CONVEXIFICACIÓN DE FUNCIONES ESTRICTAMENTE MONÓTONAS. Received, Jul. 12, Accepted, Oct. 27, 2016.

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1 CONVEXIFICACIÓN DE FUNCIONES ESTRICTAMENTE MONÓTONAS CONVEXIFICATION OF STRICTLY MONOTONE FUNCTIONS JENNY ROJAS JERÓNIMO AND JHON ANGULO VITERI Received, Jul 2, 206 Accepted, Oct 27, 206 Resumen En este artículo presentamos la teoría que nos garantiza la convexificación de una función estrictamente monótona Se demuestra un teorema y dos corolarios para la convexificación de funciones estrictamente monótonas dos veces continuamente diferenciables, luego se generaliza estos resultados para la convexificación de funciones estrictamente monótonas no diferenciables Ambos casos son eemplificados Estos resultados se usan en optimización de funciones monotonas no diferenciables Palabras claves Convexificación, monotonicidad funciones no diferenciables Abstract This paper presents the theory that guarantees the convexification of a strictly monotone function We proves a theorem and two corollaries for convexification of strictly monotones functions twice continuously differentiable, then the generalization of these results is presented for convexification of nondifferentiable strictly monotones functions Both cases are exemplars This results are using in optimization nonsmooth Keywords Convexification, monotonicity, nonsmooth functions Introducción En lo referente a problemas de optimización global una clase importante de estos problemas es la que estudia la optimización de funciones monotonas que aparecen en varias aplicaciones como puede verse en [7] y [8] Generalmente las funciones de los problemas de optimización monótona son no convexas por lo tanto diseñar algoritmos que los resuelvan eficientemente resulta todo un reto Una forma de resolver estos problemas consiste en la formulación de un problema equivalente pero convexo y aprovechar asi las propiedades de optimalidad que proporciona la convexidad de las funciones El método de convexificación, mediante ciertas transformaciones, convierte un problema de optimización monótona en un problema de minimización cóncavo [6] el cual puede resolverse eficientemente usando métodos desarrollados para minimización cóncava Los conceptos de funciones convexas de rango transformable y las funciones convexas de dominio transformable, fueron introducidos por [6] y [0] Entre los primeros trabaos sobre convexificación de problemas no convexos a problemas convexos se tiene el trabao de Sun etall [9] En particular la programación geométrica y la programación fraccional son dos clases de problemas de optimización no-convexa, que se pueden convexificar En el presente trabao presentamos resultados que permiten convexificar funciones de optimización estrictamente monotonas dos veces continuamente diferenciables y de funciones estrictamente Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Truillo, Av Juan Pablo II s/n, Ciudad Universitaria, Truillo-Perú roas@unitruedupe) Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Truillo, Av Juan Pablo II s/n, Ciudad Universitaria, Truillo-Perú angulo@unitruedupe) c 206 all rights reserved 7

2 8 J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) monótonas no diferenciables, demostrando un teorema y dos corolarios para cada caso con sus respectivos eemplos Monotonicidad y convexidad Definición Una función f : R n R es creciente decreciente) en D R n con respecto a x i si fx, x 2,, x i, x i, x i+,, x n ) )fx, x 2,, x i, x 2 i, x i+,, x n ) para x i x2 i, donde x i, x2 i D i = {x i : x, x 2,, x i, x i, x i+,, x n ) D} Una función f : R n R es estrictamente creciente estrictamente decreciente) en D R n con respecto a x i si fx, x 2,, x i, x i, x i+,, x n ) < >)fx, x 2,, x i, x 2 i, x i+,, x n ) para x i < x2 i, donde x i, x2 i D i = {x i : x, x 2,, x i, x i, x i+,, x n ) D} Definición 2 Una función f : D R n R es creciente decreciente) si para cualquier x, y D con x i < y i para i =, 2,, n, se cumple fx) )fy) Una función fx) es estrictamente creciente estrictamente decreciente)si para cualquier x, y D con x i < y i para i =, 2,, n y x y se cumple fx) < >)fy) Definición 3 f : D R n R es una función monótona en D R n si y sólo si f es creciente o decreciente Definición 4 Sea C R n, es un conunto convexo si y sólo si para cualquier x, x 2 λ [0, ], se cumple C y λ)x + λx 2 C Es decir, el segmento de recta que une x y x 2 está en C eemplo Probar que C = {x R n : Ax = b, A n n, b n } es un conunto convexo En efecto: Sea y, y 2 C y λ [0, ], entonces y Ay = b Ay 2 = b, ) 2) λ)ay = λ)b λay 2 = λb Sumando,) y,2) λ)ay + λay 2 = λ)b + λb A[ λ)y + λy 2 ] = b Como λ)y + λy 2 C, entonces C es un conunto convexo Definición 5 Sea f : C R, donde C es un conunto convexo no vacío en R n f es una función convexa en C si y sólo si fλx + λ)x 2 ) λfx ) + λ)fx 2 ), x, x 2 C y λ [0, ] La función f es llamada estrictamente convexa si fλx + λ)x 2 ) < λfx ) + λ)fx 2 ), x, x 2 C y λ [0, ] Teorema Sea S un conunto convexo no vacío en R n, y sea f : S R una función dos veces diferenciable en S Entonces f es convexa si y sólo si la matriz hessiana es semidefinida positiva para cada punto en S

3 2 Análisis no diferenciable J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) 9 Definición 6 Sea Y un subconunto de R n Una función f : Y R satisface la condición de Lipschitz si existe una constante k no negativa tal que fx) fy) k x y x, y Y Definición 7 Sea f : R n R una función Lipschitz continua en x R n y d un vector en R n La derivada direccional generalizada de f en x en la dirección d, se define f x; d) = lím sup y x t 0 donde y es un vector en R n y t es un escalar positivo fy + td) fy) t A f x; d) también se conoce como derivada generalizada de Clarke Definición 8 Sea f : R n R una función Lipschitz continua en x R n La subdiferencial o gradiente de Clarke de f en x es el conunto fx) de vectores ξ R n tal que fx) = {ξ R n : f x; d) ξ T d, d R n } Teorema 2 Sea f : R n R una función Lipschitz continua en x R n Entonces f x; d) = máx{ξ T d : ξ fx)} d R n Definición 9 La subdiferencial de una función convexa f : R n R en x R n es el conunto c fx) de vectores ξ R n tal que c fx) = {ξ R n : fy) fx) + ξ T y x), y R n } Cada vector ξ c fx) es llamado subgradiente de f en x Teorema 3 Sea f : R n R una función convexa Entonces la derivada direccional clásica, f x, d), existe en toda dirección d R n y x R n f x, d) = max{ξ T d : ξ c fx)}, d R n c fx) = {ξ R n : f x, d) ξ T d, d R n } Teorema 4 La subdiferencial para funciones Lipschitz continua es una generalización de la subdiferencial para funciones convexas Entonces, si f : R n R es una función convexa, se cumple que f x, d) = f x; d) para todo d R n, y c fx) = fx) Teorema 5 La subdiferencial para funciones Lipschitz continua es una generalización de la derivada clásica Entonces, si f : R n R es una función Lipschitz continua y diferenciable en x R n, se cumple que fx) fx) Además, si f : R n R es continuamente diferenciable en x R n, entonce fx) = { fx)} Definición 0 Una función f es regular en x si la derivada direccional f x ; d) existe para todo d R n y f x ; d) = f x ; d) para todo d R n, donde f x ; d) es la derivada direccional de Clarke Teorema 6 Sea la función g : Y R n R, definida como g = fh), donde h : Y R n y f : R n R Si f es una función regular en x = hy), y Y, y h una función continuamente diferenciable, entonces g es una función regular Definición Suponer que {x k } R n converge a x R n con x k x para cada k La sucesión {x k } es convergente a x en la dirección u si existe {t k } satisfaciendo: t k > 0 y t k 0 para k, tal que { xk x t k } u y

4 20 J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) Se observa que {x k } converge a x en la dirección u si y sólo si { xk x x k x } u u Definición 2 Sea u R n Entonces se define u fx ) como el conunto de vectores v tal que, para cada uno de ellos, existen sucesiones {x k } y {v k } con {x k } que converge a x en la dirección u, {v k } que converge a v y v k pertenece a fx k ) para cada k Luego, u fx ) fx ) Definición 3 Sea v u fx ) La derivada direccional inferior de segundo orden de f en x y v en la dirección u, f x, v, u) se define como lím ínfv k v ) T x k x )/, tomado sobre las sucesiones {x k }, {v k }, {t k } para los cuales i) t k > 0 para cada k y {x k } converge a x ii) { xk x ) t k } converge a u iii) {v k } converge a v con v k fx k ) para cada k Definición 4 Una función f es semisuave en x si la sucesión {v k ) T u} converge siempre que {x k } converge a x en la dirección u y v k fx k ) para cada k Teorema 7 Sea la función g : Y R n R, definida como g = fh), donde h : Y R n y f : R n R Si f es una función semisuave en x = hy), y Y, y h una función continuamente diferenciable, entonces g es una función semisuave Lema Suponer que f es semisuave y regular en un conunto abierto convexo W Suponer también que f x, v, u) 0 para cada tripleta x, v, u) con x W, u R n, y v u fx ) Entonces, f es convexa en W 2 Material y Métodos 2 Obeto de estudio a) Funciones estrictamente monótonas b) Convexificación de funciones estrictamente monótonas dos veces continuamente diferenciables c) Convexificación de funciones estrictamente monótonas no diferenciables 22 Instrumentos de recolección de datos Sea f una función definida en: 2) X = n [l, L ] = [l, L ] [l 2, L 2 ] [l n, L n ] = con 0 l L para cada La función f es llamada función estrictamente monótona si es una función estrictamente monótona para cada x Sea h : y, y 2,, y n ) h y ), h 2 y 2 ),, h n y n )) una función biyectiva y sea la siguiente transformación de variable de la función f, 22) gy) = fhy)), donde el dominio de g es 23) Y = 23 Métodos y técnicas n Y = = n h [l, L ]) =

5 J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) 2 23 Convexificación de funciones estrictamente monótonas dos veces continuamente diferenciables Sea f una función dos veces continuamente diferenciable y S n = {d R n : d = }, se define σ = min{d T 2 fx)d : x X, d S n } { } f η = min : x X, =, 2,, n x Teorema 8 Sea f una función dos veces continuamente diferenciable y estrictamente creciente en X con η > 0 y h, =, 2,, n funciones dos veces continuamente diferenciable y estrictamente monótona que satisfacen la siguiente condición 24) y ) [h y )] 2 σ η, y Y, =, 2,, n, entonces gy) = fhy)) es una función convexa en Y Demostración Debido a que f y h son funciones dos veces continuamente diferenciable, entonces g es una función dos veces continuamente diferenciable, por lo que será suficiente probar que la matriz hessiana de g es semidefinida positiva en Y Para cualquier y Y, sea x = hy), entonces x X, luego: 25) 26) g = h y y ) f, =, 2,, n x yi 2 = i y i ) f + h x iy i )) 2 2 f, i =, 2,, n i x 2 i = h y i y iy i )h y ), i,, i =, 2,, n x i x Luego la matriz hessiana, Hy), de g es Hy) = 2 gy) = y y y) y 2 y y) y 3 y y) y n y y) y y 2 y) y 2 y 2 y) y 3 y 2 y) y n y 2 y) y y 3 y) y 2 y 3 y) y y n y) y 2 y n y) y 3 y n y) y 3 y 3 y) y n y 3 y) y n y n y) Sea h i = h i y i), i = h i y i), f = f x i x), x i = 2 f x 2 i x 2 i x), x i x = 2 f x i x x), i, =, 2,, n

6 22 J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) Reemplazando 25)y 26) en Hy) f x + h ) 2 2 f h x h 2 2 x x 2 h h n 2 f x x n h 2h x 2 x 2 f x 2 + h 2) 2 2 f h x 2h 2 n 2 f 2 x 2 x n h nh x n x h nh 2 x n x 2 n f x n + h n) 2 2 f x 2 n [ ] h h f h )2 x + 2 f h x 2 h x x 2 h 2 h [ ] h 2 = x 2 x h h h 2 f 2 h 2 )2 x f h x 2 2 h 2 2 [ h n 2 f x n x h h n 2 f x n x 2 h 2 h h n f n h n )2 x n h f 0 0 h )2 x + 2 f x 2 0 h x x f x = 2 x h 2 )2 x f x h n x n x 2 Sea x n x h h 2 0 Ay) = 0 0 h n Cx) = = f h )2 x + 2 f x 2 2 f x 2 x h 2 )2 x 2 x n x x 2 x 2 x x n x = 2 fx) + Bx)), x x f x 2 2 x n x 2 x x 2 2 f x x n 2 f x 2 2 x 2 x n + x n x 2 x 2 n x x n x 2 x n n h n )2 f x n f h )2 x x n h n x 2 x n h n x x n x 2 x n n h n )2 f x n + 2 f x 2 n ] + 2 f x 2 n + 2 f x 2 n h n x 0 0 h 0 2 f h 2 )2 x h h h n n h n )2 f x n donde 2 fx) = Bx) = x 2 x 2 x x n x f h )2 x x 2 x 2 2 x n x 2 x x n x 2 x n x 2 n, x 0 0 h 0 2 f h 2 )2 x n h n )2 f x n En consecuencia Hy) = Ay) 2 fx) + Bx))Ay) Ahora para todo d S n d T Hy)d = d T Ay)Cx)Ax)d

7 J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) 23 Es claro que Ay)Cx)Ay) es una matriz semidefinida positiva si y sólo si Cx) es una matriz semidefinida positiva Por la definición de σ y η, se tiene d T 2 fx)d σ d S n, y para cualquier d S n, f x η > 0 x [l, L ], d T Cx)d = d T 2 fx) + Bx))d = d T 2 fx)d + d T Bx)d fx) σ + y ) x [h y )] 2 d2 σ + = η σ η = σ σ d = σ σ = 0, )) n = d 2 es decir, d T Cx)d 0 Luego Cx) es una matriz semidefinida positiva Entonces Hy) = 2 gy) es una matriz semidefinida positiva Por lo tanto g es una función convexa Similarmente, una función estrictamente decreciente se puede convertir a una función convexa a través de trasformaciones de variables satisfaciendo y ) [h y )] 2 σ η, y Y, =, 2,, n Hay funciones especificas que satisfacen la condición 24), en particular, considerar las siguientes dos funciones 27) h y ) = p ln ), p > 0, =, 2,, n y 28) h y ) = y p, p > 0, =, 2,, n Corolario Sea f una función que satisface las condiciones del teorema anterior, con h y ) = p ln ), p > 0, =, 2,, n, y entonces [ existe una ] constante p 0 tal que gy) = fhy)) es una función convexa en Y = cuando p p e pl ), e pl ) Demostración Será suficiente probar que se cumple 24), notar que ) h y ) = p y y ) ) = p y y 2 y = ) p y y ) )

8 24 J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) [ Ya que y < 0 para y y ) = p = p = p e pl ), e pl ) y ) [h y )] 2 = ) y y )) y 2y ) 2 ) y ) + y ) y 2y ) 2 2y y 2 y ) 2 ], se tiene ) 2y p y 2y )2 p y y ) ) )) 2 = p2 2y )y y )) 2 py 2 y ) 2 = p 2y ) > p Para que la condición 24) se cumpla, se debe satisfacer que p p = max { 0, σ η } Por lo tanto g es una función convexa en Y cuando p p De forma similar se enuncia el siguiente corolario usando la función 2 6) Corolario 2 Sea f una función que satisface las condiciones del teorema anterior, con h y ) = y p, p > 0, =, 2,, n entonces existe un p 2 0 tal que gy) = fhy)) es una función convexa en Y = n cuando p p 2 Demostración Será suficiente probar que se cumple 24), notar que Ahora para todo y [ L p h y ) = ) p y p y ) = =, l p ], se tiene p p y ) h y )) 2 = ) p ) y 2) p ) ) p + p y p 2) ) ) p + ) p y p = + p)y p y 2) p ) 2 = [L p, l p ] pues, + p) L L p y l p L y p l

9 J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) 25 entonces, y p L = L Sea L = max n L, luego + p) L σ η + p) σ η L p σ η L } Por lo tanto la condición 24) se cumple cuando p p 2 = max {0, ση L Para ilustrar la convexificación de una función estrictamente monótona se considera el siguiente eemplo eemplo 2 Sea la función fx) = 3 x 2)3 + x, x X = [, 3] Usando los corolarios ) y 2), hallar los valores de p para garantizar la convexificación de f En efecto La función f es no convexa, pues f x) = x 2) 2 + f x) = 2x 2), al evaluar para x =, se tiene que f x) = 2 Entonces fx) es una función no convexa Notar que f x) = x 2) 2 +, x [, 3] f x) = 2x 2) 2, x [, 3] Usando la función definida en 27) y el corolario ), hallar { p = max 0, σ } η { p = max 0, 2 } = 2,

10 26 J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) entonces para cualquier p p = 2 garantiza la convexidad de g Usando la función definida en 28) y el corolario 2), hallar p 2 = max {0, ση } L { p 2 = max 0, 2) } 3 = 5, entonces para cuaquier p p 2 = 5 se garantiza la convexidad de g Por lo tanto en esta sección se probó que se puede convexificar una función dos veces continuamente diferenciable estrictamente creciente, en la siguiente sección se ampliará los resultados de convexificación para funciones no suaves Especificamente se probará que funciones estrictamente monótonas semisuaves y regulares pueden ser convertidas en funciones convexas 232 Convexificación de funciones monótonas no diferenciables Se considera a X y Y definidos como en 2) y 23) respectivamente y g como 22) Sea W un conunto abierto convexo tal que Y W

11 J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) 27 Teorema 9 Asumir que i) f es una función semisuave y regular en un conunto abierto convexo que contiene a X ii) f es una función estrictamente creciente en X y 29) ínf mín i=,,n = {ξ i : ξ = ξ, ξ 2,, ξ n ) T fx), x X} ɛ > 0 20) ρ = ínf{f x, v, w) : x X, w =, v w fx)} > iii) h i C 2 W ), 2) i =, 2,, n son funciones estrictamente monótonas convexas que satisfacen i y i) [h i y i)] 2 σ, y W, i =, 2,, n, ɛ donde σ = ρ Entonces g es una función convexa en cualquier subconunto convexo de Y Demostración ) Asumir que ρ 0 Tenemos por i) que f es una función semisuave y regular en un conunto abierto convexo contenido en X Por la condición ii) ρ = ínf{f x, v, w) : x X, w =, v w fx)}} f x, v, w), entonces f x, v, w) ρ 0, consecuentemente f x, v, w) 0 Ahora por lema ) concluimos que f es una función convexa ) Sin pérdida de generalidad, asumir que σ = ρ > 0, es decir, ρ < 0 Para y Y, sea x = hy), entonces x X Como f es una función semisuave en x = hy) y h es una función continuamente diferenciable, por teorema 7) se tiene que gy) = fhy)) es semisuave en Y También como f es una función regular en x = hy) y h una función continuamente diferenciable, entonces por teorema 6) se tiene que gy) = fhy)) es regular en Y Luego g es una función semisuave y regular, por lo que será suficiente probar que g y, v, d) 0 para cualquier y Y, d R n y v d gy ) En efecto: dado cualquier y Y, d R n, d 0 y v d gy ), suponer que {y k }, {v k } y {t k } son sucesiones tales que t k > 0, k 2 {y k } converge a y 3 { yk y t k } converge a d 4 {v k } converge a v, con v k gy k ), para cada k Sea x = hy ) X y x k = hy k ) para cada k, entonces {x k } x, cuando k, pues h es uno a uno Si h i C 2 W ), existe θ k, θ k 2,, θ k n 0, ) tal que 22) h i y k i ) h i y i ) = h iy i + θ k i y k i y i ))y k i y i ) Consecuentemente 23) x k x = hy k ) hy ) = hη k )y k y ) donde η k = η k, η2 k,, ηn), k ηi k = y i + θk i yk i y i ), i =, 2,, n También, se tiene que por lo que el acobiano de h en η k es h iy ) = 0, i, hη k ) = diagh η k ), h 2η k 2 ),, h nη k n))

12 28 J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) Dividiendo ambos lados de 23) entre t k y tomando límite cuando k, se obtiene 24) x k x lím = lím k t k k hηk ) yk y ) t k = hy )d, sea u = hy )d Entonces por la definición ), {x k } converge a x en la dirección u Por la regla de la cadena de la derivada generalizada del gradiente de Clarke, se cumple que gy) { hy)ξ : ξ fhy))}, y Y Ya que v k gy k ), entonces existe ξ k fx k ) tal que 25) v k = hy k )ξ k Por la condición iii) del teorema, h i es una función estrictamente monótona para cada i, entonces, h i y i) 0 para todo i Luego y por tanto {ξ k } converge, sea ξ k = hy k ) v k, lím k ξk = lím k hyk ) v k = hy ) lím k vk = hy ) v, ξ = lím k ξk, por la cerradura de fx), ξ fx ), además, ξ u fx ) y 26) v = hy )ξ Usando 25) y 26), se tiene por lo tanto, v k v ) T y k y ) = hy k )ξ k hy )ξ ) T y k y ) = hy k )ξ k hy k )ξ + hy k )ξ hy )ξ ) T y k y ) = [ hy k )ξ k hy k )ξ ) T + hy k )ξ hy )ξ ) T ]y k y ) = hy k )ξ k hy k )ξ ) T y k y ) + hy k )ξ hy )ξ ) T y k y ) = ξ k ξ ) T hy k )y k y ) + ξ ) T hy k ) hy ))y k y ), 27) v k v ) T y k y ) = ξ k ξ ) T hy k )y k y ) + ξ ) T hy k ) hy ))y k y ) Como h i C 2 W ), se tiene 28) x i x k i = h i y i ) h i y k i ) = h iy k i )y i y k i ) + 2 h i ζ k i )y i y k i ) 2, 29) h iy k i ) h iy i ) = i δ k i )y k i y i ), donde ζ k i = yk i + αk i y i yk i ), 0 < αk i <,

13 J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) 29 δi k = y i + βk i yk i y i ), 0 < βk i También <, i =, 2,, n 220) hy k ) = diagh y k ), h 2y k 2 ),, h n y k n)), 22) hy ) = diagh y ), h 2y 2),, h n y n)) Por lo tanto, la ecuación 27) puede ser reescrita usando 22), 28), 29), 220) y 22) como así v k v )y k y ) = [ ξ k ξ) ξn k ξn) ] diagh y k ), h 2y2 k ),, h n yn)) k [ y k y) yn k yn) ] + [ ] ξ ξn diagh y k ) h y),, h nyn) k h n yn)) [ y k y) yn k yn) ] = [ξ k ξ )h y k )y k y ) + ξ k 2 ξ 2)h 2y k 2 )y k 2 y 2) + + ξ k n ξ n)h ny k n)y k n y n)] + [ξ h y k ) h y ))y k y ) + + ξ nh ny k n) h ny n))y k n y n)] = [ξ k ξ )h y k ) h y )) ξ k ξ )h y k ) + ξ k ξ )h y ) + ξ k ξ )h y k )y k y )] + + [ξ k n ξ n)h n y k n) h n y n)) ξ k n ξ n)h n y k n) + ξ k n ξ n)h n y n) + ξn k ξn)h nyn)y k n k yn)] [ + ξ h y k ) h y)) y k y ) y k y) ξn h nyn) k h nyn)) ] yn k yn) yn k yn) 2 = ξi k ξi )h i yi k ) h i yi )) + + = + i= ξi k ξi )h i yi ) ξi k ξi )h i yi k ) ξi k ξi )h iyi k )yi yi k ) i= ξi h i yk i ) h i y i )) yi k y i ) yi k yi ) 2 ξi k ξi )x k i x i ) + ξi k ξi )[h i yi ) h i yi k ) h iyi k )yi yi k )] i= i= i= ξ i i δ k i ))y k i y i ) 2 i= ) = ξ k ξ )x k x ) + ξi k ξi ) 2 h i ζi k ) yi yi k ) 2 + i= i= = ξ k ξ )x k x ) + ξi k ξi ) i ζi k )yi yi k ) 2 + ξi 2 i= i= ξ i i δ k i ) xk i x i )2 h i ηk i )2 i δk i ) h i ηk i )2 xk i x i ) 2, 222) v k v )y k y ) = ξ k ξ )x k x ) i= ξ i ξi k ξi ) i ζi k )yi yi k ) 2 i= i δk i ) h i ηk i )2 xk i x i ) 2, donde ηi k y i, ζk i y i, δk i y i, cuando k, i =, 2,, n,

14 30 J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) ahora como yi k a) lím y i )2 k t 2 = d 2 i, k b) lím k ξk i ξi ) = 0, c) lím k h i ζ k i ) = i y i ), combinando a), b) y c) y por teorema 6) 223) lím k ξk i ξi ) i ζi k ) yk i y i )2 t 2 = 0 k Dividiendo por a 222), se tiene 224) v k v )y k y ) = ξk ξ )x k x ) i= ξ i ξi k ξi ) i ζi k ) y i yk i )2 i= i δk i ) x k i x i )2 h, i ηk i )2 aplicando lím inf a 224), cuando k y aplicando el teorema??), se obtiene v k v )y k y ) lím inf k = lím inf k [ξk ξ )x k x ) + i= ξ i i δk i ) x k i x i )2 h ] i ηk i )2 + 2 ξi k ξi ) i ζi k ) y i yk i )2 i= ξ k ξ )x k x ) lím inf k + lím inf k i= ξ i i δk i ) h i ηk i )2 x k i x i )2 ξ k ξ )x k x ) = lím inf k + lím k ξ i i= + lím inf k i δk i ) x k i x i )2 h i ηk i )2 i=, ξi k ξi ) i ζi k ) y i yk i )2 i= lím k ξk i ξi ) i ζi k ) y i yk i )2 por 223), y usando 24) v k v )y k y ) ξ k ξ )x k x ) lím inf k t 2 lím inf k k t 2 + k i= g y, v, d) f x, ξ, u) + ξi i y i ) h i y i )2 u2 i i= ξ i i y i ) h i y i )2 u2 i Por propiedad se cumple que f x, v, λw) = λ 2 f x, v, w) para cualquier λ > 0 y usando 29) y 20),se tiene g y, v, d) f x, ξ, u) + σ ξi u 2 i ɛ i= u 2 f x, ξ, u/ u ) + σ ɛ ɛ u 2 u 2 σ + σ) = 0

15 J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) 3 Entonces g y, v, d) 0 Aplicando el lema ), se concluye que g es una función convexa A continuación se definen dos clases de funciónes que satisfacen la condición 2) Corolario 3 Sea f una función definida en X Suponer que f satisface las condiciones del teorema 9) Definir h y ) = p ln ), p > 0, =, 2,, n, y [ entonces gy) = fhy)) es una función convexa en Y = p 0 tal que p p Demostración Será suficiente probar que se cumple la condición 2) En efecto: ) h y ) = p y y [ se tiene que y < 0 para y = p = p y ) = p y y ) ) y 2 y y ) = p = p, e pl ) e pl ) y ) [h y )] 2 = ) e pl ), e pl ) ) ) y y )) y 2y ) 2 ) y ) + y ) y 2y ) 2 2y y 2 y ) 2 ) ], entonces ) 2y p y 2y )2 p y y ) )) 2 = p2 2y )y y )) 2 py 2 y ) 2 = p 2y ) > p Ahora para que la condición 2) se cumpla, se debe tener que p σ ɛ, pero p > 0 Sea { p = max 0, σ } ɛ, ] si existe una constante Por lo tanto g es convexa cuando p p Corolario 4 Sea f una función definida en X Suponer que f satisface las condiciones del teorema 9) Definir h y ) = y p, p > 0, =, 2,, n

16 32 J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) entonces gy) = fhy)) es una función convexa en Y = n p p 2 Demostración Será suficiente probar que se cumple la condición 2) En efecto: ahora para todo y [ L p h y ) = ) p y p y ) = =, l p ], se tiene p p L p = [L p ) p ) y 2) p ) ) p + y l p y p 2),, l p ] si existe un p 2 0 tal que L y p l, luego Entonces y p L = L y sea L = máx n L y ) h y )) 2 = p ) ) p + ) p y p y 2) p ) 2 = + p)y p + p) L + p) L Ahora para q la condición 2) se cumpla,se debe tener que + p) L σ ɛ, entonces p σ ɛ L pero p > 0 Sea p 2 = max {0, σ } ɛ L Por lo tanto g es convexa cuando p p 2 A continuación se presenta un eemplo eemplo 3 Considerar la función donde fx) = max{f x), f 2 x)} x X = [2, 5], f x) = /4)x 5) 2 + 4, f 2 x) = x 4) x 4 + 2x 2 Aplicando el corolario 3), hallar el valor de p para garantizar la convexidad de gy) = fhh)) Solución Se observa que f es una función no convexa y no diferenciable, además se verifica que f es una función semisuave y regular en x

17 Reescribiendo la función f, se tiene J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) 33 /4)x 5) 2 + 4, x [2, 3, fx) = x 4) 2 + 2x 2, x [3, 4], x 4) 2 + 2x 2, x 4, 5] Ahora hallar la subdiferencial de f Para x [2, 3, se tiene por teorema5), que fx) = /2)x 5), pues f es una función continuamente diferenciable en [2, 3 Para x = 3 y por teorema 4) se tiene que fx) = c fx), entonces f3) = λf 3) + λ)f 23), λ [0, ] = λ) + λ)4) = 4 3λ λ [0, ], por tanto fx) = [, 4] Para x 3, 4], se tiene por teorema5), que fx) = 2x 5), pues f es una función continuamente diferenciable en 3, 4] Para x 4, 5], se tiene por teorema5), que fx) = 2x 3), pues f es una función continuamente diferenciable en 4, 5] Notar que ξ para cualquier ξ fx) Así ɛ = Para u = y v u fx), se tiene f x, v, u) = Faltaría analizar para x = 3 y x = 4 Para x = 4, se tiene que v = 2, donde v u f4), luego f 4, 2, ) = 2, f 4, 2, ) = 2 Para x = 3, u = y v u f3), se tiene donde /2, x [2, 3, 2, x 3, 4, 2, x 4, 5] f 3, v, u) = max{λ f 3) + λ 2 f 2 3) : λ, λ 2 ) S3, v)}, S3, v)) = {λ, λ 2 ) : v = λ f 3) + λ 2 f 23), λ, λ 2 0, λ + λ 2 = }

18 34 J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) Para se tiene f 3) =, f 23) = 4, f 3) = /2, f 2 3) = 2, f 3,, ) = /2, f 3, 4, ) = 2, entonces para v, 4) y u =, f 3, v, u) = /2 Por lo tanto, para cualquier x [2, 5], y v u fx), f x, v, u) 2 = ρ, pero σ = ρ = 2 Luego, por el corolario 3), { p = max 0, σ } { = max 0, 2 } = 2 ɛ Por lo tanto, para cualquier p 2 garantiza la convexidad de gy)=fhy)) Los resultados dados en esta sección proporcionan una base teórica para extender el alcance de los métodos de convexificación para funciones estrictamente monótonas no diferenciables 3 Resultados Los principales resultados del presente trabao están dados en el teorema 8 y los corolarios y 2 para la convexificación de funciones estrictamente monotonas dos veces continuamente diferenciables y el teorema 9 con los corolarios 3 y 4 para la convexificación de funciones estrictamente monotonas no diferenciables Proporcionan una base teórica para extender el alcance de los métodos de convexificación para funciones estrictamente monótonas dos veces continuamente diferenciables y no diferenciables que se presentan en problemas de optimización global

19 J Roas, et al - Selecciones Matemáticas 32) ) 35 Agradecimientos Mi agradecimiento a todos los amigos, docentes y estudiantes del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad Nacional de Truillo por su apoyo moral y académico en el desarrollo del presente trabao Referencias [] Bazaraa, M, Programación Lineal y Fluos y Redes, segunda edición, Noriega Editores, México, 2004 [2] Bazaraa, M, Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, Third edition, Wiley Interscience, New Jersey, 2006 [3] Clarke, F, Optimization and Nonsmooth Analysis, University of Montreal, New York, 983 [4] Chaney, R, Second-Order Directional Derivatives for Nonsmooth Functions, Journal of Mathematical Analysis and Applications 28, 495-5, 987 [5] Dara, A and Dutta, J, Optimality conditions in convex optimization a Finite-Dimensional View, Taylor and Francis Group, London, 202 [6] Hofman, K, A Method for Globally Minimizaing Concave Functions Over Convex Sets, Mathematical Programming 20 98) [7] Li, D, Sun, X and McKinnon, K, An Exact Solution Method for Reliability Optimization Problems in Complex Systems, Annals of Operation Research 33, 29-48, 2005 [8] Sun, X, Luo, H and Li, D, Convexification of Nonsmooth Monotone Functions, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol32, No 2, 2007 [9] Sun, X, Mckinnon, H and Li, D, A Convexification method for a class of global optimization problems with applications to reliability optimization, Journal of Global Optimization 2: 85-99,200 [0] Wu, Z, Zhang, L, Bai, F AND Yang, X, Convexification and Concavification Methods for some Global Optimization Problems, Journal of Systems Science and Complexity, Vol 7, No 3, 2004