REPORTE DE INVESTIGACION. TEMA Estudio del algoritmo de Viterbi para decodificación basado en la minimización de la probabilidad de error de palabra

Transcripción

1 REPORTE DE INVESTIGACION TEMA Estudio del algoritmo de Viterbi para decodificació basado e la miimizació de la probabilidad de error de palabra MARIBELL SACANAMBOY FRANCO Departameto de Ciecias e Igeiería de la Computació PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA CALI

2 E este reporte se preseta el estudio de uo de los algoritmos más usados e la decodificació, para u sistema de comuicació, basado e la miimizació de la probabilidad de error de palabra. Ates de revisar el algoritmo de Viterbi e la decodificació, se debe eteder que el codificador usado es basado e códigos covolucioales. U código covolucioal es u código de correcció de errores, e el cual por cada secuecia de m bits de etrada los codifica e bits símbolos de salida. La relació de m/ es defiida como la tasa de código. U código covolucioal es caracterizado por ua fució de codificació G(x), dada ua secuecia m(x) de etrada geera ua secuecia de salida U(x), dode U(x) se le deomia secuecia de codewords y está e fució del producto de G(x) y de m(x) de la siguiete maera: U x =m x G x Detro de las represetacioes que más se usa e u código covolucioal, está la de poliomios geeradores, la del diagrama de estados y diagrama de trellis. Algoritmo basado e la miimizació de la probabilidad de error de palabra Algoritmo de Viterbi se cosidera u algoritmo de máxima certeza (Maximum likelihood) y altamete paralelizable, y cosiste e determiar el camio más óptimo expresado como la escogecia del codeword co la métrica de máxima certeza o la escogecia del codeword co la métrica de míima distacia, este algoritmo toma vetaja de la estructura espacial del diagrama de trellis. Para hallar el camio más óptimo compara e cada tiempo t i la señal recibida o codeword co todos los camios del trellis que etra a cada estado e el tiempo t i y elimia los camios que o so posibles cadidatos para la escogecia de la máxima certeza; la comparació de la señal recibida frete a la establecida del trellis se hace por medio del cálculo de la distacia hammig (Número de posicioes e las cuales difiere dos codewords) para decisioes duras y para decisioes suaves la distacia euclidiaa la cual se defie a cotiuació. Los vectores de los codewords para decisioes suaves se represeta por úmeros reales, etoces la diferecia etre estos codewords se determia por la diferecia etre los elemetos de cada codeword al cuadrado. Codewords X =[ x, x, x, x... x L ], Y=[ y, y, y, y... y L ] etoces la distacia euclidiaa esta dada por de ( X,Y ) = ( X Y ) +( X Y ) +...( X L Y L ) ()

3 A la distacia hammig o euclidiaa se le llama métrica de rama (λ). Para dos camios que etra al mismo estado e el tiempo t i se escoge el de mejor métrica de distacia acumulada, la cual es calculada por medio de la métrica del estado e el tiempo t i más la métrica de rama (λ), la métrica acumulada o de estado se expresa como: μ ti = μ ti +λ () Después de teer las dos métricas de distacia acumulada del camio j y k, se escoge la métrica de meor distacia o peso para el caso de decisió dura ti =mi[ jti, kti ],y para el caso de decisió suave se escoge la métrica de mayor peso ti =max[ jti, kti ] ; al camio elegido se le llama camio sobreviviete m k y a la métrica del camio gaador se le llama métrica de estado e el tiempo t i y esto se hace para todos los estados, el decodificador cotiua así avazado por el trellis elimiado y escogiedo el camio más probable. Para determiar la probabilidad de error para u caal biario simétrico (BSC) y u caal AWGN trabajado co el algoritmo de Viterbi se debe hacer dos suposicioes, la primera es que todos los posibles codewords so igualmete probables y la seguda es que la probabilidad de error debe ser idepediete de la secuecia trasmitida, de la seguda suposició se deriva que se debe trabajar co caales si memoria, e los cuales el ruido afecta a los símbolos de maera idepediete co respecto a los símbolos ateriores. E u caal si memoria la probabilidad codicioal o fució de certeza (likelihood) está dada por lo p ( y x ) = p( y siguiete: k x k ) all k (), dode y es la secuecia recibida y x es la secuecia eviada. Para ecotrar el camio más probable o el de máxima certeza (Maximum likelihood) ó de la míima probabilidad de error, se debe maximizar la fució de certeza, computacioalmete es más coveiete usar el logaritmo de la fució de certeza.etoces la fució de logaritmo de certeza queda expresada como: Λ( X,Y ) = l p( y x)= l p( y k x k ) all k (4) La métrica para ua rama j está defiida como: = μ(x j, y j )=l p ( y j ) (5) Para vectores dimesioales co símbolos por rama se tiee que la métrica de la rama j es igual a : = l p( y j )= l p( y jk k ) (6) Ahora reemplazado la defiició de métrica de rama de la ecuació (5) e la ecuació (6) se obtiee la fució de logaritmo de certeza como la sumatoria de todas las métricas de la ramas. Λ( X,Y ) = μ( x j y k ) j=todas lasramas (7) Para obteer la fució de máxima certeza sólo se debe hallar el máximo de la fució logaritmo de

4 certeza (max Λ(x,y)). Trabajado sobre u caal simétrico biario, el cual sirve para represetar la decodificació de decisioes duras, es decir el decodifcador determia si la secuecia de bits recibida es cero o uo. Para este caso se tiee que la probabilidad de error de símbolo es p /. Dado ua secuecia biaria y recibida y ua secuecia biaria x trasmitida, para hallar la fució de máxima certeza segú la ecuació (7), basta co hallar la métrica de cada rama y hacer la sumatoria, etoces la métrica de rama para u caal BSC está dada e fució de la probabilidad de error y es igual a : =μ( x j, y j ) = l[ p dj ( p) dj ]=dj l ( p + l( p) (8), p) dode es el tamaño de la secuecia recibida, dj es la distacia hamig etre x j y y j e la j-ésima rama, etoces dj=d x j, y j De acuerdo a la ecuació (7), la meta para u caal BSC es maximizar la suma de métricas de cada rama sobre el camio o trayectoria completa, para esto se adicioa ua costate arbitraria e cada rama y se escala el resultado e u úmero positivo arbitrario, además como la expresió l ( p < p ) para p / etoces se reemplaza la métrica μj por la métrica escalada μ j = d j = d ( x j, y j ) (9) Para hallar el camio de máxima certeza e u tiempo t i se compara las métricas de todos los estados e el tiempo t i y se escoge la métrica de meor peso y esta determia el camio de mayor probabilidad. Trabajado sobre u caal co ruido blaco gausiao aditivo, la secuecia y t = x t t de símbolos de salida correspode a la salida de este caal, dode x(t) es la secuecia origial trasmitida y (t) es la muestra de ruido AWGN. Para este caal se tiee ua secuecia trasmitida ormalizada x e + o - si el símbolo de código fue ó respectivamete, como (t) es ua variable aleatoria gausia, etoces para calcular la métrica de la rama segú la ecuació (6) se debe teer e cueta la fució de desidad de probabilidad. Así que la métrica par la rama j-ésima quede expresada de la siguiete forma: =l ( y j ) = l{e [ ( y jk Es X jk ) / I ] k= /(Π I (/ ) o ) } () Dode I es es la potecia del ruido y Es la eergía por símbolo de código, desarrollado la ecuació () se llega a la siguiete expresió: =l ( y j ) = / I [ ( y jk Es X jk ) ] l(π I o )/ () k= Al desarrollar el biomio y teiedo e cueta que x puede ser + o -, la ecuació () queda fialmete =l ( y j ) = / I [ ( y jk ) Es+ Es X jk y jk ] l(π I o )/ () k= k=

5 Escalado la ecuació () por I se llega a la siguiete métrica escalada: μ j = X jk y jk () k= E resume los pasos que se debe teer e cueta para la decodificació usado el algoritmo de Viterbi está dados e el siguiete gráfico. Cálculo de la Métrica de rama Distacia de Hammig e cada ti Cálculo de los camios sobrevivietes de meor peso Cálculo de la Métrica de estado e cada ti Decodificació e el t fial, selecció del camio gaador por medio de la métrica de estado de meor peso Figura. Diagrama de bloques Algoritmo Viterbi E el siguiete ejemplo se muestra el algoritmo de Viterbi para ua decodificació de u mesaje eviado por u codificador covolucioal de rata / y co M=, dode M es el úmero de registros de desplazamieto del codificador, y los poliomios geeradores g (x)= +x+x, g (x)= +x. C(x) m(x) Figura. Codificador Covolucioal C(x)

6 C o (x)=m(x)g (x) C (x)=m(x)g (x), dode m(x) es el mesaje de etrada al codificador. Si se tiee el siguiete mesaje m=, el mesaje codificado U se obtiee por medio de las ecuacioes C o y C. U= Si este mesaje codificado se trasmite por u caal biario, el decodificador recibe la siguiete secuecia Z=. E la figura se muestra el diagrama de estados para el codificador plateado e la figura. S / / / / S / / S / / S Figura. Diagrama de estados Otra forma de represetar el codificador covolucioal es el diagrama de trellis, e la figura 4 se muestra el diagrama. S S S S / / / / / / / / t= t= Figura 4. Diagrama de trellis para el codificador E la figura 5 se preseta el diagrama de trellis para el decodificador, co los valores de las ramas de acuerdo a la distacia de hammig.

7 S S S S Z= t= t= t= t= t=4 t=5 Figura 5. Diagrama de trellis para el decodificador E la figura 6 se muestra el cálculo de la métrica de estado, se tiee como codició iicial que el sistema iicia e el estado S y el valor de la métrica de estado es cero y e los demás estados es ifiito. S S S S t= t= t= t= += += S += S += += S += += S += Figura 6. Cálculo de métrica de estado Cotiuado co el cálculo de las métricas de estado, empieza aparecer los posibles camios de máxima certeza, e la figura 7 se observa los camios y métricas de estado que queda al fial. S S S S t= t= t= t= t=4 t=5 Figura 7. Camios y métricas de estado

8 Para la decodificació fial e t=5,se tiee e cueta cual estado es el de meor métrica y se sigue el camio hacia atrás. S S S S m= U= Z= t= t= t= t= t=4 t=5 Figura 8. Decodificació fial. Decodificació

9 Bibliografía Capítulo 7 del libro de B Sklar, "Digital Commuicatios Fudametals ad Applicatios",Pretice Hall, NewJersey,988. Capítulo 5 del libro de Adrew J. Viterbi, "CDMA Priciples of Spread Spectrum Commuicatio". Capítulo 6 del libro de Richard Wells "Applied Iformatio Teory ad Codig For Egieers".