Cálculo de las alturas del relieve lunar

Transcripción

1 1. Introucción. Cácuo e as aturas e reieve unar Pabo Benítez Lambay - Aejanro Benítez Lambay. Con e presente trabajo se pretene ar un métoo sencio y exacto para cacuar a atura e agún acciente unar. Como nos ha sio imposibe encontrar un trabajo que resuma en una ecuación as variabes más importantes a tener en cuenta en este proceso, creímos necesario esarroar un métoo o suficientemente sencio que permita a cuaquier persona cacuar a atura e os accientes unares a partir e simpes meiciones ópticas, aún carecieno e instrumenta aecuao. Es importante estacar e hecho e que contano con una ecuación que exprese a atura e cuaquier reieve en función e otras variabes (que pueen ser meias) es posibe hacer uso e a computación para e esarroo e un software que faciite icho cácuo. E trabajo toma como punto e partia conocimientos e trigonometría muy sencios. Sabemos que a partir e una reación trigonométrica es posibe cacuar a atura e un objeto conocieno a ongitu e su sombra y e ánguo que os rayos e so forman con a horizonta en ese momento, e acuero a siguiente gráfico: tg λ = y x x. tg λ = y 10

2 Done y es a atura que eseamos cacuar, x es a ongitu e a sombra proyectaa por e cuerpo y λ e ánguo que os rayos e So forman con a horizonta, es ecir a atura e So meia ese e horizonte expresaa en graos, que ebe entenérsea como e ánguo que forma nuestra vista con a horizonta (e sueo) cuano apuntamos irectamente a centro e So. En otras paabras, éste es e ánguo e vértice e observaor, eterminao por e So. Esta reación se puee trasaar sin ningún probema a a superficie unar si conocemos e ánguo λ que forma e so con a horizonta y a ongitu e a sombra x. Entonces, razonamos e a siguiente manera: (1) y = x. tgλ Por o tanto es necesario cacuar tanto a ongitu e a sombra como a atura a a que se encuentra e So. 11

3 2. Desarroo 2.1.Cácuo e a atura e so: Si imaginamos una esfera con una mita iuminaa y a otra en oscuria, poemos afirmar que en e comienzo e a oscuria, e So se encuentra exactamente a 0º e atitu sobre e horizonte, razón por a cua os rayos e éste no acanzan a iuminar esta zona (en a Tierra no es posibe ver este efecto ebio a a atmósfera, pues a noche comienza mucho espués e que e So se ocutó competamente). Supongamos ahora que estamos situaos justo sobre e meio ía e a esfera, es ecir, one ningún cuerpo sobre esa zona proyecta sombra (en e gráfico coincie con e bore erecho) y miramos hacia e cenit (punto en a esfera ceeste que resuta e a intersección con a irección e a pomaa); en este punto veremos a So formano con a horizonta un ánguo e 90º. A partir e estos os ejempos, poemos suponer que nos encontramos en un punto cuaquiera sobre a esfera y que en ese punto e So forma un ánguo que oscia entre os 0º y 90º e atura, pero esconocemos cua es, ya que nos resuta imposibe situarnos en icha esfera y meiro ese ea. Queremos averiguar a que atura se encuentra e So en ese ugar; para eo nos varemos e una proporción irecta. Sabemos que cuaquier paraeo e una esfera, que suponremos e ahora en más a Luna, tiene 360º e ongitu. A partir e este conocimiento y e una meición auxiiar que ebemos reaizar cacuaremos a atura a a que se encuentra e So. La meición auxiiar es a istancia que separa a cuerpo e one e So se encuentra a 0º e atitu, que amaremos t. 12

4 Si conocemos cuanto vae e perímetro P e un paraeo para una atitu eterminaa, y conocemos t (en a misma unia que e perímetro), es posibe conocer a atura e so λ. Entonces: (2) [ ] = [ unia ] λ [ unia ].360 P P unia t 360º t º λ = 2.2. Sobre e perímetro P y a istancia a terminaor t. E perímetro e un paraeo en a Luna (y en cuaquier esfera) no es constante y epene e a atitu (esta afirmación vae sí o que consieramos es e perímetro expresao en uniaes que no sean anguares). Es muy importante e cácuo e este vaor ya que a meia que nos acercamos a poo, e perímetro e os paraeos isminuye emasiao, es ecir, entre os puntos situaos a a misma atitu pero caa vez mas cerca e poo, a istancia que os separa, por ejempo en km, es caa vez menor. De a geometría sabemos que e perímetro e una circunferencia se cacua meiante a expresión: (3) p = π. En nuestro caso, e iámetro que ebemos consierar es e iámetro ecuatoria unar 1 [km], (más aeante veremos como hacero). Sin embargo, aquí no termina e asunto. Se poría acabar si miiéramos e iámetro aparente unar 2 corresponiente a paraeo en one se encuentra e cráter, pero es caro que mientras más meiciones se hacen existe más posibiia e agregar errores a resutao. Para cacuar e perímetro como función e a atitu nos vamos a vaer e un coeficiente que mutipicaremos a a expresión anterior. Para encontrar icho coeficiente razonamos e a siguiente manera: En a circunferencia unitaria, a meia e segmento m paraeo a eje x que une a eje y con a intersección e a circunferencia y e raio vector está aa por e coseno e ánguo comprenio entre a abscisa y e raio vector. 1 E iámetro ecuatoria unar es e consierao para e paraeo e 0º ya que a atitu se mie ese e ecuaor (0º) como positiva hacia e hemisferio norte y como negativa hacia e hemisferio sur tomano como máximo vaor absouto 90º. 2 E iámetro aparente unar es a porción e cieo que abarca e iámetro e cuerpo. Se mie en minutos e arco y su vaor meio aceptao es e

5 Gráficamente: E segmento m es e raio e a circunferencia e a que estamos tratano e averiguar su perímetro, y su vaor viene ao por: (4) m = cos(atitu) E vaor e coseno nos está inicano en que proporción es menor m que e raio e a circunferencia unitaria. A partir e esto es posibe reacionar e vaor obtenio para poer cacuar e perímetro e un paraeo para una eterminaa atitu: (5) P[ km] = π. 2raio[ km].cos( atitu) = π. [ km].cos( atitu) Cácuo e iámetro unar ( ). Si bien e iámetro unar se encuentra tabuao, incuimos e esarroo e su cácuo para no imitarnos soo a tabas y ser capaces e cacuaro fácimente conocieno a istancia a a una y su iámetro aparente. E cácuo e este vaor incrementa e potencia e trabajo aumentano su acance a cuaquier esfera (ya sea un paneta, asteroie, etc). No obstante, ebemos ser concientes e aumento en as posibiiaes e error. Reaizar este cácuo puee resutar e mucha utiia para verificar que tan precisos son os atos e os que isponemos a momento e reaizar as meiciones; un iámetro acertao impica efeméries o meiciones unares correctas. E vaor aceptao es e 3476 km. 14

6 Para cacuar e iámetro unar, es necesario que conozcamos a istancia a a que se encuentra a Luna con respecto a a Tierra a momento e reaizar as meiciones. Esta es posibe obtenera meiante e paraaje 3, agún software astronómico o efeméries astronómicas. Hay que acarar que ebemos tener cuiao con e ato e a istancia que tenemos, ya que puee ser geocéntrica o topocéntrica 4 (trabajaremos con a topocéntrica). En caso e ser geocéntrica, ebemos restar e raio terrestre en e momento que a Luna pasa por e cenit e ugar e observación (sin embargo esto no es cierto si a atitu e ugar e observación es istinta e 0º, pues a Tierra no es una esfera perfecta), no obstante, es posibe obviar este paso, ya que e error que prouce es pequeño en comparación con as magnitues que estamos trabajano. (6) ist topoc éntrica = ist geocéntric a raio ecuatoria terrestre Es necesario que miamos cuanto vae e iámetro aparente ecuatoria e a Luna. Una vez que tenemos estos atos, poemos vover a hacer uso e a trigonometría y razonar así: 3 Paraaje: Según Fainstein, ánguo bajo e cua se ve ese a una e raio terrestre. Si bien e paraaje no se apica soo a a Luna, soo amos una efinición que oriente a ector. Según e astro e cua queremos averiguar a istancia se utiizan istintos métoos e paraaje. 4 Distancia unar geocéntrica: Distancia a a Luna meia ese e centro e a Tierra. Distancia unar topocéntrica: Distancia a a Luna meia ese a superficie e a Tierra. 15

7 Done α es e iámetro aparente unar, a = b y a = iámetrounar / 2 y istancia es a istancia a a Luna (topocéntrica). 1 β = α 2 (7) [ ] 1 a = ist unia. tg α 2 1 (8) [ ] = 2 ist unia. tg α Sobre a istancia a terminaor t y a ongitu e a sombra x. Cacuamos ahora en km a ongitu e a sombra x proyectaa por e cuerpo y a istancia que o separa e terminaor t, que e ahora en más será para nosotros a zona en a que e So se encuentra a 0º e atitu sobre e horizonte unar. Por comenzar, es necesario que miamos a istancia anguar aparente tanto e a sombra ε como a istancia anguar e cuerpo a terminaor ϕ. (Ambas meias eben estar en minutos e arco). Y así, partieno e una proporción irecta, poemos cacuar a ongitu e ambas en km. (9) t = (10) x ϕº. ε º. = αº Toavía hace fata una corrección. La Luna es una esfera, y nuestras meiciones son panas 5, por o tanto es necesario añair un cácuo que corrija e aguna manera a eformación e as istancias ebio a a curvatura unar. Para reaizar esta corrección, vamos a utiizar a circunferencia unia, one a meia e os ánguos expresaos en raianes nos brina a meia e arco, que es o que buscamos: meir a ongitu rea e arco e a sombra en km o e a istancia e cuerpo a terminaor. αº 5 Si bien as meiciones se reaizan sobre a esfera ceeste, como a magnitu e as mismas es muy pequeña, e arco es muy semejante a una recta. 16

8 [ ] [ ] ε unia (11) senγ = r unia Done r es e raio e a una cacuao a partir e a siguiente expresión, obtenia sabieno que e raio es a mita e iámetro. Pero recoremos que e iámetro e un paraeo unar epene e a atitu, que puee corregirse utiizano un coeficiente e corrección: 6 (12) r =. cos( atitu) 2 O también puee cacuarse en minutos e arco: α (13) r =.cos( atitu) 2 No hay restricciones en cuanto a que raio utiizar, soo hay que tener en cuenta que a momento e reaizar e cociente entre a istancia e a sombra o e cuerpo a terminaor y e raio ((9) ó (10)), ambos eben tener a misma unia. 6 Siempre que se hace mención a a atitu, ebe consierarse a atitu e cráter o acciente unar sin istinguir norte o sur, es ecir, siempre con signo positivo. 17

9 Ahora espejamos γ en (11) y obtenemos que: ε (14) γ = sen r A vaor obtenio o ebemos expresar en km (por o que e resutao ebe estar en raianes) y mutipicar too por e raio unar e a zona en one se encuentra e reieve cuya atura se esea conocer. La corrección quea e esta manera: π ε (15) γ =. r. sen 180 r Para evitar confusiones aconsejamos utiizar ambos raios en km, para o cua hay que añair una corrección para transformar a meia anguar e ε en km. Esta corrección esta basaa en que conocemos e (10) a meia e ε en km, por o tanto, a ecuación fina quea así: π 180 (16) γ [ km] =. r[ km]. sen x r [ km] [ km] 18 π =. r Obtenieno una expresión para a atura. [ km]. sen ε º. α º. r [ km] [ ] km Finamente, tras haber obtenio toas as expresiones que nos permiten cacuar a atura e un eterminao reieve unar, reempazaremos en (1) y obtenremos a expresión genera: y =. x tg( λ) Reempazano (1) por (10) y por (2), quea que: ε º. y = t.360. tg αº P º Reempazano P,, y t por (5), (8) y (9) respectivamente tenemos: y = ε º. α º ϕº.360º. tg π. α º.cos( atituº )

10 Hay que acarar que ésta ecuación toma a ε y ϕ como meias panas, sin consierar e efecto e a eformación por a curvatura e a una. Es una ecuación muy úti, con cácuos muy sencios, pero carece e precisión. Para corregir esto, en caso e necesitarse mayor precisión soo basta reempazar os vaores e x y λ por os e (16) y (2) π y =. r 180º π y =. r 180º π y =. r 180º. ε º. sen α º. r. tg.360 P t º Reempazano t por (16) y P por (5) quea que:. ε º. sen αº. r Simpificano a expresión:. ε º. sen αº. r π. r 180. tg 2. r. tg. π. sen. φº. α º. r.cos( atitu).360º φº. sen α º. r.cos( atitu) Dao que 2r =.cos( atitu) y que esta expresión aparece en a ecuación (en sus os expresiones), es posibe simpificara. y = π ε. ϕ.. r. sen. tg sen 180 α. r α. r y Simpificano e iámetro unar con e raio, a expresión fina quea: = [ ] π 2ε 2ϕ. r unia. sen. tg sen 180 Done r esta a α.cos( atitu ) α.cos( atitu ) 19

11 Done r esta ao por (12): r =. cos( atitu) 2 Co-ongitu: un métoo aternativo para cacuar a istancia e cráter a terminaor. Otra corrección que se e puee hacer a a ecuación es añair e concepto e co-ongitu. A a co-ongitu se a puee entener como a istancia en graos que separa a terminaor occienta e meriiano centra (0º). Este ato nos ayuará a obtener un vaor suficientemente preciso e a istancia e cráter a terminaor conocieno su ongitu y a co-ongitu unar en e momento e tomar a fotografía, ambos atos cataogaos en tabas. Cuano a co-ongitu es mayor a 90º significa que a una comenzó a cubrirse nuevamente (cuarto menguante), y a posición e terminaor Lt (en graos e ongitu unar) está aa por a ecuación: Lt [ graos] = coong + 180º e orienta. Cabe acarar que e terminaor que comenzamos a ver en este caso es Son cuatro os casos posibes que poemos encontrar a a hora e cacuar a istancia en graos ese agún cráter a terminaor: Cuano a co-ongitu es mayor a 90º y consieramos ongitues oeste e cráteres, a istancia a terminaor viene aa por: Lt [ graos] = ong[ graos] + 360º ( coong[ graos] + 180º ) Cuano a co-ongitu es mayor a 90º y consieramos ongitues este e cráteres, a istancia a terminaor viene aa por: Lt [ graos] = 360º ong[ graos] ( coong[ graos] + 180º ) 20

12 Cuano a co-ongitu es menor a 90º y consieramos ongitues oeste e cráteres, a istancia a terminaor viene aa por: Lt[ graos] = ( coong[ graos]) ong[ graos] Cuano a co-ongitu es menor a 90º y consieramos ongitues este e cráteres, a istancia a terminaor viene aa por: Lt [ graos] = ( coong[ graos]) + ong[ graos] En estas cuatro ecuaciones, e término ong hace referencia a a ongitu e cráter (anáoga a a e as coorenaas geográficas y meia en graos) tabuaa en os atas unares. De esta manera poemos cacuar ϕ en e momento e as meiciones sin necesia e reaizar meiciones. Para cacuaro en minutos e arco, utiizamos a siguiente ecuación, que proviene e un espeje trigonométrico, simiar a utiizao en (12): α ϕ =.cos( atitu). sen( Lt) 2 Aquí no termina en reaia e asunto, poría tomarse como váia esta ecuación si e iámetro e cráter fuese muy pequeño y si nuestros cácuos carecieran e precisión, sin embargo, haría fata añair a esta ecuación un término más, a suma e raio e cráter, expresao en minutos e arco. ϕ α =.cos( atitu ). sen( Lt) + 2 r crater Ejempo Práctico. Para e ejempo, se ha escogio e cráter Teophius, que se encuentra a una atitu e 11,4º Sur y a una ongitu e 26,4º Este. La Luna tenía un iámetro aparente e 29,77 e arco y se encontraba a una istancia e Km. La coongitu era 343,1º 21

13 7 La ínea corta representa a ongitu e a sombra (11,6 ), mientras que a ínea arga representa a istancia e a pare e cráter (atura que queremos cacuar) a terminaor. Para cacuar a istancia a terminaor tenemos en cuenta que a co-ongitu es mayor a 90º y que a ongitu e cráter es 26,4º Este. Apicano as ecuaciones se obtiene: ϕ'= 0º2'24,5'' sumamos a vaor anterior: Como e raio e cráter es aproximaamente 20 e arco, os ϕ = 2 '24,5' ' + 20'' = 2'44,5'' Ahora nos quea cacuar e raio unar para esa atitu, pero antes veamos cuanto vae e que está ao por a siguiente ecuación: y 1 = tg.0º29,77' = 3475, r = 3475, cos(11,4º ) 2 = 1703, Aejanro y Pabo Benítez Lambay. Cráter Theophius con teescopio H130900EQ2, Cámara QuickCam Pro 3000 a foco irecto, Barow x2. Procesaa con Registax 3. Ciua e Córoba. 29/08/06 21:57 UT. 22

14 Lo que nos quea ahora es reempazar os vaores obtenios en a ecuación fina e a siguiente manera (utiizaremos a que tiene corrección e esfericia): π y =. r. sen 180 2ε..cos( ) tg sen α atitu 2ϕ.cos( ) α atitu π =.1703, sen 180 = 22, , ,6'' 29,77'.cos(11,4). tg sen 2.2'24.5'' 29,77'.cos(11,4) Luego obtenemos un vaor: Atura = 4,318Km = 4318m Comentarios finaes. Gracias a conocimientos básicos e trigonometría fue posibe resover un probema en principio compicao. Si bien son innumerabes as correcciones que se pueen seguir hacieno a as ecuaciones, os resutaos que se obtienen meiante as aproximaciones hechas son reamente buenas. Paraeamente a trabajo se esarroó un software que faciita toos os cácuos. E mismo está isponibe en: Es una propuesta interesante para mostrar que tan úti puee ser a trigonometría cuano se a utiiza con agún fin concreto. Los conceptos utiizaos no son compicaos y pueen servir como estímuo para estuiantes secunarios y universitarios e os primeros años e carreras afines a a astronomía. Bibiografía: COLIN, A. Roman. Secretos e cosmos. Mari: E. Savat. Bibioteca básica Savat nº

15 ESPASANDIN OTERO, J. Un paseo por e cieo. Bs. As: E. Atántia. Oro e cutura genera FEINSTEIN, Aejanro. Astronomía eementa. Bs. As.:E. Kapeusz S.A ISBN Universia Naciona e Córoba. E-mai: astrojujuy@gmai.com 24