Estadístca (Q) Dra. Daa M. Kelmasky 99. Teoremas límte Frecueca Relatva 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9.0 0 00 00 300 400 Orde de la trada Fgura : Frecueca relatva de cara para ua sucesó de 400 tradas. La fgura muestra las frecuecas relatvas de cara obtedas tomado tamaños crecetes desde hasta 400, a partr de 400 tradas sucesvas de ua moeda. Las proporcoes se acerca a 0.5 a medda que se obtee utlzado ua mayor catdad de tradas (los valores de para las 0 prmeras y 0 últmas tradas fuero: ( 0 0 0 0 0 0 0 ) y (0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) respectvamete) Es u resultado coocdo que s se arroja ua moeda muchas veces la proporcó de caras (o de cecas) estará cerca de /. La ley de los grades úmeros permte obteer ese resultado formalmete detro de la teoría de probabldades.. Ley (débl) de los Grades Números
Estadístca (Q) Dra. Daa M. Kelmasky 00 Sea,,...,, ua sucesó de v.a. depedetes tales que E( ) = μ y Var( ) = σ <, etoces ε > 0 sedo = =. P ( > ε ) 0 Dem: Sabemos que E( ) = μ y desgualdad de Chebshev a y, por lo tato P μ (), Var( ε Var( ( μ > ε ) = ε > 0 ) σ ) =, etoces aplcado la σ ε σ ( μ > ε ) lm = 0 ε > 0 lm P cqd. ε Cuado vale () decmos que la Umeda muestral coverge e probabldad a μu, lo dcamos por p μ També decmos que es u estmador cosstete de μ UObservacó U: La frecueca relatva de u suceso A tede a su probabldad. Sea ε u expermeto bomal que costa de pruebas y sea Éxto= ocurró el suceso A, A) costate e las pruebas : catdad de veces que ocurró A al realzar ε ~ B (, p), p =A) 0 o ocurre A =, luego / = = ocurre A = / : = frecueca relatva del suceso A = f A = A / Por la LGN p μ, e este caso = / ; E( ) = μ = p = A) luego / p A)
La Estadístca (Q) Dra. Daa M. Kelmasky 0 UObservacó U desgualdad de Chebshev permte acotar la catdad de repetcoes ecesaras para que la frecueca relatva del suceso A dfera de su probabldad (A) = p ) e ua certa catdad pre establecda (precsó), co ua probabldad alta determada. Ejemplo: Cuátas pruebas deberá teer el expermeto ε para que la frecueca relatva del suceso A dfera de su probabldad (A) = p ) e como máxmo 0.0 co probabldad mayor o gual a 0.90? Queremos ecotrar tal que ( f p 0.0) 0. 90 P A, () por Chebshev co ε = 0.0 teemos que p( P A (0.0) ( f p 0.0) () Luego la desgualdad () se cumplrá sempre que el últmo térmo de () sea mayor a 0.90: p( p( p( 0.90 0.0 (3) (0.0) (0.0) (0.0) (0.0) El valor mímo de depede de p a través de la expresó p(-p) cuyo valor es máxmo cuado p = 0.50. (Fgura ) Fgura. Gráfco de la fucó f(p) = p*(-p) para 0 p
Estadístca (Q) Dra. Daa M. Kelmasky 0 Por lo tato, para alcazar u msmo grado de precsó (e el ejemplo es 0.0) e la estmacó de p el tamaño de la muestra depede del verdadero valor p (descoocdo): p = 0.50 5000 p = 0.0 950 p = 0.0 990 S se arroja la moeda 5000 veces se garatza ua precsó de 0.0 e la estmacó de p para cualquer valor del msmo. UObservacó 3:U Para que valga la ley de los grades úmeros es dspesable la exsteca de la esperaza. Fgura 3: comportameto de la meda muestral a medda que aumeta la catdad de observacoes para ua varable aleatora N(8,) y ua varable aleatora Cauchy cetrada e 8 La fgura 3 muestra que la sucesó correspodete a la N(8,) se acerca a su meda (8) a medda que aumeta la catdad de observacoes. La sucesó correspodete a la dstrbucó Cauchy muestra tedecas crecetes o decrecetes e alguos tramos, cambos abruptos e otros y o parece acercarse a su valor cetral (8). Esta dstrbucó es u ejemplo para la cual o es válda la ley de los grades úmeros porque o está defda su esperaza. Cómo es la dstrbucó Cauchy? La fucó de desdad de probabldad de ua varable aleatora Z llamada Cauchy cetrada e cero es f Z ( z) = < z < π ( + z ) y su fucó de dstrbucó acumulada
Estadístca (Q) Dra. Daa M. Kelmasky 03 F Z ( z) = + arcta( z) < z < π Qué forma tee la fucó de desdad de la dstrbucó Cauchy etrada e cero? - Es smétrca co respecto al cero - Tee forma de campaa - Las colas tede a cero más letamete que la Normal Fgura 4: fucoes de desdad de probabldad N(0,) y Cauchy cetrada e cero Debdo a la smetría alrededor de cero de la fucó de desdad, la esperaza de ua varable Cauchy debería ser cero. S embargo E( Z ) = π ( z z dz = dz = lm log( + a + z ) π 0 ( + z ) π a ) = La desdad de la varable Cauchy decrece a cero ta letamete que valores grades puede ocurrr co ua probabldad relatvamete alta mpdedo que la tegral ateror coverja. Cómo surge la dstrbucó Cauchy? Se puede demostrar ( vea por ejemplo Joh Rce Mathematcal Statstcs ad Data Aalyss 988-995) que el cocete de dos varables aleatoras N(0,) depedetes tee dstrbucó Cauchy.. Corolaro de la Ley de los Grades Números Sea,..., ua muestra aleatora de ua dstrbucó co E( ) = μ y Var( ) = σ < etoces
Estadístca (Q) Dra. Daa M. Kelmasky 04 a) p μ La meda muestral coverge e probabldad a la meda poblacoal. Decmos que es u estmador cosstete de µ b) S p σ La varaza muestral coverge e probabldad a la varaza poblacoal. Decmos que S estmador cosstete de σ Dem. a) Ya lo vmos, por la Ley de los Grades Números. b) Demostraremos que la varaza muestral S es u estmador cosstete de la varaza poblacoal. ( ) = = = = = S = Por la Ley de los Grades Números p μ, etoces p μ. Por otra parte, aplcado uevamete la Ley de los Grades Números a = p E [ E( )] = σ + ( ) = V ( ) + μ Como además, se obtee = p S = σ + μ μ = σ y por lo tato la varaza muestral es u estmador cosstete de σ.
Estadístca (Q) Dra. Daa M. Kelmasky 05.3 Teorema Cetral del Límte: Sea,,... v.a...d co E ( ) = μ y Var( ) = σ <, etoces s es sufcetemete grade, T μ σ ( a) ~ N(0,) ( μ) σ ( a) ~ N(0,) co T = O sea T μ ( μ) P a Φ( a) P a Φ( a) σ σ dode Ф dca la fucó de dstrbucó Normal estádar. Observacoes Cualquera sea la dstrbucó de la varable de terés es posble aproxmar la dstrbucó de la suma de v.a...d por ua dstrbucó Normal, sempre que sea sufcetemete grade. Qué sgfca sufcetemete grade? Cuádo es buea la aproxmacó? El tamaño de muestra requerdo para que la aproxmacó sea razoablemete buea depede de la forma de la dstrbucó de las. Metras más smétrca y acampaada sea, más rápdamete se obtee ua buea aproxmacó..3. Aproxmacó de la dstrbucó bomal por la ormal Sea la catdad de éxtos e repetcoes de u expermeto de Bomal co probabldad de éxto gual a p, etoces ~ B (,p) y sea / la proporcó muestral de éxtos. S defmos = 0 s se obtuvo Éxto e la repetcó s se obtuvo Fracaso e la repetcó para =,...,. Etoces ~ B (, p) depedetes y = = S es sufcetemete grade, del Teorema Cetral del Límte teemos que.
Estadístca (Q) Dra. Daa M. Kelmasky 06 ( a ) ( a) p( ~ N( p, p( ) ~ N p, Es decr que la dstrbucó de, tato la catdad de éxtos como la proporcó de éxtos e u expermeto bomal, puede aproxmarse por la dstrbucó Normal. La aproxmacó es buea s p 5 y (-p) 5. S p = 0.5 la aproxmacó de la dstrbucó bomal por la ormal será buea aú para pequeño pues e ese caso la dstrbucó bomal es smétrca, como vemos e la fgura sguete. Fgura 5: Dstrbucoes probabldades de ua v.a. ~N(,0.5) para dsttos valores de Recordemos que E() = p y Var()= p(-p). A medda que aumeta el valor cetral (p) se va corredo a la derecha (fgura 5), los hstogramas de probabldad se esacha y se achata.
Estadístca (Q) Dra. Daa M. Kelmasky 07.3. Correccó por cotudad Cuado se aproxma ua dstrbucó dscreta por ua cotua, como es el caso de la aproxmacó de la dstrbucó bomal por la ormal, es ecesaro efectuar ua correccó. Cosderemos el sguete ejemplo: Sea ~ B (00, 0.5) y calculemos e forma aproxmada 5) y 5). Recordemos que E() = 50 y Var() = 5 S aplcamos drectamete el TCL, obteemos ( sedo Z ~ N(0,)): 50 5 50 5) = P Z 5 5 50 5 50 5) = P Z 5 5 ) 5 ) 5 = Φ ( 0.) = Z = 0.579 ) 5 = Φ( 0.4) = 0.345 Utlzado la dstrbucó bomal 5) + 5) =, pero dcho cálculo resultate de la aproxmacó Normal es 0.94. Se está subestmado las probabldades. Es ecesaro realzar sguete correccó, deomada correccó por cotudad: 50 5.5 50 5) = 5+ 0.5) = P Φ( 0.3) = 0.68 5 5 50 5.5 50 5) = 5 0.5) = P Φ( 0.3) = 0.38 5 5 E geeral, cuado la v.a. es dscreta y x x - =, la correccó se realza e la forma: a) = a) = a + 0.5) a 0.5) Observe que e las expresoes aterores vale la gualdad. Por qué? S la dstaca etre dos valores sucesvos de es k >, cómo aplcaría la correccó por cotudad?.3.3 Otras aplcacoes del Teorema Cetral del Límte Hemos vsto ( seccó 0.6 Sumas y más sumas) que s,...,, so vad
Estadístca (Q) Dra. Daa M. Kelmasky 08, etoces ~ B = = ) ~ B(, p) ~ B(, p), etoces = ~ B(, p)., p. ) ~ λ ), etoces ~ P λ. = = ~ Γ (, λ), etoces ~ Γ, λ. = = 3) ~ ε ( λ), etoces ~ Γ(, λ ). 4) ~ N(0,) etoces ~ χ = Γ( ε = = 5) ~ ( λ), etoces ~ χ = /,/ ). E todas las sumas aterores es posble, para sufcetemete grade, aproxmar su dstrbucó por ua dstrbucó Normal. Cosderamos a cotuacó los casos partculares de dstrbucoes Posso y Gamma: a) Sea,,..., v.a...d. co dstrbucó Posso de parámetro λ, etoces = ( ) ~ P λ Por lo tato, cualquer v.a. co dstrbucó de Posso co parámetro sufcetemete grade puede ser aproxmada por la dstrbucó ormal. b) Sea,,..., v.a. depedetes co dstrbucó Gamma de parámetros y λ, o sea ~ Γ(, λ) etoces ~ Γ, λ = = Por lo tato, cualquer v.a. co dstrbucó Γ(m, λ) co parámetro m sufcetemete grade puede ser aproxmada por la dstrbucó ormal.