumen e un prism e se retngulr, x, limito superiormente por l grái e un unión z x, y enotremos por x, yx positiv. A este volumen lo y iiere el prolem nterior en que no se resuelve enontrno un primitiv e x, y (No tiene sentio), sino por el álulo e volúmenes por seiones. El volumen venrá o por l sum ininit e ls áres e ls seiones que se Otienen l ortr el uerpo por plnos prlelos l plno XZ, o tmién sumno ls áres e ls ininits seiones que se otienen l ortr el uerpo por plnos prlelos l plno Y Z.
Pro. Enrique Mteus Nieves otoro en Euión Mtemáti V x, yx Ay Ax x one Ay x, y x, Ax x, y onsierno en so l x o l y ij. El prolem se onvierte en el álulo e un integrl reiter que y semos resolver. Integrl ole sore un retángulo. einmos hor el onepto e integrl ole e un unión z x, y sore un retángulo, x, no neesrimente positiv. iviimos el intervlo [, ] en n prtes igules, eligieno pr ello n 1 puntos x0 x1 x xn sieno xi xi x Elegimos, e orm 1 n nálog, m 1puntos el intervlo [, ], y0 y1 y yn on yi yi y. 1 m Así otenemos n m retángulos xi,xi 1 x yi, yi 1 i j e áre A x y * * Se x, y A i j Prism el iujo junto es el volumen el pequeño n Llmemos 1 m1 S n m i0 siguiente einiión: j0 x y pr her l
Pro. Enrique Mteus Nieves otoro en Euión Mtemáti einiión (Integrl ole) Si existe lim n,m S nm y no epene e l eleión e los vlores integrle sore y l vlor e iho límite se le llm integrl ole e x, y, entones se ie que es sore. Se not: n 1 m1 x, y x lim i j n,m i0 j0 x y Si x, y es un unión positiv, x, y x retngulr e se y limito superiormente por l grái e. x, y es negtivo, represent un volumen negtivo. Si represent el volumen el prism Propiees e l integrl ole. 1. Lineli. x, y gx, y x x, yx gx, yx. Monotoní. Si x, y gx, y x, y, entones: x, yx gx, yx 3. Aitivi. Si 1 es unión e os retángulos isjuntos x, y x g x, y x g x, y x 1 4. Teorem e Fuini: si z x, y es ontinu sore, x,, entones: x, yx x, y x x, yx
Pro. Enrique Mteus Nieves otoro en Euión Mtemáti Integrl ole sore regiones más generles. Vmos einir l integrl ole e uniones sore los siguientes tipos e regiones: egiones el tipo I x, y I : x, x y x 1 egiones el tipo II x, y I : y, g x x g y 1 egiones el tipo III: Son ls que se pueen expresr inistintmente omo regiones e tipo I o e tipo II.
Pro. Enrique Mteus Nieves otoro en Euión Mtemáti einiión: Se un región e tipo I, II o, III. Se z x, y un unión ontinu. Consieremos un región e tipo I. Entones: x, yx x, y 1 x x x Análogmente, en un región e tipo II, se tiene: x, yx x, y g g1 x x x Pr ls regiones el tipo III, se puee lulr l integrl ole e x, y inistintmente omo un región el tipo I o II. A vees l integrl se ompli y hy que elegir l orm eu. e hí que: Si es un región ot e I, entones el volumen el prism e se y ltur 1 es: x l unión integrr es x, y 1 A
Pro. Enrique Mteus Nieves otoro en Euión Mtemáti Integrl triple. En el so e ls integrles triples se siguen los mismos psos que en ls integrles oles. Se el prlelepípeo, x, x e,. Se x, y,z n1 m1 p1 mostr en l igur. einmos Sn, m, p i j k x y z y i1 y i y; z m i1 z i e z p i0 j0 k0 un unión ontinu sore. óne x xi x n ; i1 * * * * i j k xi, y j, zk Con xi xi, x i1 * * y, y z z, z, y j j j1 k, k k1 einiión (Integrl triple) Si es un unión ot y, existe el lim n,m,p S n,m, p y no epene e l eleión e los k, entones se ie que es integrle, y l vlor e este límite se le llm integrl triple sore, y se represent x, y,z x z Conseueni: Si x, y,z 1, entones x, y,zx z V representno el volumen. Propiees. Se umplen ls misms propiees que en l integrl ole. 1. To unión ontinu es integrle. Lineli, monotoní y Aitivi 3. Teorem e Fuini pr integrles triples por el ul to integrl triple se puee hllr por integrión reiter.
Pro. Enrique Mteus Nieves otoro en Euión Mtemáti Integrles triples sore regiones más generles. Se repite el mismo proeso que en ls integrles oles. Se onsiern los siguientes tipos e regiones: Tipo I: x, x y x, g x, y z g x, y posterior rets). 1 1 x g x x, y,zx z x, y,z z W 1x g1x (prlelepípeo on prees rontl y Tipo II: son regiones en ls que y, (prlelepípeos on prees izquier y ereh plns). Tipo III: son regiones en ls que e z, (prlelepípeos on ono y tp plns). Sus integrles triples se resuelven e mner nálog. Tipo IV son regiones en ls que se pueen expresr inistintmente omo regiones e los tipos I, II o III. x Conseueni: Si x, y,z y W es un región ot e I 3, entones x z VolW W Cmio e vriles en integrles oles. Un e ls ténis más usules en el álulo e integrles es el mio e vriles, uyo ojetivo es trnsormr l integrl lulr en otr más senill. Est téni y se estuió pr uniones e un vrile, hor lo hremos pr uniones e os vriles. En el álulo e un vrile, uno se tení un integrl eini t x x, l her un mio e vriles x g, quen etos el integrno, el intervlo e integrión y el x. El nuevo integrno serí gt (hy que exigir que Im(g) ()). Pr lulr el nuevo intervlo e integrión neesitmos exigir que g pose unión invers. 1-1 1 Si x gt t g x luego si x, t g,. Se t 0,t g, 1 el nuevo intervlo e integrión. Pr que g pose unión invers st exigir que g se ontinu e inyetiv. Aemás omo x gt t entones g ee ser erivle.
Pro. Enrique Mteus Nieves otoro en Euión Mtemáti eerenis: Apóstol, Tom M. (1967). Clulus, Vol. 1: One-Vrile Clulus with n Introution to Liner Alger (n eiión). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-00005-1. Bourki, Niols (004). Integrtion I. Springer. ISBN 3-540-4119-1.. En prtiulr los pítulos III y IV. Burton, vi M. (005). The History o Mthemtis: An Introution (6th eiión). MGrw-Hill. p. 359. ISBN 978-0-07-305189-5. Cjori, Florin (199). A History O Mthemtil Nottions Volume II. Open Court Pulishing. pp. 47 5. ISBN 978-0-486-67766-8. http://www.rhive.org/etils/historyomthem07671mp. eerenis e poyo y omplementris: Stewrt, J. (010). Cálulo e un vrile. Trseentes Temprns. Sext eiión. Ems Impresiones S.A. e C. V. Iztplp, Méxio,. F. Leithol, L. (1998). El álulo. Truión e l séptim eiión en inglés e: THE CALCULUS 7. ISBN 0-673-46913-1. Printe in Mexio. Grupo Mexino MAPASA, S.A. E C.V.