PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA APLICADA A LA OPTIMIZACIÓN

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1 PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA APLICADA A LA OPTIMIZACIÓN INVESTIGADOR: ESTUDIANTES: DR. RODOLFO GARCÍA FLORES ABEL ANTONIO TORRES REYNA JESÚS ALBERTO CASTILLO DE ANDA SAN NICOLAS DE LOS GARZA N.L. 26/AGO/04

2 AGENDA Conceptos básicos de Investigación de Operaciones. Introducción a la Programación Lineal. Ejemplo práctico de un problema de Programación Lineal. Ejemplos Reales de Optimización. Conclusiones.

3 DEFINICIÓN DE LA I.O. La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico o problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas a fin de que se produzcan soluciones que sirvan mejor a los objetivos de toda la organización.

4 BENEFICIOS DE UN PROYECTO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 1) Incrementa la posibilidad de tomar mejores decisiones. 2) mejora la coordinación entre las múltiples componentes de la organización. 3) Mejora el control del sistemas al constituir procedimientos sistemáticos. 4)Logra un mejor sistema al hacer que este opere con costos mas bajos.

5 FASES DE UN PROYECTO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 1) Estudio de la organización. 2) Interpretación de la organización como un sistema. 3) Formulación de los problemas de la organización. 4) Construcción del modelo. 5) Derivación de soluciones del modelo. 6) Prueba del modelo y sus soluciones. 7) Diseño de controles asociados a las soluciones. 8) Implantación de las soluciones al sistema.

6 TIPOS DE PROBLEMAS EN LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Deterministicos Estocásticos

7 MODELOS Icónicos Analógicos Simbólico

8 Qué es la programación lineal? La programación lineal es una herramienta para la solución de problemas de optimización en infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc. se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

9 Un problema de programación lineal en su forma estándar tiene la siguiente formulación: Max Z = C1C X1 + C2C X2 + + Cn Xn Función Objetivo Sujeto a: + a a1n <= b1 a1111 X1 + a12 X2 + + a1n Xn <= b Restricciones a21a 21 X1 + a22a 22 X2 + + a2na 2n Xn <= b2b Funcionales am1a m1 X1 + am2a m2 X2 + + amna mn Xn <= bmb xi >= 0; i=1,2,,n restricción de no negatividad xi = Variables de decisión

10 Determinación de la regón factible La solución de un problema de programación lineal, en el supuesto de que exista, debe estar en la región determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región factible, y puede estar o no acotada. Región factible acotada Región factible no acotada La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en sentido amplio ( <=o=> ) o en sentido estricto (< o >). Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones.

11 Ejemplo La corporación Telfa fabrica mesas y sillas, una mesa necesita 1 hora de trabajo y 9 m 2 de madera, y una silla necesita 1 hora de trabajo y 5 m 2. Se tienen disponibles 6 horas de trabajo y 45 m 2 de madera, cada mesa produce $8 de ganancia y cada silla $5 de ganancia. formular el problema de programación lineal para maximizar la ganancia de Telfa.

12 Planteamiento con análisis Variables de decisión: dimensional x1 = número de mesas x2 x = número de sillas Función objetivo: Max z = $ 8/mesa (x1mesa) + $ 5/silla (x2 silla) Restricciones: 9m 2 /mesa (x1 mesa) + 5m 2 /silla (x2 silla) <= 45m 2 1hr/mesa (x1 mesa) + 1hr/silla (x2 silla) <= 6hr

13 Max z = 8x1 + 5x2 Sujeto a: 9x1 + 5x2 <= 45 x1 + x2 x <= 6 x1,, x2 x >= 0 Resultados por el método gráfico: X1 = 3.75 mesas X2 = 2.25 sillas Z = $ Resultados por el método simplex: X1 = 3.75 mesas X2 = 2.25 sillas Z = $ Resultados por el método de los cortes: X1 = 3 mesas X2 = 3 sillas Z = $ 39

14 Cuando un problema de PL es resuelto puede darse uno de los siguientes casos: El problema de PL tiene solución única. El problema de PL tiene mas de una solución optima, este es el caso de otras soluciones optimas alternativas. El problema de PL no tiene solución factible. El problema de PL es ilimitado. Esto significa ( que en un problema de maximizar) hay puntos en la región factible con grandes valores arbitrarios de z.

15 Ejemplos de Programación Matemática Aplicada a la Optimización A continuación se hablará acerca de las técnicas de optimización, que han sido desarrolladas con el objetivo de ayudar en la resolución de muchos tipos de problemas. Hoy en día las empresas buscan ofrecer un mejor servicio al cliente ya que existe mucha competencia, por lo cual algunas de ellas recurren frecuentemente a las técnicas de la Investigación de Operaciones enfocadas principalmente a la programación matemática aplicada a la optimización.

16 Los ingenios de azúcar australianos optimizan listas de la maquina segadora para mejorar la producción. Higgins,, Programación Lineal de Múltiples Objetivos para la Planeación ambiental en una granja. Z Fu,, Análisis de la cadena Proveedora de la Volkswagen de América. Karabakal,, et al, Maquinas inteligentes: una estrategia para la competitividad de la fabricación en los Estados Unidos. Conley, El problema de la ruta de un autobús escolar. Annetts, Audsley, Asignación simultanea de locomotoras y de vagones a los trenes de d pasajeros. Cordeau, et al, La necesidad de la velocidad. Williams, UPS optimiza su red aérea. Armacost, et al, 2004.

17 Conclusiones Es muy importante la programación matemática aplicada a la optimización dentro de las organizaciones, ya que muchas de ellas han sido beneficiadas con las técnicas de optimización. Como es el caso de la empresa UPS, los autores (Armacost, et al, 2004) afirman que entre los años 2000 y 2002 UPS ha ahorrado poco más de 87 millones de dólares; y que en un futuro se espera que este ahorro ascienda a cientos de millones de dólares. Así en los diferentes sectores económicos de una nación, la aplicación de técnicas de Investigación de Operaciones enfocadas a la optimización viene a dar mejores resultados en los manejos de sus recursos (materia prima, capital, mano de obra, maquinaria, tiempo, secuenciación y asignación, etc.). El objetivo de una empresa es siempre llegar a tener éxito al a menor costo posible y ser altamente competitiva, para ello necesita actualizarse e invertir en estrategias como las técnicas que ofrece la Investigación de Operaciones.

18 Referencias [1] Andrew J. Higgins, Los ingenios de azúcar australianos optimizan lista de la maquina segadora para mejorar la producción, Interfaces. Linthicum: May/Jun 2002 Tomo 32, No. 3, pg. 15, 12 pgs. [2] LYO Li, Z Fu Programación Lineal de Múltiples Objetivos para la Planeación ambiental en una granja. The journal of Operational Research Society. Oxford: Mayo 2002 Tomo 53, No. 5; pg [3] Nejat Karabakal, Ali Gunal, Warren Ritchie, Análisis de la cadena Proveedora en Volkswagen de América. Interfaces. Linthicum: Jul/Aug 2000 Tomo 30, No. 4; pg. 46. [4] Gray N Conley Maquinas inteligentes: una estrategia para la Competitividad de la fabricación en los Estados Unidos Manufacturing Engineering. Dearbom: May 2004 Tomo 132, No. 5; pg. 192, 1 pgs. [5] J E Annetts, E Audsley, El problema de la ruta de un autobús escolar: caso de estudio. The journal of Operational Research Society. Oxford: Sep 2002 Tomo 53, No. 9 pg. 9, 933 pgs. [6] Jean - Francois Cordeau, Francois Soumis, Jacques Desrosiers, Asignación simultanea de locomotoras y de vagones a los trenes de pasajeros. Operations Research. Linthicum: Jul/Aug Tomo 49, No. 4, pg. 531, 20 pgs. [7] Al Williams, La necesidad de la velocidad. Web Techniques. San Francisco: Dec 1999 Tomo 4, No. 1 pg. 38, 4 pg. [8] Andrew P. Armacost, Cinthia Barnhart, Keith A. Ware, Alysia M. Wilson, UPS optimiza su red aérea. Interfaces. Linthicum: Jan/Feb 2004 Tomo 34, No. 1 pg. 1, 15, 11 pgs.

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