Sobre el uso de las desigualdades variacionales para el cálculo del problema de complementariedad no lineal

Transcripción

1 Sobre el uso de las desgualdades varaconales para el cálculo del problema de complementaredad no lneal Blanco Louro, A., Lema Fernández, Carmen S., Pedrera Andrade, Lus P. Departamento de Economía Aplcada II. Unversdad de A Coruña. Facultad de CC. Económcas y Empresarales. Campus de Elvña s/n A Coruña. elf Fax e-mal: amalabl@udc.es, colto@udc.es, lucky@udc.es Resumen El nacmento de los problemas de complementaredad no lneal (NCP) y de los problemas de desgualdades varaconales (VIP) fuertemente lgados a la programacón matemátca ha dado lugar a numerosos esfuerzos nvestgadores orentados a resolverlos. En los últmos años ha resultado de vtal mportanca para la resolucón de los VIP el uso de funcones D-gap para reformular el problema como uno de optmzacón dferencable sn restrccones. Este artículo pretende ser una presentacón de la aplcabldad de la funcón D-gap a los NCP con algortmos recogdos de la lteratura, así como un punto de partda para nvestgacones que reduzcan las hpótess para este caso partcular. Abstract he brth of nonlnear complementarty problems (NCP) and of varatonal nequalty problems (VIP), closely lnked to mathematcal programmng, has gven rse to numerous research efforts orented towards ther soluton. In recent years, the use of D-gap functons for reformulatng VIP s as an unconstraned dfferentable optmsaton problem has been of vtal mportance. hs paper attempts to present the way n whch the D-gap functon may be appled to NCP s wth algorthms gleaned from lterature, and further, ams to consttute a startng pont for research that reduces the vable hypotheses for ths partcular case. Palabras clave: desgualdades varaconales, problema de complementaredad no lneal, funcones gap.

2 1. De KK a los LCP, NCP, MCP. La teoría de los programas matemátcos con restrccones de desgualdad se desarrolló a partr de 1951 por H. W. Kuhn y A. W. ucker. Ellos enuncan un teorema que ya había sdo demostrado con anterordad por Wllam Karush en su tess doctoral, pero que nunca había publcado. El teorema establece condcones necesaras de optmaldad local para programas del tpo: mn f (x 1,..., x n) s.a. h 1(x 1,..., x n) 0 h 2(x 1,..., x n) 0 (I)... h m(x 1,..., x n) 0 donde f:d IR n IR, h:d IR n IR m, h=(h 1,...,h m ) son dferencables. ales condcones (KK) venen dadas, para puntos que cumplen una certa condcón de regulardad, por: m () f(x) + λ h (x) =0 = 1 () h (x) 0, =1,..., m () λ h (x)=0, =1,..., m (v) λ 0, =1,..., m donde λ=(λ 1,..., λ m ) IR m. En la búsqueda de métodos para resolver este sstema, se abordó el caso cuadrátco 1 mn x Mx + qx x 0 2 donde M es una matrz cuadrada smétrca de orden n y q IRn. En este caso las condcones son: () x 0, =1,..., m () (Mx+q) 0, s x =0 () (Mx+q) =0, s x >0 Es decr, se trata de encontrar x en IR n tal que Mx+q 0; x 0; (Mx+q) t x=0. Este es el orgen de la defncón del problema de complementaredad lneal (LCP): Defncón.- Dada M matrz cuadrada de orden n y q IR n, encontrar w IR n y z IR n tales que w-mz=q w,z 0 w z=0 (condcón de complementaredad). Ahora ben s tratamos de renterpretar de modo análogo estas condcones de KK de un modo más general al problema mn f (x 1,..., x n) s.a. h 1(x 1,..., x n) 0 h 2(x 1,..., x n) 0 (II)... h m(x 1,..., x n) 0 x 0

3 surge de un modo natural el concepto de problema de complementaredad no lneal (NCP). Sea L(x,λ)=f(x)+ λh(x). Las condcones de KK para el problema (II) son, junto con la regulardad: x 0 ( x L(x,λ)) 0 s x =0 ( x L(x,λ)) =0 s x >0 λ h(x)=0 λ 0 h(x) 0 Entonces s consderamos la varable z=(x,λ) IR q con q=n+m y la funcón F: IR q IR q xl(z) xl(z) F(x,λ)= = λl(z) se tene que las condcones de KK se pueden susttur h(x) por q encontrar z IR verfcando z 0 F(z) 0 z F(z) = 0 que es un problema de complementaredad no lneal. Defncón.- Un problema de complementaredad no lneal (NCP) consste en, dada una funcón F:IR n IR n, n encontrar z IR verfcando z 0 F(z) 0 z F(z) = 0 Este concepto fue defndo por Cottle en su tess doctoral en Obsérvese que s susttumos la condcón de no negatvdad de las varables por otra condcón de caja más general como x [r,s], con el msmo razonamento, las condcones de KK del problema se traducrían en encontrar z [ l, u ] donde F(x,λ)= problema es z = l, F(z) > 0 ó z = u, F(z) < 0 verfcando ó z [ l,u ], F(z) = 0 xl(z) xl(z) = λl(z) y l= r h(x) 0, u= s. Dcho de otro modo, el [ ] encontrar z l, u [ ] verfcando F(z) (x z) 0 x l, u

4 que es un problema de complementaredad mxta (MCP). 2. Relacón entre los VIP y los programas convexos Unos años más tarde, en 1966, Hartman y Stampaccha defnen, tambén tomando como punto de partda la resolucón de programas no lneales, el problema de desgualdades varaconales. Defncón.- El problema de desgualdades varaconales (VIP) consste en, dado un conjunto K IR n convexo no vacío y dada una funcón F:IR n IR n contnuamente dferencable, encontrar x K verfcando (y x) F(x) 0 y K. Este problema lo denotaremos por VI(F,K). Los VIP srven para reformular la búsqueda de solucones de programas convexos. Consderemos el programa (I) con una restrccón añadda: el conjunto de solucones factbles Γ={x D/h (x) 0, =1,2,...,m} lo vamos a suponer convexo. Bajo este supuesto se prueba fáclmente que todas las dreccones factbles en a Γ son exactamente los vectores de la forma d=λ(x-a) con x Γ y λ>0. Además sabemos que una de las formulacones de la condcón necesara de prmer orden para la exstenca de extremo se puede expresar como que toda dreccón factble no es de descenso. En nuestro caso esto se traduce en f(a).λ(x-a) 0, x Γ, λ>0 o lo que es lo msmo f(a).(x-a) 0, x Γ que es un problema de desgualdades varaconales. Resumendo: eorema.- Sea Γ un conjunto no vacío, convexo y cerrado de IR n. Sean f: Γ IR de clase 1 en Γ y F: Γ IR n tales que F f. Entonces: a solucón de mn f(x), x Γ a solucón del VIP defndo por F El recíproco es tambén certo s f es una funcón convexa. Por tanto bajo certas condcones se puede pasar del problema de optmaldad al VIP. Para hacerlo al revés hemos de asegurarnos de que la funcón que defne el VIP es gradente de alguna otra de clase 1. Esto nos lo garantza, en el caso smétrco, el sguente resultado: eorema (condcón para que F sea un gradente).- Sea Γ un conjunto no vacío, convexo y cerrado de IR n. Sea F: Γ IR n de clase 1 en un aberto convexo X contendo en Γ. Entonces F es el gradente de alguna funcón defnda en X s y sólo s JF(x) es smétrca en todo punto x de X. Bajo esta condcón de smetría, la ntegral de línea f(x):= x F(s) ds es 0 ndependente del camno de acuerdo con el teorema de Green y F es ntegrable. Entonces el VIP puede ser reformulado como mn f(x), x en X. 3. Relacón entre los VIP y los NCP En realdad un VIP es una generalzacón de un NCP, pues este segundo no es más que un VI(F,K) donde K=[0, ]. Efectvamente,

5 encontrar z 0 verfcando (y z) F(z) 0 y 0 n encontrar z IR verfcando z 0 F(z) 0 = z F(z) 0 Sea z 0 tal que (y-z) F(z) 0 y 0. enemos que probar, para cada entre 1 y n, que z 0, F (z) 0 y que z F (z)=0. Caso 1. S z =0, como y F (z) 0, y 0 se sgue que F (z) 0 y ya se cumplen las tres desgualdades. Caso 2. S z >0, tomando y=0 se tene que -z F (z) 0 y así F (z) 0. S tomamos y con y >z >0 se tene que y -z >0 y que (y -z )F (z) 0. Así F (z) 0. De estas dos desgualdades conclumos que F (z) =0, con lo que se cumplen las tres desgualdades buscadas. Sea z 0 tal que F(z) 0 y z F(z)=0. enemos que probar, para cada entre 1 y n, que (y -z ) F (z) 0 y 0. Caso 1. S z =0 es trval. Caso 2. S z >0 se tene F (z) = 0 por lo que tambén es trval. Obsérvese que medante una demostracón análoga se puede probar que un MCP es un tpo partcular de VIP. Esta relacón entre el VIP y el NCP permte usar las técncas propas de resolucón de los VIP para resolver los problemas NCP, que es de lo que trata este trabajo. 4. Las funcones gap. Para resolver los problemas planteados es habtual buscar reformulacones de los msmos que los convertan en problemas de optmzacón o de resolucón de sstemas de ecuacones vía funcones mert. Defncón.- Una funcón ψ:x IR n IR {-,+ } se llama funcón mert para el VIP s cumple las sguentes propedades: ) ψ(x) 0 x X ) ψ(x)=0 x es solucón de VIP S tenemos defnda una funcón mert para el problema, entonces buscar solucones se reduce a resolver la ecuacón ψ(x)=0 o el problema de optmzacón mn ψ(x), x X que además será un programa no restrngdo s X=IR n. Para aportar un prmer ejemplo, nos damos cuenta de que s el conjunto donde está defndo el VIP es, además de convexo, cerrado, entonces las solucones del VIP concden con los ceros de la funcón resduo natural r(x)= x (x F(x)), donde denota la proyeccón euclídea. Con esta dea se puede reformular el problema X como un sstema de ecuacones, y además nos permte defnr la funcón mert x (x F(x)). X Este prmer acercamento a las funcones mert no da los frutos deseables. Además de sólo ser aplcable sobre conjuntos cerrados y convexos, no es squera una funcón X

6 dferencable, por lo que resulta dfícl aplcarle los métodos habtuales para la resolucón del sstema o del problema de optmzacón. Por s esto fuese poco, el cálculo efectvo de la funcón es no vable salvo en casos sencllos de X. Otra funcón mert construda con el objeto de resolver el problema es la funcón gap defnda por g(x)= sup{f(x) (x y)} y X Claramente g es una funcón no negatva sobre el conjunto factble X y tal que g(x)=0 s, y sólo s, x resuelve el VIP. Es por tanto una funcón mert. Esta reformulacón no resulta, tampoco, del todo adecuada para el uso. Al gual que en el caso anteror, las reformulacones a partr de esta funcón son de dfícl aprovechamento por la no dferencabldad de g(x). Por s esto no fuera sufcente, el programa resultante es restrngdo, lo cual no es deseable. ambén tene el nconvenente de ser g una funcón que toma valores no necesaramente fntos. El nconvenente de la no dferencabldad se subsana defnendo la funcón gap regularzada 2 g (x) = max F(x) (x y) x y y X 2 donde es un parámetro postvo, pero contnuamos con el obstáculo de encontrarnos con un programa restrngdo. Esta funcón verfca: 1. Es no negatva. 2. g (x)=0 s y sólo s x es solucón de VI(F,X). 3. S F es dferencable, g tambén. 4. S F es fuertemente monótona, entonces g da una cota global del error en X. 5. S F(x) es defnda postva, entonces cada punto estaconaro de g es una solucón del VIP. Excepto el caso en que X tene una estructura senclla, no es fácl calcular la funcón gap regularzada. En Peng (1997) se consdera la funcón M (x)=g 1/ (x)-g (x) donde g es la funcón gap regularzada y una constante mayor que 1. Peng prueba que M permte una reformulacón del VIP como un problema de optmzacón sn restccones. Esta funcón se llama funcón D-gap, donde la D hace referenca a la dferenca de las dos funcones gap regularzadas. Además Peng prueba que cuando el VIP es en realdad un NCP esta funcón se reduce a la lagrangana mplícta propuesta por Mangasaran y Solodov (1993). Entonces la funcón M puede ser consderada una extensón de la funcón lagrangana mplícta para NCP al caso de VIP, y así M hereda algunas propedades de la funcón lagrangana mplícta para NCP. eorema.- a) S F es dferencable, entonces M es tambén dferencable. b) S F(x) es defnda postva en un punto estaconaro x de M entonces x es una solucón del VIP. 2 2 c) Exsten constantes postvas c 1 y c 2 tales que c 1 r(x) M (x) c 2 r(x) donde r es la funcón resduo natural. Por el apartado c), la funcón D-gap hereda de la funcón resduo natural la propedad que proporcona los límtes globales del error o conjuntos de nvel acotados.

7 En Yamashta et al. (1997) se construye una funcón D-gap generalzada y se estudan sus propedades. La generalzacón se realza en dos vías. En prmer lugar se consderan parámetros postvos arbtraros, β tales que <β para defnr las funcon mert, en lugar de y 1/. En segundo lugar, se generalza la funcón dstanca, como en Wu et al. (1993) en la defncón de funcón gap regularzada. Estas extensones permten, en la práctca, ncrementar la flexbldad del dseño de la funcón mert. Se dan condcones medante las cuales un punto estaconaro de la funcón mert generalzada es solucón de un VIP y condcones bajo las cuales la funcón aporta una cota de error global para VIP y presenta un método de descenso para la resolucón del VIP basado en esta funcón mert generalzada, que es una extensón del método de descenso para NCP propuesto en Yamashta y Fukushma (1995). La generalzacón de la funcón gap regularzada que se tomó fue g = max ψ (x,y) donde ψ (x,y) = F(x) (x y) φ (x,y), y X con constante postva y φ:ir 2n IR cumplendo: C1. φ es contnuamente dferencable en IR 2n C2. φ es no negatva en IR 2n. C3. φ(x,-) es unformemente fuertemente convexa en x, es decr, exste una constante λ>0 tal que para cada x de IR n, φ(x,y 1 )- φ(x,y 2 ) y φ(x,y 2 ) 2 (y 1 -y 2 ) + λ y1 y2 y 1, y 2 IR n C4. φ(x,y)=0 x=y En Wu et al. (1993) se prueba que la funcón g dsfruta de la mayor parte de las buenas propedades de g : la no negatvdad sobre X; los ceros concden con las solucones del VIP; la clase 1; la propedad g = F(x) + F(x) (x-y (x)) - x φ(x, y (x)) donde y (x) denota el únco maxmzador de ψ (x,-); y que g da una cota de error sobre X, s F es fuertemente monótona y con contnudad lpschzana y y φ(x,-) es unformemente contnuamente lpschtzana en x. Aunque exsten dferentes ejemplos de funcones que verfcan C1-C4, en la práctca lo habtual es consderar φ(x,y)= (x-y) B(x) (x-y), donde B(x) es una matrz n n de clase 1, smétrca y unformemente postva. Cuando B(x) es, para cada x, la matrz dentdad entonces lo que tenemos es el cuadrado de la norma euclídea, 2 φ (x,y) = x y. Usando esta generalzacón de la funcón gap regularzada, consderamos la funcón D-gap g β : IR n IR defnda por g β (x) = g (x) g β(x) = = max ψ (x, y) max ψ (x, y) = y X y X = F(x) (y β (x)-y (x)) + β φ(x, y β (x))- φ(x, y (x)), donde y β son parámetros arbtraros tales que 0< < β y se conserva la notacón anteror. Así defnda g β es una funcón mert dferencable que verfca: 1. S F(x) es defnda postva y x φ(x,y)=- y φ(x,y) y IR n, entonces cada punto estaconaro de g β es una solucón del VIP. β

8 2. S F es fuertemente monótona y lpschtzana y y φ(x,-) es unformemente lpschtzana, entonces g β da una cota global del error en X. 5. Aplcacón de las funcones gap a los NCP Exsten actualmente numerosas vías de resolucón de NCP. Es habtual usar algortmos de punto nteror, análogos a los de los LCP. ambén se pueden aprovechar los conocmentos sobre complementaredad lneal en los LCP-métodos, consstentes esencalmente en aproxmar en cada teracón, nuestro problema por uno lneal. Bajo condcones de monotonía se están aplcando tambén métodos de homotopía, consstentes en añadr una varable para poder segur un camno que nos lleve a la solucón. Las funcones mert son tambén amplamente utlzadas para reformular los NCP como problemas de optmzacón. Para estos problemas se han defndo las llamadas NCP-funcones que, aprovechando la especal estructura del planteamento, permten la construccón de bastantes funcones mert. Pero al tratarse el NCP de un tpo especal de VIP, la utlzacón de los dversos algortmos utlzados y estudados en profunddad para los VIP podrán ser aprovechados para esta caso. En partcular creemos especalmente nteresante y escasamente explotado para este caso el uso de funcones D-gap. Obsérvese que bajo estas condcones la funcón gap regularzada adquere un aspecto especalmente nteresante debdo a lo fácl de su computabldad. Como ya hemos dcho antes, estamos en X=[0, ], por tanto 2 g (x) = max F(x) (x y) x y y 0 2 Como la expresón entre llaves es una funcón cuadrátca estrctamente cóncava en la varable y, tene un únco máxmo que concdrá con el punto crítco, y (x) = x F(x) [0, ], y así g (x) = F(x) + (F(x)x x ) x F (x) 2 x< F (x) 2 y así la funcón D-gap g β, para parámetros arbtraros y β tales que 0< < β, admte una computacón senclla. Peng y Fukushma (1999) proponen un algortmo híbrdo de Newton para VIP con restrccones convexas que, s F es contnuamente dferencable y fuertemente monótona, resulta ser globalmente convergente. Bajo condcones adecuadas tenemos además la convergenca cuadrátca. S abordamos el caso partcular de los MCP, y por tanto para los NCP, resulta que Peng, Kanzow y Fukushma (1999) aplcan el algortmo y refnan los resultados de convergenca exgendo esta vez que F sea una P-funcón. Además el algortmo general para los VIP resulta de dfícl cálculo en general porque mplca un subproblema: un VIP lnealzado. En el caso de los NCP el cálculo es relatvamente sencllo. ambén el algortmo descrto en Kanzow y Fukushma (1998a) es útl para la resolucón de los NCP. Este algortmo usa las funcones D-gap para resolver los MCP, esencalmente por cuestones de computabldad. La dea de fondo es radcalmente dstnta. Debdo a que en general la funcón D-gap no es dos veces dferencable con contnudad, se construye un hessano generalzado para construr la dreccón de descenso del algortmo tpo Newton truncado. En este caso el algortmo resultante es,

9 bajo condcones adecuadas, global y localmente convergente y de convergenca superlneal. En Kanzow y Fukushma (1998b) se usa un algortmo de Newton nonsmooth. La dreccón de descenso para la funcón D-gap se calcula medante la reformulacón del problema en un sstema no lneal de ecuacones: r(x)=0. Debdo a la especal estructura del caso NCP el cálculo de los elementos de la subdferencal de Clarke es factble. Así logramos, bajo la suposcón de que F sea una P-funcón, la convergenca superlneal, que añadendo la condcón F localmente lpschtzana, podemos asegurar que es cuadrátca. Un ejemplo más recente para el caso monótono aparece en Solodov y seng (2000), en donde se obtene la convergenca lneal de un algortmo que consdera en cada paso k parámetros k, β k y busca una dreccón de descenso para g β k k. Este algortmo tene la ventaja de no necestar la evaluacón de dervadas para su mplementacón. Los ejemplos que se exponen anterormente pueden servr de muestra del buen comportamento que los algortmos de resolucón de VIP tenen para los NCP; las condcones de computabldad y de convergenca mejoran frente al caso general. Esto puede servr de alento para trabajar en el camno de profundzar en el estudo de la aplcacón de otros de los numerosos algortmos para VIP que exsten en la lteratura a este problema partcular, y comparar los resultados teórcos obtendos con el objeto de poner encontrar el método más adecuado para cada stuacón. Referencas bblográfcas Kanzow, C. y Fukushma, M. (1998a). heoretcal and numercal nvestgaton of the D-gap functon for box constraned varatonal nequaltes. Mathematcal Programmng, 83, pp Kanzow, C. y Fukushma, M. (1998b). Solvng box constraned varatonal nequaltes by usng the natural resdual wth D-gap functon globalzaton. Operatons Research Letters, 23, pp Mangasaran, O. L. y Solodov, M. V. (1993). Nonlnear complementarty as unconstraned and constraned mnmzaton. Mathematcal Programmng, 62, pp Peng, J.M. (1997). Equvalence of varatonal nequalty problems to unconstraned mnmzaton. Mathematcal Programmng, 78, pp Peng, J. M., Kanzow, C. y Fukushma, M. (1999). A hybrd Josephy-Newton method for solvng box constraned varatonal nequalty problems va the D-gap functon. Optmzaton Methods and Software, 10, pp Peng, J. M. y Fukushma, M. (1999). A hybrd Newton method for solvng the varatonal nequalty problem va the D-gap functon. Mathematcal Programmng, 86, pp Solodov, M.V. y seng, P. (2000), Some methods based on the D-gap functon for solvng monotone varatonal nequaltes. Computatonal Optmzaton and Applcatons, 17, pp Wu, J. H.; Floran, M. y Marcotte, P. (1993). A general descent framework for the monotone varatonal nequalty problem. Mathematcal Programmng, 61, pp

10 Yamashta, N. y Fukushma, K. (1995). On Statonary ponts of the mplct Lagrangan for Nonlnear Complementarty Problems. Journal of Optmzaton heory and Applcatons, 84, pp Yamashta, N.; aj, K. y Fukushma, K. (1997). Unconstraned optmzaton reformulatons of varatonal nequalty problems. Journal of Optmzaton heory and Applcatons, 92, pp