PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Operaciones con Matrices y Determinantes

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Vanesa Castellanos Domínguez
hace 7 años
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1 TEMA: OPERAIONES ON MATRIES Y DETERMINANTES Problema 1: Sean las matrices: x A 1 y ; 0 ; [ 1 3 ] ; D 1 1 z 5 8 alcular los valores de x, y, z para que se verifique la siguiente igualdad: SOLUIÓN: Producto [ ] Por tanto : A D - A+D A Igualando términos x y 1 1 z 1 0 x 1 y z 0 NOTA: Dos matrices de distinto orden no se pueden sumar ni restar. Así, dos matrices del mismo orden se dice que son conformes respecto a la suma. NOTA: El producto A está definido (puede realizarse) cuando el numero de columnas de A es igual al número de renglones de. uando esto ocurre se dice que las matrices A y son conformes respecto a la multiplicación. DIVISIÓN: IENIAS ÁSIAS 1 de 11 OORDINAIÓN: MATEMÁTIAS FAULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

2 Problema : Demostrar que ( ) A + A + A+ a) Suponiendo que A y son matrices cuadradas del mismo orden: a11 a1 b11 b1 A a1 a y b1 b Se tiene: a11 + b11 a1 + b1 A+ a1 b1 a b + + ( A ) a + b a + b a + b a + b a1 + b1 a + b a1 + b1 a + b ( A ) ( a + b ) + ( a + b )( a + b ) ( a + b )( a + b ) + ( a + b )( a + b ) ( a + b )( a + b ) + ( a + b )( a + b ) ( a + b ) + ( a + b )( a + b ) A a a a a a + a a a a + a a a1 a a1 a a11a1 + a1a1 a + a1a1 b b b b b + b b b b + b b b1 b b1 b bb 11 1 b a11 a1 b11 b1 a11b11 + a1b1 a11b1 + a1b A a a b b a b + a b a b + a b a11 + aa + b11 + ab ab aa aa ab ab 1 A + A+ aa aa ab ab 1 a + aa + b11 + ab ab a11 + ab aa + b11 + ab + ba aa ab ba aa 1 + ab 1 + ba ( A ) ( ) A A A DIVISIÓN: IENIAS ÁSIAS de 11 OORDINAIÓN: MATEMÁTIAS FAULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

3 b) Utilizando propiedades de matrices ( A+ ) A + A+ ( A+ )( A+ ) A + A+ A( A+ ) + ( A+ ) A + A+ A + A + A + A + A + A+ A A NOTA: La multiplicación de matrices no es conmutativa, esto es: En general A A ; pero cuando A A se dice que las matrices son permutables o que conmutan. De esta manera, es importante poner énfasis en el orden en que dos matrices se multiplican; asi en los siguientes productos: A " A" premultiplica a " " A " A" postmultiplica a " " Problema 3: alcular la inversa de la matriz elementales. SOLUIÓN: 1 3 A por transformaciones A R ( 1) + R ; R ( 1) + R R ( ) + R R ( 3) + R Por lo tanto A DIVISIÓN: IENIAS ÁSIAS 3 de 11 OORDINAIÓN: MATEMÁTIAS FAULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

4 omprobación 1 1 AA A A I A Si cumple, AA 1 I NOTAS: Operaciones entre renglones de arriba hacia abajo. El resto de los elementos de la columna donde esta el pivote 1 deben ser EROS. Los ceros de las columnas deben obtenerse de izquierda a derecha x 0 3 Problema 4: Sean las matrices M 3 y M 0 4x x 3x Determinar el conjunto de valores de x R tales que tr(mn) 0 SOLUIÓN: Multiplicando: x 3 MN 0 4x x 3x MN x x x 3x 0 4x x 3x 0 x 0 3 DIVISIÓN: IENIAS ÁSIAS 4 de 11 OORDINAIÓN: MATEMÁTIAS FAULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

5 tr MN + x + x + ( ) ( + ) x x x x 4± 164(1)(4) (1) 4± x x omprobación Si x MN tr( MN) cumple Problema 5: Sean las matrices: A 0 1 ; y Determinar la matriz X que satisface la ecuación matricial: 1 AX 0 DIVISIÓN: IENIAS ÁSIAS 5 de 11 OORDINAIÓN: MATEMÁTIAS FAULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

6 SOLUIÓN: X A * * como A y no son matrices cuadradas no tienen inversa Estableciendo el sistema de ecuaciones lineales: a b c d 0 4 a b c d a b 4 b b a 1 1 d d c b d 4a 4 Igualando términos b 1 a a 1 d 1 c 0 c 0 Finalmente X DIVISIÓN: IENIAS ÁSIAS 6 de 11 OORDINAIÓN: MATEMÁTIAS FAULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

7 Problema 6: alcular el determinante de la siguiente matriz por el método de la matriz triangular: SOLUIÓN: A onvirtiendo la matriz A en una matriz triangular superior: R ( ) + R ; R (3) + R ; R (1) + R No varía el determinante R () + R ; R ( 1) + R No varía el determinante R (1) + R No varía el determinante R3 R Intercambio de filas, cambia de signo el determinante matriz triangular superior alculando el determinante det( A ) (1)(1)( 3)(1) ( 3) det(a) 3 DIVISIÓN: IENIAS ÁSIAS 7 de 11 OORDINAIÓN: MATEMÁTIAS FAULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

8 Problema 7: alcular por el método del desarrollo del desarrollo por cofactores el valor del siguiente determinante: SOLUIÓN: A Los ceros del tercer renglón sugieren que el desarrollo por cofactores se lleve a cabo por el mismo, es decir: alculo de cofactores: det( A) (0* ) + (* ) (1* ) + (0* ) ( 1) M ( 1) M ( ) ( ) ( 17) Finalmente det( A) (17) 1(7) 34 7 det( A) 7 DIVISIÓN: IENIAS ÁSIAS 8 de 11 OORDINAIÓN: MATEMÁTIAS FAULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

9 Problema 8: alcular el determinante de la siguiente matriz empleando el método de condensación: A SOLUIÓN: Los ceros de la cuarta columna sugieren que se trabajen con ella; y tomar como pivote el (1) del tercer renglón: R3() + R1; R3( 3) + R Desarrollando por cofactores según la cuarta columna: det( A) (1)( 1) ( 1) Eligiendo ahora el primer renglón para el desarrollo y tomando como pivote al (1) de la primera columna: det( A) ( 1) 1(1) + ; 1(1) + 3; 1( 3) DIVISIÓN: IENIAS ÁSIAS 9 de 11 OORDINAIÓN: MATEMÁTIAS FAULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

10 Desarrollo por cofactores según el primer renglón 11 det( A) ( 1) ( 1) ( 1)( 348) det( A) 348 [ ] [ ] Problema 8: Determinar la inversa de la matriz SOLUIÓN: 1 0 A por medio de la adjunta. alculando cofactores de los elementos de A : ( 1) ( 1) (0 8) ( 1) 3 ( ) ( 1) 0 ( ) ( 1) (4 6) Matriz adjunta: ( 1) (0 ) ( 1) ( 1) (1 0) ( 1) Adj( A) alculo del determinante: T 1 0 det( A) ( ) 6 det( A) 1 0 DIVISIÓN: IENIAS ÁSIAS 10 de 11 OORDINAIÓN: MATEMÁTIAS FAULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

11 alculando la inversa: PROLEMAS RESUELTOS A 1 1 det( A) [ Adj( A) ] A A Inversa de la matriz A DIVISIÓN: IENIAS ÁSIAS 11 de 11 OORDINAIÓN: MATEMÁTIAS FAULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

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