UNIVERSIDAD DE CONCEPCION DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Prof Jorge Ruiz Cstillo TECNICAS DE INTEGRACION Integrción por prtes Teorem- Sen f g dos funciones derivbles sobre [, b] de mner que f g sen continus sobre [, b] Entonces f () g () = f () g () f () g () Demostrción- Sen u = f () v = g (), entonces du = f () dv = g () Además d (uv) =udv + vdu por lo tnto d (uv) = udv + vdu uv = udv + vdu Luego udv = uv vdu es decir f () g () = f () g () f () g () Observción- Con ls misms hipótesis del teorem nterior: b b f () g () = f () g () b f () g () e Ejemplos- ln = u=ln dv= ln 9 + c e ln = u=ln ln e dv= = Observción- ln = ln + c sin = u= dv=sin cos + cos = u= dv=cos = = cos +sin+cos+c 4 e cos = u=e dv=cos e sin + e sin = u=e dv=sin = e sin e cos e cos Por lo tnto e cos = e sin e cos, es decir e cos = e sin e cos + c 5 sec = u=sec dv=sec sec tn sec tn = =sectn sec sec Por lo tnto sec =sectn + sec =sectn +ln sec u +tnu + c Obtenemos: sec = sec tn + ln sec u +tnu + c
Ejercicios- Clcule: () sin (b) cos Indicción- sin = ( cos ) cos = ( cos ) Demuestre que: () sin n = n sinn cos + n sin n ; n n Indicción- u =sin n ; dv =sin (b) cos n = n cosn sin + n cos n ; n n Clcule usndo ls fómuls nteriores () sin (b) 4 Obteng fórmuls de reducción pr () sec n (b) cos 4 csc n Integrles trigonométrics Consideremos primero integrsles de l form I = sin m cos n Si n =, entonces, I = sin m cos = u=sin m + sinm+ + c Si m =, se procede en form nálog hciendo u =cos Si n> e impr, entonces n =p +,p, I = sin m cos p cos = sin m sin p cos = u=sin = u m u p du Si n> e impr, se procede en form nálog hciendo u =cos Si n m son mores e igules pres, se emplen ls fórmuls de reducción del ejercicio ) nterior o sin cos = sin pr reducir l integrl I otr más simple De est modo quedn resuelts tods ls integrles del tipo I = sin m cos n Ejemplos- sin 5 cos 7 = sin cos cos 7 = u=cos = 5 cos 8 cos8 cos + c sin 4 cos = (sin cos ) sin = sin ( cos ) 8 = 8 sin sin cos = ( cos 4) 8 8 8 sin cos = 6 sin 4 sin u=sin cos = 8 = 6 sin 4 4 sin +c Alterntiv- sin 4 cos =sin 4 sin =sin 4 sin 6 Puede usr ls fórmuls de reducción de l sección nterior
Considermos hor integrles de l form I = tn m sec n Se procede en form nálog l cso nterior de cuerdo si n o m es pr o impr 4 tn sec 4 = tn sec sec 4 = = tn sec sec 5 tn sec sec u=sec = = 8 sec6 sec4 + c Alterntiv- tn sec 4 =tn +tn sec = =tn sec +tn 5 sec hcemos u =tn tn 4 sec 4 = tn 4 +tn sec = tn 4 sec + + tn 6 sec = u=tn 5 tn5 + 7 tn7 + c tn 5 cos 5 sec = cos sin = u=cos cos +ln cos + c Alterrntiv- tn5 sec = tn sec (sec +) sec hcemos u =sec Ahor pr integrsles de l form I = cot m csc n se procede en form similr Pr integrles de l form I = sin cos b ( 6= b) utilizmos l identidd Ejemplos- tn 5 = tn sec = tn sec tn = = tn sec tn sec = = tn sec tn sec + tn = u=tn 4 tn4 + = tn sin cos =u=cos 4 tn4 tn ln cos +c sec 4 = sec sec = sec +tn = = sec + sec tn = u=tn tn + 6 tn + c sin α cos β = [sin (α β)+sin(α + β)] con lo que l integrl qued I = sin ( b) + sin ( + b) = ( b) cos ( b) cos ( + b) + c (c + b) Ejemplo- cos sin = sin cos 5 + c Pr integrles de l form sin sin b o cos cos b se procede en form nálog utilizndo ls siguientes identiddes sin α sin β = [cos (α β) cos (α + β)] cos α cos β = [cos (α β)+sin(α + β)]
Sustituciones trigonométrics Ejercicio- Clculr p 4 (R: I = π 8 ) Pr integrles que contengn ríces o potencis de con >, podemos hcer = sin u, π u π,demnerque = cos udu Note por otr prte que q = sin u = cos u = cos u q 9 4 9 sin u Ejemplo- = = sin u cos u sin u = sin u = du = csc udu sin udu = sin u csc u csc u cot u z=csc u cot u = du+ cos u+c = csc u cot u =ln csc rcsin cot rcsin + 9 4 +c = =ln 9 4 + 9 4 + c Pr integrles que contengn ríces o potencis de + con >, podemos hcer = tn u, con π <u< π,demnerque = sec udu Note demás que + = sec u = sec u Ejemplo- tn u cos u 4+ == 4+ sin u du =z=sin u + c 4 Pr integrles que contengn ríces o potencis de con >, podemos hcer = sec u, con u < π o π u < π, de mner que = sec u tn u Noteque = tn u = tn u 9 π = = sec u tn udu = π 6 4π Pr integrles que contengn ríces o potencis de b + c + d, completmos cudrdos de mner que formmos epresiones del tipo o + o con >pr posteriormente plicr un de ls tres sustituciones nteriores según correspond Ejemplos- 4 == sec u 4 sec udu =secutn u+ln sec u +tnu + c = 4+ln + 4 +c Not - Pr sec udu ver ejemplo 5 de l primer sección Ejemplo- = (4 7 + 7) ³ 4(_) = = sec u sec u 8 tn u du = 9 = 8 csc udu = 8 ln csc u cot u +c = 9 4 7 +7 +c 4 Frcciones Prciles Utilizmos l técnic de descomposición en frcciones prciles pr el cálculo de integrles de funciones rcionles + Ejemplo- + 6 = + ( )(+) = 6 Por lo tnto + + 6 = 6 + + 5 + 5 + = = 6 ln + ln 5 ln + + c 4
5 Sums de Riemnn l integrl de Riemn Sums de Riemnn- Se f : [, b] R un función continu se P un ptición del intervlo [, b], P = {,,, n } Pr cd k =,,, n,sen m k M k el vlor mínimo máimo de f (respectivmente) sobre [ k, k ]L sum inferior L f (P) l sum superior U f (P) de f con respecto l prtición P están definids por: L integrl definid b L f (P) = m 4 + m 4 + + m n 4 n U f (P) = M 4 + M 4 + + M n 4 n b f () es por definición el único número que stisfce L f (P) f () U f (P) pr cd prtición P del intrvlo [, b] Recordemos tmbién que si f es un función continu podemos escribir: b b f () = sup {L f (P)} obien f () = inf {U f (P)}, donde P π[,b] P π[,b] π [, b] es l colección de tods ls prticiones del intervlo [, b] Definición- Se f :[, b] R un función se P = {,,, n } un prtición del intervlo [, b] Pr cd k =,,, n se t k un número rbitrrio en [ k, k ] Entonces l sum f (t ) 4 + f (t ) 4 + + f (t n ) 4 n es llmd sum de Riemnn de f sobre [, b] es denotd por Pr culquier elección de t k se tendrá Luego L f (P) = m k 4 k k= m k f (t k ) M k f (t k ) 4 k k= M k 4 k U f (P) k= f (t k ) 4 k Puesto que L f (P) U f (P) sirven pr proimr l integrl f (), entonces culquier sum de Riemnn de f sobre [, b] tmbién es un proimción de l mism, es decir b f () donde t k [ k, k ],k =,,, n f (t k ) 4 k Ejemplo- Considere l prtición P =,,,, ª del intervlo [, ] p proime +4 medinte sums de Riemnn, usndo ls siguientes elecciones pr t k : t k = k t k = k t k = k + k 4 t k = m k k= 5 t k = M k donde =, =, =, 4 =;m k M k son los vlores de mínimo de máimo de f () = + 4 sobre el intrvlo [ k, k ] Solución- n =4 4 k = k k = ; k =,,, 4 k= b 5
4X f (t k ) 4 k = k= ³ + q 7 6 ++ q 7 6 788 5 75 5 5 - -5 5 4X f (t k ) 4 k = k= + 4 ³q 7 q 6 ++ 7 6 + 788 5 75 5 5 - -5 5 4X f (t k ) 4 k = k= ³q 7 q q q 56 ++ 57 56 + 57 56 + 7 56 49 5 75 5 5 - -5 5 4 L f (P) = 5 U f (P) = 4X m k 4 k = k= ³q 7 4X M k 4 k 44499 k= 6 +++ q 7 6 78 Observción- Pr elecciones diferentes de los de t,t,, t n corresponden distintos vlores de l sum de Riemnn Podemos distingir lguns elecciones de los t k,k =,,, n Sit k es el etremo izquierdo del subintervlo [ k, k ] como en el ejemplo ) nterior, llmmos sum izquierd lsumderie- mnn socid est elección Análogmente definiumos l sum derech sum medi ilustrds en el ejemplo nterior prtes ) ) respectivmente Teorem-Se f : [, b] R continu Ddo >, eiste δ > tl que si P = {,,, n } un prtición del intervlo [, b] cuos subintervlos tienen longitud menor que δ si k t k k,k =,,, n; entoncesl sum de Riemnn stisfce l desiguldd b f () f (t k ) 4 <ε k k= loqueseescribe b f () = kpk k= f (t k ) 4 k 6
donde kpk indic como l longitud de todos los suintervlos tiende cero Ejemplo- Aproimr ln = utilizndo ls prticiones P =, 4, 5, ª, P =, 6 5, 7 5, 8 5, 9 5, ª P =,,,, 4, 5 6, 7, 8 9, ª tomndo el etremo izquierdo como t k X Solución- Pr P - f ( k ) 4 k = f () + f 4 + f 5 78 k= Pr P - 5X k= Pr P - Observción- f ( k ) 4 k = f () + f 6 + f 7 + f 8 5 + f 9 5 74565 X k= f ( k ) 4 k 7877 Los cálculos muestrn quemientrs más son los subintervlos mejor es l proimción, sin embrgo ningun es ect Un mejor proimción pr ln es 6947 Si f es continu sobre [, b] P es un prtición del intervlo [, b] El n-ésimo error l usr l sum de Riemnn f (t k ) 4 k en lugr de b f () es E n = b f () k= f (t k ) 4 k k= El error E n depende de P delost k En el ejemplo nterior: E = 6947 78 =986 E 5 = 6947 74565 =5488 E = 6947 74565 =564 Bjo cierts condiciones pr f P, h un mner de encontrr un cot superior pr el error E n Si ( [, b]) f () M P divide l intervlo [, b] en n subintervlos de longitud b n, entonces E n M(b ) n Ejemplo- Encontrr un número n que grntice un error menor que en l proimción de Solución- M(b ) n ( [, ]) f () = b = Por lo tnto n es decir pr n =, E n Definición- Sen f : [, b] R un función L un número rel Si ddo ε>, eisteδ>tl que culquier se l prtición P de [, b] con longitud de los subintervlos menor que δ n L X f (t k ) 4 <ε k k= con t k [ k, k ];k =,,, n Entonces diremos que f es integrble Riemnn sobre [, b] escribimos b f () = L 7
Observción- El teorem nterior muester que tod función continu sobre [, b] es integrble Riemnn Definición- Se dice que f es seccionlmente continu sobre [, b] si f es continu sobre [, b] slvo en un número finito de puntos,,, n de ], b[ donde f tiene límites lterles finitos Observción- Si f es seccionlmente continu sobre [, b], entonces f es continu sobre [, ], [, ], [ n, n ], [ n,b] Luego f es integrble Riemnn sobre cd uno de estos intervlos Definición- Se f un función seccionlmente continu sobre el intervlo [, b] sen,,, n los puntos de discontinuidd de f Sedefine l integrl de Riemnn de f por b f () = Ejemplo- Encontrr f () = 6 INTEGRALES IMPROPIAS f () + f () + + b f () f () si f () =, <, =, < Un integrl definid cu integrnd es no cotd o su intervlo de integrción es no cotdo se llm integrl impropi se distingen dos csos er cso) Integrnd no cotd- Diremos que f es no cotd en un vecindd de si f no es cotd sobre un intervlo ],b[,b > ;osobreunintervlo ], [,< Solución- Ejemplos- g () =ln, < 5 5-5 -5-75 - es no cotd cerc de = f () =, << 5 5 5 5 es no cotd cerc de = 8
h () =tn, π << π -5 - -5 5 5 - - es no cotd cerc de = π cerc de = π Se f continu sobre ], b] no cotd cerc de, entonces f es continu sobre b [c, b],<c<b pr cd c ], b[, f () eiste c + b c c f () eiste, definimos: b b f () = f () c + c diermos que l integrl converge En cso contrrio diremos que l integrl diverge b Si f es no negtiv f () diverge, diremos que el áre bjo l curv de ecución = f () eleje es infinit se escribe Ejemplos- b f () =+ 4 4 = c + c Por lo tnto 4 ln = c + c Por lo tnto = c + ( ) \ 4 c = converge (cv) ln =u=ln diverge (dv) ln ln du c + ln c u = h = (c ) c + i = = [ln ln ln ln c ] =+ c + Clculr el áre encerrd por el eje, elgráfico de l curv de ecución f () =tn, π << Solución- 5-5 -5 - -75-5 -5-5 - -5 - Are (R) = π f () = c π + c tn =+ 9
Si f es continu sobre [, b[ no cotd cerc de b, sedefine b f () = c b si el límite eiste diverge en cso contrrio 4 c c f () Si f es continu sobre ], b[, nocotdcercde no cotd cerc de b, se define b d b f () = f () + f () d b donde d es un número fijo en ], b[ Diremosque f () converge si mbs integrles de l derech convergen que divergen en cso contrrio = = 8 ( ) 9 Por lo tnto + =(cv) = 8 ( ) 9 Si f es continu sobre [, b] slvo en el punto d ], b[, enelculf no es cotd, se define b b f () = d f () + b d f () Ejemplo- (t 4) = c 4 (t 4) =+ LuegoeláredelregiónR es infinit Ejemplo- diremosque f () converge si mbs integrles de l derech convergen que divergen en cso contrrio ½ +, Ejemplo- Clcule f (), sif () =, < Solución- 5 75 5 5 5 5 f () = f () = Por lo tnto f () + f () =+ (dv) f () diverge do cso) Si f es continu sobre [, + [ ( respectivmente sobre ],b] ), entonces ( respectivmente ) tmbién es llmd integrl impropi diremos queconvergesiellímitesiguiente R R + f () ( respectivmente ) eiste diremos que diverge en cso contrrio
Escribimos: f () = + dt t t = Por lo tnto converge R R + f () (respectivmente R R + b dt t t =t=sec + f () = R + = R + b R R rcsec R π f () ) = rcsec R π = π 6 Are (R) == + = R + R Si f es continu sobre ], + [ diremos que f () + define: + f () = En cso contrrio se dice que Ejemplos- dt Ejercicio- Estudir l convergenci de t t ClculeeláredelregiónR encerrd por el gráfico de l función definid por f () = eleje, Solución- Ejemplos- = = R + ln R = ln 4 + f () converge si f () mbs convergen pr fijo en R en tl cso se + f () + + f () diverge f () + + cos = cos = Por lo tnto + + R + + e = + e e = + e cos + R + cos = cos cos diverge luego R + e + e R R + + [sin R]: Este límite no eiste + + cos diverge e + e e = + e [rctn R + (e )] R = De l mism mner: e = + e Por lo tnto + R R e + e = π 4 e + e = π (cv) = π 4 π = π 4
Si f es continu sobre ], + [ ( respectivmente sobre ],b[ )noes cotd cerc de ( respectivmente es no cotd cerc de b ), se define: + f () = donde c>es un número fijo ( respectivmente b f () = c c f () + f () + + c b c f () f () donde c<bes un número fijo) Diremos en cd cso que l integrl de l izquierd converge si mbs integrles de l derech convergen o que diverge en cso contrrio + + Ejemplo- = + = ε = ln = ε + Por lo tnto +ε + diverge luego +ε = ε diverge ³ ln ln ε ε+ =+ Culquier otro cso que se presente es un reiterción de los csos señldos nteriormente, por lo que se procede de mner similr los ilustrdos reiterndo el proceso tnts veces como se necesrio + Ejemplo- Decid si converge l integrl impropi e,, <, > + Solución- f () = f () + f () + Observción- " ε ε ( ) + = ( ) = +ε ( ) e + ( ) + # = f () si f () = + f () = + + = = ++ ln 4 ln = ln + 4 diverge Sin embrgo ( ) Teorem (criterio de comprción)- Sen f,g :[, b] R dos funciones no negtivs b b de modo que f () g () sen impropis Si ( [, b]) f () g () se tiene: b b g () converge, entonces f () diverge, entonces Demostrción- b b b f () converge g () diverge f () converge o diverge + ( que f () pr [, b]) Puesto que f () g (), [, b], entonces por propieddes del límite se tiene: b f () Por lo tnto b b g () < + f () converge
L demostrción es nálog Ejercicio Ejemplo- Estudie l convergenci de ls siguientes integrles: 5 6 ln 4 ( ) 4 Solución- Pr >: 4 > 4 > 4 > < 4 5 converge (verificrlo) 5 Por lo tnto converge (criterio de comprción) 4 Pr >:ln> ln > ( ) 4 ( ) 4 6 4 diverge (verificrlo) Luego poe criterio de comprción ( ) 6 ln 4 diverge ( ) Corolrio - Sen f,g :[, b] R dos funciones de modo que b g () sen impropis Si ( [, b]) f () g (), setiene: b f () b b f () converge, entonces g () diverge, entonces b b g () converge f () diverge g () f () Bst plicr el teorem nterior f () g () Además debe considerr que b b h () = h () Corolrio - Supongmos que b b f () es un integrl impropi b 4π Demostrción- Si f () converge, entonces f () Demostrción- f () f () f () sin Ejemplo- Estudie l convergenci de π Solución- sin π,π 4π π 4π p converge (verificrlo) Por lo tnto π 4π sin π converge (criterio de comprción) 4π sin Luego converge π Observción- Los mismos resultdos nteriores siguen siendo válidos si ls integrles impropis son del o tipo; es decir, si son integrles sobre intervlos no cotdos
+ cos Ejemplo- Determine si es convergente + Solución- cos + +, + converge (verificrlo) Por lo tnto + + cos + converge (criterio de comprción) + cos Luego converge + Cálculo I II - 54 JRC 4 de Agosto de 5 4