Capítulo II ASPECTOS GENERALES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL: Es ua ecuació que cotiee derivadas o difereciales. Ejemplo 1: Las siguietes expresioes costituye ecuacioes difereciales: a. = 5x + 1 (tiee derivadas) b. y = (y ) + 5y x + (tiee derivadas) U U U c. + + = 0. (tiee derivadas parciales) d. y + q.y = 0 (tiee derivadas) e. ( x + y). = (y x). (tiee difereciales) f. y + y = Se(x) (tiee derivadas) g. Se (x + y). + Cos(x y). = 0 (tiee difereciales) h. d y + y = t t + t 5 (tiee derivadas) i. d 4 y d y x + + y = e (tiee derivadas) 4. FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL: Es ua expresió equivalete a la ecuació diferecial que carece de derivadas y difereciales. A pesar de utilizarse el térmio fució, la expresió obteida puede ser tambié ua relació matemática. Debido a maejos algébricos, la Fució Primitiva puede represetarse de distitas maeras. Ejemplo : Dada la ecuació diferecial: = 5x + 1 58 I-005
La siguiete expresió es ua fució primitiva de la ecuació diferecial: y = 5 x + x + C Puede demostrarse fácilmete la aseveració aterior pues al derivar la fució primitiva se reproduce exactamete la ecuació diferecial.. ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL: El mayor orde de derivadas o de difereciales presete e ua ecuació diferecial se llama orde de la ecuació diferecial. Ejemplo : Las ecuacioes difereciales del Ejemplo 1 tiee los siguietes órdees: a. = 5x + 1 Orde 1 por / b. y = (y ) + 5y x + Orde por y U U U c. + + = 0. Orde por todos los sumados d. y + q.y = 0 Orde por y e. ( x + y). = (y x). Orde 1 por y f. y + y = Se(x) Orde por y g. Se (x + y). + Cos(x y). = 0 Orde 1 por y d y h. + y = t t + t 5 Orde por d y/dt i. d 4 y d y x + + y = e Orde 4 por d 4 y/ 4 4.4 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS: So ecuacioes que relacioa ua fució de ua sola variable idepediete co ua o más fucioes de sus derivadas. Ejemplo 4: Las siguietes expresioes so ecuacioes difereciales ordiarias: a. = (x + 1).l( y) ( x es la úica variable idepediete) 59 I-005
d y b. x = 0 ( x es la úica variable idepediete) c. d y = y ( t es la úica variable idepediete) dt d. y y y = x + 1 ( x es la úica variable idepediete) e. f. d s ds t + + s = e ( t es la úica variable idepediete) dt dt d y M(x) = ( x es la úica variable idepediete) E(x).I(x).5 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: Las ecuacioes difereciales que puede ser escritas e la siguiete forma se cooce como Ecuacioes Difereciales Lieales de orde : -1 d y d y d y a0 (x) + a1(x) +... + a (x) + a 1(x) + a(x).y = R(x) -1 - - Dode: : Orde de la ecuació diferecial que es tambié el mayor orde de las derivadas m d y : m Derivada de orde m de la variable y respecto a x. a m(x) : Coeficiete de la derivada de orde m de la variable y respecto a x, que cotiee exclusivamete expresioes e x. R (x) : Térmio idepediete, que es fució exclusiva de x Las ecuacioes que o puede represetarse e la forma aterior se cooce como Ecuacioes Difereciales No Lieales. Ejemplo 5: Las siguietes expresioes so ecuacioes difereciales lieales: a. = 5x + 1 b. y + q.y = 0 c. y + y = Se(x) d y d. + y = t t + t 5 60 I-005
e. 4 d y d y + + y = e 4 x Ejemplo 6: Las siguietes expresioes so ecuacioes difereciales o lieales: a. y = (y ) + 5y x + b. x + y. + (x.y). = 0 c. ( x + y). = (y x). d. Se (x + y). + Cos(x y). = 0 e. d y y + + y = Se(x) dt dt.6 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS: So ecuacioes difereciales lieales cuyo térmio idepediete es ulo, y puede represetarse como: -1 d y d y d y a0 (x) + a1(x) +... + a (x) + a 1(x) + a(x).y = 0-1 - - Ejemplo 7: Las siguietes expresioes so ecuacioes difereciales lieales homogéeas: a. y y = 0 d y b. + 5y = 0 c. y + 4y 6y = 0 d. y x.y = 0 4 d y d y e. + t.y = 0 4.7 FUNCIONES HOMOGÉNEAS: Ua fució f(x, y) es homogéea de grado si: f( l.x, l.y) = l.f (x, y) 61 I-005
Si se afecta a las variables de ua fució homogéea, reemplazado a cada variable por el producto de ua costate arbitraria l multiplicada por dicha variable, el resultado es la fució origial multiplicada por la costate escogida elevada a ua potecia. Ejemplo 8: f (x, y) = x + x.y La fució es homogéea ya que, al reemplazar x por l.x y y por l.y, cumple lo siguiete: + ( λ.x).( Simplificado y destruyedo los parétesis: = ( λ.x ) + ( λ.x).( λ.y ) Destruyedo parétesis: = λ.x + λ.x.y Factorado: = λ (x + x.y ) La expresió etre parétesis es la fució origial f(x, y), por lo que reemplazádola se tiee: f( l.x, l.y) = l.f(x, y) La fució es homogéea de grado pues el expoete del factor l es. Ejemplo 9: f (x,y) = x - y + x.y La fució es homogéea ya que cumple lo siguiete, al reemplazar x por l.x y y por l.y : + ( λ.x).( Simplificado: + + λ Factorado: = λ.(x y +.x.y) λ.x.y.x.y La expresió etre parétesis es la fució origial f(x, y) : f( l.x, l.y) = l.f(x, y) 6 I-005
La fució es homogéea de grado 1 pues el expoete del factor l es 1. Ejemplo 10: f(x, y) = x - y + x.y + 5 La fució o es homogéea ya que, al reemplazar x por l.x y y por l.y se tiee: + ( λ.x).( + 5 Destruyedo parétesis: = ( λ.x ) ( λ.y ) + ( λ.x).( + 5 = λ.x λ.y + λ.x.y + 5 Agrupado y factorado: = λ (x y +.x.y) + 5 f( l.x, l.y) l.f(x, y) La presecia de la costate 5, e el poliomio, o permite que la fució sea homogéea, pues es el úico térmio e el que o se puede factorar l..8 ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES: So aquellas que icluye derivadas de fucioes de más de ua variable idepediete. Ejemplo 11: Las siguietes expresioes so ecuacioes difereciales e derivadas parciales: U U U a. + + = 0. u u b. = u t M M c. + 4 = 0 ( x y y so las variables idepedietes) ( x y t so las variables idepedietes) ( x y y so las variables idepedietes) d. T T = k t ( x y t so las variables idepedietes).9 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: Tagle R. Ket, Saff Edward B. y Zider Artur David, Ecuacioes Difereciales y Problemas co Valores e la Frotera, Pearso Educació, Tercera Edició, 001. 6 I-005
Spiegel Murria R., Matemáticas Avazadas para Igeiería y Ciecias, Mc Graw Hill, Primera Edició, 001. Campbell Stephe L. y Haberma Richard, Itroducció a las Ecuacioes Difereciales co Problemas de Valor de Frotera, Mc Graw Hill, Primera Edició, 1999. Ayres Frak, Ecuacioes Difereciales, Mc Graw Hill, Primera Edició, 000. 64 I-005