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1 Pocsminto Digitl d Sñls d Vo Disño d Filtos Digitls Jun Clos Góm Rvión Octub 5. Sistms Linls Estcionios como filtos slctivos n fcunci Un stm LE modific l spcto d l sñl d ntd U() sgún su spust n fcunci () p d lug un sñl d slid con spcto ( ) ( ) U ( ) Y () Pud pnss ntoncs, qu () ctú como un función d pondción spctl p ls difnts componnts fcuncils d l sñl d ntd. En st contxto, un SLE pud conds como un filto d confomción spctl.. Cctístics d los filtos idls Los filtos suln clfics sgún sus cctístics n l dominio fcuncil como: Ps Bos ( ) B π c c π Figu : Rspust n fcunci (mplitud) d un filto Ps Bo Idl. Ps Altos Figu : Rspust n fcunci (mplitud) d un filto Ps Alto Idl. PoDiVo Filtos Digitls

2 Ps Bnd Figu : Rspust n fcunci (mplitud) d un filto Ps Bnd Idl. Rc Bnd Figu 4: Rspust n fcunci (mplitud) d un filto Rc Bnd Idl. Ps Todo Figu 5: Rspust n fcunci (mplitud) d un filto Ps Todo Idl. Tl como s must n ls figus ntios, stos filtos idls tinn gnnci constnt (gnlmnt uniti) n l bnd d pso y gnnci co n l bnd limind. Ot cctístic impotnt d los filtos idls s su spust d fs linl. Po mplo, condmos un filto con spust n fcunci n C < < () n cso contio dond C y n son constnts potivs y supongmos un scunci d ntd {u(n)} con spcto U(). L slid dl filto, tin ntoncs l guint spcto PoDiVo Filtos Digitls

3 n U ( ) CU ( ) < < Y () Aplicndo ls popidds d scldo y dsplminto tmpol d l Tnsfomd d Foui, obtnmos l slid n l dominio tmpol y ( n) C u( n ) PoDiVo Filtos Digitls n, (4) dond s supusto qu {u(n)} no tin componnts impotnts d fcunci fu d l bnd d pso. Es dci, l slid dl filto s l vón scld y tdd d l ntd. En gnl, un tdo puo y l scldo n mplitud no s condn como un distoón d l sñl. Po lo tnto, s qui qu los filtos idls tngn un cctístic d fs linl dnto d su bnd d pso d mn qu no s poduc distoón. Es dci, s qui θ ( ) n (5) L divd d l fs spcto d l fcunci tin unidds d tdo, s dci τ g ( ) ( ) dθ (6) d y s dnomin tdo d nvolvnt o tdo d gupo dl filto. Pud intpts τ g () como l tdo qu xpimnt un componnt d fcunci cundo ps tvés dl stm. Obsévs qu cundo θ() s linl como n (5) ntoncs τ g () n constnt. Es dci qu n st cso tods ls componnts d fcunci xpimntn l mismo tdo tmpol. Como concluón, los filtos idls tinn un cctístic d mgnitud constnt y un cctístic d fs linl n l bnd d pso. Vmos qu los filtos idls no son libls po vn como un idlición mtmátic d los filtos pácticos. Po mplo, un filto ps bos idl, cuy spust n fcunci s l psntd n Figu, tin un spust impulonl LP ( n) ( πn) n c < n< πn Vmos qu l filto s no cusl y qu dmás su spust l impulso no s bsolutmnt sumbl, po lo qu l filto no s BIBO stbl. Po lo tnto, st filto idl no s libl fícmnt. Sin mbgo, su cctístic fcuncil s pud poxim muy bin utilindo filtos pácticos libls fícmnt. Sug ntoncs l pgunt d cuáls son ls condicions ncsis y suficints qu db stisfc un spust n fcunci () d mn qu l filto sultnt s cusl. L spust vin dd po l Tom d Ply-Win. Tom d Ply-Win: Si (n) s d ngí finit y (n) p n <, ntoncs π π < (7) ln (8)

4 Rcípocmnt, ( ) ( ) s cuddo intgbl, y s vific (8), ntoncs pud socis, un fs θ(), d mn qu l filto con spust n fcunci ( ) θ (9) s cusl. Un impotnt concluón qu s obtin d st tom s qu l módulo ( ) d l spust n fcunci pud s co n lguns fcuncis islds, po no pud s co sob culqui bnd finit continu d fcuncis y qu l intgl n (8) sultí infinit y l filto sí no cusl. En conscunci, podmos conclui qu todo filto idl sá no cusl.. Cctístics d los filtos pácticos Aunqu ls cctístics d spust n fcunci qu posn los filtos idls dbn s dsbls, no son bsolutmnt ncsis n l myoí d ls pliccions páctics. Rlndo sts condicions s pobl li filtos cusls qu poximn los filtos idls con tnt pción como s ds. En pticul, no s ncsio xigi qu l mgnitud ( ) s constnt n tod l bnd d pso dl filto. S pud tol un pquño ido n l bnd d pso, como s must n l Figu 6 continución: Figu 6: Rspust n fcunci (mplitud) d un filto l. Al nco d l bnd d pso s lo dnomin nco d bnd dl filto. Condndo ls sticcions qu l cuslidd impon sob l spust n fcunci d los filtos, y qu d co los filtos idls no son libls n l páctic, limitmos nust tnción l cls d stms linls stcionios spcificdos po un cución n difncis d l fom y N ( n) y( n ) b u( n ) () qu sultn cusls y po lo tnto, libls n l páctic. PoDiVo Filtos Digitls 4

5 En un poblm d disño d filto usulmnt s spcificn: ) El ido máximo tolbl n l bnd d pso δ. ) El ido máximo tolbl n l bnd d co δ. ) L fcunci p 4) L fcunci s Ls spcificcions d gnnci y d idos máximos s suln d n db, y s dfinn ntoncs: función d pédid: A log db ido máximo d l bnd d pso: α p log ( δ) db α log δ db tnución mínim d l bnd d co: Bsdos n sts spcificcions pudn slccions los pámtos { } y {b } dl filto qu mo poximn ls spcificcions dsds. El gdo d poximción n gnl dpnd dl citio d slcción (stimción) d los pámtos { }, {b } y dl númo d pámtos {, N}. En pticul, condmos dos tipos d stuctus d filtos digitls:. Filtos d Rspust l Impulso Finit (FIR: Finit Impuls Rspons), qu cospondn l cución () dond s impon l condición,,, N, s dci y ( n) b u( n ) L cospondint Función Tnsfnci Z sult d l fom () b () qu pud vs cospond un stm con spust l impulso d longitud finit (), lo qu d oign l nomb dl filto. Es clo ntoncs qu l spust l impulso dl filto sult bsolutmnt sumbl, y po lo tnto l filto sult mp BIBO stbl, con todos sus polos n l oign dl plno Z, como pud vs -scibindo () con potncis potivs d, s dci b b (). Filtos d Rspust l Impulso Infinit (IIR: Infinit Impuls Rspons), qu cospondn l cución (), dond no s impon ningun condición spcil sob los coficints, b. L Función Tnsfnci Z dl filto sult: PoDiVo Filtos Digitls 5

6 PoDiVo Filtos Digitls 6 N N N N b b ) ( (4) Tomndo l tnsfomd Z invs, s obtin un spust l impulso dl filto qu, n gnl, s d dución infinit, lo qu d oign l nomb dl filto. Db sgus l condición d stbilidd dunt l stimción d los coficints dl filto, y qu st condición no s innt l stuctu dl mismo. 4. Disño d Filtos FIR 4. Disño d filtos FIR d fs linl po l método d usto n Fcunci Un filto FIR (Finit Impuls Rspons) d longitud stá cctido po un spust n fcunci b (5) dond los coficints {b } son l spust l impulso dl stm, sto s c.o.c n b n n (6) El quiminto d fs linl impon condicions d mtí n l spust l impulso dl filto. En pticul, condmos dos condicions d mtí distints n n métic (7) y n n ntimétic (8) Condmos pimo l condición (7) y los csos n qu s p imp. Supongmos po mplo, 5 y l condición d mtí (7), ntoncs 4 n tnto qu () no tin ningún témino mético. Entoncs, l spust l impulso sult métic spcto (), ndo () () () () () () () () () () () () () [ ] cos cos Vmos qu l témino nt cocts s l p todo y podmos dnominlo como [ ] cos cos

7 PoDiVo Filtos Digitls 7 po lo qu sult Clmnt sult y l cctístic d fs dl filto s < > π θ Vmos ntoncs qu l fs s linl mp qu () s potivo (o ngtivo). Cundo () cmbi d gno, l fs suf un cmbio bupto d 8º. Si st cmbio ocu fu d l bnd d pso, ntoncs no y poblms, y qu l sñl qu ps tvés dl filto tin un contnido fcuncil dspcibl fu d dic bnd. Si s p, po mplo 4, l condición d mtí (7) implic y l spust n fcunci dl filto sult () () () () () () cos cos Aquí tmbién dond y l fs sult < > π θ

8 qu s linl tmos, con sltos d 8º dond () cmbi d gno. Bsdos n stos mplos p 4 y 5, s pud xtpol l cso gnl d un bitio. En gnl, l spust n fcunci d un filto FIR, cuy spust l impulso (n) stisfc l condición d mtí (7), pud xpss como dond ( ) (9) ( ) ( ) ( n) cos[ ( n) ] imp () n ( n) cos[ ( n) ] p () n L cctístic d fs dl filto, tnto p p como imp, sult θ ( ) ( ) ( ) π ( ) ( ) > < () Condmos o l condición d mtí (8), s dci ( n) ( n) qu cospond un spust l impulso ntimétic. Si s imp, l punto cntl d l spust l impulso ntimétic (n) s condición (8) implic ntoncs qu n. L Po mplo, 5, ntoncs ( 4) ( ) En cmbio s p, cd témino d (n) tin su cospondint d gno opusto. L spust n fcunci d un filto FIR con un spust l impulso ntimétic pud xpss como PoDiVo Filtos Digitls 8

9 dond ( ) π () ( ) ( n) n[ ( n) ] imp (4) n ( n) n[ ( n) ] p (5) n L cctístic d fs dl filto, tnto p p como imp, s θ ( ) π ( ) π ( ) ( ) > < Comntios: P l cso mético, l númo d coficints dl filto qu spcificn l spust n fcunci s s imp s p P l cso ntimético sult y l númo d coficints dl filto sult s imp s p L lcción nt l filto mético o ntimético dpnd d l plicción. n n y s imp sult Po mplo, ( ) y ( π ) po lo qu l filto no s dcudo p un filto ps bos o ps ltos. PoDiVo Filtos Digitls 9

10 Similmnt, ( n) ( n) y s p sult ( ) po lo qu st filto no s popido p un filto ps bos. Ls cucions () y () (cso mético) y (4) y (5) (cso ntimético), constituyn un conunto d cucions linls p l dtminción d los coficints d un filto FIR d fs linl. Es ncsio ntoncs spcific o (cso mético) d vlos d (), o bin, o (cso ntimético) vlos d (), p pod clcul los coficints {(n)} d l spust l impulso dl filto. Si bin los vlos d pudn slccions bitimnt, usulmnt s slccionn vlos d fcunci quispcidos n l ngo π. Es dci π,,,,,, imp p P l cso mético, dnominmos n n cos ntoncs ls cucions () y () sultn n n n n [ ( n) ] n (6) ( n),,, imp (7) ( n),,, p d dond pudn dsps los coficints {(n)}dl filto. 4. Disño d filtos FIR d fs linl usndo vntns En st método s pt d un spcificción d () d l spust n fcunci dsd y s dtmin l cospondint spust l impulso d (n) dl filto, tvés d l tnsfomd invs d Foui, sto s PoDiVo Filtos Digitls

11 d π π ( n) ( ) π d n d (8) Como n gnl l spust l impulso obtnid s d longitud infinit, db s tuncd, po mplo n n -, d mn qu sult un filto FIR d longitud. Tunc l spust l impulso d (n) s quivlnt multiplic d (n) po un vntn ctngul dfinid como n,,, w( n) c. o. c (9) Es dci, l spust l impulso dl filto FIR sult ( n) ( n) w( n) () L spust n fcunci dl filto FIR sult ntoncs l convolución nt l spust n fcunci dsd y l spcto d l vntn d π π ( ) ( λ) W ( λ) π d dλ () El spcto d l vntn ctngul sult W ( ) ( ) n n () n n L mgnitud sult ( ) n ( ) n W -π π n tnto qu l fs s sccionlmnt linl θ ( ) ( ) ( ) π n n ( ) ( ) < Los spctos d mplitud y fs s psntn n l figu 7. PoDiVo Filtos Digitls

12 Figu 7: Espctos d Amplitud y Fs d un Vntn Rctngul. L psnci d impotnts lóbulos ltls n l spcto d l vntn ctngul povoc fctos indsbls n l spust n fcunci () dl filto FIR. Esto pud mos mdint l uso d ots vntns qu no continn discontinuidds bupts n su cctístic n l dominio tmpol. Po mplo, podmos mncion: mming, nn, Blcmn, Kis, Lncos, Tuy. Condndo qu, po dfinición, s d n d () n ( n) y qu d () s un spcto piódico, ntoncs () pud pnss como l d Foui n timpo discto d d (), po lo qu los téminos d (n) pudn pnss como los coficints d Foui d s xpnón n s. Tunc los d (n) quivl ntoncs tunc l d Foui d d () p obtn (), l spust n fcunci dl filto. 4. Disño d filtos FIR invsos po l método d ínimos Cuddos S d (n) con n l spust l impulso dsd y d () l cospondint función tnsfnci Z. S qui poxim l cípoco d st tnsfnci con un función tnsfnci d l fom FIR, s dci: ( d ) N (4) Condmos l conxión n cscd dl filto dsdo d () con l filto FIR invso /() como s indic n l figu 8. b PoDiVo Filtos Digitls

13 d (n) δ (n) y(n) δ (n) d () - o inimi l o cudático mdio Figu 8: Esqum d stimción d un filto FIR invso po l método d mínimos cuddos. Condmos qu l stm s xcitdo con un impulso unitio δ (n), como s indic n l figu, po lo qu l ntd l filto invso /() s d (n) y l slid s y(n). Idlmnt dbí s y( n) yd ( n) δ (n), po n lidd sult: N y( n) d ( n) d ( n ) b (5) L condición y d ( ) y s stisfc slccionndo b d psnt l o nt l spust dsd. P n >, y(n) y d n y l spust l. Los pámtos pudn ntoncs dtmins minimindo l sum d los cuddos d l scunci d o N n n n ε y () d d (6) n d n Pud pobs qu l conunto d pámtos { } qu minimi l o cudático mdio ε s obtin solvindo l conunto d cucions linls N (, ) (,),,, N (7) dond, po dfinición s ( ) ( n ) ( n ) ( n) ( n ) ( ), d d d d (8) n n En un poblm d disño, l spust l impulso dsd d (n) s spcificd n un númo finito d puntos, po mplo p n L, con L >> N. En st cso, l scunci d utocolción pud clculs pti d l scunci finit d (n), como L ˆ ( ) ( n) ( n ), N (9) n d d y stos vlos pudn uss p solv l stm d cucions linls (7). PoDiVo Filtos Digitls

14 5. Disño d Filtos Digitls IIR pti d filtos nlógicos mdint l poximción d divds L id s disñ un filto digitl pti d un filto nlógico, mdint l disctición d l cución difncil qu psnt l mismo. Si s pt d un psntción con un función tnsfnci cionl dl filto nlógico, d l fom ( s) N β s α s (4) l cución difncil qu dscib l compotminto ntd-slid dl filto sult N ( t) d u( t) d y α β (4) dt dt A pti d st cución difncil pud obtns un cución n difncis quivlnt lindo un disctición dl timpo d l fom t nt, ndo T l píodo d musto, y poximndo ls divds po difncis finits. Existn divss foms d poxim ls divds n (4). Condmos quí dos d los métodos d poximción más utilidos: l método d Eul y l gl d poximción tpoidl o tnsfomción bilinl. Apoximción po l étodo d Eul d pim odn L fom más lmntl d poxim l divd s l dnomind poximción d Eul d pim odn dd po ( nt ) dx( t) x x(( n ) T ) dt T t nt (4) x(t) (n-)t nt t Figu 9: Apoximción d Eul d pim odn Como pud vs n l figu 9, l poximción d Eul d pim odn s bun sólo p píodos d musto T muy pquños. Condmos o un difncido nlógico idl con lción ntd-slid PoDiVo Filtos Digitls 4

15 dx( t) y( t) (4) dt L cospondint función tnsfnci sult (s) s. Tnsfomndo Z l cución (4), s obtin l cospondint función tnsfnci disct (44) T Pocdindo nálogmnt p ls divds -éms, s obtin qu l función tnsfnci p l filto digitl IIR mdint l poximción d ls divds usndo difncis finits, sult s ( ) T s (45) / dond (s) s l función tnsfnci dl filto nlógico cctido po l cución difncil (4). L tnsfomción o quivlntmnt s T st (46) cospond un mpo dl plno s n l plno, como l psntdo n l figu. Plno Ω Plno s σ Figu : po dl Plno s n l Plno mdint l tnsfomción /(-st). Rmplndo s Ω n (46), sult T Ω ΩT Ω T Ω T (47) PoDiVo Filtos Digitls 5

16 qu cospond l cución d un cicunfnci con dio ½ y con cnto ½. Pud pobs qu los puntos n l smiplno iquido dl plno s s mpn n l intio dl cículo n l plno. Est tnsfomción tin ntoncs l popidd dsbl d tnsfom filtos nlógicos stbls n filtos digitls stbls. Sin mbgo, los polos s vn confindos n un pquñ gión (l intio dl cículo d dio ½ ) lo qu cospond fcuncis ltivmnt pquñs. Como conscunci, st tnsfomción sólo pud utilis p l disño d filtos psbo y psbnd con fcuncis d cot ltivmnt pquñs. Apoximción tpoidl d l divd Tnsfomción Bilinl Dfinmos dx( t) y( t) dt Lugo t ( τ ) x( t) y dτ (48) Rlindo un disctición dl timpo d l fom pud scibis t nt, ndo T l píodo d musto, x (( n ) T ) nt ( n ) T ( n ) T y( τ ) dτ y( τ ) dτ x( nt ) y( τ ) dτ (49) nt nt y(t) x( nt ) ( I ) nt (n) T t Figu : Apoximción con l gl tpoidl. L intgl (I) n (49) pud poxims po l á yd n figu. Con st poximción l cución (49) sult T x (( n ) T ) x( nt ) [ y( ( n ) T ) y( nt )] (5) Tnsfomndo Z, s obtin p Y() l guint xpón Y X X (5) T PoDiVo Filtos Digitls 6

17 Y ( s sx s s X s, pud pnss n un mpo dl plno s n l plno d l fom Condndo qu ) s (5) T qu pmit obtn l función tnsfnci Z disct () pti d l función tnsfnci dl stm continuo (s) sgún ( ) ( s ) (5) s T A l tnsfomción (5) s l dnomin Tnsfomción Bilinl, y pmit obtn un filto digitl pti d l función tnsfnci d un filto nlógico. Pud vs qu l Tnsfomción Bilinl mp l imginio dl plno s n l cicunfnci uniti dl plno, y l smiplno iquido dl plno s n l intio d l cicunfnci uniti dl plno. D st fom, filtos nlógicos stbls s mpn n filtos digitls stbls. El mpo dl plno s n l plno con l tnsfomción bilinl s psnt n l figu. Plno T s T s Ω Plno s σ Figu : Tnsfomción Bilinl. Tnsfomción Bilinl n l dominio fcuncil Ot fom d div l tnsfomción bilinl s n l dominio fcuncil, imponindo qu l spust n fcunci dl filto digitl s igul l spust n fcunci dl filto nlógico, s dci ( ) ( Ω) (54) Sin mbgo, s clo qu st condición no pud cumplis p tods ls fcuncis dbido l fnómno d ling. Cundo l vibl s co l imginio n l plno s un únic v, l vibl co l cicunfnci uniti n l plno infinits vcs, y qu ( ) s piódic con píodo π. L id s ncont un tnsfomción B() qu mp númos complos sob l cicunfnci uniti n l plno, n númos complos s Ω sob l imginio n l plno s, p fcuncis n l intvlo [ π ]. Es dci, l tnsfomción dbá s tl qu s vifiqu: PoDiVo Filtos Digitls 7

18 ( ) Ω B (55) dond ls fcuncis continus y discts vificn Ω Fs, dond F s s l fcunci d musto. Si s pobl ll dic tnsfomción, ntoncs l spust n fcunci dl filto digitl () s pud clcul n función d l spust n fcunci dl filto nlógico (Ω) tvés d ΩT ΩT ( ) ( s) T ( B( ) Ω (56) s B Un pobl tnsfomción s l bilinl intoducid ntiomnt n (5) B C (57) dond o s d l pámto C lib (igul /T n (5)) d mn d ust lo mo pobl ls dos spusts n fcunci (continu y disct) n l intvlo [ π ]. Rmplndo ΩT n (57), sult ΩT B C C ΩT ΩT ΩT / ΩT / ( ) ΩT / ΩT / ( ) ( ΩT / ) ( ΩT / ) sn C cos ΩT C tn Vmos ntoncs qu s vific l quiminto (55). Pud lgis C d mn qu ls spusts n fcunci continu y disct coincidn p un fcunci pticul Ω, s dci Ω Ω T C tn (58) lo qu sult n Ω T C Ω cot (59) P st vlo d C ls spusts n fcunci disct y continu coincidn xctmnt p l fcunci Ω, qu s dnomin fcunci d mtcing. El vlo C/T n (5) cospondí un fcunci d mtcing, qu s l únic solución d Ω PoDiVo Filtos Digitls 8

19 Ω T Ω cot T Emplo Supongmos qu s pt d un filto nlógico cctido po su función tnsfnci () s s L spust n fcunci dl filto s psnt n l figu. Digm Bod Digm d Bod gnitud (db) Fs (gdos) -45 Figu : Rspust n Fcunci dl filto nlógico. S qui disñ un filto digitl con un fcunci d mtcing Ω.5 d/sg, con un fcunci d musto d. D (59), l vlo d l constnt C d l tnsfomción bilinl sult n tnto qu l tnsfnci disct sult Fcunci (d/sg) ( s).5. C.5 cot Fquncy (d/sc) ( C ) ( C) s C L spust n fcunci dl filto nlógico y dl filto digitl s psnt n l figu 4. PoDiVo Filtos Digitls 9

20 Digm Bod Digm d Bod gnitud (db) Fs (gdos) Fcunci Fquncy (d/sg) (d/sc) Figu 4: Rspustn Fcunci dl Filto nlógico y dl cospondint filto digitl. PoDiVo Filtos Digitls