ACTIVIDADES INICIALES. Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1, 3) y B(3, 7), calculando previamente
|
|
- Catalina Espinoza Pérez
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Solucionario 0 Derivadas ACTIVIDADES INICIALES 0.I. Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A(, 3) y B(3, 7), calculando previamente su pendiente. m 7 3. Por tanto, la ecuación será y 3 ( ). 3 0.II. Toma logaritmos en la epresión: A y 3 z log A log y 3 z log y 3 log z log (y3 ) log z log 3 log y log z 0.III. Escribe en forma algebraica las siguientes epresiones: a) log A 3 log 3 log log y 4 log z b) log B [3 log log y] log z a) log A log 3 y 8y 3 4 A z 3 z 4 3 y b) log B log B y z z EJERCICIS PRPUESTS 0.. Considera la función f(). Calcula con ayuda de la calculadora: a) TVM f[, 00] c) TVM f[, ] e) TVM f[;,] g) TVM f[;,00] b) TVM f[, 0] d) TVM f[;,5] f) TVM f[;,0] ) TVM f[;,000] A qué valor se acercará TVM f[;,0000]? Cuál será el valor de TVI f()? a) f( 00) 00 f() e) f(,) f 9, () 0, 0 0,, b) f( 0) f 0 () f) f(,0),0 f() 0, ,0,0 c) f( ) f () g) f(,00),00 f() 0, ,00,00 d) f(,5) f,5 (),5 0 0,5,5 ) f(,000),000 f() 0, ,000,000 Está claro que TVM f[;,0000] se acerca a : f(,0000) f() TVM f[;,0000] 0, ,0000,0000 0,0000 TVI f() lim 0 f( ) f() ( ) 0 lim 0 lim 0 lim ( ) lim ( ) Solucionario
2 0.. La siguiente gráfica muestra la evolución de un capital invertido en dos fondos de inversión diferentes y en distintos momentos. a) Cuál es la TVM de cada uno de los capitales desde el inicio? en los últimos 4 meses? en el último mes? b) Puedes decidir qué fondo es más rentable? E F M A M J J A S N D Si llamamos t a los meses transcurridos desde el comienzo del estudio, f a la función superior y g a la función inferior, podemos contestar, observando que el mes de inicio es diferente en los fondos de inversión. a) Desde el inicio: TVM f[0, ] f( ) f (0) ,73; TVM g[4, ] g( ) g(4) ,7 4 7 En los últimos cuatro meses: TVM f[7, ] f( ) f (7) ; TVM g[7, ] g( ) g (7) En el último mes: TVM f[0, ] f( ) f ( 0) g() g(0) 0; TVM g[0, ] b) Es más rentable el fondo de la gráfica inferior Representa la función f(). Dibuja la tangente a la curva obtenida en el punto de abscisa. a) Cuál es la pendiente de dica recta? b) Calcula f() y compara los resultados. a) La pendiente de la recta tangente es 3. b) f() lim 0 f( ) f() ( ) ( ) lim 0 f() lim 3 lim 0 0 ( 3) lim 0 Ambos valores coinciden. ( 3) Completa la tabla para la función f() 3 en a. 0,5 0, 0,0 0,00 f(a ) f(a) 7 4,75 3,3 3,030 3, Aplicando la definición de derivada, obtén la derivada de las siguientes funciones. a) f() ( ) b) f() c) f() a) f() lim 0 f( ) f() ( ) ( ) lim 0 f() lim ( ) 0 b) f() lim 0 f( ) f() lim 0 lim 0 ( ) lim 0 lim 0 ( ) lim 0 lim ( ) 0 ( ) c) f() lim 0 f( ) f() lim 0 lim 0 f() lim lim lim 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) Solucionario 83
3 Solucionario 0.6. btén las funciones derivadas de las funciones f() y g(). Dibuja las gráficas de f y g, y observa cómo son las tangentes en puntos de igual abscisa. Confirma tu cálculo anterior dica observación? f() lim 0 f( ) f() lim 0 ( ) lim lim 0 0 ( ) lim ( ) 0 g() lim 0 g( ) g() lim 0 ( ) ( ) lim 0 En el dibujo se an trazado las tangentes a las curvas en los puntos de abscisa. Se observa que dicas tangentes son paralelas, es decir, tienen la misma pendiente. Igual ocurrirá si elegimos otra abscisa para trazar las tangentes. El resultado es el esperado, ya que ambas funciones tienen la misma función derivada, que es la que nos dice cuánto vale la pendiente de la recta tangente a la curva Calcula el punto de la gráfica de la función f() 5 en el que la tangente es paralela a la recta y 4 3. Dibuja posteriormente la curva, la recta dada, y traza la tangente en el punto obtenido. La pendiente de la recta tangente debe ser la misma que la de y 4 3, es decir, 4. Así pues, la derivada en dico punto debe ser 4: f() 4 Calculemos primero la derivada de f() y luego la igualamos a 4: ( ) 5 ( 5) f() lim lim lim ( ) f() 4 4. El punto buscado es P(, ) a) Deduce la derivada de f(). b) Hay algún punto en la curva y f() en el que la tangente sea orizontal? en el que la tangente tenga pendiente positiva? a) f() lim 0 f( ) f() lim 0 ( ) lim 0 ( ) ( ) f() lim 0 ( ) ( ) lim 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) En un punto con tangente orizontal debe anularse la derivada. Pero f() nunca se anula, ya que ( ) el numerador es distinto de cero para cualquier valor de. Así pues, no ay ningún punto de la curva con tangente orizontal. Además, como el denominador es siempre positivo y el numerador es, tampoco ay puntos cuya tangente tenga pendiente positiva. 84 Solucionario
4 0.9. bserva la siguiente gráfica. Teniendo en cuenta que las rectas trazadas son tangentes a la función f(), alla los valores de las siguientes derivadas. a) f() b) f(4) y = f () a) f(),5 4,5 b) f(4) 3,3) Hay algún punto en la gráfica de f() t, siendo t un número impar, en el que la tangente sea una recta decreciente? Se pregunta si ay algún valor de para el que la derivada de la función sea negativa. La derivada es f() t t. Como t es impar, entonces t es par y, por tanto, t nunca será negativo, ya que su eponente es par. Así que si t 0, no ay ningún punto en el que la tangente a la gráfica sea una recta decreciente. si t 0, todos menos el 0 tienen la recta decreciente. (En 0, la tangente es orizontal.) 0.. Calcula las derivadas de las funciones siguientes. a) y 3 c) y b) y 8 d) y () 3 a) y 3 c) y 3 3 b) y 8 7 d) y Halla la pendiente de la tangente a la curva f() 3 en el punto de abscisa 8. La pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa 8 es m f 8. Hallemos la derivada de la función f() 3 3 y calculemos su valor en 8 : f() f es la pendiente pedida Calcula la pendiente de la tangente a y e en el punto de corte de esta con el eje de ordenadas. El punto de corte de f() e con el eje de ordenadas es P(0, e 0 ) P(0, ). La pendiente de la tangente en dico punto es f(0), allémosla: f() e f(0) e Cómo son las tangentes a las curvas y ln en P(, 0) e y sen en Q(0, 0)? Calculemos el valor de la derivada correspondiente en sendas abscisas: f() ln f() f() g() sen g() cos g(0) cos 0 Las tangentes tienen la misma pendiente y, por tanto, son paralelas. Solucionario 85
5 Solucionario 0.5. Deriva las siguientes funciones. a) f() 4 f) f() tg b) f() g) f() c) f() ) f() ln ( ) d) f() sen i) f() (cos ) 3 co s e) f() ( 7)(5 3) j) f() e a) f() f) f() tg ( tg ) b) f() ( ) ( ) g) f() 3 ( ( ) ) c) f() ) f() sen d) f() cos c i) f() 3 os cos (sen ) 3sencos e) f() 3 j) f() e e e e 0.6. Calcula el valor máimo y mínimo de las siguientes funciones en los intervalos indicados. a) f() 4 en [, 5] c) f() ( )( ) en [0, 3] b) f() 3 6 en [3, 5] d) f() en [, 4] a) f() 4 0, que pertenece al intervalo [, 5]. f() 4; f() 3; f(5) 5 El valor máimo de la función es 5 y se alcanza para 5. El valor mínimo de la función es 4 y se alcanza para. b) f() 6 6 0, que no pertenece al intervalo [3, 5]. f(3) 9; f(5) 45 El valor máimo de la función es 45 y se alcanza para 5. El valor mínimo de la función es 9 y se alcanza para 3. c) f() 3 0 3, que pertenece al intervalo [0, 3]. f 3 ; f(0) ; f(3) 4 El valor máimo de la función es y se alcanza en los etremos del intervalo. El valor mínimo es y se alcanza en 3 4. d) f() 0, no tiene soluciones reales. f() ; f(4) 4 El valor máimo de la función es y se alcanza para. El valor mínimo de la función es y se alcanza para Solucionario
6 0.7. (TIC) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones. a) f() 6 8 c) f() ( ) b) f() d) f() ( ) a) Crece en (3, ), decrece en (, 3). c) Crece en (, ), decrece en (, ). b) Crece en (, ) (3, ), decrece en (, 3). d) Crece en (, ), decrece en (, ) Halla el valor de a para que el mínimo de la función f() a sea igual a 8. Igualamos la derivada a 0, y obtenemos 0, con lo que es el posible mínimo. Para que valga 8, f() a 8, luego a La curva de ecuación y b c pasa por el punto P(, ) y alcanza un etremo relativo en el punto de abscisa 3. Halla los números b y c. Pasa por (, ), entonces 4 b c b c 3. Alcanza un etremo en 3, entonces f(3) 0. Tenemos que f() b, así 6 b 0 b 6 c Representa las siguientes funciones polinómicas. a) f() e) f() 3 b) f() 3 8 f) f() ( ) c) f() 4 g) f() ( )( )( ) d) f() 4 ) f() ( ) a) e) b) f) c) g) d) ) Solucionario 87
7 Solucionario 0.. La gráfica de la dereca representa la derivada de f. Propón una forma concreta para f compatible con esta información. f debe ser de segundo grado, f() a b c, por ser su derivada una recta f() a b. Como la derivada es positiva antes del 4 en el eje de abscisas, eso indica que f crece en (, 4) y que decrece en (4, ); por tanto, en 4, f alcanza un máimo (f(4) 0) y el coeficiente de mayor grado, a, debe ser negativo. Así a 0 y 8a b 0 b 8a. f () Además observamos que f() pasa por el punto (0, 3); por tanto: f(0) 0 b 3 b 3 Así a 3 8. Por tanto una posible forma de f será f() Un agente comercial cobra por la venta de un cierto producto una comisión dada por C() 0, donde representa la cantidad en miles de euros de la venta efectuada. Determina la cantidad que abrá de vender para que la comisión sea máima C() , luego tendrá que vender una cantidad de Halla dos números reales mayores o iguales que 0 cuya suma sea 0, de forma que la suma del cuadrado de uno y el cuadrado del doble del otro sea mínima. Sean e y los números que se buscan. La función a minimizar es: S y () y 0 y 0 S() (0 ) () con [0, 0] S() S() Así pues, el mínimo se alcanza para 4, con lo que los números buscados son 4 y Un agricultor dispone de 400 m de alambre con los que quiere vallar un campo rectangular aprovecando que un río ace ya de valla en un lado. Cómo debe acerlo para cercar la máima superficie? Sean e y las longitudes en metros de los lados del rectángulo, siendo el lado y el del río. La función a maimizar es A y. y 400 y 400 A() (400 ) 400, con [0, 00] A() [0, 00]. A(0) A(00) 0, A(00) El área máima es de m y se obtiene vallando dos lados de 00 m y uno de 00 m. EJERCICIS Tasa de variación 0.5. Se estima que, dentro de t años, la tirada de un periódico local será C(t) 50t 00t 000 ejemplares. a) Calcula la tasa de variación media en los próimos 3 años. b) Calcula la tasa de variación instantánea en el tercer año. a) TVM C[0, 3] C(3 ) C 3 (0) b) TVI C(3) lim 0 C(3 ) C(3) 50 (3 ) 00 (3 ) lim 0 lim Solucionario
8 0.6. El área de una esfera, en función del radio, viene dada por la fórmula A(r) 4r. Despeja el radio y, utilizando la calculadora, estima la tasa de variación instantánea del mismo cuando A 56 cm. r(a) 4 A r(56 ) r(56) TVI r(56) lim 0 r(56 ) r(56) Calculemos para algunos valores pequeños de. r(56 ) r(56) Para : , , r(56 0,) r(56) Para 0,: 0, 0, , TVI r (56) 0, Considera la gráfica de la figura y contesta a las siguientes preguntas. a) Entre qué pareja de puntos consecutivos es negativa la tasa de variación media? b) Entre qué pareja de puntos consecutivos es máima la tasa de variación media? c) Entre qué pareja de puntos consecutivos está más próima a 0 la tasa de variación media? a) La TVM es negativa entre a y b y entre b y c, ya que f(a) f(b) y f(b) f(c). b) La TVM es máima entre c y d, ya que f(c) y f(d) están muy alejados, y c y d, muy juntos. c) La TVM es más cercana a cero entre a y b, ya que f(a) y f(b) están muy próimos. y = f () a b c d Derivada de una función en un punto 0.8. Aplicando la definición de derivada, alla la derivada de las siguientes funciones en los puntos indicados. a) f() en b) f() en 0 c) f() en 3 a) f() lim 0 f( ) f() ( ) ( ) lim 0 b) f(0) lim 0 f(0 ) f(0) lim 0 c) f(3) lim 0 f(3 ) f(3) lim 0 lim 0 (3 ) 7 lim 0 lim ( ) 0 lim ( ) 0 lim La tangente a la curva y f() en el punto P(, 3) pasa también por el punto Q(, 0). Cuánto vale f ()? El valor de f() es la pendiente de la recta tangente a f en el punto de abscisa. Como conocemos dos puntos de la recta tangente, podemos calcular su pendiente, recordando que es igual al incremento de la ordenada partido entre el incremento de la abscisa: 0 3 f() m Solucionario 89
9 Solucionario Las siguientes afirmaciones son falsas. Haz ver con algún dibujo que, efectivamente, lo son. a) Si f(3) g(3), entonces f(3) g(3). b) Si f(0) 0, entonces f(0) f(). c) Si f() 0, entonces f(0) f(). a) f(3) g(3), f(3) 0 y g(3) 0 b) f(0) 0 y f(0) f() c) f() 0 y f(0) f() f g Función derivada 0.3. Puede ser la función y g() la derivada de la función y f()? y = f () y = g () La función f() es decreciente en (, 0) y, por tanto, su derivada debe ser negativa en este mismo intervalo, pero g() es positiva en (, 0). Así que g() f() Utiliza la gráfica de f para estimar el valor de la derivada en los puntos indicados y, a continuación, esboza la gráfica de la función y f(). a) f(), f(3) b) f(), f(0), f() c) f(0), f(), f(4) a) b) c) f () f () f () a) f() f(3) 0, por b) f() en c) f() en 3 tratarse de una constante. todos los puntos. f(7). todos los puntos. 90 Solucionario
10 Interpretación geométrica Dibuja una posible gráfica para y f() si tienes estos datos sobre su derivada: f() 0 en (, 3) f() 0 para y para 3 f() 0 para y para 3 La función f() debe ser decreciente en (, ) (3, ) y creciente en (, 3); además, en y en 3 debe tener tangente orizontal. Con estos requisitos, una posible gráfica para f() es la que se muestra a la dereca: En la gráfica que ves se observa que f(c) 0. Presenta f en el punto c un máimo o un mínimo relativo? y = f () c No ay un mínimo relativo en c, ya que f() es creciente a la izquierda y a la dereca de c Decide las abscisas de los puntos en los que f presenta un máimo o un mínimo relativo, si la gráfica de y f() es: y = f () a b c d Los máimos y mínimos relativos están en los puntos en los que la derivada cambia de signo. Si pasa de positiva a negativa, serán máimos, y si el cambio es de negativo a positivo, serán mínimos. Así pues, presenta un máimo en b y mínimos en a y en c. bsérvese que en d la derivada no cambia de signo (PAU) Dada la curva de ecuación y 3 6, calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la misma que sean paralelas a la recta y. La pendiente de una recta tangente en el punto de abscisa a es m f(a), que a su vez debe ser igual a la pendiente de la recta y, es decir, igual a. Así pues, m f(a). Las abscisas de los puntos de tangencia las encontraremos derivando la función e igualando la derivada a : f() y 3. Por tanto, a 3 y a 3. Una de las rectas tangentes que buscamos pasa por el punto de tangencia P(3, f(3)) P(3, 5). Su ecuación es y 54. La otra recta tangente pasa por el punto de tangencia P(3, f (3)) P(3, 5). Su ecuación es y 54. Solucionario 9
11 Solucionario Dada la curva de ecuación y, calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la misma que sean paralelas a la recta de la figura. La recta de la figura tiene por pendiente m. Para calcular los puntos en los que se trazan las tangentes 5 paralelas a la recta del dibujo debemos resolver 5, que tiene por solución 3. Por tanto, la tangente que buscamos será y btén la pendiente de la tangente a la curva f() 3 en el punto de abscisa 8. La pendiente m buscada es f(8). Calculemos, pues, la función derivada de f() 3 3. f() y la pendiente es m f(8) btén los puntos de la curva y 3 en los que su tangente es paralela a la recta y. La pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa a es m f(a), que a su vez debe ser igual a la pendiente de la recta y, es decir, igual a. Así pues, m f(a). Las abscisas de los posibles puntos de tangencia las encontraremos derivando la función e igualando la derivada a : f() 3 y. btenemos, pues, dos puntos: P(, f()) P(, 8) y P(, f()) P(, 8) Es la recta y tangente a la curva y ln? La pendiente de la recta y es m, que debe coincidir con el valor de la derivada de f() ln para algún, que será la primera coordenada del punto de tangencia. Calculémosla: f(), el punto de tangencia sería P(, ln ) P(, 0). Pero el punto P(, 0) no pertenece a la recta y, por lo que dica recta no es tangente a la curva f() ln Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola y que sea paralela a la recta y 3. La pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa a es m f(a), que a su vez debe ser igual a la pendiente de la recta y 3, es decir, igual a. Así pues, m f(a). La abscisa del punto de tangencia la encontraremos derivando la función e igualando la derivada a : f(), luego. Por tanto, a. La recta tangente que buscamos tiene pendiente y pasa por el punto de tangencia, que como f() 3, es P, 3. Su ecuación es y. 9 Solucionario
12 0.4. Es tangente la recta y 5 a la curva y 4 3? La pendiente de la recta y 5 es y, por tanto, el valor de la derivada de y 4 3 debe ser también en la abscisa del punto de tangencia. Es decir, f() Así pues, el posible punto de tangencia es P(, 0). Sólo nos queda comprobar que el punto cuya primera coordenada vale es el mismo en la recta y en la curva, ya que debe pertenecer a ambas: En la recta: P(, 6) En la curva: P(, 0) Concluimos entonces que la recta y la curva no son tangentes. Derivadas de operaciones (TIC) Calcula la derivada de las siguientes funciones. a) f() 3 4 j) f() e ln b) f() 5 4 k) f() 5 ln c) f() 3 6 l) f() e d) f() 3 m) f() c se os n e) f() (ln ) n) f() sen (sen ) f) f() 3 sen o) f() cos (5 3) g) f() e cos 3 p) f() tg ( 3 4 ) ) f() q) f() ln i) f() e sen r) f() ln (sen ) a) f() j) f() e ln e ln ( ) b) f() 4 3 k) f() (ln ) c) f() 4 3 l) f() e e 3 (e ) e sen sen cos cos d) f() 3 m) f() 3 sen se n e) f() (ln ) ln n) f() cos (sen ) cos f) f() 9 4 sen cos o) f() 0 cos (5 3) sen (5 3) ln (ln ) g) f() e cos 3 p) f() [ tg ( 3 4 )](3 4) 3 ) f() 34 ( ) 9 6 ( 3 q) f() ) ( ) cos i) f() e sen e cos r) f() ln(sen ) s en cos cos ln (sen ) sen Solucionario 93
13 Solucionario Halla la derivada de f() de dos formas: aplicando la derivada del cociente y escribiendo f como suma de potencias de. bserva que deben coincidir los resultados. ( ). o f() ( ). o f() f() Las gráficas de las funciones f y g son las que te muestra la figura, compuesta por arcos de circunferencia y segmentos. Calcula: f g a) (f g)(5) b) (f g)(5) c) g f (5) d) (f g)(5) e) (f )(5) f) (g f )(5) Trazando la recta tangente a las funciones f y g en 5 y contando los cuadritos se puede allar su pendiente, es decir, su derivada: f(5) y g(5). Además, f(5) y g(5) 6. Con estos datos ya podemos calcular lo que se pide: a) (f g)(5) f(5) g(5) b) (f g)(5) f(5) g(5) f(5) g(5) 6 () f(5) g(5) f(5) g(5) (g(5)) c) f g 6 (5) () d) (f g)(5) f(g(5)) g(5) f(6) () () e) (f )(5) f(5) f(5) 4 f) (g f )(5) g(5) f(5) g(5) f(5) (TIC) Calcula la derivada de las siguientes funciones. a) f() ( ) 5 d) f() sen b) f() e e) f() sen 3 ( ) c) f() ln ( 3 4) f) f() ln 3 a) f() 30( ) d) f() cos b) f() e e) f() 6 sen ( ) cos ( ) c) f() ( ln )3 f) f() 3ln Solucionario
14 0.47. bservando que cos sen y aplicando la regla de la cadena, deduce la derivada de la función y cos y a continuación la derivada de y tg. (cos ) cos = sen () sen Si f() tg s en f() cos cos cos sen (sen ) cos cos sen cos co s Crecimiento y decrecimiento. Etremos relativos La gráfica de la función f() a 3 b c satisface las siguientes condiciones: a) Pasa por (0, 0). b) Tiene un mínimo relativo (, ). Calcula los coeficientes a, b y c. a) Pasa por (0, 0), luego 0a 0b c 0, esto es, c 0. b) Pasa por (, ), luego a b. c) Tiene un mínimo de abscisa, por lo que f() 0, esto es, 3a b 0. a b Entonces, 3a b 0 a y b Deduce la abscisa del vértice de la parábola y a b c. b El vértice de una parábola es su máimo o su mínimo, entonces f() a b 0 a Para cada valor de a se considera la función: f() 3 a. Calcula el valor de a para que f tenga un mínimo relativo en. (6 a) ( ) (3 a) ( a) 4 ( a) f() f() 0 a 8 ( ) 6 Para verificar que dico etremo es un mínimo, se estudia el signo de la derivada cerca de. f() ( 6) ( ) f() ( ) 6 f() 0 f decreciente a la izquierda de f() 0 f creciente a la dereca de Entonces, para a 8, la función dada tiene un mínimo relativo en Razona cuál de las siguientes gráficas se corresponde con la derivada de una función que tiene un máimo en el punto a. a) b) c) d) a a a a Si tiene un máimo, además de anularse en a, debe pasar de ser positiva a negativa, por pasar f de creciente a decreciente. Por tanto, la solución es la b. Solucionario 95
15 Solucionario 0.5. Razona cuál de las siguientes gráficas se corresponde con la derivada de una función creciente en el intervalo [a, b]. a) b) c) d) f () f () a b b a b a f () a b f () Si f es creciente en el intervalo, en todo el intervalo la derivada debe ser positiva, luego la solución es a Responde verdadero o falso. a) Si f tiene derivada en todos los puntos y f() f(7), debe aber un número c entre y 7 con f(c) 0. b) Eiste una función f para la que f() 3, f(5) 6 y f() para todo. c) Si f y g son positivas y crecientes, entonces f g es creciente. a) Verdadero. Al ser la función continua y verificar que f() f(7), debe aber un valor c comprendido entre y 7 que es la abscisa de un punto de tangente orizontal, es decir, que f(c) 0. b) Falso. Hay un valor c en el intervalo (, 5) en el que la derivada vale c) Verdadero. En efecto, (f g) f g f g, que son dos sumandos no negativos, y, por tanto, la función es creciente Razona cuál de las siguientes gráficas se corresponde con una función y su derivada. a) b) c) d) f f f f f f f f De una función polinómica a su derivada se baja un grado, con lo que se descartan las funciones de los apartados a y d (además, como las parábolas crecen y decrecen, la derivada debe tener un cambio de signo, y la f del apartado d no cambia de signo). Como en c la función f es creciente, f debería ser positiva, y es negativa. En conclusión, el apartado correcto es el b Razona cuál de las siguientes gráficas se corresponde con la derivada de la función f() k, siendo k un número real positivo. a) b) c) d) La derivada de una recta es una constante, luego la única opción es la b. 96 Solucionario
16 Representación de funciones polinómicas (TIC) Representa las siguientes funciones, a) f() ( ) 3 d) f() b) f() 6 4 e) f() 4 c) f() f) f() ( )( ) a) c) e) b) d) f) Problemas de optimización Encuentra dos números no negativos que sumen 4, de forma que la suma de sus cuadrados sea: a) Máima b) Mínima Sean e y dicos números. La función que queremos maimizar y minimizar es S y. y 4 y 4 S() (4 ) 8 96 con [0, 4] S() [0, 4] S(0) S(4) 96 y S(7) 98 Entonces: a) Para 0, y 4 ó 4, y 0 se obtiene la suma de cuadrados máima: 96. b) Para 7, y 7 se obtiene la suma de cuadrados mínima: Un depósito abierto de capa y de base cuadrada debe tener capacidad para L. Cuáles an de ser sus dimensiones para que precise la menor cantidad de capa? Sean el lado de la base y la altura del depósito, todo ello en decímetros. Se debe minimizar el área total A 4, sabiendo que el volumen es V Despejando la de esta última epresión y sustituyendo en el área, obtenemos que debemos minimizar A Por tanto, A dm mide el lado de la base. Como, en efecto, se trata de un mínimo, podemos calcular que 5 dm. Solucionario 97
17 Solucionario Los beneficios que se obtienen de la venta de unidades de un determinado producto vienen dados por la epresión B() a) Cuántas unidades vendidas dan el mayor beneficio? b) Determina el número de unidades que ay que vender para que se maimice el beneficio medio: B( ). a) B() La solución negativa se descarta. Si 6 6 f() 0, y si 6 f() 0, por lo que es un máimo. P(6, B(6)) P(6, 608). El beneficio máimo es de 608 y se obtiene con la venta de 6 unidades. b) B m () Si 0 4 B m () 0, y si 4 B m () 0, por lo que es un máimo. P(4, B m (4)) P(4, 0). El beneficio medio máimo es de 0 y se obtiene con 4 unidades. PRBLEMAS 5 t (PAU) El número de individuos, en millones, de una población viene dado por la función P(t) (, t ) donde t se mide en años transcurridos desde t 0. Calcula: a) La población inicial. b) El año en que se alcanzará la mínima población y el tamaño de esta en ese momento. c) El tamaño de la población a largo plazo. a) Población inicial P(0) 5 millones de individuos t (t ) (5 t ) (t ) b) P(t) ( t 5) 3 0 t 5 (se descarta t ). (t ) 4 (t ) Si 5 f() 0, y si 5 f() 0, por lo que es un mínimo. A los 5 años se alcanza la mínima población: P(5) 0,9375, es decir, individuos. c) lim t 5 ( t t, es decir, tiende a estabilizarse en un millón de abitantes. ) 0.6. Una empresa de venta por teléfono a establecido para sus empleados un incentivo mensual, f() (en euros), en relación con el valor (en euros) de lo vendido por cada uno según la función: 0,03 30 si f() 600 si Estudia la continuidad de f e indica si ay algún valor en las ventas que la empresa valore especialmente. Es el incentivo siempre creciente en relación con las ventas realizadas? Puede un empleado recibir 600 euros de incentivo? Por qué? 598 euros? a) La función f() es continua al menos en [0, 0 000) (0 000, ). f(0 000) lim f() 70 y lim f() 300 no es continua en b) En el primer tramo la función es creciente, ya que es una recta de pendiente positiva En el segundo tramo es g() g() 0 creciente ( 0 000) Como el salto en es 30 0, podemos concluir que la función es siempre creciente. c) En el primer tramo, el valor máimo es f(0 000) 70, y en el segundo tramo la tendencia es lim f() 600. Es decir, un empleado nunca podrá alcanzar los 600 euros de incentivo por muco que venda. Para conseguir 598 euros de incentivo deberá ocurrir que f() 598, esto es, , es decir, deberá realizar unas ventas de Solucionario
18 0.6. En el año 000 se fundó una asociación ecologista. Se sabe que el número de sus miembros a variado con los años según la función N(t) 40 (t 3 4,5t 6t 3), donde t mide el número de años desde el inicio de la fundación. Cuántos fueron los socios fundadores? En qué periodo de tiempo aumentó el número de socios? N.º socios fundadores: N(0) 0 N(t) 40(3t 9t 6) 0(t )(t ) 0 en (0, ) (, ). El número de socios aumenta asta el primer año y a partir del segundo año (PAU) Una compañía puede producir cientos de neumáticos de calidad A. Además, por cada cientos de neumáticos de calidad A es capaz de producir 40 cientos de neumáticos de calidad B, que dejan 6 la mitad de beneficio que los de calidad A. Por problemas de almacenamiento, la compañía no puede producir más de 550 neumáticos de calidad A. Halla el número de neumáticos de cada tipo que resulte más rentable producir. Si llamamos P a los beneficios que dejan 00 neumáticos de calidad A, la función que queremos maimizar es f() P P 40 6 P 4 0 P 4 0, donde [0; 5,5]. 4 ( ) (40 ) () ) 0, si y 0 0 [0; 5,5], f() 4P, f(0) 3,33P y f(5,5) 0,5P 00 neumáticos A y 400 B. f() P P 4 ( ) ( Se a estudiado el rendimiento de los empleados de una oficina a medida que transcurre la jornada laboral desde las 8 asta las 5 oras, analizando el número de instancias revisadas en una ora. La función que epresa dico rendimiento es R(t ) 30t 0,5t t 3, siendo t el número de oras transcurridas desde el inicio de la jornada laboral. a) Halla la tasa de variación media del rendimiento R(t) entre t y t 4. b) Determina en qué momento se produce el máimo y el mínimo rendimiento entre las 9 y las 4, y entre las 9 y las. a) TVM R[, 4] R(4 ) R 4 () b) R(t) 30 t 3t 0 t y t 5 R(),5; R(5),5; 9:00 R() 0,5; 4:00 R(6) 8; :00 R(4) 6 El máimo entre las 9:00 y las 4:00 se alcanza en t (0:00), y el mínimo, en t 5 (3:00). Entre las 9:00 y las :00, el máimo se alcanzará en t (0:00), y el mínimo, en t 4 (:00) Los beneficios de una fábrica de camisas dependen del número de miles de camisas que se fabrican cada día, según la función f() , donde mide el número de camisas fabricadas al día en miles, y f(), la ganancia en miles de euros al mes. Atendiendo al número de máquinas y personal necesarios, la fábrica puede optar por fabricar un número diario de camisas comprendido entre 000 y Cuántas camisas debe fabricar para obtener un beneficio máimo? f() , si ó 3 [0, 4]. f() 4, f() 9, f(3) 8 y f(4) 3 Así pues, fabricando 4000 camisas se obtiene el beneficio máimo, que asciende a (PAU) Se quiere construir el marco de una ventana rectangular de 8 m. El metro lineal de tramos orizontales cuesta,50 euros, y el de tramos verticales, 5. Determina las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo y el precio de dico marco. Sea la longitud en metros del tramo orizontal e y la longitud en metros del tramo vertical. La función coste que queremos minimizar es: S,5 5 y 5 0y y 8 y 8 S() S() La solución negativa se descarta. Como a la izquierda de 4 la derivada es negativa y a la dereca es positiva, el punto (4, S(4)) (4, 40) es un mínimo. Las dimensiones son 4 m el tramo orizontal y m el tramo vertical. El coste mínimo es de 40. Solucionario 99
19 Solucionario PRFUNDIZACIÓN Se quiere construir una caja abierta (sin tapa) recortando cuadrados iguales en cada una de las esquinas de una oja rectangular de cartón de dimensiones 3 y 8 dm. Epresa el volumen de la caja en función del lado del cuadrado recortado y calcula este para que dico volumen sea máimo. Sea los decímetros que mide el lado del cuadradito que recortamos en las esquinas. V() (8 )(3 ) con 0, 3. V() y 3. El máimo se alcanza en, ya que en los etremos del 3 intervalo el volumen es 0 y el otro valor posible 3 queda fuera del dominio a) Las parábolas y a b c e y tienen una recta tangente común en el punto A(, ). Deduce dos relaciones entre a, b y c. b) Si la parábola en cuestión pasa por el punto (3, ), deduce una tercera relación entre a, b y c. c) Con las tres relaciones obtenidas, resuelve el sistema de tres ecuaciones y obtén la ecuación de dica parábola. a) A(, ) pertenece a ambas parábolas; por tanto, f() a b c. g() f() a b a b c b a y c a. Por supuesto, a 0. a b b) Como la parábola pasa por el punto (3, ), se sigue que f(3) 9a 3b c. c) a b c a b 9a 3b c a 3, b 7 4, c 7 4. La parábola buscada es f() Encuentra una función f si f() 3 y f() 0. f() 3 C. Como f() 0, entonces C 5. La función es f() (TIC) Considera la función f definida en (0, ) mediante la fórmula f() ( ln ). a) Utiliza la calculadora para resolver la ecuación f() 0, redondeando asta las milésimas. b) Resuelve la inecuación f() 0. c) btén f() y los máimos o mínimos relativos de f(). d) Esta función se utiliza como modelo para analizar los beneficios mensuales en millares de euros de una empresa de ventas, si vende millares de objetos. Utilizando las cuestiones anteriores, responde a las siguientes preguntas: ii) Cuál es el mínimo número de objetos que deben vender para que el beneficio sea positivo? ii) Cuántos objetos deben vender para obtener máimo beneficio? a) ( ln ) 0 ( ln ) 0 ln 0 ln e e 0,368 b) Si 0,368 f() 0, y si 0,368 f() 0 ( ln ) c) f() ln 0 ln 0 Si f() 0, y si f() 0. Por tanto, el punto (, f()) (, ) es un máimo. d) Para que el beneficio sea positivo, deben vender un mínimo de 369 objetos. btendrán el beneficio máimo con 000 objetos. 00 Solucionario
20 0.7. En qué casos la función f() 3 a b c tiene algún máimo o mínimo relativo? Para que la función f() presente máimos o mínimos relativos, su derivada f() 3 a b debe cambiar de signo por lo menos una vez, es decir, la ecuación 3 a b 0 debe tener dos soluciones, o sea, el discriminante 4a b 0 a 3b Eisten funciones polinómicas f y g tales que (f g) fg? Si el grado de f es m y el grado de g es n, entonces el grado de f g es m n. Como el grado de la derivada de una función polinómica disminuye en uno, vemos que Grado (f g) m n y que Grado (f g) m n m n. Así pues, como los grados son distintos, no pueden eistir dicas funciones polinómicas. 0.73*.Encuentra todas las funciones de la forma f() a b y g() c d tales que f( ) g ( ) f( ) g. ( ) f( ) g( ) c a b d f( ) ( a b) a g ( ) ( c d) c a(c d) (a b)c (c d) ad bc ( c d ) ad bc a. El denominador de la primera fracción no puede ser constante, pues c 0 al ser el denominador de la segunda. Así que la única opción que queda para que se dé la igualdad para todo es que am- ( c d) c bos numeradores sean cero, o sea: ad bc 0 y a 0, por lo que bc 0, y como c 0, debe ser b 0. Así pues, f es la función nula y g es cualquier función lineal con pendiente no nula Como se observa en la gráfica de la función y f(), en [, 3] la tangente en el punto de abscisa es orizontal, y la tangente en el punto de abscisa 0 corta al eje orizontal en. a) Halla la recta tangente en el punto de abscisa 0. b) Determina cuál de las cuatro curvas siguientes representa la función y f(). Justifica por qué recazas las otras tres. y = f () i) ii) iii) iv) a) La recta tangente pasa por los puntos A(0, 0) y B(, 0) y 5 0 b) La derivada debe cortar al eje en el punto de abscisa, ya que la función tiene aí un punto de tangente orizontal. Por este motivo descartamos la gráfica a. La derivada debe ser negativa a partir de, ya que la función es decreciente. Eliminamos, por tanto, la gráfica b. A medida que nos aproimamos a 3, la pendiente se va acercando a 0, y esto elimina la gráfica d. La gráfica que representa la derivada de la función es la c. Solucionario 0
1. Calcula la tasa de variación media de la función y = x 2 +x-3 en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,2], c) [2,3]. Sol: a) 0; b) 3; c) 6
ejerciciosyeamenes.com PROBLEMAS DE DERIVADAS 1. Calcula la tasa de variación media de la función +- en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,], c) [,]. Sol: a) 0; b) ; c) 6. Calcula la tasa de variación media
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles El precio
Más detallesDERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f () 5 5 9 4 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(4). f'() 0; f'(9) ; f'(4) 4 Di otros
Más detallesTEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II
Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO TEMA FUNCIONES ELEMENTALES II Rectas EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas
Más detallesTema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2)
Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato TEMA 0 APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE Escribe e 0 EJERCICIO : la ecuación de la recta tangente a la curva f en 0. Ordenada del
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detallesAutor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
Ejercicio: 4. 4. El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) < . - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4. El intervalo
Más detallesAPLICACIONES DE LAS DERIVADAS
7 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 67 REFLEXIONA Y RESUELVE Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0
Más detallesHacia la universidad Análisis matemático
Hacia la universidad Análisis matemático OPCIÓN A. a) Deriva las funciones f( ) = 8, g ( ) =, h ( ) = e. f( ) si 0 b) Indica si la función m ( ) = es continua en =. g ( ) si < c) Escribe la ecuación de
Más detallesa) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3.
6 Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() en Aplicando la definición de derivada, calcula f () en las funciones que se
Más detalles8 Límites y continuidad
Solucionario 8 Límites y continuidad ACTIVIDADES INICIALES 8.I. Simplifica las epresiones siguientes. a) 7 9 c) 3 6 5 b) 3 a) 7 9 ( 3) ( 3) ( 4) 3) 4 3 b) 3 8 4 d) ( )( 3)( ) 4 8 4 ( )( 4) ( )( ) 4 c)
Más detallesPágina 194 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Tasa de variación media PARA PRACTICAR UNIDAD
UNIDAD Página 9 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Tasa de variación media Calcula la tasa de variación media de esta función en los intervalos: a) [, 0] b) [0, ] c) [, 5] 0 5 f (0) f ( ) a)
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Más detallesFUNCIONES RACIONALES. HIPÉRBOLAS
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES RACIONALES. HIPÉRBOLAS 1. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA El área de un rectángulo es 18 cm 2. La siguiente tabla nos muestra algunas medidas que
Más detalles8. y = Solución: x 4. 9. y = 3 5x. Solución: y' = 5 3 5x L 3. 10. y = Solución: 4 4 (5x) 3. 11. y = Solución: (x 2 + 1) 2. 12.
7 Cálculo de derivadas. Reglas de derivación. Tabla de derivadas Aplica la teoría Deriva en función de :. y = 8. y = 5 3 5 4. y = ( ) 5 0( ) 4 9. y = 3 5 5 3 5 L 3 3. y = 7 + 3 4. y = e e 5. y = 7 7 +
Más detalles2. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dicha partícula: s = 2
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I Resuelve Página 8 Movimiento de una partícula Un investigador, para estudiar el movimiento de una partícula, la a iluminado con destellos de las cada décima
Más detallesJUNIO 2010. Opción A. 1 1.- Dada la parábola y = 3 área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.
Junio 00 (Prueba Específica) JUNIO 00 Opción A.- Dada la parábola y 3 área máima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola., y la recta y 9, hallar las dimensiones
Más detalles2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II FICHA TEMA 6.- FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ
º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II FICHA TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.-
Más detallesUniversidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística
Universidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística Solución del primer eamen parcial del curso Cálculo de una variable Grupos: Uno y Cinco Período: Inicial del año 00 Prof: Rubén D. Nieto C. PUNTO.
Más detallesACTIVIDADES INICIALES b EJERCICIOS PROPUESTOS
6 Derivadas ACTIVIDADES INICIALES 6I Escribe la ecuación de las siguientes rectas: a) Horizontal y que pase por el punto A(, ) b) Decreciente y que pase por el punto A(, ) c) Creciente y que pase por el
Más detallesEXAMEN DE MATEMATICAS II 2ª ENSAYO (1) Apellidos: Nombre:
EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO () Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: CURSO 05 Instrucciones: a) Duración: HORA y 0 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de
Más detallesDERIVADAS EN LA EBAU DE MURCIA. 2x 2 2x 1. 2x + 2x + 1 (2x + 1) 2x + 1. g'(x) = 2xe + x 2xe g'(x) = 2xe (1 + x )
DERIVADAS EN LA EBAU DE MURCIA a + b 1. (Septiembre 017) Dada la función f() =, donde a y b son números reales, halla el + 1 valor de a y b para que se cumpla que f(0) = 1 y f (0) = 1. b = 1 y a = 1..
Más detallesA) CÁLCULO DE DERIVADAS. 1. Deriva las siguientes funciones pensando antes que tipo de fórmula hay que utilizar.
C URSO: º BACHILLERATO DERIVABILIDAD. A) CÁLCULO DE DERIVADAS. 1. Deriva las siguientes funciones pensando antes que tipo de fórmula hay que utilizar. 9 7 a) f ( 4 1 b) f ( 8 4 c) 4 f ( 1 d) ( ) 7 4 f
Más detallesMáximo o mínimo de una función. Solución: El mínimo de una función se da en los puntos que anulan su derivada y tiene derivada segunda positiva.
Análisis: Máimos, mínimos, optimización 1 Máimo o mínimo de una función Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios
Más detalles13 INICIACIÓN A LA DERIVADA
INICIACIÓN A LA DERIVADA EJERCICIS PRPUESTS. Halla la tasa de variación media de la función f() en los siguientes intervalos. a) [, 4] b) [6, 7] En cuál de ellos la función f crece o decrece, en media,
Más detallesINICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES
7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Página 75 REFLEIONA RESUELVE Tomar un autobús en marca En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús que arranca de la
Más detallesANTES DE COMENZAR RECUERDA
ANTES DE COMENZAR RECUERDA 00 Determina cuáles de estos vectores son paralelos y cuáles son perpendiculares a v (, ). a) v ( 6, ) b) v (, ) c) v (, ) a) v v Los vectores son paralelos. b) v v 0 Los vectores
Más detallesGuía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA
Fuente: PreUniversitario Pedro de Valdivia Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación susceptible de llevar a la forma a + b + c = 0,
Más detallesINICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Página 0 REFLEXIONA Y RESUELVE Tomar un autobús en marca En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús que arranca de la
Más detallesProfesor: Rafa González Jiménez. Instituto Santa Eulalia ÍNDICE
TEMA 5: DERIVADAS. APLICACIONES. ÍNDICE 5..- Derivada de una función en un punto. 5...- Tasa de variación media. Interpretación geométrica. 5..2.- Tasa de variación instantánea. Derivada de una función
Más detalles2. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dicha partícula: s = 2
Unidad. Derivadas Resuelve Página 0 Movimiento de una partícula Un investigador, para estudiar el movimiento de una partícula, la a iluminado con destellos de flas cada décima de segundo (0, s) durante
Más detallesTEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE
TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE PROBLEMAS RESUELTOS + Dada F() =, escriba la ecuación de la secante a F que une los puntos (, F( )) y 4 (, F()). Eiste un punto c en el intervalo [, ]
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL Ejercicio nº 1.- Calcula (), utilizando la definición de derivada, siendo: f () + 5 f ( + ) f () ( + ) + 5( + ) 18 (4 + 4 + )
Más detallesx = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x)
CÁLCULO DIFERENCIAL JUNIO 004 1. Sea la función e y = estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. (Solución: Es derivable en todos los puntos ecepto en =0. Creciente si < 0. No tiene asíntotas
Más detallesTEMA 10 FUNCIÓN DERIVADA. REPRESETACIÓN y aplicaciones.
A) CÁLCULO DE DERIVADAS. 1. Deriva las siguientes funciones polinómicas, a) f( = 5 b) g( = 4 c) h( = 7 d) i( = 4 5 e) i( = 3 + 1 f) j( = 5 4 + 3 g) k( = 3 + 4 + h) l( = 5 3 43 5 i) m( = 4 + 3 3 + 4. Calcula
Más detallesDerivada de una función
0 Derivada de una función Derivada de una función L I T E R A T U R A M A T E M Á T I C A S La ciudad Rosa y Roja Aquella princesa de largos y dorados cabellos estaba alarmada al observar que cada día
Más detallesTEMA 9. DERIVADAS. Veamos cómo podemos calcular esa pendiente. Si tenemos una función f(x) y cogemos dos puntos de la misma:
TEMA 9. DERIVADAS. DEFINICIÓN DE DERIVADA. Se define la derivada de una función f() en un punto 0 como la pendiente de la recta tangente a f en dico punto, y se designa por f ( 0 ). Veamos cómo podemos
Más detalleswww.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid!
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. TEOREMAS Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1.- junio 1994 Se sabe que y = f (x) e y = g (x) son dos curvas crecientes en x = a. Analícese si la curva y = f(x) g(x) ha de ser,
Más detallesINICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Página 0 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Tomar un autobús en marca En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús que
Más detallesTabla de Derivadas. Función Derivada Función Derivada. f (x) n+1. f (x) y = f (x) y = ln x. y = cotg f (x) y = ( 1 cotg 2 f (x)) f (x) = f (x)
Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas Tabla de Derivadas Función Derivada Función Derivada y k y 0 y y y y y f ) y f ) f ) y n y n n y f ) n y n f ) n f ) y y n y y f ) y n n+ y f ) n y f ) f )
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones CONCEPTOS ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones en las que aparece una o varias incógnitas. En
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADA Crecimiento y decrecimiento. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto: Una función f() es creciente en un punto
Más detallesTEMA 9. Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Resueltos
64 TEMA 9. Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Resueltos Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos; puntos de infleión. Dada la función
Más detallesINICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. en un intervalo al siguiente cociente:
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Crecimiento de una Función en un Intervalo Tasa de Variación Media (T.V.M.) Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una función y f() en un intervalo
Más detalles. Matemáticas aplicadas CCSS. Ejercicios modelo Selectividad 2000-2011
1. CÁLCULO DE DERIVADAS Ejercicio 1. (001) Calcule las funciones derivadas de las siguientes: Lx a) (1 punto) f ( x) = (Lx indica logaritmo neperiano de x) x 3 b) (1 punto) g( x) = (1 x ) cos x 3 1 c)
Más detalles5. [2013] [EXT-A] En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los días
. [204] [ET-A] Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, que ha obtenido en los últimos 0 años. La función a la que se ajustan dichos beneficios viene dada por B(t) =
Más detallesFUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS
FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS Representemos, en función de la longitud de la base (x), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro 1 metros. De ellos, cuáles son las medidas
Más detallesTEMA 7. Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Resueltos
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Soluciones de los problemas propuestos. Tema 7 TEMA 7. Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Resueltos Crecimiento y decrecimiento.
Más detallesdada por c(x) = donde x indica el tamaño de los pedidos para renovar existencias
FUNCIONES +, si
Más detallesINICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES
UNIDAD 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Página 68. En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús que arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad.
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 (Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 01 ['5 puntos] Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos.
Más detallesCalcular la altura del cono de superficie lateral mínima circunscrito a una esfera de radio 4cm.
OPTIMIZACION DE FUNCIONES Calcular la altura del cono de superficie lateral mínima circunscrito a una esfera de radio 4cm. S = пrg Si los triángulos DCO y DAB que son semejantes, pues OC AB y poseen un
Más detallesFUNCIONES LINEALES Y AFINES
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES LINEALES Y AFINES. LA FUNCIÓN LINEAL = m El tren AVE lleva una velocidad media de 40 km/h. La siguiente tabla nos da el espacio que recorre en función
Más detallesen un punto determinado. Esto es, qué le pasa a f (x) cuando varía x en los alrededores de un punto a. , su derivada en el punto x = 3 es
UAH Derivadas Tema 4 DERIVADAS Derivada de una función en un punto Una función f ( es derivable en el punto a si f ( a ) eiste el ite: Este ite se denota por f (a), y eiste cuando resulta un número real
Más detallesAplicaciones de la derivada.
Aplicaciones de la derivada. (Máimos y mínimos) MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS Entre los valores q puede tener una unción ( ), puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estos
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.5: Aplicaciones de la derivada. Máximos y mínimos (absolutos) de una función. Sea f una función definida en un conjunto I que contiene un punto
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente
APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente
Más detallesUNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA
C u r s o : Matemática Material N 6 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma, o que
Más detallesx 0 1 0,5 0,3 0,1 0,1 f(x) 2 x 1 2 1,41421 1,23114 1,07177 0,93303
Solucionario Derivada de una unción en un punto 0.0. Considera la unción (). Usa la calculadora para completar la siguiente tabla: 0 0,5 0, 0, 0, (),44,4,0777 0,90 Calcula la tasa de variación media en
Más detallesCÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES
CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y ÁREAS POR INTEGRALES RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD º DE BACHILLERATO CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS TERESA GONZÁLEZ GÓMEZ .-Hallar una primitiva
Más detallesLas superficies serán: Tapa y superficie lateral S 1 = ( x 2 +4xy ) cm 2 Superficie de la base: S 2 = x 2 cm 2
MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 8 cm. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta /cm y para la base
Más detallesFUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN
FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN 1 FUNCIONES FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real de variable real es una relación que asocia a cada número real, (variable independiente),
Más detallesTEMAS 10 LAS FUNCIONES ELEMENTALES 1º BACH MATE I
TEMA 0 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I º Bach. TEMAS 0 LAS FUNCIONES ELEMENTALES º BACH MATE I Son funciones? Ejercicio : Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica
Más detallesx + x 2 +1 = 1 1 = 0 = lím
UNIDAD Asíntota horizontal: 8 +@ + + = y = es asíntota horizontal hacia +@ (y > ). + + + + = = = 0 8 @ 8 +@ y = 0 es asíntota horizontal hacia @ (y < 0). CUESTIONES TEÓRICAS 30 Qué podemos decir del grado
Más detallesPROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
1 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Planteamiento y resolución de los problemas de optimización Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de cm de larga por de ancha. Para ello
Más detalles9 Continuidad. Solucionario ACTIVIDADES INICIALES EJERCICIOS PROPUESTOS. 9.I. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones.
Solucionario 9 Continuidad 9.I. Dibuja la gráfica de las guientes funciones. ACTIVIDADES INICIALES a) < f( ) > b) f ( ) a) Si (, ). El segmento de recta pasa por el punto (, ) y se acerca al (, ). Si [,
Más detallesDERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 55 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f ( 5 5 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(, f'( y f'(. f'( 0; f'( ; f'( Di otros tres puntos
Más detallesTema: Aplicaciones de derivadas. Sean x e y las dimensiones del rectángulo. Área del rectángulo: A = x y. 36 x. Luego, el área es A(x) =
JUNIO 0 GENERAL. Halle el rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia de radio. Sean e y las dimensiones del rectángulo. Área del rectángulo: A y El triángulo ABC es rectángulo, sus lados miden,
Más detallesCuaderno de Actividades 4º ESO
Cuaderno de Actividades 4º ESO Relaciones funcionales. Estudio gráfico y algebraico de funciones 1. Interpretación de gráficas 1. Un médico dispone de 1hora diaria para consulta. El tiempo que podría,
Más detallesPágina 322. 3. Representa: a) y = b) y = c) y = cos 2x + cos x. a) y = Dominio: D = Á {0} No es simétrica. Asíntotas verticales:
Página. Representa: e e a) y = b) y = c) y = cos + cos e a) y = Dominio: D = Á {0} No es simétrica. Asíntotas verticales: f () = +@ 8 0 f () = +@ 8 0 + Asíntota vertical: = 0 f () = 0. Además, f () > 0
Más detallesTEMA 10. CÁLCULO DIFERENCIAL
TEMA 0. CÁLCULO DIFERENCIAL Problemas que dieron lugar al cálculo diferencial. (Estos dos problemas los resolveremos más adelante) a) Consideremos la ecuación de movimiento de un móvil en caída libre en
Más detallesESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Sea f : (0, + ) definida como f () = Ln a) Probar que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determinar los intervalos de crecimiento
Más detalles5. Al simplificar. expresión se obtiene:
ARITMÉTICA. [ ( 7 ) 9 ( 7 )] es igual a : 5. El resultado de simplificar la expresión. 5 5 5 7 7, 6 + es igual a: 5 9 7 6 5 5. El valor de 75 6 5 5 ( 5 )( 65 ) log es igual a: 5 5 5. Al simplificar Mayo
Más detalles6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES
EJERCICIOS PROPUESTOS. Halla el valor numérico de la fracción 7 0 para los valores, 0 y. 8 Para : Para 0: 0 0 Para : 7 0 0. Valor indeterminado. 8 0 7 0 0 0 5 0 8 8. 7 0. No eiste valor numérico. 8 0.
Más detallesP. A. U. LAS PALMAS 2005
P. A. U. LAS PALMAS 2005 OPCIÓN A: J U N I O 2005 1. Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x 2 + 5x 2 y la rectas y = 0, x = 1 y x = 3. x 3 4x 2 + 5x 2 es una función polinómica
Más detallesen un punto determinado. Esto es, qué le pasa a f (x) cuando varía x en los alrededores de un punto a. , su derivada en el punto x = 3 es
UAH Actualización de Conocimientos de Matemáticas para Tema 08 DERIVADAS Derivada de una función en un punto Una función f () es derivable en el punto a si f ( a + ) f ( a) eiste el límite: lím Este límite
Más detallesAPLICACIONES DE LAS DERIVADAS
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Apuntes de A. Cabañó. Calcula la tasa de variación media de la función +- en los intervalos: a) [-,0], b) [0,], c) [,]. Sol: a) 0; b) ; c) 6. Calcula la tasa de variación
Más detalles1. Conocimientos previos. 1 Funciones exponenciales y logarítmicas.
. Conocimientos previos. Funciones exponenciales y logarítmicas.. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Intervalos y sus definiciones básicas.
Más detallesCONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
. Sea la función f ( ) = 6 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD a. Determine sus puntos de corte con los ejes. b. Calcule sus etremos relativos y su punto de infleión. c. Represente gráficamente la función.. Sea
Más detallesDERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD
DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o El teorema de Lagrange dice que: f(3)
Más detallesAPLICACIONES DE LAS DERIVADAS
0 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 8 REFLEXIONA Y RESUELVE Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0
Más detalles6 si x -4 (x+2) 2 si -4 < x -1 4 si x > x+1 si 0 x 1 x si 1 < x < 3 6-x si 3 x 4
. Calcula la derivada de las siguientes funciones:. y = 2-2 +2 2. y = 2-2 2 +2. y = 2 -ln +e 4. y = 2 e 2 5. y = e 6. y = 2 ln 2 7. y = 2-8. y = e. y = 2 + 4. y = ln 2-5. y = 2 2 2 6. y = 2-9. y = e 2
Más detallesDERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Derivada de una función en un punto. Función derivada. Sea f () una función de una variable definida en un intervalo abierto (a, b) y sea (a, b). Se dice que f es
Más detalles10 Funciones polinómicas y racionales
8966 _ 009-06.qd 7/6/08 : Página 9 0 Funciones polinómicas racionales INTRDUCCIÓN Uno de los objetivos de esta unidad es que los alumnos aprendan a hallar la ecuación de una recta dados dos puntos por
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,
Más detallesLA RECTA. Recuerda: Ejercicios de autoaprendizaje 1. Sea la gráfica siguiente:
LA RECTA Recuerda: Una recta es una función de la forma y = mx + n, siendo m y n números reales m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen La ordenada en el origen nos indica el punto
Más detallesEJERCICIOS PAU MAT II CC SOC. ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com.
FUNCIONES 1- a) Dada la función:, Definida para 0, 0, encontrar el punto (x,y) que maximiza f sujeto a la restricción x+y=36. b) Calcular: Aragón 2014 Opción A Junio 2- Dada la función: Calcular: a) Dominio
Más detalles1. Sistemas lineales. Resolución gráfica
5 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o
Más detalles1. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en los intervalos que se indican. 1
6 Derivadas CRITERIOS DE EVALUACIÓN ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN A. Calcular la tasa de variación media de una función en un intervalo.. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en los
Más detallesEJERCICIOS PROPUESTOS
Derivadas EJERCICIOS PROPUESTOS y. Ejercicios resueltos.. Aplicando la definición de derivada, decide si las siguientes funciones son derivables en los puntos indicados y calcula, si eiste, la derivada.
Más detalles12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicio -Sea f: R R la función definida por f ( ) = + a + b + a) [ 5 puntos] Determina a, b R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un
Más detalles