Tallr cálculo difrncial cd: Prparación trcr parcial Profsor Jaim Andrés Jaramillo Gonzálz jaimaj@concptocomputadors.com. ITM 07- Drivada. Encuntr la drivada d la función usando la dfinición d drivada: f' ( ) lím h 0 f ( h) f( ) h b. c. d. ( 5)( ) 7. f. g. h. f( t) t t. Diga si la función s drivabl n l númro indicado. Justifiqu su rspusta b. c. f ( ) n f ( ) n 0 / f ( ) ( 6) n 6 /. Encuntr la drivada d la función usando la dfinición d drivada, mustr qu obtin l mismo rsultado ncontrándola nuvamnt usando rglas d drivación: a) b) c) 8 d) ) f)
. Encuntr la drivada d la función usando la dfinición d drivada, mustr qu obtin l mismo rsultado ncontrándola nuvamnt usando rglas d drivación (rgla d la cadna pud sr rqurida): 7 (7 ) (5) d. f ( ). f. 5 t f( t) t 5. Encuntr la drivada d la función: 5 f ( ) 7 f( ) 0 f d. f ( ) ( ( ) ). ( ) ( ) 7 5 ) ( 9 f ( ) 5 f. f( ) ( 5) h. g. f( ) f ( ) 6 j. f( ) sn( sc) snsc k. f( ) sc ln( ) l. i. f( ) f tan cos ) sn ( ( ln) 6. Encuntr la drivada d la función: f ( ) cos( ) sn tan d. sn f ( ) ln( ). g ( ) f. f( ) 5 g. ( )( ) h. f ( ) sn ( )( ) i. f ( t) tan t j. 5 tan ( sn) k. ( ) l. / t( t) f ( t) t
m. f ( ) ( ) n. tan( ) o. ( 5) p. s. w. tan 66 q. r. sc cos 5 5 ln t. (tan ( ln( ))(cos) ) ( ) cos u. tan ( 7) ( sc) ln v. ln( cos( )) 5 8 tan( ). sn ( ) 7. Encuntr la cuación d la rcta tangnt a la curva para n l valor indicado: f ( ) sc[() π] Para f ( ) Para 8 tan Para π d. ln( Para 9). 5 6 Para f. Para 5 8. Encuntr la cuación gnral d la rcta tangnt a la gráfica d la cuación, n l punto indicado a) sn( ) 8; (,0) b) 8 cos( π ) ; (,) Drivadas d Ordn Suprior 9. Encuntr ' ''
( ) / d.. tan( ) f. ln(sn) g. sn cos( ) h. cot Drivación implícita d 0. Encuntr d ( ) ln( ) tan d. 9. cos( ) f. ln( ) g. ln 0 h. cos( ) i. 7 j. sn k. l. cot m. sn ( ) n. p. ( )( ) q. 7 o. sc sn ln r. ( ) cos cos (Sugrncia: drivación logarítmica). Encuntr la cuación d la rcta tangnt a la curva para n l valor indicado:
( ) ln 7ln( ) 8 ( ) cos snπ Para Para Para d. 6 sn( ) 8; π para (Dos rpustas: la gráfica d sta cuación tin dos valors n los cuals ). cos( ) 5; π para f. 5 ; Para 0 ( π ) cos( ln( ) ) 5 cos g. Para sn( π) j. ln( cosπ) Para h. ( ) ( ln cosπ ) Para i. π lnsn Para π cos ( ) d. Encuntr d sn sn( ) 7 6 cos ( ) sc ( ) d. ( ) tan ( 5 ) f. sn. 5 ( ) 7 g. 5 sn h. ( ) 5 tan i. sc ( ) 5 5 8 d. Encuntr d 5 7 tan
d. Encuntr d ( sc( ) ) 8 ( ) Rgla d L Hôpital 5. Calcul los siguints límits: cos a) 0 b) cos 0 c) 9 0 6 d) 6 8 ) sc f) π tan g) π π cos h) (cos) i) ( ) sn j) k) ln l) ( 0 ) / 6. Calcul los siguints límits: a) 0 d) 5 b) ) ( ) 0 sn c) ln f) 0 ( ) 0 cos g) ( ) sn h) tan π π cos / i) ( ) sn 0 j) ln k) 5 0 l) 8 m) 5 6 lím n) ( ) lím o) (cos) 0 sn
p) 0 8 q) lím r) lím 0 Razons d Cambio Rlacionadas 7. Un niño qu vula una comta va soltando hilo a razón d 0.5 m/s, mintras la comta s va dsplazando horizontalmnt a una altura d 0 m. considrando qu l hilo prmanc tnsionado Cuál s la vlocidad d la comta cuando s han soltado 60 m d hilo? 8. Un globo d air calint qu ascind n lína rcta, dsd l nivl dl sulo s rastrado por un obsrvador qu stá a 500 pis dl punto d lvación. En l momnto qu l ángulo dl obsrvador π s, ést crc a razón d 0. rad/min. Qué tan rápido s stá lvando l globo n s momnto? 9. Cuando un plato circular d mtal s stá calntando n un horno, su radio aumnta a razón d 0.0 cm/min. A qu razón aumnta l ára dl plato cuando su radio s d 50 cm? 0. Un avión qu vula con altura constant d 800m con rspcto al sulo pasará actamnt ncima d un radar. Cuando su distancia al radar s d 5 km, ésta disminu a razón d 05 km/h Cuál s la vlocidad dl avión?. Si las aristas d una caja rctangular, z d una caja rctangular cambian a las tasas: d d dz m/ s m/ s m/ s dt ; dt ; dt Dtrmin la tasa d cambio d: (a) l volumn; (b) El ára d la suprfici (c) la longitud d la diagonal s, cuando ; 7; z.. A un dpósito cilíndrico d bas circular m d radio, l stá ntrando agua a razón d 0 l/s. Calcular la rapidz a la qu sub la suprfici dl agu. En una planta d arna grava, la arna ca d una cinta transportadora crando un montículo d forma cónica, a razón d 0 pis cúbicos por minuto. El diámtro d la bas dl montículo s aproimadamnt trs vcs la altur Cuando la altura s 5 pis A qué ritmo cambia?. Dos avions vulan horizontalmnt a 500m d altura n tractorias prpndiculars. Uno d llos s ncuntra a km dl punto d intrscción d sus tractorias acrcándos a 50 km/h mintras l otro a 5km d s punto s aproima 96km/h. Cuál s la razón d cambio d la distancia ntr los avions n s momnto? 5. Un hombr stá parado n un mull jala una lancha por mdio d una curd Sus manos stán a m por ncima dl amarr d la lanch Cuando la lancha stá a 7 m dl mull, l hombr stá jalando la curda a una vlocidad d 75 cm/s. A qué vlocidad s aproima la lancha al mull? 6. Al arrojar una pidra a un stanqu d agua tranquila s forman ondas circulars concéntricas cuos radios aumntan d longitud al paso dl timpo. Cuando la onda trior tin un radio d m, ést aumnta a razón d 80cm/s. A qué vlocidad aumnta l ára dl círculo formado por dicha onda?
7. Una scalra d m d longitud dscansa contra un muro prpndicular al sulo. Si l trmo infrior d la scalra s stá rsbalando a razón d. m/s, a qué vlocidad dscind l trmo suprior cuando ést stá a m dl sulo? 8. Un rcipint tin la forma d un cono circular rcto invrtido la longitud d su altura s l dobl d la d su diámtro. Al rcipint l stá ntrando agua a una rapidz constant, por lo qu la profundidad dl agua va n aumnto. Cuando la profundidad s d m, la suprfici sub a razón d cm por minuto. A qué rapidz l stá ntrando agua al rcipint? 9. Un post d 7 m d altura tin un faro n la part suprior; un hombr d.75 m d statura s alja dl post caminando a una vlocidad d. m/s Con qué vlocidad crc su sombra?; Con qué vlocidad s muv la punta d la sombra con rspcto a la bas dl post? 0. La l d los gass para un gas idal a la tmpratura absoluta T n grados (klvin) la prsión P (n atmósfras) con un volumn V (n litros), s PVnRT, dond n s l númro d mols dl gas R0,08 s la constant d los gass. Suponga qu n cirto instant P 8 atm qu aumnta a razón d 0,0 atm/min, admás l volumn s d 0l disminu a razón d 0,5 l/min. Dtrminar la razón d cambio d T con rspcto al timpo, n s prciso instant, si n 0 mol. Problmas d Optimización. A un fabricant d latas l solicitan disñar un nvas para gasosa d forma cilíndrica con capacidad d 00ml. Encuntr las dimnsions dl nvas para las cuals la cantidad d matrial utilizado para su fabricación s mínim. Para hacr una caja d bas cuadrada con la part suprior abirta, s rcortan cuadrados d igual mdida d las squinas d una hojalata cuadrada lugo s doblan los lados hacia arrib Al hacr sto con una hojalata d 6cm * 6cm. Cuáls dbn sr las dimnsions d los cuadrados rcortados para qu l volumn d la caja sa máimo? Cuál s ést volumn?. S van a utilizar 5 cm d alambr para construir un cuadrado un círculo. Cuals dbn sr las dimnsions dl cuadrado dl círculo para qu l ára total abarcada sa máima?. Dos posts, uno d 8m otro d m s ncuntran a 5m d distanci S sostinn por dos cabls atados a la misma staca dsd l nivl dl sulo a la part suprior d cada post Dónd db ubicars la staca para usar la mnor cantidad d cabl posibl? 5. Un rctángulo s inscrib n un smicírculo d radio Cuál s l ára máima qu pud tnr cuáls son sus dimnsions? 6. Un sólido s forma unindo dos hmisfrios a los trmos d un cilindro circular rcto. El volumn total dl sólido s d cm. Encuntr l radio dl cilindro qu produc l ára suprficial mínim 7. S crcará un trrno rctangular d 5 m para la simbra d un cultivo d tomats srá dividido n dos parts iguals colocando una crca paralla a uno d los lados. Cuáls dbn sr las dimnsions dl rctángulo trior para qu la cantidad d crca utilizada sa mínima? Qué cantidad d crca s rquir n st caso?
8. Una vntana normanda s constru al unir una smicircunfrncia a la part suprior d una vntana rctangular corrint. Encuntr las dimnsions d una vntana Normanda d ára máima, si su prímtro total s d 7m. 9. La part smicircular d una vntana normanda tin un vidrio oscuro la part rctangular vidrio claro. La cantidad d luz por unidad d ára qu admit l vidrio oscuro s un trcio d la admitida por l vidrio claro. Si l prímtro d sta vntana s d m Cuáls dbn sr las dimnsions para qu la cantidad d luz qu admit la vntana sa máima? Trazado d Gráficas 0. Dtrmin las principals caractrísticas d la función (Dominio, intrsccions con los js, asíntotas, puntos críticos, puntos d inflión, intrvalos d crciminto d dcrciminto trmos rlativos) labor una rprsntación gráfica d acurdo con la información obtnid f( ) 5 6 ( ) / d. f ( ). f ( ) ( ) / ( ) / 7 f. g. f ( ) ln( 5) h. / f( ) (8) / i. f( ) ln(9 ) j. m. f ( ) ( ) cos k. f( ) l. sn ( ) /5 ( ) f ( ) n. ( ) ( ) f o. f ( ) ( 5)
Algunas Rspustas.. ) ( d d 0. f. d d k. d d / /