q 1 modifica las propiedades físicas del espacio que le rodea de forma que, cuando se coloca la carga q 1 en las proximidades de la carga q 2

Transcripción

1 Físca para encas e Ingenería APÍTULO 80 AMPO LÉTRIO ampo electrostátco Las fuerzas de atraccón o de repulsón entre dos cargas eléctrcas F = k q q r 1 1 = 1 q 1 q r 1 r 1 r 1 r 1 [1] se manfestán sn que exsta nnguna conexón materal entre ellas sto es un hecho expermental Por tanto, son fuerzas de accón a dstanca, como las fuerzas de tpo gravtatoro, aunque exsten mportantes dferencas entre ellas Por consguente, se pueden descrbr medante un campo, de gual forma que se utlza el concepto de campo gravtatoro para descrbr la nteraccón gravtatora s útl, por tanto, magnar que: Una carga eléctrca modfca, de alguna manera, las propedades físcas del espaco que le rodea, de forma que dchas propedades dferen en algo de las propedades de esa regón del espaco cuando no está presente la carga La expresón anteror de la fuerza F corresponde, en realdad, a la de la fuerza ejercda por la carga q sobre la carga q 1 onsderaremos, pues, que la carga q modfca las propedades físcas del espaco que le rodea de forma que, cuando se coloca la carga q 1 en las proxmdades de la carga q, queda sometda a la accón de la fuerza F Según esta nterpretacón: * La modfcacón de las propedades físcas del espaco que rodea a una carga q es ndependente de la exstenca de una segunda carga q 1 * La carga q, por su smple presenca, crea un campo de fuerzas eléctrcas, al que se denomna campo electrostátco * Y es éste campo electrostátco el que, al actuar sobre la carga q 1, la somete a la accón de la fuerza F Supondremos, pues, que la fuerza F que actúa sobre la carga q 1, es ejercda por el campo electrostátco creado por la carga q, y no por la carga q drectamente, a dstanca A su vez, la carga q 1 crea su propo campo electrostátco que, al actuar sobre la carga q, la somete a la accón de otra fuerza electrostátca, que es la de reaccón a la que ejerce q sobre q 1 Dremos, pues, que: xste un campo electrostátco en una regón del espaco, s al colocar una partícula cargada en un punto de dcha regón, queda sometda a la accón de una fuerza de orgen eléctrco Hay que advertr que el térmno que se utlza frecuentemente para desgnar esta propedad es la de campo eléc - trco en lugar de campo electrostátco n realdad es una cuestón de matz, ya que más adelante veremos la convenenca de defnr otro tpo de campo eléctrco fctco, no electrostátco, es decr, que no es orgnado por cargas eléctrcas, y por tanto es convenente, desde un prncpo, dejar claro este concepto Por otra parte, se debe tener cudado con certas nterpretacones del concepto de campo electrostátco, ya que es frecuente leer que el campo electrostátco es la regón del espaco donde son sensbles las accones de una carga eléctrca sto no es así, exactamente S el campo electrostátco fuese una regón del espaco, se podría consderar como un volumen, y éste concepto geométrco no refleja en absoluto las propedades anterormente dscutdas Una cosa es, que dchas propedades se manfesten en una regón del espaco, y otra muy dstnta es que esas propedades se dentfquen con dcha regón del espaco n un sentdo amplo, se podría decr que campo es snónmo de perturbacón A fn de cuentas representa la modfcacón de una propedad físca que no se producría s no estuvese presente la carga eléctrca que lo orgna Se defne el campo electrostátco en un punto del espaco como La fuerza electrostátca, por undad de carga, que actúa sobre una carga puntual stuada en reposo, en dcho punto s decr, el campo electrostátco creado por la carga q en el punto ocupado por la carga q 1, fjado por el vector de poscón r 1, es, por defncón: (r 1 ) = F 1 F 1 representa la fuerza electrostátca ejercda por la carga q sobre la carga q 1 q 1 []

2 APÍTULO 80 AMPO LÉTRIO aletos Físca para encas e Ingenería Según la defncón anteror: La undad de campo electrostátco en el SI es la ntensdad de un campo que, al actuar sobre la carga de un culombo, ejerce sobre ella la fuerza de un newton Por consguente, el campo electrostátco se medrá en el SI de undades, en newtonsculombo 1 S se despeja F 1 de [1] y se susttuye en [], (r 1 ) = F 1 = k q q 1 r r 1 1 = 1 q r r = q (r 1 r ) 0 r 1 r de donde (r 1 ) = 1 q (r 1 r ) 0 r 1 r [] S se toma como orgen de coordenadas el punto ocupado por una carga q, la expresón del campo creado en un punto stuado a una dstanca r de ella es: (r ) = 1 q r r La defncón [] de campo eléctrco se suele denomnar defncón operaconal del campo eléctrco, puesto que no se defne a partr de propedades del campo, sno a partr de una operacón de medda de una fuerza por undad de carga Y para sgnfcar que la exstenca del campo creado por una carga no exge la exstenca de una segunda carga de prueba, se suele defnr el campo como: (r ) = lm q 0 donde el paso al límte smbolza que dcho campo exstría en el punto fjado por el vector de poscón r, aunque dcha carga de prueba no estuvese presente De la propa defncón, se deduce que el campo electrostátco creado por una carga puntual en reposo en el vacío, (r), es un vector que tene, en cada punto, la dreccón de r, es decr, la de la recta que une la carga con el punto, y su sentdo es el de ± r, según que la carga que crea el campo sea postva o negatva De forma que dcho campo se aleja de la carga, s ésta es postva, o se drge haca la carga, s es negatva, como muestra la fgura 84-1 FIG 84-1 o radal n cuanto al módulo de : F q Por lo tanto, el campo electrostátco creado por una carga puntual en reposo en el vacío, es un campo de fuerzas central o = 1 q r solamente depende de la dstanca r, y, por consguente, tendrá el msmo valor en todos los puntos de una superfce esférca con centro en la carga puntual, y de rado r Se trata, pues, de un campo con smetría central o esférca Se observa, por tanto, que las característcas del campo electrostátco creado por una carga puntual en las condcones anterormente menconadas son muy smlares a las del campo gravtatoro creado por una partícula puntual de masa m, que tambén es un campo central o radal y tene smetría esférca Y, además, recordando que la condcón que debe cumplr un campo para que sea conservatvo es que, para cualquer trayectora curvlínea cerrada, se cumpla la condcón: dr = 0 [7] vamos a ver que el campo electrostátco creado por una carga puntual en reposo, en el vacío, es conservatvo [4] [5] [6]

3 Físca para encas e Ingenería APÍTULO 80 AMPO LÉTRIO dr = 1 q 1 r r dr = 1 q 1 r dr = 1 q 1 r dr = 1 q 1 = 0 r Por consguente, por ser un campo conservatvo, dará lugar, como veremos más adelante, a un potencal electrostátco S están presentes varas cargas puntuales en reposo, en el vacío, el campo electrostátco creado por ellas en un punto, como consecuenca del prncpo de superposcón, es la suma vectoral de los campos creados en dcho punto por cada una de las cargas separadamente: ( r ) = 1 n q =1 r r r r [8] 80- ampo creado por una dstrbucón de carga Hasta aquí se han consderado solamente los campos electrostátcos creados por cargas puntuales en reposo, stuadas en el vacío n la realdad los campos son orgnados por cargas dstrbudas sobre cuerpos de tamaño fnto y su cálculo es, en general, muy complcado, o ben mposble, excepto en el caso de estar dstrbudas las cargas sobre cuerpos de forma geométrca senclla tales como hlos, barras clíndrcas, superfces planas, superfces esfércas o esferas Seguremos suponendo que tales cargas se encuentran en el vacío Para calcular tales campos, utlzaremos las densdades de carga, que ya se han defndo anterormente La fnaldad que se persgue al defnr estas densdades de carga es la de poder consderar cualquer elemento de carga dq, como una carga práctcamente puntual, y, por consguente, el campo creado por dcho elemento, en un punto stuado en el vacío, a una dstanca r, será un campo elemental, de módulo: d = 1 dq r l campo total se obtendrá sumando vectoralmente los campos creados por todos los elementos de carga que ntegran el cuerpo electrzado, lo que se expresa en la forma: 1 dq r = d = = 1 r dq [10] r r r donde el sgno ntegral representa la suma vectoral de un número nfnto de campos elementales, y no sgnfca que dcha operacón sea una suma algebráca, o una suma numérca de los módulos de dchos campos elementales l cálculo, por ntegracón, del campo electrostátco creado por una dstrbucón contnua de carga presenta el nconvenente de que los campos creados por los dstntos elementos de carga tenen, en general, dferente dreccón, módulo y sentdo Sn embargo, se puede salvar este nconvenente ntegrando por separado las componentes del campo electrostátco según las dreccones de los tres ejes coordenados en el espaco, X, Y y Z, porque, aunque a lo largo de cada una de estas dreccones varíe el sentdo y el módulo de la componente correspondente, establecendo un conveno de sgnos se puede efectuar el cálculo por ntegracón, ya que la ntegracón es una suma algebráca De modo que: y el campo es x = d x y = d y = d = x + y j + k n algunos casos, la dstrbucón smétrca de la carga en torno a un punto, a un eje, o a un plano, permte smplfcar el cálculo, ya que alguna de las componentes cartesanas se anula, por smetría, quedando reducdo el cálculo a una sola componente S están presentes varas cargas puntuales y dferentes dstrbucones de carga, el campo creado en un punto determnado por el vector de poscón r tene por expresón: (r ) = 1 n q r r =1 λ(r ')dl '+ 1 r r 0 L σ(r ')da '+ 1 0 S ρ(r ')dv ' [1] 0 V donde r representa el vector de poscón de la carga q y r el vector de poscón de cada elemento nfntesmal de las dferentes dstrbucones de carga [9] [11] [1]

4 4 APÍTULO 80 AMPO LÉTRIO aletos Físca para encas e Ingenería 80- Líneas de fuerza omo ya se vo en Mecánca, una magntud físca de carácter vectoral que, en general, es funcón de cada punto del espaco y del nstante que se consdere, es un campo vectoral, y se puede representar por medo de líneas de fuer - za ste concepto fue ntroducdo por MIHAL FARADAY ( ) con objeto de representar campos eléctrcos o magnétcos Las líneas de fuerza se obtenen trazando, a partr de cada punto del espaco, un pequeño segmento en la dreccón del vector correspondente a dcho punto l extremo de dcho segmento srve como orgen para trazar otro segmento en la nueva dreccón que tenga la magntud vectoral, y así sucesvamentede esta forma se obtene una lnea polgonal como la de la fgura 4- FIG 84- S se dbuja nuevamente esta línea polgonal, tomando los puntos más próxmos entre sí, los segmentos que determnan serán más pequeños, y en el límte, cuando las longtudes de estos segmentos tendan a cero la línea polgonal se convertrá en una línea curva, denomnada línea de fuerza del campo vectoral Por la forma en que se ha dbujado, se deduce que: l vector campo en cada punto es tangente a la línea de fuerza y su sentdo es el de dcho vector campo Naturalmente, se puede dbujar una línea de fuerza que pase por cada punto del espaco, pero ya se comprende que s se hace esto, todo el esquema estaría lleno de líneas de fuerza y no se podría dstngur nnguna de ellas Para que las líneas de fuerza ndquen en cada punto el módulo, además de la dreccón y sentdo del vector campo, se convene en dbujarlas de la sguente forma: n cada punto se toma una pequeña superfce de área da, normal a la dreccón del vector campo en dcho punto, y se dbujan a partr de los puntos de dcha superfce un número de líneas de fuerza, dn, unformemente dstrbudas, gual al producto del módulo del vector campo por el área da del elemento de superfcede esta forma, el módulo del vector en dcho punto queda determnado por la densdad superfcal de líneas de fuerza que atravesan normalmente un elemento de área stuado en dcho punto: = dn da De forma que en aquellas regones en las que las líneas de fuerza estén más próxmas entre sí el módulo del vector campo tendrá un mayor valor Y, por el contraro, el módulo será menor en aquellas regones donde las líneas de fuerza estén más separadas n general, nos nteresa úncamente este aspecto cualtatvo de las líneas de fuerza De todo lo anteror se deduce que: * S en un esquema, las líneas de fuerza son rectlíneas, paralelas, de gual sentdo y equdstantes unas de otras, corresponden a un campo electrostátco unforme * Las líneas de fuerza del campo creado por una carga puntual son radales, con centro en la carga puntual, y van drgdas de la carga al nfnto, s la carga es postva, o del nfnto haca la carga s ésta es negatva * De una carga postva parten líneas de fuerza que termnan en cargas negatvas, o en el nfnto * A una carga negatva llegan líneas de fuerza procedentes del nfnto o de cargas postvas * Las cargas son las úncas fuentes del campo electrostátco * Las líneas de fuerza del campo electrostátco no pueden cortarse o desdoblarse S dos o más líneas del campo electrostátco se cortasen en un punto, o se bfurcasen, el campo electrostátco en el punto de corte no estaría defndo unívocamente, y, para un sstema de cargas dado, el campo en cada punto tene un valor únco totalmente determnado onvene advertr que cuando se habla del punto del nfnto, o de una dstanca nfnta en lectrostátca, no se debe nterpretar al pe de la letra como un punto nfntamente alejado o como una dstanca realmente nfnta Se debe entender esta denomnacón en el sentdo de ser un punto que se encuentra a una dstanca muy grande comparada con las dmensones de las restantes magntudes que ntervenen en el fenómeno que se estuda Por ejemplo, s nos encontramos realzando una sere de experencas con pequeñas partículas cargadas en la mesa de un laboratoro, las paredes de éste se encuentran a una dstanca nfnta de las partículas cargadas Se debe hacer esta msma consderacón a la hora de nterpretar, por ejemplo, el campo creado por un hlo conductor rectlíneo, muy delgado, de longtud nfnta, cargado unformemente con una certa densdad lneal de carga No sgnfca tal denomnacón que el hlo tenga realmente una longtud nfnta, sno que su longtud es muy grande comparada con la dstanca a la que se desea calcular el campo [14]

5 Físca para encas e Ingenería APÍTULO 80 AMPO LÉTRIO 5 n Magnetsmo, donde volveremos a encontrar estas msmas denomnacones, tenen la msma nterpretacón 80-4 cuacón de las líneas de fuerza Puesto que el vector campo eléctrco es en todo punto tangente a una línea de fuerza, y cada elemento de longtud dl se puede consderar asmsmo tangente a la línea de fuerza, los vectores y dl son de gual dreccón, y por consguente, sus componentes serán proporconales Así que, la ecuacón de las líneas de fuerza queda determnada: n coordenadas cartesanas, por: dx x = dy y = dz = cte [15] n coordenadas clíndrcas, por: dr r = rdϕ = dz ϕ = cte [16] n coordenadas esfércas, por: dr r = rdθ θ = r senθdϕ ϕ = cte [17] l valor de la constante se determna especfcando las coordenadas de un punto por el que pasa la línea de fuerza