1.- Nociones de los Procesos Estocásticos.

Capítulo 1. 1.- Nocioes de los Procesos Estocásticos. 1.1. Procesos Estocásticos. La palabra estocástico es sióimo de aleatorio, los procesos estocásticos so modelos matemáticos que estudia los feómeos aleatorios que evolucioa e el tiempo, se puede describir estos feómeos por medio de ua colecció de variables aleatorias {Xt} dode t es u puto e u espacio T llamado espacio parametral. Alguos ejemplos de estos tipos de feómeos se da a cotiuació. Ejemplo 1.1. Xt podría ser el úmero de alumos formados e la fila de iscripció de algua carrera, e cualquier istate t, Xt puede tomar los valores de 0, 1, 2, ; t puede tomar valores de [ 0, ), cosiderado la hora de la apertura de la vetailla como el istate cero. Ejemplo 1.2. Xt lo podemos cosiderar como el t-ésimo lazamieto de ua moeda, aquí Xt le podemos asigar los valores de 1 si cae cara y 0 si o, t toma sus valores e los N, este es u proceso Beroulli que veremos co más detalle e el siguiete puto de este capítulo. Ejemplo 1.3. Supogamos que X1, X2, so variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas, sea S = X1 +X2 + +X, co espacio de estados e los N, { S, N} es u proceso estocástico, que recibe el ombre de camiata aleatoria. Defiició 1.1. U proceso estocástico es ua familia de variables aleatorias {Xt, t T } (o X( t ), t T ), T es llamado espacio parametral y dode para cada t T, Xt es u puto e u espacio E, llamado espacio de estados. De la defiició aterior si T es cotable, se dice que es u proceso estocástico de parámetros discretos, si T o es cotable se dice que, el proceso tiee parámetros cotiuos, el parámetro t es iterpretado comúmete como tiempo, uo puede cosiderar a Xt como el estado del proceso e el tiempo t, u ejemplo de que t o

2 Nocioes de los Procesos Estocásticos Capítulo 1 siempre represeta uidades de tiempo lo es el ejemplo 1.2. Así como el espacio parametral puede ser discreto o cotiuo, el espacio de estados tambié lo es. Ejemplo 1.4. Sea X( t ) = ( X1( t ), X2( t ) ), dode X( t ) represeta la temperatura máxima y míima de algú lugar e el itervalo de tiempo de ( 0, t ). De este ejemplo podemos ver que el proceso Xt puede ser el resultado de u experimeto ó u vector, es decir, el proceso puede ser multidimesioal. Tambié podríamos teer u espacio parametral multidimesioal, veamos el siguiete ejemplo. Ejemplo 1.5. Para u proceso estocástico que es la profudidad del mar e la posició x e el istate ι, Xt es tal que, t = (ι, x ) co ι R y x X, dode X represeta el cojuto de las referecias geográficas para todo el mar. Aquí t o es solamete el tiempo, sio ua combiació de las coordeadas de tiempo y espacio, aquí el espacio de estados es S = [ 0, ), dode la profudidad es 0 cuado quede expuesto el lecho del océao y o existe límite para la altura que pueda alcazar las olas, por supuesto, o se formará olas de altura ifiita. Aquí úicamete aalizaremos procesos de tipo uidimesioal, e los cuales podemos teer cuatro tipos de procesos: a) Tiempo discreto y espacio de estado discreto. b) Tiempo discreto y espacio de estados cotiuo. c) Tiempo cotiuo y espacio de estados discreto. d) Tiempo cotiuo y espacio de estados cotiuo. 1.2. Procesos Beroulli. Defiició 1.2. El proceso estocástico {X ; N } es u proceso Beroulli si satisface a) X1, X2, so idepedietes y b) P{X = 1 } = p, P{X = 0 } = 1 p = q para todo. Al eveto X = 1, lo llamaremos éxito y al eveto X = 0, fracaso. UNAM-Acatlá-Mahil Herrera Maldoado

Capítulo 1 1.2. Procesos Beroulli 3 Defiició 1.3. Sea { X ; N } u proceso Beroulli, co probabilidad de éxito p, el úmero de éxitos e el -ésimo esayo se defie como N = 0 si = 0 X + X + + X si = 1, 2, 1 2 Etoces N es el úmero de éxitos e los primeros esayos, y N+m N es el úmero de éxitos e los esayos +1, +2,, + m. Como podemos ver { N ; = 0, 1, 2, }defie u proceso estocástico, co espacio de estados y tiempo discreto {0, 1, 2, }. De la defiició de proceso Beroulli, teemos que las X se distribuye como ua Beroulli co parámetro p (Beroulli(p)) y las X so idepedietes y la suma de variables aleatorias idepedietes Beroulli se distribuye como ua biomial co parámetro y p (b(, p)), etoces N es ua suma de variables aleatorias idepedietes Beroulli, co lo que podemos euciar el siguiete resultado. Teorema 1.1. Para = 0, 1, 2, a) P{ N = } = b) E[N] = p c) V[N] = pq. p q, = 0, 1,, El uso de probabilidad codicioal e la prueba del siguiete resultado ilustra ua de las pricipales técicas usadas e el estudio de los procesos estocásticos. Teorema 1.2. Para, {0, 1, 2, } Demostració. P{ N+1 = } = p P{ N = 1} + qp{ N = } Usado el teorema de la probabilidad total. P{ N+1 = } = PN { + 1 = N = jpn } { = j} j Dado que { X1,,X } es idepediete de X+1, teemos que N es idepediete de X+1 y como N+1 = N + X+1, es decir,

4 Nocioes de los Procesos Estocásticos Capítulo 1 co lo que P{ N+1 =, N = j }= P{ N + X+1 =, N = j } = P{ X+1 = j, N = j } = P{ X+1 = j }P{ N = j} P{ N+1 = N = j } = P{ X+1 = j } = p si j = 1 q si j = 0 cualquier otro caso de aquí, teemos P{ N+1 = } = pp{ N = 1}+ qp{ N = }. Teorema 1.3. Para algú m, { 0, 1 2, } P{ Nm+ Nm = N0,, Nm } = P{ Nm+ Nm = } = p q, = 0, 1,, Demostració. Las variables aleatorias N0, N1,, Nm está completamete determiadas por las variables X1, X2,, Xm, por defiició de N e iversamete las variables aleatorias X1, X2,, Xm está completamete determiadas por N0,, Nm, por ejemplo Xm = Nm Nm 1. Luego etoces P{ Nm+ Nm = N0,, Nm } = P{ Nm+ Nm = X1,, Xm } teemos que Nm+ Nm = Xm+1 +Xm+2 + +Xm+ y {Xm+1, Xm+2,, Xm+} es idepediete de {X1,, Xm}, lo que sigifica que Nm+ Nm es idepediete de {X1,, Xm} así llegamos al resultado. P{ Nm+ Nm = N0,, Nm } = P{ Nm+ Nm = X1,, Xm } = P{ Nm+ Nm = } ahora bie Nm+ Nm = Xm+1 + Xm+2+ +Xm+ es la suma de variables aleatorias Beroulli(p) idepedietes e idéticamete distribuidas, lo que sigifica que es ua variable aleatoria biomial co parámetro y p, es decir, UNAM-Acatlá-Mahil Herrera Maldoado

Capítulo 1 1.2. Procesos Beroulli 5 P{ Nm+ Nm = } = p q -, = 0, 1,, De este teorema podemos ver que la variable aleatoria cualquier {1, 2,..., j } tal que cumpla co 0 = 0 < 1 < 2 < < j, N es idepediete de {,, }, a cotiuació euciamos este resultado. N 0 N 2 N N 1 para N 1 Corolario 1.3.1 Sea 0 = 0 < 1 < 2 < < j so eteros, etoces las variables aleatorias N,,, so idepedietes. N 1 N 0 N 2 N 1 j Nj 1 E el teorema 1.3 se probó que Nm+ Nm es idepediete de N0,, Nm, e la demostració o se hizo igua referecia a la distribució de las X úicamete se cosidero su idepedecia. De esta forma podemos decir que el corolario 1.3.1 se cumple para algú proceso estocástico {M ; = 0, 1, } defiido por M = 0 si = 0 Y1+ Y2 + + Y si = 1, 2, co Y1, Y2,, Y, variables aleatorias idepedietes U proceso estocástico que cumple co P{ Nm+ Nm = N0,, Nm } = P{ Nm+ Nm = } o co el corolario 1.3.1, es u proceso estocástico co icremetos idepedietes. Si para el proceso {M ; = 0, 1, } defiido ateriormete, las variables aleatorias Y1, Y2,, Y a parte de la idepedecia etre ellas so idéticamete distribuidas, etoces la distribució de los icremetos M+s Ms o depede de s, se dice etoces, {M} es estacioario co icremetos idepedietes. Regresado al proceso Beroulli, teemos el siguiete resultado. Teorema 1.4. Sea Z ua variable aleatoria que depede de u úmero fiito de variables aleatorias Nm, Nm+1, ; es decir, para algua y algua fució g. Etoces Z = g( Nm, Nm+1,, Nm+ )

6 Nocioes de los Procesos Estocásticos Capítulo 1 Demostració. E[Z N0, N1,, Nm] = E[Z Nm] Dado que Nm+1 = Nm + Xm+1,, Nm+ = Nm + Xm+1 + + Xm+, hay ua fució h tal que Así E[Z N 0, N 1,, N m ] = Z = g( Nm, Nm+1,, Nm+ ) = h( Nm, Xm+1,, Xm+ ) i h(, i,, i ) P{ N =, X = i,, X = i N,, N } 1 m m+ 1 1 m+ 0 m la seguda suma es sobre toda las -uples i = ( i1,, i ) de ceros y uos. Dado que {Xm+1,, Xm+} es idepediete de {X1,, Xm}, tambié {Xm+1,, Xm+} es idepediete de N0, N1,, Nm que so determiadas por {X1,, Xm }. Etoces P{ Nm =, Xm+1 = i1,, Xm+ = i N0,, Nm } = P{ Xm+1 = i1,, Xm+ = i }P{ Nm = N0,, Nm } = π(i1) π(i) P{ Nm = N0,, Nm }, dode π(i ) = P{ X = i } = p o q si i = 1 o i = 0 respectivamete. Por otro lado P{ Nm = N0,, Nm } = E[ I{}( Nm ) N0,, Nm ] 1 si = N m = I{}( Nm ) =. 0 cualquier otro caso Teemos que E[Z N 0, N 1,, N m ] = h(, i,, i ) π( i ) π( i ) I{}( N ) i 1 1 E[ Z N0, N1,, Nm ] = h( Nm, i1,, i) π( i1) π( i) = f ( N i m m ) idepediete de N0,, Nm 1, esto sigifica E[ Z N0, N1,, Nm ] = f ( Nm ) = E[ Z Nm ] UNAM-Acatlá-Mahil Herrera Maldoado

Capítulo 1 1.2. Procesos Beroulli 7 El teorema aterior lo satisface varios procesos co ua estructura meos compleja, tales procesos so llamados cadeas de Marov, del estudio de estos procesos os ocuparemos e el siguiete capítulo. Defiició 1.4. Sea {X; = 1, 2, } u proceso Beroulli co probabilidad de éxito p, cosideremos ua realizació del proceso X1, X2,, X, esta es ua secuecia de uos y ceros, deotemos por T1, T2,, los ídices correspodietes a los sucesivos éxitos, a los T se les llama los tiempos de éxitos. Ejemplo 1.6. Si X1 = 1, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 1, X5 = 1, Es ua realizació del proceso, etoces T1 = 1, T2 = 4, T3= 5,,es decir, T es el úmero del eveto e el que ocurrió el -ésimo éxito. Supogamos que para ua realizació del proceso el -ésimo éxito ha ocurrido ates de -ésimo eveto, esto es T, etoces el úmero de éxitos e los primeros evetos debería ser al meos, esto sigifica que N, e iversamete si N etoces T. Otra relació etre los tiempos de éxitos y el úmero de éxitos es; si T = sigifica que e esta realizació hay exactamete 1 éxitos e los primeros 1 evetos y u éxito ocurre exactamete e el -ésimo eveto, es decir, N-1 = 1 y X= 1 e iversamete si N-1 = 1 y X = 1 etoces T =. A cotiuació euciamos estas dos relacioes. Lema 1.1. Sea X1, X2,, X ua realizació del proceso = 1, 2, y, teemos que a) T si, y sólo si N b) T = si, y sólo si N 1 = 1 y X = 1. Teorema 1.5. Para algua N j j a) P{ T } = pq, =, +1,. j= j 1 b) P{ T = }= p 1 q, =, +1,.

8 Nocioes de los Procesos Estocásticos Capítulo 1 Demostració. a) Para N y, por el lema 1.1 el eveto { T } es igual al eveto { N }, etoces por el teorema 1.1 P{ T } = P{ N } = PN { = j} j= es decir, P{ N = } = p q, = 0, 1,, j j P{ T }= pq, =, + 1,. j= j b) Por el lema 1.1 el eveto {T = } es igual al eveto { N 1 = 1, X = 1}, por defiició, el proceso N-1 es idepediete de X = 1. Etoces P{ T = } = P{ N-1 = 1, X = 1} = P { N 1 = 1} P{ X = 1} = 1 1 1 p 1 q p = p 1 q El teorema aterior os da iformació muy importate sobre la estructura del proceso { T, = 1, 2, } pero veamos otros resultados cocerietes a la estructura de este proceso. Teorema 1. 6. Sea T0 = 0 y T1, T2, los tiempos del primer éxito, segudo éxito, de u proceso Beroulli { X; N} co probabilidad de éxito p, para algua {0, 1, }, P{ T+1 = T0,, T } = P{ T+1 = T }. Demostració. Para algú, y eteros 0 = a0 < a1 < < a = a, sea UNAM-Acatlá-Mahil Herrera Maldoado

Capítulo 1 1.2. Procesos Beroulli 9 f(a0, a1,, a) = P{ T+1 = T0 = a0, T1 = a1,, T = a } si a = a, etoces la probabilidad codicioal es cero, si > a = a, T= a y T+1=, lo que sigifica que Xa+1 = 0,, X 1 = 0, X = 1. Etoces hemos llegado a que f(a0, a1,, a) = P{ Xa+1 = 0,, X 1 = 0, X = 1} = pq -1-a 0 si{ T }, P{ T+1 = T0 = a0, T1 = a1,, T = a }= (1.1) 1 T pq si { T < }, y como podemos ver, el lado derecho de la igualdad es idepediete e ambos casos, de T0, T1,, T 1. El teorema aterior os dice que dado el tiempo T del -ésimo éxito, el tiempo del +1-ésimo éxito es codicioalmete idepediete de T0, T1,, T 1. De la ecuació 1.1 teemos que T m 1 T P{ T+1 = m + T T0,, T } = = pq pq + m 1 lo que os da el siguiete resultado. Corolario 1. 6.1. Para algua {0, 1, } P{ T+1 T = m T0,, T } = P{ T+1 T = m } = pq m 1 para toda m {1, 2, }. El resultado aterior os dice, que el tiempo etre dos éxitos es idepediete de los tiempos de los previos éxitos y se distribuye como ua geométrica. Corolario 1.6.2. T1, T2 T1, T3 T2, so variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas co distribució geométrica. Corolario 1. 6.3. T+1 T para N a) E[ T+1 T ] = 1 p

10 Nocioes de los Procesos Estocásticos Capítulo 1 q b) V[ T+1 T ] = 2 p. 1.3 Procesos Poisso. Defiició 1.5. U proceso estocástico {Nt ; t 0}, de tiempo cotiuo y valores eteros, es u proceso de coteo si Nt represeta el úmero total de evetos que ha ocurrido hasta el tiempo t. A partir de la defiició aterior podemos ver que u proceso de coteo debe de cumplir co: a) Nt 0 b) Nt es u valor etero c) si s t, etoces Ns Nt d) para s < t, Nt Ns es igual al úmero de evetos que ha ocurrido e el itervalo ( s, t ]. U proceso de coteo se dice que tiee icremetos idepedietes, si el úmero de evetos que ocurre e itervalos disjutos so idepedietes. Por ejemplo esto sigifica que Nt + h Nt co h > 0 es idepediete de { Nu ; u t } para toda t. U proceso de coteo se dice que tiee icremetos estacioarios si el úmero de evetos e el itervalo ( t + h, s + h ] tiee la misma distribució que el úmero de evetos e el itervalo ( t, s ] para todo t < s, y h > 0, o bie, se puede decir que u proceso de coteo cuya distribució del úmero de evetos que ocurre e u itervalo, depede úicamete de la logitud del itervalo, se le dice que posee icremetos estacioarios. A cotiuació vamos a defiir al proceso Poisso, hay varias defiicioes pero todas so equivaletes, daremos ua que os da ua bue iformació sobre la estructura probabilística del proceso. Defiició 1.6. Sea {Nt ; t 0} u proceso de coteo, dode N( t, t + h ) ( o Nt + h Nt ) es el úmero de evetos o llegadas que ocurre e el itervalo (t, t + h ] y Nt:=N[0, t ]. Etoces {Nt ; t 0} es u proceso Poisso co parámetro λ si 1) P{ N( t, t + h ) = 0} = 1 λ h + o( h ) UNAM-Acatlá-Mahil Herrera Maldoado

Capítulo 1 1.3. Procesos Poisso 11 2) P{ N( t, t + h ) = 1} = λh + o( h ) 3) P{ N( t, t + h ) 2 } = o( h ) 4) Para toda t y h >0, N( t, t + h ) es idepediete de { Nu ; u t } 5) Tiee icremetos estacioarios Aquí o( h ) es ua fució tal que o( h) h 0 cuado h 0. E la defiició aterior tambié hay que cosiderar que N0 = 0. Sea t0 R + 0 y Z el tiempo de espera hasta la próxima llegada después del tiempo t0, etoces P{x} = P {Z > x}, P{x + h } = P { Z > x + h } = P { Z > x, N( t0 + x, t0 + x + h ) = 0} de la defiició de probabilidad codicioal = P{ N(t0 + x, t0 + x + h ) = 0 Z > x }P{ Z > x } (1.2) Ahora bie Z > x si, y sólo si, N(t0, t0 + x ) = 0, pero N(t0 + x, t0 + x + h ) es idepediete de N(t0, t0 + x ) por la propiedad 4 de la defiició 1.6, etoces la ecuació 1.2 es equivalete a etoces P{x + h} = P{ N( t0 + x, t0 + x + h ) = 0 }P{x} = (1 λh + o( h )) P{x} P{x + h} P{x} = ( λh )P{x}+ o( h )P{x} lo dividimos etre h y tomamos h 0, obteemos

12 Nocioes de los Procesos Estocásticos Capítulo 1 P {x} = Px { + h} Px { } lim = λp{x} h 0 h Esta ecuació diferecial tiee la solució P{x} = P{0} e λx. Pero P{0} = P {Z > 0} = 1 ya que la probabilidad de dos llegadas al mismo tiempo es y dado que h 0, es decir, P{ N( t, t + h ) 2 } = o( h ) P{ N( t, t + h ) 2 } = 0 P{ Z = 0 } = 0 y si obteemos su complemeto P {Z > 0} = 1 P{ Z = 0 }. Etoces P{x} = e λx co esto hemos demostrado el siguiete resultado. Teorema 1.7. Z se distribuye como ua exp(λ) (expoecial co parámetro λ), idepediete de t0. Así como para u proceso Beroulli, teemos los tiempos de éxito, para u proceso Poisso, teemos el siguiete cocepto totalmete equivalete, si {Nt ; t 0} es u proceso Poisso co parámetro λ deotaremos por T1, T2,, los tiempos de llegada, correspodietes a los sucesivos arribos. Como vimos ateriormete para t0 R + 0 y Z el tiempo de espera hasta la próxima llegada después del tiempo t0, P{x} = P {Z > x} = e λx, la probabilidad de que el tiempo de llegada del primer suceso sea mayor a x sería; P { T1 > x} = e λx UNAM-Acatlá-Mahil Herrera Maldoado

Capítulo 1 1.3. Procesos Poisso 13 si tomamos ahora a Ti 1 como t0 el próximo arribo sería e el tiempo Ti, el tiempo de espera etre las llegadas i 1 e i, es Ti Ti 1 es decir, Z = Ti Ti 1, luego etoces la probabilidad de que la llegada etre i 1 e i sea mayor a x sería P { Ti Ti 1 > x} = e λx, que como podemos ver o depede de i, es decir, T1, T2 T1,, Ti Ti 1 so idepedietes y todas se distribuye como ua exp(λ), así podemos euciar el siguiete resultado. Teorema 1. 8. Los tiempos etre llegadas se distribuye como ua exp(λ) y so idepedietes. Al distribuirse Ti Ti 1 como ua exp(λ). Obteemos tambié: Corolario 1. 8.1. a) E[ Ti Ti 1 ] = 1 λ 1 b) V[ Ti Ti 1 ] = 2 λ Teorema 1.9. El tiempo de llegada T, N tiee ua distribució gamma co parámetros y λ. Demostració. Podemos expresar a T como sigue T = T1 + T2 T1 + + T T 1 es decir, T la podemos expresar como la suma de variables aleatorias exp(λ) y como los tiempo etre las llegadas so idepedietes, teemos ua suma de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas como ua exp(λ), lo que sigifica que T se distribuye como ua gamma co parámetro y λ. Etoces Hasta el mometo o hemos dicho ada sobre la distribució de Nt, defiamos Pm{t} = P{ Nt = m }.

14 Nocioes de los Procesos Estocásticos Capítulo 1 P0{t } = P{ Nt = 0 } = P {Z > t } = P{t} y por eso P0{t} = e λt Ahora bie por los icisos 4 y 5 de la defiició 1.6 Pm{t +h} = Pm{t} P0{h} + Pm 1{t} P1{h} + P a partir de i = 2, teemos Pm 2{ t } P2{ h } = P{ Nt = m 2 }P{ Nh = 2 } por la propiedad 3 de la defiició 1.6 = P{ Nt = m 2 }o( h ), es decir, podemos hacer m i = 2 m i {} t P{} h i quedádoos m Pm i{} t Pi{ h} = o(h) i= 2 Pm{t+h} = Pm{t} P0{h} + Pm 1{t} P1{h} + o(h) Usado la propiedad uo y dos de la defiició 1.6 Pm{t+h} = Pm{t}(1 λh + o(h) ) + Pm 1{t}( λh + o(h) ) + o(h) Pm{t+h} Pm{t} = λh Pm{t} + λh Pm 1{t} + o(h) Etoces si dividimos todo etre h y tomamos el límite cuado h 0 tambié sabemos que ' P m {t} = λ Pm{t} + λ Pm 1{t} Ahora defiamos Pm{0} = P{ N0 = m } = 0 para m = 1, 2,. ( 1.4 ) UNAM-Acatlá-Mahil Herrera Maldoado

Capítulo 1 1.3. Procesos Poisso 15 Etoces la ecuació usado la ecuació 1.5 os queda como Qm{t} = Pm{t} e λt. (1.5) ' P m {t} = λ Pm{t} + λ Pm 1{t} -λ e λt Qm{t} + e λt Q 'm {t} = -λe λt Qm{t} + λ Qm 1{t} e λt dividiedo todo etre e λt os queda llegamos a Resolviedo recursivamete: haciedo t = 0, e la ecuació 1.5 ' m -λ Qm{t} + Q {t} = -λ Qm{t} + λ Qm 1{t} ' Q m {t} = λ Qm 1{t}. Q0{t} = P0{t} e λt = e λt e λt = 1 ' Q 1{t} = λ Q0{t} = λ de aquí Q1{t} = λt + c. Q1{0} = P1{0} e λ0 = c por la ecuació 1.4 P1{0} = 0, teemos que Q1{0} = 0 lo que sigifica que c = 0 así que Q1{t} = λt ahora ' Q 2 {t } = λ Q1{ t } = 2 λ t Q2{t} = 2 2 λ t 2 + c Por otro lado teemos que Q2{0} = P2{0}e λ0 = 0, luego etoces c = 0 y os queda que

16 Nocioes de los Procesos Estocásticos Capítulo 1 Q2{t} = 2 2 λ t 2 y así podemos seguir sucesivamete hasta llegar a De la ecuació 1.5 m m Qm{t} = λ t m!. Pm{t} = m m λ t m! e λt Es decir, que Nt se distribuye como ua Poisso co parámetro λt ( Po( λt )). Teorema 1.10. Nt se distribuye como ua Po( λt ). Corolario 1. 10.1. a) E[ Nt ] = λt b) V[ Nt ] = λt Nt Defiició 1.7. t es el tiempo de itesidad. Del corolario 1.10.1 teemos que el valor esperado del tiempo de itesidad es λ se le llama itesidad. E N t t = λ, Por otro lado teemos por defiició que los icremetos de las llegadas so idepedietes, es decir, para 0 = t0 < t1 < < ti < < t = t, N N es idepediete de Nu; u t, para s, u 0 esto sigifica que N N es idepediete de Nu N t i t + s t t + s t. Ya que Nt se distribuye como ua Po( λt ) teemos que UNAM-Acatlá-Mahil Herrera Maldoado

Capítulo 1 1.3. Procesos Poisso 17 Nt+ s Nt se distribuye Po( λs ) esto sigifica que a cualquier tiempo empieza otro proceso Poisso. Corolario 1. 10.2. Sea {Nt ; t 0 } u proceso Poisso co itesidad λ. Etoces para algua s, t 0, P { Nt+s Nt = Nu; u t } = P { Nt+s Nt = } = ( λs) e! λs, = 0, 1,. Teorema 1.11. Sea Lt u proceso Poisso co itesidad λ y Mt es u proceso Poisso co itesidad µ, ambos procesos so idepedietes. Si defiimos a Nt = Lt + Mt, etoces Nt es u proceso Poisso co itesidad λ + µ. Demostració. Teemos que probar que Nt cumple co la defiició de u proceso Poisso, probaremos úicamete la propiedad dos y la propiedad cuatro, la uo y la tres so imediatas a partir de probar la propiedad dos y la cico es semejate a la cuatro. P{ N( t, t + h ) = 1 } = P { L( t, t + h ) + M( t, t + h ) = 1 } = P {{ L( t, t + h ) = 1 y M( t, t + h ) = 0 } { L( t, t + h ) = 0 y M( t, t + h ) = 1} } como ambos evetos so excluyetes y además, Lt y Mt, so idepedietes, teemos que P{ N( t, t + h ) = 1 } = P{L( t, t + h ) = 1}P{ M( t, t + h ) = 0} + P{L( t, t + h ) = 0}P{M( t, t + h ) = 1} = ( λh + o( h ) ) ( 1 µh + o( h ) ) + ( 1 λh+ o( h ) ) ( µh + o( h ) ) = λh - λµh 2 + λh o( h ) + o( h ) - o( h ) µh + o( h )o( h ) + µh - λµh 2 + µh o( h ) + o( h ) - o( h ) λh + o( h )o( h ) como podemos ver todo depede de o( h ) excepto λh y µh, es claro ver que para λµh 2 si tomamos a o( h ) = h 2 teemos ua fució del tipo de o( h ) luego etoces

18 Nocioes de los Procesos Estocásticos Capítulo 1 P{ N( t, t + h ) = 1 } = ( λ + µ ) h + o( h ) co esto hemos probado que Nt cumple la propiedad cuatro de u proceso Poisso. Ahora hay que probar que N( t, t + h ) es idepediete de { Nu ; u t }. Como Lt y Mt, ambos so proceso Poisso cumple que L( t, t + h ) es idepediete de { Lu ; u t } y M( t, t + h ) es idepediete de { Mu ; u t } Por defiició Lt y Mt so idepedietes, lo que sigifica que y por cosiguiete M( t, t + h ) es idepediete de { Lu ; u t } y L( t, t + h ) es idepediete de { Mu ; u t } L( t, t + h ) + M( t, t + h ) es idepediete de { Lu ; u t } y { Mu ; u t } y por tato L( t, t + h ) + M( t, t + h ) es idepediete de { Lu + Mu ; u t }, como se quería probar. 1.4 Ejercicios. Ejemplo1.7. U cierto compoete e u sistema, tiee u tiempo de vida cuya distribució puede cosiderarse como π( m ) = pq m 1, m 1. Cuado el compoete falla es remplazado por uo idético. Sea T1, T2, deota el tiempo de falla; U = T T 1 es el tiempo de vida del -ésimo compoete remplazado. Dado que los compoetes so idéticos, P { U = m} = pq m 1, m 1 y los compoetes tiee tiempos de vida idepedietes, así teemos que { T } lo podemos cosiderar los tiempos de éxito de u proceso Beroulli. Si sabemos que los UNAM-Acatlá-Mahil Herrera Maldoado

Capítulo 1 1.4. Ejercicios 19 tiempos de las tres primeras fallas ocurre e los tiempos 3, 12 y 14, Cuál es el tiempo esperado de la quita falla?. Por el teorema 1.6, Si hacemos T5 = T3 + ( T5 T3 ), os queda E [ T5 T1, T2, T3 ] = E [ T5 T3 ]. E [ T5 T3] = E [ T3 T3] + E [T5 T3 T3] = E [ T3 T3] + E [T5 T3 ] Por el corolario 1.6.3, y haciedo T5 T3 = T4 T3 + T5 T4 E [ T5 T3] = T3 + 2 p. Lo que se quería calcular es: E [ T5 T1, = 3,T2= 12, T3 = 14] = 14 + 2 p. Ejemplo 1.8. Cosidérese el proceso estocástico como la trayectoria de ua partícula, la cual se mueve a lo largo de u eje co pasos de ua uidad a itervalos de tiempo tambié de ua uidad. Supógase que la probabilidad de cualquier paso que se tome a la derecha es p y el que se tome a la izquierda es q = 1 p. Supoemos tambié que cualquier paso se da de maera idepediete a cualquier otro. Este tipo de proceso es ua camiata aleatoria. Si la partícula esta e la posició cero e el istate cero, determíese la probabilidad de que se ecuetre e la posició después de pasos. Defiimos {X ; N } como las variable aleatorias idepedietes, dode X= 1 si la partícula da el paso a la derecha y X = 1 si el paso fue a la izquierda, cada ua co probabilidad P{ X = 1} = p y P{ X = 1} = q. Sea { Z } u proceso estocástico, dode Z es la posició de la partícula e el tiempo, este proceso estocástico tiee u espacio de estados discreto co valores e { -,, -1, 0, 1, 2,, }, el tiempo {0, 1, 2, }. Para = 0 teemos que iicialmete Z0 = 0. Después de pasos

20 Nocioes de los Procesos Estocásticos Capítulo 1 se desea determiar el valor de sea la variable aleatoria Z = X1 +X2 + +X P{ Z = Z0 = 0 } 1 si Xi = 1 Yi = i = 1, 2,,. 0 si Xi = 1 Es decir, la Yi = ½ (Xi + 1 ), al ser las Xi idepedietes teemos que tambié los so las Yi, es decir, { Y ; N} defie u proceso Beroulli (ver la defiició 1.2 ), si N es el úmero de éxitos teemos de la defiició 1.3, que N = 0 si = 0 Y1+ Y2 + + Y si = 1, 2, e térmios de las Xi teemos que N = ½ (X1 + 1 )+ ½ (X2 + 1 ) + +½ (X + 1 ) = ½ (Z + ) Luego etoces P{ Z = Z0 = 0 } = P{ Z = 2 N = Z0 = N0 = 0 } = P { N = ½ ( + ) N0 = 0 } por el teorema 1.3 P{ Z = Z0 = 0 } = P { N = ½ ( + ) } = 1 2 ( + ) p½ (+) q ½ ( ), siempre que ½ ( + ) = {0, 1,, }. Tambié podemos calcular E [Z ] = E [ 2 N ] = 2 E [ N ] = 2p UNAM-Acatlá-Mahil Herrera Maldoado

Capítulo 1 1.4. Ejercicios 21 = 2p (p+q) = (p q ) // p+q = 1 // aálogamete V[Z ] = V[ 2 N ] = 4pq Ejemplo 1.9. Hay u restaurate por el cual, los vehículos solo puede llegar a el por medio de la carretera, supógase que la llegada de vehículos al restaurate por el lado derecho sigue ua proceso Poisso co parámetro λ y las llegadas por el lado izquierdo sigue u proceso Poisso co parámetro µ, luego del teorema 1.11 sabemos que el úmero de llegada al restaurate e vehículo sigue u proceso Poisso co parámetro λ+µ. Ejemplo 1.10. U compoete de u sistema, su tiempo de vida sigue ua distribució exp(λ). Cuado éste falla es imediatamete reemplazado por uo idético; y cuado éste falla es reemplazado imediatamete por otro idético, etc. Esto sigifica que los tiempos de vida X1, X2, de los sucesivos compoetes so idepedietes e idéticamete distribuidos co distribució P { X t } = 1 e λt, t 0. Supogamos que el costo de reemplazamieto del compoete que falla es de β pesos y supogamos ua tasa de iterés de α > 0, así que u peso gastado e u αt tiempo t traído a valor presete es e. Si T1, T2,, so los tiempos de las sucesivas fallas, etoces T1 = X1, T2 = X1 + X2, ; el tiempo de la -ésima falla es T, y el -αt valor presete del costo del reemplazamieto es β e. Sumado sobre todas las, obteemos el valor presete del costo de todos los futuros reemplazamietos; esto es C = βe = 1 A osotros os iteresa calcular el valor esperado de C, que es, E[ C ] = β = 1 -αt E e calculemos la esperaza, por el teorema 1.8. sabemos que los tiempos etre llegadas, so idepedietes e idéticamete distribuidas. -α T

22 Nocioes de los Procesos Estocásticos Capítulo 1 -αt = -αt1 α( T2 T1) α( T T 1) E e e e E e = ( T T ) ( T T ) -αt1 α α E e E e E e 2 1 1 E e -αt = 1 αt λt = e λe dt 0 = 0 λe ( λ α) + t dt haciedo u cambio de variable luego etoces = = λ λ+α u 0 λ λ+α e du E [ C ] = β = β = 1 λ λ+α λ λ+α = 0 λ λ+α = β λ 1 λ+α λ 1 λ+α = β λ 1 λ+α α λ+α UNAM-Acatlá-Mahil Herrera Maldoado

Capítulo 1 1.4. Ejercicios 23 = β λ λ+α λ+α α = β λ α