FUNCIONES EULERIANAS

NOTAS PARA LOS ALUMNOS DEL CURSO DE ANALISIS MATEMATICO III FUNCIONES EULERIANAS Ing. Juan Sacrdoi Dparamno d Ingniría Univrsidad d Bunos Airs V.

INDICE.- FUNCIÓN GAMMA: EULERIANA DE SEGUNDA ESPECIE..- PRIMERA DEFINICIÓN DE Γ...- DEFINICIÓN...- JUSTIFICACIÓN DE LA DEFINICIÓN: ANALISIS DE CV DE LA II..3.- JUSTIFICACIÓN DE LA DEFINICIÓN: UNICIDAD DE LA RELACIÓN Γ SOBRE R..4.- CONTINUIDAD DE Γ SOBRE R..- OTRA FORMA DE Γ.3.- PROPIEDADES DE Γ.3..- FÓRMULA DE RECURRENCIA.3..- FÓRMULA DE RECURRENCIA GENERALIZADA.3.3.- VALORES NOTABLES.3.4.- VALORES NOTABLES n n!.3.5.- VALORES NOTABLES.3.6.- VALORES NOTABLES n FÓRMULA DE DUPLICACIÓN PARA n N.3.7.- COMPORTAMIENTO DE Γ EN EL V(.3.8.- MÍNIMO DE Γ EN R.3.9.- RESUMEN DE PROPIEDADES.4.- EXTENSIÓN DEL FACTORIAL PARA VALORES REALES POSITIVOS.5.- REPRESENTACIÓN GRAFICA DE Γ (PRIMERA DEFINICIÓN.6. DERIVADA DE LA FUNCIÓN Γ.7. PROPIEDADES DE Γ.7..- FÓRMULA DE RECURRENCIA Γ.7..- FÓRMULA DE RECURRENCIA GENERALIZADA Γ.7.3.- VALORES NOTABLES Γ (.7.4.- VALORES NOTABLES Γ (n.7.5.- RESUMEN DE PROPIEDADES DE Γ.8.- SEGUNDA DEFINICIÓN DE Γ.8..- DEFINICIÓN.9.- PROPIEDADES DE Γ (SEGUNDA PARTE.9..- COMPORTAMIENTO DE Γ EN EL V(.9..- COMPORTAMIENTO DE Γ EN EL V( k.9.3.- LÍMITE DE p ν/ ν..- EXTENSIÓN DEL FACTORIAL PARA VALORES DE R Z { }

..- DEFINICIÓN DE /Γ SEGUNDA DEFINICIÓN..- REPRESENTACIÓN GRAFICA DE Γ Y DE /Γ (SEGUNDA DEFINICIÓN.3.- TERCERA DEFINICIÓN DE Γ.3..- DEFINICIÓN.3..- ANALISIS DEL DOMINIO DE LA TERCERA DEFINICIÓN DE Γ.4.- PROPIEDADES DE Γ (TERCERA DEFINICIÓN.4..- HOLOMORFIA.5.- EXTENSIÓN DEL FACTORIAL PARA VALORES DE C Z { }.6.- DEFINICIÓN DE /Γ (TERCERA DEFINICIÓN.- FUNCIÓN BETA: EULERIANA DE PRIMERA ESPECIE..- PRIMERA DEFINICIÓN DE B...- DEFINICIÓN...- JUSTIFICACIÓN DE LA DEFINICIÓN: ANALISIS DE CV DE LA II..- OTRAS FORMAS DE B...- SEGUNDA FORMA DE B...- TERCERA FORMA DE B..3.- CUARTA FORMA DE B.3.- PROPIEDADES DE B.3..- REDUCCIÓN DE B A Γ.3..- SIMETRÍA DE B.3.3.- FÓRMULA DE LOS COMPLEMENTOS.3.4.- EXTENSIÓN DE LA FÓRMULA DE LOS COMPLEMENTOS.3.5.- RELACIÓN CON LOS NÚMEROS COMBINATORIOS.3.6.- FÓRMULA DE DUPLICACIÓN PARA R.4.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE B (PRIMERA DEFINICIÓN.5.- SEGUNDA DEFINICIÓN DE B.5..- DEFINICIÓN.6.- OTRAS PROPIEDADES DE B Y Γ.6..- OTRA FORMA DE Γ (TERCERA FORMA.6..- VALORES NOTABLES Γ (.7.- TERCERA DEFINICIÓN DE B.7..- DEFINICIÓN.7..- ANALISIS DEL DOMINIO DE LA TERCERA DEFINICIÓN DE B *** (no hcho.8.- FUNCIÓN DIGAMMA*** (no hcho vr Casagno

3.- FUNCIÓN GAMMA INCOMPLETA 3..- PRIMERA DEFINICIÓN DE Γ INCOMPLETA 3...- DEFINICIÓN APENDICE I.5..- TABLA DE LA FUNCIÓN GAMMA APENDICE II.7.3..- VALOR DE LA CONSTANTE DE EULER (CÁLCULO NUMÉRICO APENDICE III.3.3..- FÓRMULA DE LOS COMPLEMENTOS: SEGUNDA DEMOSTRACIÓN.3.3.3.- FÓRMULA DE LOS COMPLEMENTOS: TERCERA DEMOSTRACIÓN.3.3.4.- FÓRMULA DE LOS COMPLEMENTOS: CUARTA DEMOSTRACIÓN

.- FUNCIÓN GAMMA: FUNCIÓN EULERIANA DE SEGUNDA ESPECIE Eisn varias dfinicions d la función Γ a parir d sucsivas nsions dl Dominio, a sabr: D R D R Z {} D C Z {} Qu s dsarrollarán a lo largo dl o...- PRIMERA DEFINICIÓN DE Γ...- DEFINICIÓN S llama función Gamma Γ (n su primra dfinición sobr l dominio R o Función Eulriana d Sgunda Espci: Dfinición d Γ (Primra: Γ : R R α α : α d Obs.: La jusificación d qu Γ s fcivamn una función y d qu su dominio s R, s obin dl análisis d convrgncia y unicidad qu sigun....- JUSTIFICACIÓN DE LA DEFINICIÓN: ANALISIS DE CV DE LA II S analiza la CV d la II anrior para jusificar la dfinición..- Eisncia d la función ingrando, salvo para punos singulars aislados y punos singulars d la Ingral Impropia: f : ] A[ α p.s. V V α <.- Eisncia d la Ingral d Rimann sobr l Inrvalo d Ingración cluyndo los vcinals d los punos singulars: a A α d IR f C[a A] : a > 3.. Análisis d CV n V : s compara con / / α α d CV [Tabla ] V α V d CV α

3..- Análisis d CV n V : s compara con α α V α α α α / d CV α α 4.- Rsumn d CV [Tabla ] d CV α > V α α d CV α >..3.- JUSTIFICACIÓN DE LA DEFINICIÓN: UNICIDAD DE LA RELACIÓN Γ SOBRE R La Rlación Γ sobr R s unívoca (y por lo ano s una función hcho qu s dduc a parir d la unicidad d la Ingral d Rimann y la unicidad dl Lími siguin: α : lim A A α d a ε..4.- CONTINUIDAD DE Γ SOBRE R T.- Df Γ α α d C/ R Toda Ingral d función coninua s coninua...- OTRAS FORMAS DE Γ Oras formas d la función Γ s obinn por mdio d cambios d variabls. Por jmplo: T.- Sgunda Forma d Γ Df Γ α [ L( ] α dy y Tomando y > s hac l cambio d variabl y > y L( y y y d y dy Rsula α [ L( y ] α dy

.3.- PROPIEDADES DE Γ.3..- FÓRMULA DE RECURRENCIA T.- Df Γ α α α α α d - α α > α α α Obs.: No olvidar qu α > α- d.3..- FÓRMULA DE RECURRENCIA GENERALIZADA T.- Df Γ αk (αk (αk- (αk-... (α α α Γ ( α k Γ ( α k j (αj αk (αk αk (αk (αk- αk- (αk (αk- (αk- αk-... αk (αk (αk- (αk-... (α α α O ambién k α k α (αj j.3.3.- VALORES NOTABLES T 3.- Df Γ : d -.3.4.- VALORES NOTABLES n n! T 4.- Df Γ n n! Aplicando la Fórmula d rcurrncia gnralizada n n (n- (n-... 3.. n! Obs.: Nós qu la función Γ s una nsión a R! d los facorials naurals n!. Por lo ano s vrifica qu

.3.5.- VALORES NOTABLES T 5.- Df Γ Prviamn s dmusra I d I [ d ] [ ( y y dy ] d dy R R Tomando la ingral dobl ans d pasar al lími ( y d dy Por sr la función ingrando posiiva, s pud acoar R R / / ( y d dy R R ( y d dy / R / R / ( y d dy Cambiando a coordnadas polars las ingrals d los rmos: R / ρ ρ dρ dϕ R R ( y d dy / R / ρ ρ dρ dϕ R ρ ρ dρ dϕ R R ( y d dy / R ρ ρ dρ dϕ ρ R 4 R R ( y / d dy ρ R 4 I 4 4 Es dcir: I 4

I d.3.6.- VALORES NOTABLES n FÓRMULA DE DUPLICACIÓN PARA n N T 6.- Df Γ n (n (n 3... 5 Por la fórmula d rcurrncia s induc 3 n (n (n 3... 5. 3. ( n! Fórmula d Duplicación para n N n n! 3 5 3 7 5 3... 3 5 n (n (n... 3 fórmula qu ambién pud prsars n (n (n 3... 5 3 n (n (n 3... 5. 3. o ambién una rcra forma qu s la Fórmula d Duplicación para n N n n (n (n 3... 5. 4. 3.. n n! (n! n n!.3.7.- COMPORTAMIENTO DE Γ EN EL V( T 7.- Df Γ α V( α α La función Γ s compora como la hipérbola n l V( α α α α α

.3.8.- MÍNIMO DE Γ EN R T 8.- Df Γ ξ α min [ ] α α C/R α- d > Por l Torma d Roll: ξ [ ] : Γ (ξ Obs.: La abscisa dl mínimo s α min,46 63... y la ordnada α min,885 6....3.9.- RESUMEN DE PROPIEDADES Df Γ T α α α Fórmula d rcurrncia T αk (αk (αk- (αk-... (α α α Fórmula d rcurrncia gnralizada T 3 T 4 n n! T 5 T 6 n (n- (n- 3... 5 n (n- (n- 3... 5. 3. ( n! Fórmula d Duplicación para n N n n! T 7 α V( α α T 8 ξ α min [ ] 3

.4.- EXTENSIÓN DEL FACTORIAL PARA VALORES REALES POSITIVOS A parir dl T 4 s jusifica omar a la función Γ como nsión dl facorial sobr R. S dfin noncs Df.: α! : α En paricular! : Obs.: La noación d facorial s ndrá a mdida qu s ind la dfinición d Γ..5.- REPRESENTACIÓN GRAFICA DE Γ (PRIMERA DEFINICIÓN La gráfica d la función Γ para α > s:.6.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN Γ Como s probará sobr l inrvalo ral <α α α is la Drivada d la función Γ cuya rprsnación s: Df Γ Γ (α - a- L d α < α α α S rcurda qu para cambiar l ordn d drivación n una ingral impropia s suficin qu s cumpla: H H H H 3 4 f CP /, α f CP /, α α f CV V f CU V α α V f(,α d V f (, α α d Las Hipósis H y H 3 s cumpln: Drivando bajo l signo ingral s in: f (, α d α L d s compruba qu s cumpl H. Fala vrificar H 4. α

Empzando n V l análisis d la CU V. - α α α f (, α d V α α α L d V V α L d Esa úlima CV n V pus comparando con / α α L L / d CV [Tabla ] V V α L d CV α α En conscuncia por l Torma d Wirsrass α L d CU α α V V.- α α α f (, α d V α V α α L d V α L d En V s compara con α α α L L α α L α α / α>α d CV α α [Tabla ] α V En conscuncia por l Torma d Wirsrass V α L d CV α > V α L d CU α α > En rsumn - α L d CU α < α α α Por lo ano s válido aplicar la Tsis dl orma nunciado α f(,α d f (, α d α Γ (α α L d α < α α α

.7. PROPIEDADES DE Γ.7..- FÓRMULA DE RECURRENCIA DE Γ Γ ' ( α Γ ' ( α T.- Df Γ Γ ( α α Γ ( α Drivando n forma logarímica la Fórmula d rcurrncia d Γ α α α Γ '( α α Γ '( α α α.7..- FÓRMULA DE RECURRENCIA GENERALIZADA Γ T.- Df Γ Γ ' ( α k Γ ( α k α k α k Γ ' ( α... α k α α Γ ( α Drivando n forma logarímica la Fórmula d Rcurrncia d Γ αk (αk (αk (αk... (α α α s obin la Fórmula d Rcurrncia d Γ Γ '( α k α k α k α k α k Γ '( α... α α α.7.3.- VALORES NOTABLES Γ ( T 3.- Df Γ Γ ( - L d.577... - γ (γ:consan d Eulr Por cálculo numérico s obin l valor Γ (.577 5 664 99... qu s l opuso d la consan d Eulr (s supon qu s un númro irracional.7.4.- VALORES NOTABLES Γ (n T 4.- Df Γ Γ ' ( n H(n Γ ( Γ ( n En la prsión d rcurrncia d Γ Γ '( α k α k α k α k α k Γ '( α... α α α omando α y k n quda Γ '(n n n n n... Γ '(

dfinindo la Suma Armónica d n érminos H(n : n n H( : n... Rsula: Γ '(n n H(n Γ (.7.5.- RESUMEN DE PROPIEDADES DE Γ Df Γ T Γ ' ( α Γ ( α Γ ' ( α α Γ ( α Fórmula d rcurrncia d Γ Γ ' ( α k Γ ' ( α T... Γ ( α k α k α k α k α α Γ ( α Fórmula d rcurrncia gnralizada d Γ T 3 Γ ( - L d.577... γ (γ:consan d Eulr T 4 Γ ' ( n H(n Γ ( Γ ( n

.8.- SEGUNDA DEFINICIÓN DE Γ La sgunda dfinición d la función Γ s hac para ndr la primra dfinición al dominio R qu n rigor srá D R Z { } Para los rals ngaivos s ind por dfinición la validz d la Fórmula d Rcurrncia.8..- DEFINICIÓN S llama función Gamma Γ (n su sgunda dfinición o Función Eulriana d Sgunda Espci: Dfinición d Γ (sgunda: Γ : R Z { } R α α α : d Γ ( α αγ ( α α > α <.9.- PROPIEDADES DE Γ (SEGUNDA PARTE S analiza por la Fórmula d Rcurrncia l comporamino d la función para los rals ngaivos y l cro..9..- COMPORTAMIENTO DE Γ EN EL V( T 9.- Df Γ (sgunda dfinición α ] [ α < α V( α α Parindo d α α α si α ] [ α < α α Por ora par la función Γ s ambién s compora como la hipérbola α α Esa propidad s pud ndr: n l V( α.9..- COMPORTAMIENTO DE Γ EN EL V( k T.- Df Γ (sgunda dfinición α ] [ α < α ] [ α >... α ] (k k[ sg(α ( k α V( α α Parindo d α V( α α... ( α V( k α k! k α k

α α α α si α ] [ α > α α La función Γ s ambién s compora como la hipérbola α α - - α α n l V( Gnralizando d α α k α k α k... α αk α α α k si α ] (k k[ sg(α ( k La función Γ s ambién s compora como la hipérbola α k α k... αk α α α k n l V( k α k ( k -! k.9.3.- LÍMITE DE p ν/ ν T.- Df Γ ( sgunda dfinición n N Γ ( p ν Γ ( ν Γ ( p n n ν Γ ( n n >,> n <,p> ν n (- p Γ ( n ν Γ ( n p n n <p, < D.- p ν ν (p ν(p ν(p ν...( ν( ν p n ( ν n Γ n n >,> ν n n <,p> p ν ν ( p (ν p(ν (p (ν (p...(ν (ν ( p ν ν p ( p n ν n n p n <p, <

..- EXTENSIÓN DEL FACTORIAL PARA VALORES DE R Z { } La noación d facorial s pud ndr sobr R Z {} con la sgunda dfinición d Γ. S dfin noncs: Df.: α! : α α R Z {}..- DEFINICIÓN DE /Γ SEGUNDA DEFINICIÓN La función Gamma /Γ (n su sgunda dfinición s pud dfinir sobr odos los rals. En fco omando para los valors d Z {} l valor dl lími qu s : Γ ( α α k Dfinición: /Γ : R R α Γ ( α α Z α Z { } { }..- REPRESENTACIÓN GRAFICA DE Γ Y DE /Γ SEGUNDA DEFINICIÓN Las gráficas d la funcions Γ y /Γ para α R Z {}> s:

.3.- TERCERA DEFINICIÓN DE Γ La sgunda dfinición d la función Γ s hac para ndr la sgunda dfinición sobr l dominio R Z {} al dominio C Z {} Para los rals ngaivos s ind por dfinición la validz d la Fórmula d Rcurrncia.3..- DEFINICIÓN S llama función Gamma Γ (n su rcra dfinición Eulriana d Sgunda Espci: Dfinición d Γ (rcra: Γ : C Z {} C z z : z d Γ ( z zγ ( z z C R(z R(z > z Z - {}.3..- ANÁLISIS DEL DOMINIO DE LA TERCERA DEFINICIÓN DE Γ S analiza por la Fórmula d Rcurrncia l comporamino d la función Γ (rcra dfinición n los compljos para los valors nros ngaivos y l cro. En forma análoga a lo dmosrado para la sgunda dfinición d Γ T Df Γ (rcra dfinición z V( z z z V(... z V( k z z z z k.4.- PROPIEDADES DE Γ (Trcra Dfinición

.4..- HOLOMORFÍA T Df Γ (rcra dfinición z H/ C Z {} z : La ingral qu dfin z : z d sobr z C R(z > z d iy d iy d iy L d [cos(y L i sin(y L ] d cos(y L d i sin(y L d Llamando u( y : R(z v( y : Im(z cos(y L d sin(y L d Ambas ingrals cumpln con las hipósis dl orma qu da condicions suficins para cambiar l ordn nr drivación ingral impropia: H H H H 3 4 f CP /, α f CP /, α α f CV α V f CU V α V f(,α d V f (, α α d drivando: u u y v v y cos(y L L d sin(y L L d sin(y L L d cos(y L L d s cumpln las condicions d Cauchy Rimann y sindo admás las drivadas coninuas

u u y v C/,y y v C/,y la función s Holomorfa z H/ [ z C R(z > ] qu s ind a por drivación d la fórmula d rcurrncia a: z H/ C Z {}.5.- EXTENSIÓN DEL FACTORIAL PARA VALORES DE C Z { } La noación d facorial s pud ndr sobr C Z {} con la rcra dfinición d Γ. S dfin noncs: Df.: z! : z z R Z {}.6.- DEFINICIÓN DE /Γ (Trcra Dfinición La función Gamma /Γ (n su sgunda dfinición s pud dfinir sobr odos los rals omando para los valors d Z {} l valor dl lími qu s : Γ ( z z k Dfinición: /Γ : C C z Γ (z z Z z Z { } { }

.- FUNCIÓN BETA: FUNCIÓN EULERIANA DE PRIMERA ESPECIE..- PRIMERA DEFINICIÓN DE B La función B in una primra dfinición sobr l dominio R R qu más adlan s ndrá sobr los dominios D (R Z {} (R Z {} D (C Z {} (C Z {}...- DEFINICIÓN S llama función Ba B (n su primra dfinición Eulriana d Primra Espci: Dfinición d B (primra: B : R R R (p q B (p q : p ( q d Obs.: La jusificación d qu l dominio d B s fcivamn R R s obin dl análisis d convrgncia qu sigu....- JUSTIFICACIÓN DE LA DEFINICIÓN: ANALISIS DE CV DE LA II S analiza la CV d la II anrior para jusificar la dfinición..- Eisncia d la función ingrando, salvo para punos singulars aislados y punos singulars: f : ] [ p ( q p.s. V p < V q <.- Eisncia d la Ingral d Rimann sobr l Inrvalo d Ingración cluyndo los vcinals d los punos singulars: ε ε p ( q d IR f C[ε ε ] : i ε ε > 3.. Análisis d CV n V : s compara con p p V ( p p q d CV p p [Tabla ] V p ( q d CV p > p V ( 3..- Análisis d CV n V : s compara con ( q ( q q 4.- Rsumn d CV q q [Tabla ] V - p ( q d CV q >

p ( q d CV ( p > (q >..- OTRAS FORMAS DE B Oras formas d la función B s obinn por mdio d cambios d variabls. Por jmplo:...- SEGUNDA FORMA DE B T.- Df B B (p q y p p q ( y dy Parindo d B (p q : p ( q d s hac l cambio d variabl y y y y y y y Es dcir: y y y y y d dy ( y Rmplazando B (p q y p p ( y ( y q ( y dy B (p q y p p q ( y dy...- TERCERA FORMA DE B T.- Df B B (p q / sin p ϕ cos q ϕ dϕ Parindo d B (p q : p ( q d

s hac l cambio d variabl / sin ϕ ϕ Arc sin / ϕ ϕ d sinϕ cosϕ dϕ Rmplazando B (p q / B (p q / sin p ϕ cos q ϕ sin p ϕ cos q ϕ dϕ sinϕ cosϕ dϕ Ejmplos: / sin r ϕ cos ϕ dϕ r s B(, / Caso paricular dϕ B(, / Caso paricular sin r ϕ dϕ r B(, r r..3.- CUARTA FORMA DE B T 3.- Df B B (p q ( p p q d B(p q p p q ( d ( (p p q d ( p p q d

.3.- PROPIEDADES DE B.3..- REDUCCIÓN DE B A Γ T.- Df Df B Γ B (p q Γ ( p Γ ( q Γ ( p q p > q > Sa l produco p. q ( p d ( y y q dy qu s pud ransformar n Ingral dobl ( y p y q dy d Hacindo l cambio d variabls y s s y - s dond la Fronra dl rcino d ingración s ransforma s y s d J Rmplazando p. q s p ( s q ds d s p ( s q ds d Con un nuvo cambio d variabls n la ingral inrna s u u s s u

s u ds du p. q ( u p q ( u q ds d p q u p ( u q du d B(p q p q.3..- SIMETRÍA DE B T.- Df B B (p q B (q p D B (p q p q p q q p q p B (q p D B (p q p ( q d Con l cambio d variabls y y y y d dy B (p q ( y p y q dy B (q p

.3.3.- FÓRMULA DE LOS COMPLEMENTOS T 3.- Df Df B Γ p - p sin( p p ] [ Hay varias manras d dmosrar la Fórmula d los Complmnos, a coninuación s prsna la primra d llas, oras s prsnan n l Apéndic.3.3..- FÓRMULA DE LOS COMPLEMENTOS: PRIMERA DEMOSTRACIÓN D.- Una primra forma d llgar a la Fórmula d los Complmnos s n l Campo Compljo por cálculo d Rsiduos: I(p I γ p d p ] [ Tomando la ingral a lo largo dl camino γ z p z dz Por l Torma d los Rsiduos: γ γ γ3 γ4 i R( γ : z i γ R r p γ : ϕ ] ] z r iϕ L CSup f R γ 3 : z i γ3 r R d (p R p R γ 4 : ϕ ] ] z r iϕ r L CSup f r r R( i(p i p i(p i p I R r < p< < p< γ R i d R i p I R r < p< < p< γ4 r r

Romando γ γ γ3 γ4 i R( I i p I i i p I ip i ip I S obin noncs sin(p Por oro lado B (p q B (p -p y p p q ( y y p y dy dy p p p p D dond rsula la Fórmula d los Complmnos p p sin(p.3.4.- EXTENSIÓN DE LA FÓRMULA DE LOS COMPLEMENTOS S pud ndr la validz d la Fórmula d los Complmnos a p R Z T 4.- DfΓ p R Z p p sin( p Tomando por jmplo p ] [ p ] [ p (p p p ] [ p ] [ -p ( p p Enoncs para p ] [ p p p (p p ( p ( p p ( sin( (p sin(p Análogamn so s ind a p R Z

p / ] [ p / Z p (p (p... (q q q : q ] [ -q ( q ( q... ( p( p p : q ] [ ( p q (q (q... (p (p p p p ( q p q (p (p... (q q q (p (p...(q q ( q p q q ( q p sin(q p q k Par sin(q sin((pk sin(p Impar sin(q sin((pk sin(p p p sin(p.3.5.- RELACIÓN CON LOS NÚMEROS COMBINATORIOS T 5.- Df B B (p q p q p.q p p q (p q N D.- B (p q p q p q (p!(q! (p q! p q p. q p q p. q (p!(q! (p q! p q p.3.6.- FÓRMULA DE DUPLICACION PARA P R

T 6.- Df B p p p p Fórmula d Duplicación para n R B (p p / p θ ϕ p p p p p p p p sin p ϕ cos p ϕ dϕ / p / B (p, sin p (ϕ dϕ p p p p sin p (θ dθ sin p (θ dθ.4.- REPRESENTACION GRAFICA DE B (PRIMERA DEFINICION La gráfica d la función B para p > y q > s:

.5.- SEGUNDA DEFINICIÓN DE B La sgunda dfinición d la función B s hac para ndr la primra dfinición al dominio R qu n rigor srá D [ R Z { } ] La nsión s basa n la Fórmula qu rlaciona a B con Γ.5..- DEFINICIÓN S llama función Ba B (n su sgunda dfinición o Función Eulriana d Primra Espci: Dfinición d B (sgunda: B : [R Z { }] R p - (p q B (p q : Γ (p Γ (q Γ (p q ( - q - d ( p q [R - Z ( p q ( R - - { }].6.- OTRAS PROPIEDADES DE B Y Γ.6..- OTRA FORMA DE Γ (TERCERA FORMA T.- 3 a Df R( α Γ < i O α z z dz Γ ( α Tomando la ingral a lo largo dl camino γ I i z O α z dz i I γ γ γ3

γ : z i γ r R α i( α γ : ϕ ] ] z r iϕ L CSup f r γ 3 : z i γ3 R iα iα I i sin(α I α -(α d Por la Fórmula d los Complmnos -α α sin(α I α i r cos ϕ r r α i( α Obs.: El rsulado ambién s válido sobr R i α i d iα R -(α d r R( γ i d α < r R(α < r iα R -(α d r.6..- VALORES NOTABLES Γ ( T.- Df Γ Df B Γ ' ( L Γ ( D.- p A parir d la fórmula d duplicación p p p drivando n forma logarímica: Γ '(p Γ '(p Γ '(p L p p p Γ '( L para p Γ '( Γ '( Γ '( Γ '( L Γ '( L Γ (

D.- A parir d B(p p p p p B(p, / / [ Γ '(p p para p sin p ϕ dϕ Γ '(p p sin p ϕ dϕ ] 4 / sin p ϕ L sinϕ dϕ Γ '( [ Γ (] 4 / L sinϕ dϕ Calculando I / L sinϕ dϕ I / L sinϕ dϕ ϕ / θ / ϕ θ / L sinϕ dϕ I L cosθ dθ L sinθ dθ / L sinϕ dϕ ϕ θ L sinθ dθ I I / I / L sinϕ dϕ / L dϕ / L ( sinϕ cosϕ dϕ L sinϕ dϕ / L cosϕ dϕ I L I I I L Rornando a Γ '( [ Γ (] 4 / L sinϕ dϕ Γ '( [ Γ (] 4 ( L S llga a Γ '( L Γ (

Obs.: A parir d la primra Dmosración : Γ '( L Γ ( y sabindo d la primra par d la sgunda Dmosración Γ '( [ Γ (] 4 / L sinϕ dϕ s pud rar: I / L sinϕ dϕ L.7.- TERCERA DEFINICION DE B La sgunda dfinición d la función B s hac para ndr la sgunda dfinición sobr l dominio [R Z {}] al dominio [C Z {} ] Para los rals ngaivos s ind por dfinición la validz d la Fórmula d Rcurrncia.7..- DEFINICION S llama función Gamma B (n su rcra dfinición Eulriana d Sgunda Espci: Dfinición d B (rcra: B : [C Z {}] C (p q B (p q: p - Γ (p Γ (q Γ (p q ( - q - d ( p q C R( p > R( q > ( p q [C - Z - - { }]

3.- FUNCIÓN GAMMA INCOMPLETA Análogamn a las dfinicions hchas para la función Γ isn varias dfinicions d la función Γ incompla a parir d sucsivas nsions dl Dominio, a sabr: D R D R Z {} D C Z {} 3..- PRIMERA DEFINICIÓN DE Γ INCOMPLETA 3...- DEFINICIÓN S llama función Gamma Γ incompla (n su primra dfinición sobr l dominio R : Dfinición d Γ incompla (Primra: Γ : R R R (α, α, : α - d...- JUSTIFICACIÓN DE LA DEFINICIÓN: ANALISIS DE CV DE LA II S analiza la CV d la II anrior para jusificar la dfinición..- Eisncia d la función ingrando, salvo para punos singulars aislados y los punos singulars f : ] A[ α Punos singulars: p.s. V α <.- Eisncia d la Ingral d Rimann sobr l Inrvalo d Ingración cluyndo los vcinals d los punos singulars: a α d IR f C[a ] : a > 3.- Análisis d CV n V : s compara con α α α α α / d CV α α V α [Tabla ] V α d CV α > 4.- Rsumn d CV α d CV α >

APENDICE III.3.3..- FÓRMULA DE LOS COMPLEMENTOS: SEGUNDA DEMOSTRACIÓN D.- Una sgunda forma d llgar a la Fórmula d los Complmnos s n l Campo Compljo por cálculo d Rsiduos: I(p p ( p d p ] [ Tomando la ingral a lo largo dl camino γ I γ z p ( z p dz Por l Corolario dl Torma d Cauchy γ γ γ3 γ4 γ5 γ : z i z ( i γ r r p ( p d I r r γ : ϕ ] ] z r iϕ L CSup f r r p ( r p γ r γ 3 : z i z ( i γ3 r < p p i (p ( p i d < p r r r r i p I γ 4 : ϕ ] ] z r iϕ L CSup f r ( r p r p γ4 p< p< r r

Para obnr la ingral sobr γ 5 s aplica la invrsión: w / z γ 5 : ϕ [ ] z R iϕ Γ 5 : Φ [ ] w R iφ γ 5 Γ 5 Γ p 5 i R( dond w (w w p ( ( dw w w p dw R( ( p i( p i p Romando γ γ γ3 γ4 γ5 I i p I i i p I ip i ip S obin noncs I sin(p

.3.3.3.- FÓRMULA DE LOS COMPLEMENTOS: TERCERA DEMOSTRACIÓN D 3.- Una rcra forma d llgar a la Fórmula d los Complmnos s n l Campo Compljo por cálculo d Rsiduos: I(p p d ( p p d d p ] [ I γ Tomando la ingral a lo largo dl camino γ pz z dz La función ingrando no in punos d ramificación, pro in Polos n ( k i qu son odos d primr ordn. Para qu s incluya un solo Polo n l rcino d ingración, s lig β ] 3[ Por l Torma d los Rsiduos: γ γ γ3 i R(i γ4 A γ : z γ A p γ : y ] β] z Aiy L CSup f β A γ 3 : z iβ γ3 A A pa p( iβ iβ d A β (p A A I < p< < p< γ d I ip β A A A Para obnr una cuación con una sola incógnia, al aplicar l Torma d los rsiduos s lig β γ 4 : y ]β ] z Aiy L CSup f β pa A < p< < p< γ4 A A

El cálculo dl Rsiduo n i R(i i p Romando γ γ γ3 γ4 i R(i I iαp I i ip I ip i ip I S obin noncs sin(p.3.3.4.- FÓRMULA DE LOS COMPLEMENTOS: CUARTA DEMOSTRACIÓN D 4.- Una cuara forma d llgar a la Fórmula d los Complmnos s n l Campo Compljo por mdio d la Sri d Fourir Trigonomérica: I(p p d..- Cambiando d variabl I(p p d (p p d d p ] [ S pud consruir una función g(p dfinida n p ] [ g(p sin (p p d g(p sin (p p d..- La función g(p s dsarrollará n Sri d Fourir como función par n l inrvalo p ] [ dond rsula noncs un príodo T. Obs.: g(p s indrminada para p y p pro su lími n ambos casos s g(p sin (p p p sin(p p p p p g(p sin (p p p sin(( p p p p p Dsarrollando como función par

b k a k sin (p I(p cos( kp dp I(p [ sin ((kp sin( (k p ] dp G(n.3.- S calcula sin (np I(p dp qu para n Impar sin (np [ [ [ [ p p p (n n ( n d ] dp sin (np dp] d [ sin (np n cos(np]] d [ ( n ]] d G(n n ( n d G(n y qu para n Par n ( n d Qu s la Ingral d una función impar G(n.4.- S calcula ahora los a y los a k a I(p [ sin (p sin( ( p ] dp I(p sin (p dp a G( a k I(p [ sin ((kp sin( (k p ] dp G(k G(k.5.- Enoncs la Sri d Fourir s g(p sin (p p d S obin la formula d los complmnos p sin(p

p p sin(p