Estadístca Covocatora de Juo Facultad de Cecas del Mar. Curso 8/9 5/6/9 Los ríos Waccamaw y Lumber, e Carola del Norte (EEUU) se caracterza por ua rca bodversdad. E los últmos años estos ríos ha vsto crecer sus veles de cotamacó, debdo a los vertdos dustrales. Como resultado, dos de las especes más aprecadas para la pesca, el Waccamaw kllfsh (Fudulus Waccamess, foto superor) y el Sckelf edhorse (Moxostoma sp., foto feror) se ecuetra e la actualdad afectadas por la asmlacó de altos veles de mercuro. Para estudar este problema se ha obtedo ua muestra aleatora de 7 peces, dstrbuídos por río y espece segú la sguete tabla: ío Espece Lumber Waccamaw llfsh 9 39 edhorse 44 59. La cocetracó meda de mercuro (medda e escala logarítmca) e los peces capturados e el río Lumber fue -.85, co desvacó típca.57; a su vez, la meda e el río Waccamaw fue.7 co desvacó típca.7. Calcular tervalos de cofaza al 95% para la cocetracó meda de mercuro (e escala logarítmca) e los peces de ambos ríos. Puede asegurarse, co u 5% de sgfcacó, que la cocetracó de mercuro es superor e los peces capturados e el río Waccamaw? (se ha comprobado que la cocetracó de mercuro e escala logarítmca sgue aproxmadamete ua dstrbucó ormal; asmsmo se puede asumr que las varazas de la cocetracó de mercuro so guales e ambos ríos) Asumedo dstrbucó ormal e ambas varables, el tervalo de cofaza para la meda puede calcularse medate: E el río Lumber el tervalo es: x t, α / s s.57 x t, α / t7,.5 73 y e el Waccamaw: =.85 = [.85.99.66] = [.,.5] ] s.7 x t, α / t97,.5 98 =.7 = [.7.98.73] = [.3,.6] ] Para decdr s exste evdeca sufcete de que la cocetracó de mercuro e peces del Waccamaw es superor a la cocetracó e los del Lumber debemos resolver el cotraste de hpótess: : μ μ : μ Dado que podemos supoer que las varazas de la cocetracó de mercuro e los peces de ambos ríos so guales, para resolver el cotraste calculamos: W W > μ L L
t exp xw xl.7 +.85 = = ( W ) sw + ( L ) sl 97.7 + 7.57 + + W + L W L 73 + 98 73 98 =.998 que debe compararse co t +, α = t69,.5 =.65. Como t exp <.65 se acepta H. Por tato o W L podemos asegurar co u 5% de sgfcacó que la cocetracó meda de mercuro e peces del Waccamaw supere a la del Lumber (auque de hecho suceda así e esta muestra). U aálss más detallado de la dstrbucó de probabldad de la cocetracó de mercuro revela que bx ésta se comporta aproxmadamete segú la fucó de desdad f ( x) = b xe, x. Estmar el valor de b utlzado el método de máxma verosmltud, sabedo que la cocetracó meda de mercuro e los 7 peces de la muestra ha sdo de. ppm. La fucó de verosmltud para ua muestra x,, x e este caso sería de la forma: y la log-verosmltud: L b = f x... f x = b xe... b x e = b x... x e + + bx bx bx... x l b = log b + log x b x = = Para maxmzar esta fucó dervamos respecto de b e gualamos a cero: l' ( b) = x = = x b= = = b x x Por tato el valor estmado de b será: = b = = = ˆ b = =.667. x 3. La cocetracó de mercuro a partr de la que u pez puede cosderarse o apto para el cosumo humao es de.7 ppm. A partr de estudos prevos se ha establecdo que el 5% de los kllfsh y el 5% de los redhorse sobrepasa esta cocetracó.co esta formacó, e ua partda de kllfsh y 5 redhorse cuátos peces podemos esperar que resulte o aptos para el cosumo humao? S se elge al azar u pez de esta partda y resulta o apto para cosumo, cuál es probabldad de que sea u redhorse? Co probabldad.95, cuál es el úmero mímo de peces o aptos para cosumo que podemos ecotrar e esta partda? Llamado, respectvamete, X y X al úmero de kllfsh y redhorse o aptos para cosumo etre los de la partda, de acuerdo co las proporcoes establecdas e los estudos prevos se tee que: (,.5) ( 5,.5) X B X B Teedo e cueta que la esperaza de ua varable co dstrbucó bomal B(,p) es p, el úmero total de peces que podemos esperar que o sea aptos para cosumo humao es: [ ] = [ + ] = [ ] + [ ] =.5 + 5.5 = 75 E X E X X E X E X
Para respoder a la seguda cuestó, llamemos A al suceso cosstete e que el pez es apto para el cosumo humao. S se elge al azar u pez de esta partda y resulta o apto, la probabldad de que sea redhorse puede obteerse secllamete utlzado el teorema de Bayes: P P A P( ) 5.5 = = 5 =.454 A P A P + P A P 5.5 +.5 5 5 Para resolver la tercera cuestó bastará teer e cueta que los úmeros de peces de cada espece o aptos para cosumo humao puede ser aproxmados medate la dstrbucó ormal: X B,.5 N.5,.5.5 N 5,.9 X B 5,.5 N 5.5, 5.5.5 N 5,9.68 y por tato, el úmero total de peces o apto para cosumo humao també puede aproxmarse por la ormal: ( 5 5,.9 9.68 ) ( 75,4.874 ) X = X + X N + + N Queremos calcular el valor m tal que P( X m).95 =. Para ello smplemete observemos que s Z es N(,), e la tabla se obtee fáclmete que P( Z.65) =.95. Tpfcado e la probabldad ateror: Por tato: X μ m μ m 75 P( X m) = P = P Z σ σ 4.874 m 75 =.65 4.874 de dode m = 75.65 4.874 = 5.46. Por tato podemos esperar como mímo 5 peces o aptos para cosumo e la partda. 4. E esta ueva muestra se ha ecotrado kllfsh y 4 redhorse e los que la cocetracó de mercuro sobrepasa las.7 ppm. Se puede asegurar, co ua sgfcacó del 5%, que la proporcó de redhorse o apta para cosumo humao es mayor que dcha proporcó e klfsh.? Dfere sgfcatvamete la proporcó de redhorse observada e esta muestra de la establecda e estudos prevos (5%)? Las proporcoes de peces de ambas especes o aptos para el cosumo humao e la ueva muestra so: pˆ 4 = =.47 pˆ = =.33 68 3 El cotraste que debemos platear para resolver la prmera cuestó es: El estadístco de cotraste es, etoces: : p p : p > p
dode: p 4 ˆ ˆ p p z = = 3 68 =.378 * * pq +.99.8 + A B 68 3 4 ˆ ˆ 68 + 3 p p 68 3 34 = = = =.99, q = p =.8 + 68 + 3 7 * * * Como z < zα = z.5 =.65 se acepta la hpótess ula, y por tato o hay evdeca sufcete para asegurar que la proporcó de peces o aptos para cosumo etre los redhorse sea mayor que etre los kllfsh. Para respoder a la seguda cuestó debemos platear el cotraste: El estadístco de cotraste es ahora: Como α /.5 z ( p ) : p =.5 : p.5 pˆ p.33.5 = = = p.5.75 3.34 z =.34 < z = z =.96 podemos aceptar la hpótess ula, por lo que coclumos que o exste evdeca de que la proporcó de redhorse o aptos para cosumo humao haya varado co respecto al estudo prevo. 5. Se cree que el mercuro tede a cocetrarse más e las góadas que e la masa muscular del pez. Para verfcar esta hpótess se seleccoa 4 redhorse de la muestra ateror, mdédose, para cada pez, la cocetracó de mercuro (e escala logarítmca) e las góadas y e el tejdo muscular próxmo a la cabeza. La cocetracó meda e góadas es.45 (co desvacó típca.57); e el tejdo muscular la meda es -.5 (co desvacó típca.6). La correlacó etre las cocetracoes de mercuro e góadas y músculo es.97. Puede asegurarse, co u 5% de sgfcacó, que efectvamete el mercuro tede a cocetrarse más e las góadas? E caso afrmatvo costruye u tervalo de cofaza al 95% para la dfereca de cocetracó etre góada y músculo. E este caso os ecotramos ate u cotraste co muestras emparejadas, ya que e cada caso góada y músculo se ha meddo e el msmo pez. El cotraste que se platea es: para el que debemos calcular el estadístco: t exp : μg μm : μ > μ xg xm.45 +.5 = = sg + sm rsgsm.57 +.6.97.57.6 4 G M = 39.436 Este valor debe compararse co t 39,.5 =.68. Como t exp >.68, podemos coclur que exste evdeca sufcete (al 5% de sgfcacó) para asegurar que, efectvamete, el mercuro tede a
cocetrarse más e las góadas. El tervalo para la dfereca de cocetracó etre ambos tejdos es (e escala logarítmca): sg + sm rsgs M μg μm xg xm ± t, α / = [.96 ±..4] = [.9,. ] 6. El mercuro se va acumulado e el cuerpo de los peces a medda que pasa el tempo, por lo que se espera que los peces de mayor edad haya acumulado ua mayor cocetracó de mercuro. La bología de estas especes permte establecer que su perodo de crecmeto es muy prologado por lo que los peces más vejos so també los de mayor tamaño. Al lado se muestra la gráfca de las cocetracoes de mercuro (e ppm) frete al peso de los peces (e gramos) capturados e el río Waccamaw (ambas varables e escala logarítmca). La sguete tabla muestra u resume de la estmacó de la recta de regresó mostrada e la gráfca: log(coc. Mercuro (ppm)) -. -... 5.5 6. 6.5 7. 7.5 8. log(peso) Estmacó de la regresó. Se ha tomado: x=log(peso e gr.), y=log(coc.mercuro e ppm) ˆ σ = ˆβ = ˆβ = s y ˆ β x = S S XY X = ( r ) = y Error Estádar x -6,74 ˆ σ + =,5 ( ) s x ˆ σ,76 =,7 S,4 x x = 6.75; s x =, 73 Cotraste de la regresó F Estadístco ( yˆ y) = r exp ( ˆ ) y y = ( ) ( r ) = = =,9 Co estos datos: Puede afrmarse co ua sgfcacó del 5% que la cocetracó de mercuro se cremeta co el peso de pez? E caso afrmatvo dca e cuáto se cremeta dcha cocetracó por cada gramo de peso adcoal del pez, dado además u tervalo de cofaza al 95% para dcho cremeto. Qué cocetracó de mercuro puede esperarse e u pez que pese kg? Calcula u tervalo de cofaza al 95% para dcha predccó
La estmacó dca que por cada udad que se cremeta el peso del pez (e escala logarítmca), su cocetracó de mercuro (també e escala logartmo) se cremeta e.76 udades. Para determar s este cremeto es sgfcatvo (es decr, s o puede explcarse por el azar), debemos resolver el cotraste de la regresó: : β = : β La tabla ateror os dca que el valor de estadístco para este cotraste es F exp =.9. Debemos compararlo co F,96,.5 = 5.85. Dado que F exp > 5.85 rechazamos la hpótess ula y coclumos que exste evdeca sufcete para afrmar que la cocetracó de mercuro se cremeta co el peso del pez. El tervalo de cofaza al 95% para la pedete de la regresó vedría dado por: ˆ ˆ σ β β± t, α / = [.76 ±.98.7] = [.6,.9 Sx y represeta el cremeto e el logartmo de la cocetracó de mercuro cuado el logartmo del peso se cremeta e ua udad. Ahora be, la preguta que platea el eucado es cuáto se cremeta la cocetracó de mercuro por cada gramo de cremeto de peso. Supogamos que el pez calmete pesa x gramos. La cocetracó de mercuro predcha es etoces: ([ Hg ] ) ( x 6.74.76 ) [ Hg ] e = + = x log 6.74.76 log Peso= x Peso= x (hemos calculado expoecales e ambos lados de la gualdad). Cuado el pez cremeta su peso e gramo, la predccó pasa a ser: ([ Hg 6.74 ] ) = + ( x + ) [ Hg ] = e ( x + ).76 log 6.74.76 log Peso= x+ Peso= x+ Por tato, el cremeto e la cocetracó de mercuro predcho cuado el peso se cremeta e u gramo depede del peso cal x, y vedría dado por: [ ] [ ] [ ].76 Δ Hg = Hg Hg = e x + x 6.74.76 Peso= x Peso= x+ Peso= x ] Para respoder a la últma cuestó, teedo e cueta los datos de la tabla, para u pez que pese kg ( gr.) se tee: Hg y por tato [ ].49 ([ ]) log Hg = 6.74 +.76 log =.49 = e =.5 ppm. El tervalo de cofaza para la predccó del log([hg]) cuado peso= kg es (cosderamos x=log(peso), y=log([hg]): ( x x) (log() 6.75) yˆ± t ˆ, α σ + +.49.98.4 = ± + + 98 98.73 SX = ± = [.49.48] [.97,.] Por tato, co u 95% de cofaza, la cocetracó de mercuro e ppm para peces de g. de peso co u 95% de cofaza se ecuetra e el tervalo:.97. = e [ ], e.4,.36 =