Fundamentos matemáticos del método símplex

Transcripción

1 Fudetos teátcos del étodo síple Oscr Edurdo Góez Ros Trbo de Grdo pr Optr por el Título de Mteátco Drector: Pervys Regfo Regfo Igeero Uversdd Ncol de Colob Fudcó Uverstr Kord Lorez Fcultd de Mteátcs de dcebre de 4

2 Tbl de cotedo Resue Itroduccó 3 Prer Prte 4. U otvcó 5. Coutos coveos 7.3 Solucoes Báscs Fctbles 7.4 Teore de repretcó Segud Prte 5. El étodo síple 6. El étodo síple e forto de tbl 33.3 Probles co solucó básc fctble edt 37.4 Probles s solucó básc fctble edt 44.5 Degeercó 5 Coclusoes 53 Bblogrfí 54

3 Resue Se pret lguos resultdos de l teorí teátc de Progrcó Lel y epoe lgus cocuec de estos resultdos, que geerlete o prece e l ltertur que ás utlz pr eñr estos tes. Se propoe, deás, odfccoes l lgorto de pelzcó, co el f de splfcr su uso. Abstrct Soe results of the Mthetcl theory of Ler Progrg s preted d so e of the coqueces of the results re epod; results cluded re the oe tht do ot pper the kd of lterture they ud ost to tech other topcs. Besdes, soe odfcto to bg M lgorth order to splfy ts u.

4 Itroduccó Este trbo trt sobre los fudetos teórcos de l Progrcó Lel. L Progrcó Lel está copredd detro de u cpo ás plo de l teátc plcd coocdo coo Ivestgcó de Opercoes. Por lo tto, tes de troducr l Progrcó Lel, bord el cpo que l cotee. De ls defcoes de Ivestgcoes de Opercoes ás usds, l que eor l descrbe, l precer del utor, es l de Church, Ackoff y Aroff, que prece e l pág de [Pr] y que trscrbe cotucó: L Ivestgcó de Opercoes es l plccó, por grupos terdscplros, del étodo cetífco probles relcodos co el cotrol de ls orgzcoes o sstes (hobre-áqu) f de que produzc solucoes que eor srv los obetvos de tod l orgzcó. De est defcó cocluye que l turlez de los probles trtr es tl que hce ecesro recurrr práctcs que so props de l cec, sí coo l cofluec de rds de dvers forcó teórc sobre u so hecho. Está últ frcó cocde co lo que dce Th e l pág de [Th95], dode fr que: L Ivestgcó de Opercoes debe vsulzr coo u cec y coo u rte, s ebrgo, e el Tercer Mudo por l codcó de cosudores o credores- de Cec y Tecologí, el trbo e l prte teátc lt l plccó de lgortos y estetes y bdo el estudo de sus fudetos teórcos. Est h sdo u costte e el psdo: uos pocos dedc producr lgortos, y l yorí, luego de recbr u eposcó teórc superfcl, prede eplerlos e plccoes práctcs. S ebrgo, l llegd de los coputdores h lbrdo l hobre de teer que epler e el desrrollo ecáco de lgortos. Este pquetes de softwre que desrroll este trbo lgorítco, por lo tto, l prte del trbo terdscplro que correspode los teátcos, cosste e copreder los fudetos f de estr e cpcdd de producr solucoes uevs probles que o hy sdo cosderdos co terordd, o eorr ls estetes. Es crcterístc de los odelos teátcos de los probles de Ivestgcó de Opercoes, l estec de u, o us, fucoes obetvo que de optzr e prec de restrccoes sobre ls vrbles. L Progrcó Lel ocup de los probles e los cules tto l fucó obetvo coo ls restrccoes so de tpo lel. Este trbo está drgdo ás l porqué, que l cóo, de los lgortos, por lo tto es decudo, sobre todo, pr quees y h tedo cotcto co el te y de coocer los resultdos e los cules bs el lgorto síple. Auque este trbo es eclete de tpo eplortoro, l plccó lterl de l teorí pertó llegr desrrollr eeplos que v ás llá de lo usul y propoer dos cbos que splfc l eecucó del lgorto de pelzcó. Este teto y los otros que prece ctdos, ecuetr copletete referecdos e l bblogrfí que prece l fl del trbo. 3

5 Prer Prte 4

6 . U otvcó El trbo que desrroll e gud, es u pretcó teátc forl de ls téccs geerles de l Progrcó Lel y del étodo síple e prtculr. Por lo tto, coez lustrdo el étodo gráfco, co u eeplo prtculr, pr r sí troducedo uos coceptos tutvos que, cotucó, rá rgurote defdos. Cosdére el sguete proble de optzcó lel: U copñí fbrc slls y ess. Cd sll ecest 5 hors de esbldo y hors de cbdo, etrs que cd es requere 3 hors de esbldo y 4 de cbdo. Selete l epres dspoe de 5 hors e l líe de esbldo y 7 e l de cbdo. L gc por cd sll es de $ y de $6 por cd es. Detere el úero de slls y ess que debe fbrcr co el f de zr l utldd totl. Se plte el proble e for teátc: Prero defe clrete el sgfcdo de ls vrbles que eplerá. Se := úero de slls que fbrcrá. y:= úero de ess que fbrcrá. El proble epres etoces de l for: Mzr l utldd +6y stsfcedo ls restrccoes: ) 5 + 3y 5 ) + 4y 7 Ls restrccoes ) y ) correspode, respectvete, ls hors de esbldo y cbdo dspobles. Este deás otrs dos restrccoes tácts e este proble: coo o tee tdo pesr e costrur ctddes egtvs de gú producto, ege deás: e y. S sg u vlor de u l utldd, tee: +6y = u despedo y qued u y = 6 sgdo dversos vlores u obtee dferetes rects prlels. Se despe y e ls dos prers restrccoes y grfc: ) y ) y 3) 4) y 3 4 El puto (o los putos) solucó debe() stsfcer sultáeete tods ls restrccoes, por lo tto ecotrrá() e l terccó de los coutos solucó de tods ls restrccoes. E l gráfc. l regó sobred correspode est terccó (regó fctble), por lo tto debe buscr l solucó e ell. Pr tl efecto sg dversos vlores u y grfc ls rects que correspode cd u de ests sgcoes. Se puede ver lo que 5

7 ocurre cudo u ps de : l rect correspodete l fucó de utldd trsld prlel e u dreccó oreste prodete, creetádo su vlor. Gráfc. Método gráfco Por lo tto debe cotur el trsldo e tl dreccó etrs teg detro de l regó fctble. El puto áo l cul puede llegr sguedo este procedeto es el que h ñldo e l gráfc. coo puto solucó. Este puto correspode l terccó de ls rects y=(5-5)/3 e y=(7-)/4, resolvedo este sste de ecucoes ecuetr que l solucó es = 5 e y=. Co estos vlores tee u utldd de 46. E geerl, pr los probles de progrcó lel e dos vrbles l regó fctble tedrá l for de u polígoo e el plo y. Al gulr l fucó obetvo (z) u costte c, su gráfc rá u líe rect, cbdo el vlor de c l rect desplzrá e for prlel sobre el plo, estedo dos tdos de desplzeto (uo cudo c creet y el cotrro pr decreetos de c). Es tutvete obvo que el vlor etreo (áo o ío) de l fucó obetvo detro de l regó fctble obtedrá cudo est rect p por u vértce (puto etreo) del polígoo, puesto que el últo puto de cotcto co l regó fctble, l over e el tdo de creceto o decreceto, debe ocurrr e uo de los vértces. L gráfc. lustr ls frcoes terores. E l fgur (b) ls líes co z costte so prlels u ldo del polígoo fctble, e este cso el vlor áo de z ocurre cudo l líe co z costte cocde co tl ldo y, por lo tto, tee fts solucoes, tods ls cules ecuetr e el geto de rect que ue dos de los putos etreos (vértces). Auque o lustr e l fgur, puede ocurrr que l regó fctble o cotd, e tl cso z puede o teer u vlor áo o ío fto. Resuedo, tee y lguos hechos porttes cerc de los probles de progrcó lel: l regó fctble es l terccó de ls regoes que deter cd u de ls restrccoes del proble; el puto ópto loclz e uo de los putos etreos de l regó fctble; puede estr fts solucoes; l regó fctble puede o r cotd y por lo tto el proble puede o teer u solucó ft; y por últo, uque o h ecodo, l regó fctble puede r vcí, esto es, puede ocurrr que o est gú puto que stsfg sultáeete tods ls restrccoes. 6

8 Gráfc. Estec de u o de fts solucoes Los resultdos terores h sdo estblecdos de er tutv y h sdo otvdos co u gráfc bdesol. S ebrgo, coo ocurre e el cálculo, los resultdos sudos por l geoetrí debe r estblecdos de for rguros, de tl er que pued r eteddos ás de tres desoes, dode o tee tdo pesr e hcer u dbuo o u quet. Lo teror o quere decr que ls terpretcoes geoétrcs crezc de vlor, pues geerlete so ells ls que sú los resultdos que posterorete estblece de for rguros, spleete que o costtuye u deostrcó e el tdo estrcto del téro. Por lo tto gurá epledo gráfcs pr lustrr ls defcoes y los resultdos que vy estblecedo, pero us y otros desrrollrá co depedec de l geoetrí.. Coutos coveos L rect que ps por los putos de R defe coo el couto de putos X = { R / = λ + ( λ), λ R} El geto de rect que ue e R defe coo el couto de putos X = { R / = λ + ( λ), λ } U hperplo e R defe coo el couto de putos X = { R / = } dode es u vector fl de copoetes y z es u esclr. Los coutos X = { R / } y 7

9 X = { R / } ll espcos cerrdos. Defcó: U couto X es coveo s pr dos putos culesquer del couto, el geto de rect que los ue está tbé detro del couto. E otrs plbrs, s X etoces cd puto = λ + ( λ), λ debe perteecer tbé l couto. L gráfc.3 lustr est defcó. Gráfc.3 Eeplos de u couto coveo y uo o coveo Defcó: L epresó λ + ( λ), λ (pr u λ ddo) ll u cobcó cove de. Teore.: U espco cerrdo es u couto coveo. Deostrcó: supóg que está e el espco cerrdo = λ + ( λ), λ etoces = λ + ( λ) λz + ( λ) z = z,( λ ) y por lo tto está e el espco. s U rgueto cs détco deuestr que u hperplo tbé es u couto coveo. Teore.: L terccó de dos coutos coveos tbé es cove. Deostrcó: X, X coutos coveos, y X X dos putos dferetes (s X X tee u úco eleeto, utoátcete es coveo), etoces y por lo tto λ λ + ( λ) X, λ + ( λ) X, λ λ + λ) X X, λ. ( 8

10 Ls restrccoes e u proble de Progrcó Lel (cluds ls de o egtvdd) tee l for de lo que h defdo coo hperplos o coo espcos cerrdos, (los cules so coutos coveos) y l regó fctble cosste e l terccó de u úero fto de tles hperplos o espcos. Y coo l terccó de u úero fto de coutos coveos es cove, puede coclur que: el couto de ls solucoes fctbles pr u proble de Progrcó Lel es u couto cerrdo y coveo. Itroducedo vrbles de holgur o de superávt (holgurs que rest) ls restrccoes de ls fors " ", " " trsfor e restrccoes de l for =. De lo teror cocluye que e los lgortos de Progrcó Lel trb co sstes de ecucoes. Por lo tto ecestrá del sguete resultdo: el couto de solucoes de u sste de ecucoes leles e cógts, A=b, es u couto coveo y cerrdo. Pr ver esto, obsérve que el couto de ecucoes de puede escrbr =, =,...,. dode es l -és fl de A, y pr cd, = repret u hperplo. El couto de los putos que stsfce sultáeete tods ls ecucoes es l terccó de los hperplos; que es, coo y vo, u couto coveo y cerrdo. U puto es u puto etreo de u couto coveo, s, y solo s, o este e el couto putos ( ) tles que = λ + ( λ), < λ < L defcó plc que u puto etreo o puede estr etre otros dos putos del couto, esto es, que o puede estr e el geto de rect que los ue. Teore.3: U puto etreo es su vez u puto froter. Deostrcó: supóg que es u puto teror de X, por lo tto este u ε vecdd de copletete coted e X. Se u puto de l vecdd dferete de, hgos = +(-), tee etoces - = - de dode - = - y por lo tto tbé está e l vecdd y deás pr λ=/ tee λ+(-λ)=(+)/= por lo tto o puede r u puto etreo. S ebrgo, el recíproco o es certo, o todo puto froter es puto etreo, coo lustr e l gráfc.4. Gráfc.4 9

11 L gráfc.5 perte vsulzr u resultdo que llev l defcó de cobcó cove de putos. Al prologr culquer rect que p por el puto y est ecesrete ecotrrá co putos de l froter, e este cso los putos de corte so y b y, por lo tto, tee que y = λ+(-λ)b, λ, pero, su vez los putos y b ecuetr etre 5,6 y 3,4 respectvete, por lo tto y = µ5 + (-µ)6, µ b = ν3 + (-ν)4, ν Gráfc.5 Motvcó de l defcó de cobcó cove de dode tee y = λ + (-λ)b sudo los coefcetes de l cobcó lel tee = λ[µ5 + (-µ)6] + (-λ)[ν3 + (-ν)4] =λµ5 + λ (-µ)6 + (-λ)ν3 +(-λ) (-ν)4 λµ + λ (-µ) + (-λ)ν + (-λ) (-ν) = λµ + λ λµ + ν λν + ν λ +λν = Lo teror es u otvcó pr l sguete defcó. Defcó: u cobcó cove de u uero fto de putos,..., defe coo el puto = µ µ, =,...,, µ =. = Etoces puede frr que, culquer puto de u couto coveo cotdo puede escrbr coo cobcó cove de los putos etreos del couto. Teore.4: El couto de tods ls cobcoes coves de u úero fto de putos,...,, es u couto coveo. =

12 Es decr, el couto X={ = µ, pr todos los µ, =,...,, µ = } =!!!! es coveo. Deostrcó: tóe u y v e X, etoces = µ µ ', =,...,, µ ' =. = =!" '' #$ '!" = = = µ µ '', =,...,, µ '' =. = y hág l cobcó cove pero y deás λu+(-λ)v= λ = = µ %%% ' % + ( & λ ) µ '' = = &&& = ( λµ ' ( λ) '') + µ ''' ( λµ ' + ( λ) µ '') ' ( λµ ' + ( λ) µ '') = λ µ ' + ( λ) µ '' = sí que λu+(-λ)v tbé es u cobcó cove de los y, por lo tto, el couto X es coveo. Defcó: Ddo u couto A, defe l evolvete cove de A coo el couto coveo ás pequeño que cotee A. Precsdo: l evolvete cove de u couto A es l terccó de todos los coutos coveos que cotee A. Teore.5: L evolvete cove de u úero fto de putos,..., es el couto de tods ls cobcoes coves de,...,. Este teore fr que l evolvete cove de,..., es el couto: X={ = µ pr todos los µ, =,...,, µ =. } = () = = = Deostrcó: y vo que el couto de tods ls cobcoes coves de,..., es u couto coveo. Flt deostrr que todo couto coveo que cotee los putos,..., tbé cotee X. Se procede por duccó sobre. Pr = el resultdo es edto. Supóg el teore certo pr -: esto es que l evolvete cove de,..., - es el couto: () X={ = β pr todos los β, =,...,, β =. } = = Se X l evolvete cove de,...,. Obvete todo puto de X está tbé e X y deás X debe coteer tbé todos los getos de rect que u putos de X co, esto es, todos los putos:

13 +++ *** s hce λβ = λ β + + ( λ) * = µ =, =,..., - y µ = ( λ) Etoces, todo µ y µ λβ + ( λ) = = = = Adeás, coo β y λ vrí etre y, cd µ puede tbé tor culquer vlor etre y. Así, X es el couto de tods ls cobcoes coves de,...,. Defcó: L evolvete cove de putos deo el poledro coveo egedrdo por estos putos. L gráfc.6 uestr que ddo u couto coveo X, y u puto y fuer de él, este u hperplo que los pr, esto es, u hperplo tl que el puto y está e uo de los espcos que deter el hperplo, y el couto X, e su totldd, está e el otro. Gráfc.6 Estec y uc del hperplo de prcó. Teore.6 (o del hperplo de prcó) : Se X u couto o vcío, cerrdo y coveo y X. Etoces este u vector c dstto de cero, y u ε > tl que cy ε + c pr todo X. Deostrcó: e prer lugr etre de X u subcouto cerrdo y cotdo, pr ello toe culquer o X y r = o-y, terct l bol cerrd co cetro e y y rdo r co el couto X, el couto resultte, que deorá X, es coveo, cerrdo y cotdo, pues es l terccó de dos coveos y cerrdos, uo de los cules es cotdo. E otrs plbrs X está cofordo por los putos de X cercos y e el tdo de que está u dstc de, lo ás, r-. Se defe f() = -y, pr todo e X, est fucó es cotu y coo X es copcto, etoces f sue u ío e X. Se w el puto dode l fucó sue el ío. Se verá que este w es úco: supóg que este w y w (w w)que está l s dstc í de y, etoces, por l desguldd trgulr tee: ½(w+w) - y = ½ (w-y) + (w-y) < ½( w-y + w-y ) = w-y L desguldd estrct vle s w-y λ(w-y), y este es el cso pues s Not: l lector que o coozc est frcó cerc de l desguldd trgulr le sugero cosultr, por eeplo, l deostrcó de l desguldd de Cuchy-Schwrtz que prece e l pág 7 de [Apo77] y l deostrcó de l desguldd trgulr de l pág 59 del so lbro.

14 tedrí pero, coo w-y = λ(w-y) w-y =λ w-y w-y = w-y drí coo resultdo λ =, esto plcrí que Lo cul es u cotrdccó. w=w Cosdére hor culquer puto e X. Etoces el puto está e X y cuple o Aplcdo tee o (-λ)w+λ, λ, (-λ)w+λ - y ² w-y ² (w - y +λ - w) ² w-y ² ² = w-y ² + λ(w - y )( - w) + λ² -w ² w-y ² λ(w - y )( - w) + λ² -w ² todo λ > y dvdedo bos ldos por λ, (w - y )( - w) + λ -w ² todo el líte cudo λ tede cero, obtee (w - y )( - w) eple el recurso w = - y + y w = y (w - y) y reeplz o de dode trspoedo (w - y )( y (w - y)) = (w - y )( - y) - w-y ² (w - y )( - y) w-y ² (w - y ) -(w - y )y w-y ² -(w - y )y -(w - y ) + w-y ² hor be, defí c = -(w - y ) y ε = w-y ² tee etoces del hecho de r w y sgue c y ε >. cy c + ε 3

15 444,,,, 333 //// ,,,,,, ---,,, 333 Hst el oeto h hecho éfss e los resultdos referetes ls regoes fctbles cotds, e ls cules tuye que todo puto puede r epresdo coo cobcó cove de sus putos etreos. Este hecho es uy portte, porque hor que ve ls regoes o cotds, otrá que ésts copoe de u prte cotd, que puede r geerd por sus putos etreos, y u o cotd, que está lgd l cocepto de dreccó etre, el cul troduce cotucó. S ebrgo, cudo u proble tee solucó ft, est ecuetr e l regó cotd, de hí l portc del trbo desrrolldo hst hor. Defcó: Ddo u couto coveo, u vector d, dstto de, ll u dreccó del couto s, pr cd e el couto, el ryo {+λd / λ>} tbé perteece l couto. Es clro que s el couto es cotdo, etoces o tee dreccoes. Vé l gráfc.7. - Cosdére el couto X={ / A=b,, } o vcío. Etoces u vector d dstto de es u dreccó de X s, y solo s, A(+λd)=b y. + λ pr culquer λ> - (Obrvcó: e R o este orde, por lo tto l otcó, sgfc que tods ls copoetes del vector so yores o gules que ) Gráfc.7 Coo A=b s X, l ecucó reduce Ad=. Adeás coo +λd debe r o egtvo pr λ rbtrrete grde, etoces d debe r o egtvo. Resuedo, d es u dreccó de X s, y solo s, 3 4,,, y Ad= 3 (Not: 4 de cuerdo l obrvcó teror debe r clro que ls dos codcoes, o so equvletes d > ) Se sbe que, por eeplo, ddos dos vectores lelete depedetes e R, el couto de tods sus cobcoes leles cocde cor, dce etoces que los dos vectores geer todo el espco. Pero s lt ls cobcoes leles de coefcetes 4

16 postvos, obtee úcete l regó del espco copredd etre ls dos rects obteds l prologr los vectores. E l gráfc.8 lustr este hecho. Gráfc.8 Cobcoes leles co coefcetes o egtvos Defcó: U dreccó etre de u couto coveo es u dreccó del couto que o puede repretr coo u cobcó lel postv de dos dreccoes dstts del couto. Ls dreccoes etres yud copletr l b pr los coutos coveos e el tdo de que, pr el cso de los coutos o cotdos, ecest, deás de los putos etreos, pr epresr culquer eleeto del couto. Se lustr esto gráfcete e l fgur.9. Gráfc.9 E l fgur.9 el couto tee 3 putos etreos, y 3, y dos dreccoes etres d y d. El puto puede epresr coo y ás u de ls dreccoes del couto. Pero y puede epresr coo cobcó cove de, y 3 y tod dreccó del couto puede epresr coo cobcó lel o egtv de ls dreccoes etres. Resuedo, todo puto puede epresr coo cobcó cove de los putos etreos ás u cobcó lel o egtv de ls dreccoes etres. S el couto es cotdo o tee dreccoes y tedrá úcete l cobcó cove de los putos etreos. Este resultdo, que eucrá forlete y deostrrá ás delte, es el teore de 5

17 ::: 9999 repretcó y usrá pr deostrr que los óptos loclz e los putos etreos. Se pospoe l deostrcó pr cudo hy reudo todos los eleetos que est requere. Teore.7: Los óptos locles de l fucó obetvo de u progr lel, so globles. Deostrcó: supóg que o es u áo locl de zr z = c sueto A b s o o fue globl, estrí tl que co < c. Etoces usdo l otcó tee (λ) = (-λ) o + λ pr < λ < c (λ) = (-λ) co + λ c > (-λ) co + λ co = co coo l ( λ) = 5555 tee putos eores que o e B(o,ε ) pr culquer ε >, λ 6 esto estrí e cotrdccó co el hecho de r o u áo locl. Teore.8: Cudo l fucó obetvo de u progr lel sue su vlor áo o ío, lo hce e u puto etreo del couto de solucoes fctbles. Deostrcó: cosdére el proble zr z = c sueto A b Se * u puto fctble, etoces, por el teore de repretcó, * puede escrbr coo cobcó cove de los putos etreos del couto, ás u cobcó lel o egtv de ls dreccoes etres, o y deás k l = λ 8 + µ = = dode λ = k = λ, =,,..., k y µ, =,,..., l etoces, el proble trsfor e u proble de ls vrbles λ, µ y epresrí sí: k l zr z=c = λ : + µ sueto k = = λ = = 6

18 KKKK CCC??? >>> GGG AAA A???? ==== FFFF JJJJ II AAAA EEEE DDD??? <<< AAAA JJJJ λ, =,,..., k µ, =,,..., l coo ls µ puede hcer rbtrrete grdes, s cd > pr lgu, l fucó obetvo z puede tor vlores t grdes coo quer. S cd pr tod, etoces to k tods ls µ =. Etoces, pr zr λ spleete deter el áo c = y to su correspodete λ= y los resttes gul cero. S el áo ocurre e ás de u puto etreo, etoces, culquer cobcó cove de ellos es u solucó ópt. Esto es, s este ídces,,..., p tles que? > = = =? <... = z ópto etoces cd cobcó cove de estos putos es solucó, pues s Etoces o ;;;; = λ + λ λ = λ + λ ópto λ = λ z + λ z λ z = z pues λ+λ+... +λp =. Los lbros efocdos geerí y dstrcó solete eco el cso pr p=, e l gud prte uestr u eeplo co p=3. ópto p p p ópto p ópto.3 Solucoes Báscs Fctbles El lector que y cooce los lgortos de Progrcó Lel sbe que éstos bs e el eo de trces y debe estr etrñdo porque hst el oeto el efoque h sdo eclete geoétrco. Se h deostrdo y, que el puto ópto es u puto etreo, pues be, el resultdo que sgue cotucó relco los putos etreos co ls trces y uestr u er de ecotrrlos. C Cosdére el sste A=b,, e dode A es u trz y b es u vector. Supóg que rgo(a,b) = rgo(a)=. Después de u posble rerreglo de ls colus de A, A=[B,N], e dode B es u trz vertble y N es u trz ( ). El puto = D e dode = y H H = ll u solucó básc del sste. S I I, etoces ll u solucó básc fctble del sste. Ls copoetes de ll vrbles báscs, y ls copoetes de ll vrbles o báscs. S I I >, etoces ll solucó básc fctble o degeerd, y s l eos u copoete de es cero, etoces ll solucó básc fctble degeerd. De hecho, l trz B es u trz cudrd que 7

19 M O N LLL M O N CCC BBBB RRRR LLLL M O N LLLL M O N LLLL for todo colus de l trz rectgulr A. S ecuetr que est trz es vertble le puede socr u solucó básc. Por cd trz B vertble que etrg de A tee u solucó básc. Ahor deostrrá uo de los resultdos ás porttes de est prte del trbo. Teore.9: U puto es u solucó básc fctble s, y solo s, es u puto etreo. C Deostrcó: ddo el sste A=b,, dode A es u trz de rgo, u puto etreo de l regó fctble. Después de u posble rerreglo de ls copoetes de y de ls colus de A, supóg que,,...,p so postvos y que p+,..., so cero. Se verá que,,...,p so lelete depedetes, procededo por cotrdccó: supóg que o so lelete depedetes, etoces debe estr esclres c, c,..., cp, o todos cero, tles que = p c dos solucoes fctbles y sí: =. A prtr de este últo resultdo costruye otrs y + λc, =,,..., p ' =, = p +,..., λc, =,,..., p ' =, = p +,..., Coo > pr =,,...,p, etoces, depedeteete de los vlores de c, c,..., cp puede escoger λ> tl que '> y ' > pr =,,...,p. Coo, deás, los c o so todos cero etoces. Adeás: L = ' = + = + ( λ c ) λ c = = = De er álog A =b. Por lo tto, y so solucoes fctbles dferetes y = + esto cotrdce el hecho de que es u puto etreo. Por lo tto,,,...,p so lelete depedetes. Ahor be, coo A es de rgo etoces p, s p= y tee el resultdo. S p < etre p vectores de p+,p+,..., tles que uto co,,...,p fore u couto lelete depedete. Después de u posble rerreglo de colus de A, supóg que so p+,p+,...,. Etoces tee B=[,,...,p, p+,p+,...,] y co esto cocluye l deostrcó. Recíprocete, supóg que es u solucó básc fctble del sste A=b, B l b correspodete, por lo tto = supóg que =λ +(-λ), e dode <λ< y y so fctbles. = = QQQ Q PPPP. Se 8

20 ZZZ TTTT SSS ZZZZ RRRR VVVV UUU RRRR YYYY \\\ [[[ ZZZ WW RRRR YYYY ZZZZ XX Se = S y = U sbe que W W y XX y coo = λ + ( λ) <λ< etoces Z = =. Por otr prte, b=a =B B+N N=B B de dode, \ = [ Por lo tto cocluye que B = B y coo Z = =, etoces =. Aálogete = y, coo cocuec, tee que es u puto etreo. El Teore.8 dce que el puto ópto ecuetr e uo (o uos) de los putos etreos y el Teore.9 dce coo ecotrrlo(s). Por lo tto, está y e codcoes de resolver probles de Progrcó Lel. De l trz ]_^` debe etrer tods ls subtrces ]_^] (este de tles subtrces) y verfcr s so vertbles, e cso de rlo resuelve el sste B=b y s todos los eleetos de l solucó so o egtvos etoces h ecotrdo u solucó básc fctble, y por lo tto, u puto etreo. Se evlú l fucó obetvo e cd uo de estos putos y escoge el ópto. E el cso de que el puto ópto ecuetre e ás de u puto etreo tee, coo y do, últples solucoes, ls cules cocde co el couto de tods ls cobcoes coves de tles putos etreos. Pr lustrr todo esto, resolverá uevete el proble co el cul hzo l troduccó e el te: zr z = +6 sueto s troduce ls vrbles de holgur 3 y 4 tee Por lo tto l trz A y el vector b rí = = 7 A = bbb b = debe, por lo tto, etrer ls = 6 subtrces de y verfcr s so vertbles 9

21 ffff cccc gggg dddd hhhh eeee 5 3 = 4, 3 = 4 3, 3 5 =, 4 3 = 4, 4 5 =, 3 4 =. e este cso ls 6 trces so vertbles y tee por lo tto, por eeplo, que el sste B=b tee coo solucó =B b, que e este cso d coo resultdo =5, = pr u = [5,,,], y slrete pr los otros sstes obtee: =35, 3= -7 pr u = [35,,-7, ] =, 4=8 pr u 3 = [,,,8] =7, 3=5 pr u 4 = [, 7, 5,] =35, 4=-7 pr u 5 = [,35,,-7] 3=5, 4=7 pr u 6 = [,,5,7] e este cso so solucoes báscs fctbles o degeerds, 3, 4 y 6. Todo ls dos prers copoetes de los vectores obtee los putos etreos e R [5,], [,], [,7 ] y [,], puede verfcr estos resultdos e l gráfc.. Ahor, evlú l fucó obetvo e cd uo de los putos etreos y tee: z[, ] = +6 z[,] = z[,7 ] = 8 z [,] = 4 z[5,] = 46 etoces el puto ópto es [5,], esto cocde co el resultdo obtedo edte el étodo gráfco. El Teore.9 d u étodo pr ecotrr los putos etreos (solucoes báscs fctbles) s ebrgo, ú flt grtzr l estec de tles putos etreos, esto hrá e el sguete teore. Teore.: El couto X = { / A=b, } e dode rgo(a)= y X es o vcío, tee l eos u solucó básc fctble. Deostrcó: Se u solucó fctble de l for =(,...,p,p+,...,) e dode,...,p > y p+=... ==. S,...,p so lelete depedetes etoces les puede gregr -p vectores colu de A tles que los vectores lelete depedetes y teer sí que es u solucó básc fctble. De lo cotrro, este esclres c,...,cp o todos cero, tles que c+... +cpp =. Coo hy por lo eos u c dferete de cero, s es postvo, o hce d, s es egtvo, ultplc l ecucó por -, pr teer certez de que hy l eos u c postvo. Cosdére el sguete puto : λc, =,..., p ' =, = p +,..., e dode λ = ío c k / c > = pr lgú k, ck

22 qqq ppp p qqqq pppp pppp oooo de lo teror cocluye que y deás k =, por lo tto tee lo ás p - copoetes postvs. Adeás p p p p ' = ( λ ) = λ = = = = = = por lo tto h costrudo u puto fctble que tee lo ás p - copoetes postvs. S ls colus correspodetes ests copoetes postvs so lelete depedetes, etoces es u solucó básc fctble. E cso cotrro, el proceso repte. Flete obtedrá u solucó básc fctble. El étodo síple, que desrrollrá e l gud prte del trbo, busc el ópto yedo de u solucó básc fctble otr. E cd pso, l trz B correspodete l solucó ctul le reeplz u de sus colus por lgu de ls de l trz N, obteedo sí u uev trz B. S ebrgo, debe grtzr que B es, su vez, vertble. El teore que pret cotucó d u codcó ecesr y sufcete pr que esto ocurr. Teore.: Se,,..., u b de = λ = R y, =,,...,, por lo tto etoces,,...,-,,+,.., so lelete depedetes s y solo s, λ. Deostrcó: supóg que,,...,-,,+,.., so lelete depedetes y que, s ebrgo, λ =. Se tedrí, por tto, kkkk = λ de dode λ = lo cul cotrdce que,,...,-,,+,.., lelete depedetes. Recíprocete, supóg que λ y que µ µ = etoces = = = µ µ λ ( µ µλ µλ = = = coo los,,..., so u b y coo λ, tee µ= y µ-µλ= pr, etoces µ= pr y esto ter l deostrcó. Se flz est prte co l deostrcó del teore de repretcó, que fue epledo e l deostrcó del Teore.8 el cul, uto co el Teore.9, costtuye los dos resultdos ás porttes de est prer prte..4 Teore de repretcó Teore. (Teore de repretcó): Ddo el couto o vcío X = { / A=b, },,,..., k los putos etreos y d,d,..., dl ls dreccoes etres. Etoces X s y sólo s, puede repretr coo u cobcó cove de los putos etreos ás u cobcó lel o egtv de ls dreccoes etres, es decr, k λ + dode = µ = l q = k = llll = = λ =, λ =,,...,k y µ =,,...,l (*)

23 sss ttt qqq ttt t ssss tttt qqqq ttt t uuu rrr tttt ttt uuuu rrrr ttt t ttt Deostrcó: supóg prero que puede repretr gú l epresó teror, etoces: k l = λ r + µ = = por lo tto X. Recíprocete, supóg que el rgo(a) = rgo(a,b) =, e cso cotrro podeos elr tods ls restrccoes redudtes. Supóg hor que X y que s ebrgo, o puede epresr gú (*). Cosdére el sguete couto k S = { = λ + µ co λ =, λ =,,...,k y µ =,,...,l} = l q = k = Coo X es o vcío, por el teore teror, tee l eos u puto etreo, por lo tto S es o vcío. Se verá que S es u couto coveo. Se u y w que perteece S. Esto es: k ν + dode = µ = = k k = δ + γ dode = l s = l t = k = = ν =, ν =,,...,k y µ =,,...,l δ =, δ =,,...,k y γ =,,...,l k l k l etoces λu + (-λ)w = λ ν + λ µ + ( λ ) δ + ( λ) γ t = = = = k l = ( λν + ( λ) δ ) + ( λµ + ( λ) γ ) t = dode tee k = = k ( λν + ( λ) δ ) = pues ν = y δ =, λν + ( λ) δ =,...,k = y deás ( λµ ( λ) γ ) pr =,...,l. Por lo tto S es coveo. S es deás + cerrdo, y por hpótess S. Por el teore del hperplo de prcó este u vector c y u ε > tles que k = u k l λ µ + + ε () = = Coo µ puede hcer rbtrrete grde debe teer cd, =,...,l. () Cosdére hor el puto etreo p defdo por cp = áo (3) k Todo λp =, λ = pr p, µ = pr todo, l desguldd () trsfor e vvvv c cp + ε (4)

24 ww }}}} ~~~~ }}}} ~~~~ ~~~~ }}}} zzzz yyyy Puesto que p es u puto etreo, etoces, por el Teore.9, puede repretr coo w w e dode B es u subtrz de A de tño vertble y. S pérdd de geerldd, supóg que >. Descopoedo e tee A = BB + NN = b, de dode B = {{{ { - NN. Descopoedo c e cb y cn, tee etoces que c = cbb + cnn = cb {{{ { + (cn - cb N) N y cp = cb {{{ {. Susttuyedo e (4) tee cb {{{ { + (cn - cb N) N cb {{{ { +ε o (cn - cb N) N ε > coo cd copoete de N es o egtv debe estr l eos u copoete del vector cn - cb N que es postv y pr l cul >. Hcedo y = tee etoces que > y c - cb y > (5) Se verá que y. Supóg que y, d = [-y,,,...,,...,] = [ ]* = +, e dode el prece e l -és poscó. Etoces [ ] = deás d, d Por lo tto, d es u dreccó de X y, deás cd = [cb,cn] [-y,,,...,,...,] = -cb y + c > por (5) pero este últo resultdo cotrdce co (). Por lo tto y. Costrúy hor el puto = p + λd, esto es = + λd hcedo b = b tee Not: e est prte h epledo ultplccó de trces por bloques, el lector o flrzdo puede cosultr, por eeplo, l pág 45 de [Lp85]. 3

25 b y b' y = + λ ' Coo requere que y tbé que λ > ; pr los y postvos debe teer b - λ y, pr todo, por lo tto λ b / y. Se to etoces λ = ío { b / y tl que y >, }. Se r tl que λ = b r / y r etoces A = Ap + λad = b + = b por lo tto es fctble. Adeás tee lo ás copoetes postvs pues r =. Hág que e l subtrz B de A, reeplce r. Coo yr, etoces, por el teore., ls colus de B so lelete depedetes. Por lo tto es u puto etreo de X. Nóte tbé que c = cp + λcd puesto que λ >ycd >, etoces c > cp, lo cul está e cotrdccó co (3). Est cotrdccó deuestr que puede repretr coo u cobcó cove de putos etreos ás u cobcó lel o egtv de ls dreccoes etres. 4

26 Segud Prte 5

27 ƒƒƒ ƒƒƒ. El étodo síple E l prte vo u étodo de solucó pr el proble zr z = c sueto ƒ A=b, e dode A es u trz, b es u vector -desol y c y so vectores - desoles. El étodo cosste e etrer tods ls subtrces B de A y verfcr s so vertbles. E cso de rlo, resuelve el sste B=b y, s todos los eleetos de l solucó so o egtvos, etoces h ecotrdo u solucó básc fctble. Se evlú l fucó obetvo e cd u de tles solucoes báscs fctbles y escoge l ópt. L dfcultd pr epler este procedeto co probles reles rdc e l ctdd de subtrces que hy que revsr. Coo y dcó, el úero de tles subtrces es. Por lo tto, s efret u proble e el cul = 5 y = 3, el cul es, s ebrgo, 5 bstte oderdo, tedrí que revsr = (dode repret 3 blloes) de trces de tño 33, lo cul costtuye, obvete, u lbor rrelzble. El étodo síple, que desrroll cotucó, y que fue epuesto por prer vez, por su credor George Dtzg, e 948, optz l búsqued de l solucó reducédol us desoes rzobles. El étodo es tertvo y cosste, e cd tercó, e psr de u solucó básc fctble, socd u trz B, otr, socd u trz B, e l cul l fucó obetvo pret u eor co respecto l teror. Adeás, ls trces B y B dfere úcete e u colu. Ates de bordr el desrrollo del étodo síple llrá l tecó cerc de u resultdo, o eor de su pretcó, del álgebr lel: e R, vectores lelete depedetes (LI) costtuye u b, esto es, culquer otro vector de R puede epresr coo 3 cobcó lel de los eleetos de l b, por eeplo, pr R tee que s b b b3 = b, = b y = b3 so LI y b 3 b 3 b 33 = etoces este esclres 3 c, c y c3 tles que = cb+ cb+ c3b3. S ebrgo, s b, b y b3 so l b cóc, etoces c =, c = y c3 = 3. Este hecho es portte porque e el trbo co el étodo síple pre tedrá B = I, dode I es l trz detdd cuys colus cocde co l b cóc de R. Co este resultdo e ete, el desrrollo que pret cotucó es costructvo, esto es, d u ustfccó y l so tepo uestr l er de relzr los cálculos. Ddo el proble zr z = c sueto () ƒ A=b, 6

28 ˆˆˆ ˆ ŠŠŠŠ ŽŽŽ ŒŒŒ Ls colus de A deotrá coo,,...,. Se cosder l trz A = [B,N(-)], dode B está costtud por colus lelete depedetes y está socd u solucó básc fctble, esto es, = (ás delte uestr coo obteer est solucó básc fctble cl). L de cosste e reeplzr u colu de B por lgu de ls de N y obteer sí u eor e l fucó obetvo. Por su depedec lel ls colus de B costtuye u b pr R y est es l rzó por l cul deo b B. Que B vertble es equvlete que puede covertr e l edte opercoes eleetles, por lo tto, coo prer pso, efectú sobre todo el sste A=b tles opercoes eleetles de er que obtee el sste equvlete A =b dode A = [I,N ]. Coo este uevo sste es equvlete (), por cooddd de otcó, gurá epledo A, B, N y b pr referr A,I, N y b respectvete. Es portte otr tbé que =e pr =,..., dode e es l -és copoete de l b cóc de R. Coo ls colus de I costtuye u b de R, culquer colu e de N (l e es porque ls colus de N so ls cddts pr etrr reeplzr lgu de ls de B) puede escrbr coo tbé debe r clro que e = e+ e e = = b (3) e = () que, coo y do, e delte otrá spleete b, s ebrgo e (3) escrbe b pr resltr que est guldd cuple cudo h hecho B = I. S supoe que el vector que v scr de B es el s, etoces () puede reescrbr e = e + (4) = s coo e reeplzrá s, por el teore. ecestos que l copoete de e dferete de cero pr que el couto,,...,s-,e,s+,.., lelete depedete. Adeás (4) sú coo hcer el reeplzo: spleete despedo s s = Œ e = s o e s = Ž. (5) = s Se verá que,,...,s-,e,s+,.., efectvete está socdos u solucó básc. L solucó básc fctble BB = b puede escrbr coo = que puede, su vez, reescrbr = 7

29 y teedo e cuet (5) regrupdo s defe y = s = s + s = e + ( s ) = = s e s + s = = s = s ' e (7) (6) tee ' defedo deás el vector e = s = ' e e pr, s (8) = s ' + ' e = = (,,..., s-,, s+,...,,,..., e,...,) ve que (6) es equvlete A = b, por lo tto efectvete es u solucó básc que reordedo está socd l subtrz de A [,,...,s-,e,s+,..,]. Ahor be, está pertdo hcer opercoes eleetles e l trz A, pues ests geer sstes equvletes. Nóte que[,,...,s-,e,s+,..,] dfere de I úcete e l colu s que hor está ocupd por e y, gú (7), el vlor de l vrble socd l colu que etr es gul l vlor que teí l vrble socd l colu que sle dvddo etre que, coo y vo, debe r dferete de cero, por (3) sbe que esto obtee utoátcete dvdedo tod l fl s etre. Se obtee sí u e l poscó. De (8) y de (3) ve que pr s el vlor de obtee utoátcete restdo l fl l fl s ultplcd por e, esto es equvlete hcer ceros rrb y bo del ubcdo e l poscó. Lo teror ustfc l plccó que hce de l elcó de Guss-Jord e l trz pld del sste. Por otr prte, debe otr que, luego de l relzcó de ests opercoes eleetles, l colu que etró h queddo gul l colu que reeplzó (o co u e l poscó s y ceros e ls otrs poscoes) pues, l r el lgorto de tpo tertvo ls codcoes cles pr cd tercó debe r pre ls ss y e este cso h supuesto que, después de u posble rerreglo de ls colus de A, B=I l coezo de culquer tercó. S ebrgo, ú es ecesro estblecer ls codcoes pr que u solucó básc fctble, esto es pr que. Se requere, por lo tto, que e y que pr, s, o lo que es lo so 8

30 lo cul plc que > pues s, y e s pr, s () s este últo resultdo tee utoátcete s e <. S ebrgo, pr los e e requere s pr, s. Lo cul es equvlete e (9) s pr, s () E este puto es coveete recordr que h epledo los subídces s y e pr dcr que reeplzrá l colu s de B por l e de N, pero hst el oeto o h fdo, esto es, puede r culesquer. S ebrgo, l llegr () prece el prer crtero de decsó que debe epler, e prer lugr debe ver que l codcó s hce redudte y por lo tto puede otr. E gudo lugr dc que u vez fdo e (ás delte verá co que crtero) s o puede r culquer, debe r tl que stsfg () y esto tee úcete s escoge s de cuerdo l sguete regl: s debe r tl que cupl s = í / e > e pr () Se tee, por lo tto, u regl que grtz que u solucó básc fctble. De () y de (3) ve que l regl () equvle dvdr los eleetos de b etre los correspodetes de e, pre y cudo estos últos postvos, y elegr el ás pequeño de estos cocetes. Est solucó está socd l trz B, l cul dfere de B e t sólo u colu. Ahor debe fr el crtero que grtce que es u eor solucó que. El étodo pr ello es, obvete, estudr el vlor de l fucó obetvo z e. S e () cosder l prtcó = [B,N] correspodete l prtcó A = [B,N(-)] obtee pr A = b desrrolldo pero coo B y N = tee [B,N] = (3) BB + NN = b (4) o B = BB = b b (5) 9

31 que es u solucó básc de A = b. El vector B deo vector básco y N, vector o básco. Se prte el vector c e [cb,cn] y l fuco obetvo z = c puede escrbr z =[cb,cn] = z = cb B + cn N z = cb B (6) porque N =. Aálogete, pr tee, después de u rerreglo (e el cul ps de (7) = (,..., s-, s = e, s+,...,,,...,)) z = c B B Pero, cb y c B dfere úcete e l s-és copoete, esto es cb = (c,c,..., cs,..., c) c B = (c,c,..., c s,..., c ) dode c = c pr s y c s = ce etoces z = c B B = c' ' = = c ' ' + c' s s = s = c ' + ce e = s ' ' teedo e cuet (7) y (8) qued = = s c + e s ( s ) ce (7) E l sutor de (7) flt el téro cs ( s s ) que es gul cero, por lo tto puede gregr s fectr l epresó. (7) qued etoces: = = = = e c ( s ) + s = = c e e c c + c s c ( ce ce ) (8) = = s e s coo z = c y s defe el esclr 3

32 ze = cbe = c e pr < e (9) = etoces (8) qued z = z ) s ( ze ce () s por (9) sbe que, por lo tto, pr que z yor que z es ecesro que ze c e < y coo el obetvo es obteer el yor creeto debe escoger e de tl er que ze ce el ás egtvo. Se tee por lo tto l regl pr escoger el vector que etr l b. De est regl deduce que, pre que est lgú tl que z c < l solucó ctul es susceptble de r eord. Por lo tto el proceso detedrá cudo, pr todo, z c y esto dcrá que h ecotrdo l solucó ópt. Estblecer este resultdo es el propósto del sguete teore. Ates de eucrlo etederá l defcó (9) y, por lo tto pr =,..., z = cb = cb e = c z c = pr =,..., Teore.: Se h llegdo l solucó ópt de () cudo z c pr todo. Deostrcó: u solucó fctble y u solucó básc fctble de () respectvete, socd B, etoces que puede epdr coo y tee etoces A =b = b () z = c + c c () Etededo () tods ls colus de A tee = = 3

33 ššš reeplzdo esto últo e () qued y regrupdo = ' = š + = + ' = = = b ' = b (3) est últ guldd epres b coo cobcó lel de,,...,, que so lelete depedetes y, por lo tto, tl repretcó es úc, y coo deás tee BB = b, etoces S supoe que = = = ', =,,..., (4). z c pr todo, tee c. Sudo tods ests desgulddes obtee z y esto plc z ' c ' pr todo z + z z c + c c = z Utlzdo (9) eteddo tee y regrupdo ' c + ' c ' c z' = = = c ' + c ' c ' z' = = = (5) Teedo e cuet (4) puede epresr (5) coo c + c c = z z' por lo tto, l solucó básc fctble, pr l cul z c pr todo, d l fucó obetvo u vlor yor o gul que culquer otr solucó fctble. Esto er lo que querí deostrr. Hst este oeto, l de cetrl de l eposcó h sdo epresr ls colus de N e téros de ls de de l b B y plcr los coceptos y opercoes del lgebr lel, s ebrgo, lguos de estos resultdos puede r reterpretdos desde u perspectv ás tutv. Se hrá est eposcó cotucó. Retodo (8) 3

34 žžž ž œœœœ ' e = s = ' e e pr, s ve que por cd udd e que creete e l vrble sufre u decreeto gul e (s e es egtv, el efecto rá e reldd u creeto). El efecto eto de estos decreetos (creetos) sobre l fucó obetvo z = c rá, por tto, gul - = c e que, por (9 ), es gul - ze. Flt, s ebrgo, teer e cuet el efecto sobre z del creeto de u udd de e, que vedrí r gul ce. Por lo tto, el efecto eto totl sobre z, por cd udd e que creete e (desde su ctul vlor de ) rá ce - ze = (ze - ce) e otrs plbrs, por cd udd e que creete l vrble de etrd l fucó obetvo tedrá u creeto (decreeto) de (ze - ce) uddes. Coo trt de zr to, coo y do, l e que teg el ze ce ás egtvo co el f de eorr el vlor de z. Por otr prte, s todos los ze ce so yores o gules cero y este lgú e tl que ze ce gul cero el creeto de e desde su vlor ctul de cero coduce otr solucó que tedrá, s ebrgo, el so vlor obetvo. Supóg que creetrá u vrble o básc e tl que ze ce es egtvo. Por (8) pr ls,, tles que e > cd udd de creeto de e plc u decreeto de gul e, etoces e podrá creetr hst que pr lgu, =, pues creetos superores este plcrí que surí vlores egtvos, lo cul costturí u volcó l fctbldd de ls solucoes. L prer vrble básc que hce l creetr e ll vrble de bloqueo pues bloque u creeto dcol de e. Etoces tee que e etr l b y l vrble de bloqueo sle de ell. Supóg, coo e el cso teror, que tee u solucó fctble co vlor obetvo zo y que hy u vrble o básc e co ze ce <, pero que pr, por lo tto, o este vrble de bloqueo pues el creeto de e refle e creetos e los vlores de ls vrbles báscs o e que ests corve su vlor ctul (e el cso, = ). Al o estr restrccó pr el creceto de e est vrble puede sur vlores t grdes coo quer, s bdor l regó fctble, por lo tto, tedrí que l solucó, e dode =, es rbtrrete grde y tods ls otrs copoetes o e e báscs so cero, es fctble y su vlor obetvo es z = zo (ze ce)e que tede fto cudo e tede fto.. El étodo síple e forto de tbl Se h vsto lguos resultdos referetes l étodo síple y h sudo, e su oeto, l for turl coo tles resultdos relco co ls opercoes eleetles que puede hcer l trz pld del sste. S ebrgo, hst hor, los resultdos referetes los ze ce o h relcodo co opercoes eleetles.h llegdo el oeto de hcer tods ests relcoes. 33

35 Supóg que tee u solucó básc fctble cl relcod co l b B. El proble de progrcó lel () puede reescrbr coo Mzr z Sueto de (6) tee z cbb cnn = (6) BB + NN = b (7) B, N B + B - NN = B - b (8) ultplcdo (8) por cb y sudo co (6) obtee coo N = de (8) y de (9) ve que z + (cbb - N cn)n = cb B - b (9) y B = B - b = b (3) z = cb B - b = cb b (3) s pes e z coo u vrble básc ás y e (9) coo u restrccó dcol, puede tbulr el proble coo prece e l tbl., e dode el ldo derecho (LD) cotedrá los vlores de ls vrbles báscs, cluyedo z. Ls vrbles báscs detfcrá e l colu de l etre zquerd (VB). VB z B N LD z cbb - N cn cb B - b Regló B I B - N B - b Regloes Tbl. Se uestr el cotedo de est tbl co referecs e el trbo relzdo Fucó obetvo cb B - b = cbb vé (3) Vlor de ls vrbles báscs B - b = b vé (3) z c e el regló debo de B y N vé (9) y tég e cuet que z c = pr =,,.... Es deble teer u procedeto que hg lo sguete. Actulzr ls vrbles báscs y sus vlores. Actulzr los vlores z c 3. Actulzr ls colus Pr ello eecutos el sguete lgorto. Se escoge e el regló l colu e tl que z e c e el ás egtvo.. S e e puede crecer defdete y, por lo tto, el obetvo ópto es o cotdo y detee el lgorto. E cso cotrro, gú (), dvde ls etrds 34

36 de los regloes del ldo derecho etre ls correspodetes de e que postvs y escoge el eor de estos resultdos, de est er deter l vrble de bloqueo s. (Los psos que sgue cosste e hcer u pvoteo sobre, este es el procedeto que relz l hcer l elcó de Guss-Jord) 3. Se dvde el regló s por 4. Pr =,,...,, s, su l -éso regló el uevo regló s ultplcdo por - e. 5. Se su l regló el uevo regló s ultplcdo por ( z e c e) Ls tbls. y.3 repret l stucó edtete tes y después del pvoteo. Ates de pvoter z XB XBs XB X X e LD z z c... z e c e... cbb XB e... b XBs b s... s XB b e... Después de pvoter Tbl. z XB XBs XB X X e LD z ze c... z c e cbb s b' s - ( z e c e) (ze ce)... e b -... s... - e e b s b'..... s s XB Xe XB... e e s b - e b s Tbl.3 35

37 Se erá ls plccoes del pvoteo. L vrble Xe etró l b y XBs sló de l b. Este cbo qued regstrdo e l colu de l zquerd, e l cul Xe reeplzó XBs.. El ldo derecho (LD) cotee los vlores ctulzdos de ls vrbles báscs. Tég e cuet (3), (3),(7), (8) y (). Hy que recordr que z está cosderdo coo u vrble básc dcol. 3. El vlor de z e c e es cero coo correspode ls vrbles báscs. Hcer evdete que los z c de ls vrbles o báscs tbé fuero ctulzdos requere u poco ás de trbo. De (9) tee z = cb = c pr < = plcdo est defcó l tbl resultte después del pvoteo obtee, pr ls vrbles que sguero por fuer de l b, z c = = s s c ( e ) + c e s - c (3) El póstrofe es pr dferecr l z c ctul del z c teror. Por otr prte, e l etrd correspodete z c, de l tbl uev, prece z c - ( z e c e) s que, plcdo (9), qued = = s c c ce ce s s c e c + ce s s c e c + ce = = = = s est últ epresó, slvo el orde, es détc (3). Rest verfcr el resultdo pr l vrble que bdoó l b. Se tee por (9) z s c s = - = s c e + c e c s (33) 36

38 ŸŸŸŸ y tbé, que e l etrd correspodete z s c s prece plcdo (9) (34) tee z c e e (34) = = = = s = s c e c c e e c e + c s c s + c c e e que es détco (33) slvo por el orde. Se h deostrdo, por lo tto, que s tee u solucó básc fctble y dspoe l forcó gú prece e l tbl, escogedo ls vrbles de etrd y de sld gú los crteros ddos (s o hy vrble de etrd es porque l solucó que tee es l ópt y s o hy vrble de sld es porque o este vrble de bloqueo y, por lo tto, el obetvo puede hcer t grde coo queros) deter. Hcedo u pvoteo sobre él lleg u uev tbl e l cul l forcó est dspuest uevete gú l tbl. Est uev tbl cotee, por lo tto, u uev solucó básc fctble y su vlor pr z es gul l vlor pr z e l solucó teror creetdo e u ctdd gul ( z c ) ultplcdo por el vlor que suó l vrble que etró l b. Coo l stucó es equvlete l cl, el proceso puede repetr hst que o est vrbles que etre l b, y e e oeto, gú el teore., hbrá ecotrdo l solucó ópt. E todo el desrrollo teror h prtdo del supuesto de que dspoe de u solucó básc fctble y co ell, de tod l forcó que requere l tbl. Se verá que este u cl de probles pr los cules l obtecó de u solucó básc fctble cl es edt. L er de ecotrr u solucó básc fctble pr los probles que o perteece est cl verá ás delte..3 Probles co solucó básc fctble edt U proble de l for zr z = c sueto (35) A b, Tee u epresó epdd sí 37

39 zr z = c+ c cpp. sueto b p p p p p p b Que trsfor, edte l troduccó de ls vrbles de holgur p+,...,, e b zr z = c+ c cpp+p (36) sueto p p p p p + p p p+ p+ + p+ p p = b = b = b (37) tee por tto que =[p+,...,] =[b,...,b] es u solucó básc fctble socd l trz B = I pr l cul tee cb = y z =. Ls vrbles,...,p, l o r báscs, tee tods vlor cero y cuple ls codcoes pr r solucó de (35). E otrs plbrs, u proble que teg l for de (35) perte pre que el vector = u solucó. No es este el cso de los probles que pret e sus restrccoes = o, estos csos dscutrá posterorete. Se reproduce l tbl. pr ver cóo tbul l solucó básc fctble que perte cr el cclo de tercoes (e est tbl h tercbdo ls colus que está debo de B y N pues esto costubr e l yorí de los lbros y es probble que el lector t ás cóodo co est pretcó) VB z N B LD z cbb - N cn cb B - b Regló B B - N I B - b Regloes Tbl. S e (36) trspoe téros qued z - c- c cpp-p = que epresdo úcete e téros de coefcetes coverte e cn + = (37) coo cb = e el regló l epresó cbb - N cn reduce cn. Adeás, tee que cb B - b =, por lo tto l prte cbb - N cn cb B - b 38

40 del regló de l tbl. reduce cn que cocde ectete co (37). Adeás, coo tee que B = I, etoces B - N = N y B - b = b. Etoces l prte B - N I B - b de los regloes de l tbl. reduce N I b que cocde ectete co los coefcetes de (37). L colu VB lce el obre de l vrble básc correspodete cd fl. Reuedo tods ests coclusoes, tee que l tbl. pr el proble (36), (37) qued coo prece e l tbl.4 VB z N B LD z -c -c cp... p+ p+... p... p b b p... b Tbl.4 E este estdo de coss puede coezr eecutr el lgorto tertvo. Eeplo : Resuélv por edo del étodo síple el sguete proble zr z = sueto , trspoedo téros y gregdo vrbles de holgur tee z = = =, 3,4 tbul l forcó teror e l tbl.5 ( ote l colu z pues ls opercoes que hce e el pvoteo o l odfc, greg l colu b/e pr lcer ls rzoes que eple e l regl ()) 39

41 E este oeto tee: Vrbles báscs 3 = 5, 4 =. Vrbles o báscs =, =. z =. VB 3 4 LD z -5-3 b/e Tbl.5 Coo -5 es el ás egtvo de los z c de ls vrbles o báscs (, ) etr l b y por lo tto tee e=. Se clcul, etoces, l colu b/e. 5/3=5 y /5= el vlor ío es, por lo tto, 4 es l vrble de bloqueo que sle de l b y es el vlor que surá. Coo 4 está e l fl, s= (esto hce sí pr evtr los reordeetos de los que hbl e el desrrollo de l teorí y e los cules rerv los subídces pr ls vrbles báscs, e este cso = y tedrí, reordedo, que XB = 3 y que XB = 4). Por lo tto relz el pvoteo sobre. Se tee l tbl.6 VB 3 4 LD z - b/e 3 9/5-3/5 /5 /5 9 Tbl.6 Se ll l tecó cerc de los sguetes hechos: Se h eldo l líe que prb ls vrbles báscs de ls o báscs, pues e l práctc, coo y do, o reorde ls colus. Ls vrbles báscs detfc e l colu VB. Vrbles báscs 3 = 9, =. Nóte que sus respectvos z -c =. Vrbles o báscs =, 4 =. z =. Este vlor es gul l vlor teror de z () eos el z -c de l vrble que etró l b (-5) ultplcdo por el vlor que suó est vrble (), o = (-5)*. Otr for de verfcr este resultdo es reeplzr los vlores ctules de ls vrbles e l fucó obetvo z = = 5* + 3* +*9 + * =. Coo el proceso es tertvo, éste repte, sguedo ls ss regls, hst cudo ocurr lguo de los evetos ecodos coo posbles tercoes del lgorto. Eeplo : Resolver por el étodo síple Mzr z = Sueto , 4

42 trspoedo téros, gregdo vrbles de holgur y tbuldo tee l tbl.7. VB 3 4 LD z -4-4 b/e Tbl.7 puede escoger etre y pr etrr l b, escogeos, l clculr los b/e tee /=, 4/=. Por lo tto l vrble de bloqueo es 3. Se pvote sobre.y tee l tbl.8. VB 3 4 LD z -8 4 b/e y pr l sguete tercó 4 - / - Tbl.8 * VB 3 4 LD z -6 8 /e -/ 3 * - * Tbl.9 Pr est últ tbl tee que 3 es cddto pr etrr l b, s ebrgo 3 y por lo tto o este vrble de bloqueo pr 3. E otrs plbr 3 puede hcer t grde coo quer. Segú l teorí epuest tee coo solucó, e dode =, es rbtrrete grde y tods ls otrs copoetes o e e báscs so cero y su vlor obetvo es z = zo (ze ce)e que tede fto cudo e tede fto. Pr este cso, 3 = M (e dode M puede r rbtrrete grde) etoces Se verá que l solucó M = 3 + y = + M M + M,3 +, M, es fctble y clculrá z pr ell. Est solucó cuple ls restrccoes, pues y M - + = -( + M ) +( 3 + ) = 4

43 Adeás, tee M - + =-( + M ) + ( 3 + ) = 4 4 z = z (ze ce)e = (-6)M = + 6M que tbé puede r clculd hcedo el reeplzo de l solucó e l fucó obetvo M z = = 4( + M ) + 4( 3 + ) = + 6M Es bueo recordr que l teorí recoed hcer etrr l b l vrble, tl que, el z-c correspodete el ás egtvo, co el f de obteer l yor eor posble e l fucó obetvo. S ebrgo, o cotrdce l teorí hcer etrr l b culquer vrble que teg el correspodete z-c egtvo. Por lo tto, debe r clro que s e lgu tercó tee que, pr lgú, z-c es egtvo y, deás,, etoces, l hcer etrr l b, el vlor de l fucó obetvo puede hcer t grde coo quer. Est clrcó hce porque e lguos lbros (vé, por eeplo, [Hl] pág 9) sú que este hecho ocurre úcete cudo trt de l vrble que etr l b gú el crtero del z-c ás egtvo. Est ecttud tee coo cocuec que, e lguos csos, relce ás tercoes de ls ecesrs. Eeplo 3: Resolver por edo del étodo síple tee etoces l tbl. Mzr z = sueto : ,, 3 VB pvotedo e obtee l tbl LD z b/e / 3 / Tbl. VB LD z b/e 4 6 5/3 3/3 -/3 /3 /3 /3 /3 /3 -/3 3/3 /3 3/3 3/

44 Tbl. Al o estr e l fl cero ctddes egtvs, el lgorto deberí deteer e este oeto, pues, gú el teore., y h ecotrdo u solucó ópt (/3,,, 3/3,, 3/3) s ebrgo, óte que e el regló ls vrbles o báscs y 3 tee u, esto dc que l etrr l b o portrá d z, pero esto pertrá ecotrr u solucó ltertv, por ello hce u uev tercó e l cul hce etrr l b. Por lo tto pvotedo e tee l tbl. VB LD z b/e 4 6-5/ 7/ -3/ 3/ / / -/ 3/ -/ 5 9 4/7 8/3 Tbl. E est últ tbl tee l solucó ópt ltertv (,5,,,,9). Nuevete hy dos vrbles o báscs co u cero e el regló : y 3, por lo tto, relz otr tercó e l cul 3 etr l b (s hcer etrr regresrí l tbl teror). Pvotedo e 3, tee l tbl.3 VB LD z b/e 3 6-5/7 /7-3/7 3/7 -/7 5/7 9/7-3/7 6/7 4/7 33/7 37/7 Tbl.3 Se tee u gud solucó ltertv (, 33/7, 4/7,,, 37/7). S ests 3 solucoes restrge ls vrbles orgles del proble, tee ls sguetes solucoes: (/3,, ), (,5,) y (, 33/7, 4/7) Tods co u vlor de z =. Segú l teorí vst, tods ls cobcoes coves de ests 3 solucoes so, su vez, solucoes. Por lo tto tee que el vector = (,, 3) tl que = λ(/3,, ) + λ(,5,) + λ3 (, 33/7, 4/7) dode λ+λ+λ3 = es tbé u solucó ópt. O, lo que es equvlete, l solucó geerl qued deterd por 33 4 = λ, = 5λ + λ3, 3 = λ 3, dode λ + λ + λ3 = verfcrá el vlor de z pr est solucó geerl z =