Trabajo en el aula para contribuir a la reconstrucción de la estructura multiplicativa para estudiantes de grado quinto

Transcripción

1 Trabajo en el aula para conribuir a la reconsrucción de la esrucura muliplicaiva para esudianes de grado quino Karina Olare Molano Nina.olare@homail.com Universidad Disrial Francisco José de Caldas Resumen El presene rabajo es una replica de la monografía de grado Trabajo de aula para conribuir a la reconsrucción de la esrucura muliplicaiva en esudianes de grado quino, cuyo objeivo es ampliar, y validar la esis mencionada, y dado que el rabajo de aula que se propone allí no conempla acividades y análisis de siuaciones de la caegoría produco de medidas, se realizará el diseño y piloaje de esas, para luego ser aplicadas. Se busca evidenciar si el anerior rabajo de aula produce resulados ransferibles a nuevos aprendizajes en los esudianes, omando como base el modelo didácico de resolución de problemas para la ransformación de conocimienos en orno a esrucura muliplicaiva. Ese conjuno de siuaciones deben concebir en el esudiane la moivación, permiiendo que ése realice inferencias, desarrolle nuevos esquemas y esrucuras menales y se evidencie la uilización de esraegias de resolución de problemas así como las dificulades que subyacen a esas. La ejecución de dicho planeamieno se lleva a cabo en deerminadas fases en las cuales se iene en cuena la acividad diagnósico realizada en la esis, ésa se implemena juno con las acividades de produco de medidas ya piloeadas y consecuencia de ésas se elabora el análisis de los resulados que muesran las esraegias empleadas y las dificulades generadas; poserior a ello se implemena el rabajo de aula propueso cuya écnica de invesigación es de ipo cualiaivo, con observación direca y haciendo uso de enrevisas, proocolos y noas de clase que conlleven al conrase con los resulados dados en la esis y los generados a parir del rabajo realizado. Inroducción El presene rabajo es una replica de la monografía de grado Trabajo de aula para conribuir a la reconsrucción de la esrucura muliplicaiva en esudianes de grado quino 2. La acividad diagnósica y la propuesa de rabajo de aula se aplicará a los esudianes de grado quino del colegio Reino de Holanda. Para la implemenación se seleccionará una muesra con las variables del primer esudio; además dado que el rabajo de aula propueso no conempla acividades y análisis de siuaciones de la caegoría produco de medidas, se ampliará ese rabajo con esas acividades, que serán piloeadas y validadas con la aplicación definiiva; luego se realizará un conrase de los resulados obenidos en el rabajo de aula y los que se evidenciaron en el diagnósico. Manrique, J y Rada, I (23). Trabajo de aula para conribuir a la reconsrucción de la esrucura muliplicaiva en esudianes de grado quino; Monografía de grado. La cual se llevó a cabo en el colegio Ineramericano. 2 Manrique, J y Rada, I (23). Trabajo de aula para conribuir a la reconsrucción de la esrucura muliplicaiva en esudianes de grado quino; Monografía de grado. La cual se llevó a cabo en el colegio Ineramericano.

2 Se realizará análisis de las dificulades que se presenan cuando se resuelven siuaciones muliplicaivas en disinos universos numéricos (en ese caso, los naurales y los racionales) y la forma como los esudianes desarrollan esquemas adecuados a dichas siuaciones.. Descripción del problema Como sosiene Obando (25) la enseñanza de la muliplicación se realiza en los primeros años de la educación básica, bajo un esquema que relaciona la operación muliplicación con la suma: sumas de sumandos iguales se abrevian por medio de la muliplicación. En ese senido, 4x5 es inerpreado como 4 veces 5 ó De esa manera la muliplicación es visa como una relación ernaria. (4x5=2), resulado de ejecuar una operación binaria, es a parir de allí que es esudiado el algorimo clásico de la muliplicación, y la solución de problemas que involucran muliplicaciones. Por lo anerior, vemos que se esá dejando de lado la relación que iene la muliplicación con oros concepos como el de División, Fracción, Razón, Proporción, y que conforman lo que Vergnaud (998) ha denominado el campo concepual muliplicaivo (CCM), es en ese senido que dicho concepo requiere para su adquisición de un largo periodo de iempo y por ende la comprensión de los concepos que subyacen alrededor de ése. De acuerdo a la invesigación realizada por (Bonilla, y Romero, 26. p. 4) la mirada que se ha dado a la muliplicación y la división en los currículos que se encuenran desde los años 962 hasa los presenes lineamienos curriculares, apuna a que en ellos se promueve una sola concepualización de la muliplicación, como suma repeida, inclusive la maemáica moderna la define como operación binaria; de al manera que el único significado explício presene es el de la muliplicación como suma reierada. Además, no siendo suficiene ese rompimieno concepual de la muliplicación en los currículos aneriores a los lineamienos, se presena en la misma invesigación un esudio realizado a los exos escolares los cuales son uilizados en gran pare por los docenes como exos guía. Ese esudio muesra que la definición de muliplicación más usada es la muliplicación como suma de sumandos iguales, en cuyo caso se encuenra el muliplicando (sumando que se repie), muliplicador (veces que se repie el muliplicando) y produco (resulado de la operación), (Maza, 99, p. 4); cabe decir que los problemas del ipo isomorfismo y produco de medidas son menos frecuenes enconrarlos en esos exos. En ese senido se planea en los lineamienos curriculares (MEN, 998) una visión más compleja e inegrada de la muliplicación, se propone que el rabajo con los esudianes sea mediane el manejo de disinas siuaciones problema como las que modelan facor muliplicaivo, adición repeida, razón y produco caresiano. Así mismo es imporane que el raamieno que se le de a la muliplicación sea por medio de diversas siuaciones problema que permian evidenciar el surgimieno y modelación de los concepos asociados a ésa y la relación con cada uno de ellos. En ese caso el esudiane consruye esquemas muliplicaivos que le permien enender que no en odas las siuaciones presenadas por el docene puede dar un raamieno igual, y que no siempre puede dar solución por medio de una suma reierada o la simple aplicación del algorimo que impide la necesidad de ver las magniudes puesas en juego en la siuación. ( ) A menudo se usan modelos para ayudar a los esudianes a comprender la acción de la operación. Por ejemplo, modelar la muliplicación como una adición repeida suminisra una forma concrea de ayudar a los alumnos a pensar en la muliplicación así como ambién en cómo resolverla.

3 Es imporane explorar varios modelos para la muliplicación para que los esudianes vean ano el poder de un modelo como sus limiaciones. Por ejemplo, pensar la muliplicación como adición repeida puede conducir a generalizaciones incorrecas ( la muliplicación siempre hace las cosas más grandes ) (MEN, 998, p. 52) Tradicionalmene el rabajo con la operaciones en la escuela se ha limiado a que los niños adquieran desrezas en las ruinas de calculo con lápiz y papel a ravés de los algorimos formales, anes de saber aplicarlas en siuaciones y problemas prácicos, muchas veces sin comprender ni los concepos que los fundamenan ni el significado de las operaciones (MEN, 998, p. 53) De esa manera al abordar siuaciones problema que involucren el isomorfismo de medidas y produco de medidas surge la necesidad de esablecer mecanismos de resolución de problemas de esrucura muliplicaiva, que permian evidenciar manifesaciones de los esudianes en orno a dificulades al enfrenarse a problemas de esa esrucura. Por odo lo dicho aneriormene, para que el esudiane adquiera una comprensión de la muliplicación más allá de odo lo expueso y concerniene a la esrucura muliplicaiva (de la clase isomorfismo y produco de medidas) se hace necesario que por medio de las siuaciones que son planeadas por el profesor, el esudiane descubra nuevas formas de proceder e incorpore nuevos esquemas que incluyan los presenes; además que la secuencia permiiera visualizar que cieros procedimienos no son acordes y perinenes para llevar a cabo con odas las siuaciones que perenezcan a la misma esrucura muliplicaiva. En ese caso la necesidad que se planea es la búsqueda de siuaciones de la clase produco de medidas que sean mas perinenes para desarrollar en los esudianes la idenificación de las diferenes magniudes en juego y las formas en las cuales se puede represenar para dar solución a esas si dejar de lado la forma algorímica que si bien es fundamenal no enfaiza en la comprensión de los esudianes en los procesos que subyacen a la aplicación del algorimo. 2. Objeivos 2. General Replicar, ampliar y validar la esis de grado Trabajo de aula para conribuir a la reconsrucción de la esrucura muliplicaiva de los esudianes de grado quino de manera que permia mosrar que los insrumenos diseñados, la ampliación y adecuación de la propuesa de rabajo en el aula con relación a las caegorías isomorfismo y produco de medidas por medio de la resolución de problemas produce resulados ransferibles y nuevos aprendizajes en los esudianes de grado 5 de la IED 2.2 Especificos 2.2. Ampliar el marco eórico para diseñar las caegorías con las cuales se ampliará el rabajo en el aula propueso Diseñar y piloear una acividad que involucre la caegoría de produco de medidas que conribuya a ampliar y foralecer el rabajo en el aula propueso Ampliar el sisema de caegorías exisene que permia analizar y clasificar las esraegias que los esudianes de grado quino emplean en la resolución de problemas de la caegoría produco de medidas Analizar y clasificar las esraegias que uilizan los esudianes de grado 5 en la resolución de problemas de las caegorías isomorfismo y produco de medidas.

4 2.2.5 Ampliar la propuesa de rabajo en el aula evidenciando las relaciones enconradas en las conclusiones de la esis y las nuevas a parir de la implemenación de ése. 3. Marco eórico El rabajo gira principalmene en orno a la resolución de problemas como herramiena misma de la adquisición de conocimienos y a la esrucura muliplicaiva como campo concepual en el que los problemas se implemenan como siuaciones 3 y referenes 4 en dicha adquisición. Concreamene el rabajo va dirigido a realizar una propuesa de aula que conribuya al desarrollo de la esrucura muliplicaiva de esudianes de quino de primaria, por lo ano, es necesario que para ello sea explicio, la perspeciva episemológica, pedagógica y meodológica que enemos frene al ema en el que se va a desarrollar la propuesa. 3. Consrucción del conocimieno 3.. DESDE PIAGET La eoría episemológica elaborada por Piage (987) sobre la consrucción del conocimieno consise en afirmar que la acción es generaiva de odo conocimieno. El sujeo no conoce más propiedades de las cosas, que aquellas que sus acciones le permien conocer. Esa eoría ha sido denominada episemológica genéica porque esudió el origen y desarrollo de las capacidades cogniivas desde su base orgánica, biológica, genéica, enconrando que cada individuo se desarrolla a su propio rimo. Ora cosa muy imporane en el aprendizaje es la moivación que haya frene a las siuaciones desequilibradoas. La moivación del esudiane se deriva de la exisencia de un desequilibrio concepual y de la necesidad del esudiane de resablecer su equilibrio. La enseñanza debe ser planeada para permiir que el esudiane manipule los objeos de su ambiene, ransformándolos, enconrándoles senido, inroduciéndoles variaciones en sus diversos aspecos, hasa esar en condiciones de hacer inferencias lógicas y desarrollar nuevos esquemas y nuevas esrucuras menales DESDE VERGNAUD Para Vergnaud las maemáicas se redescubren, se reinvenan en la mene de los esudianes, siendo ese proceso, similar a la consrucción de las maemáicas por los maemáicos en el ranscurso de la hisoria. Por lo ano se le da gran rascendencia a la relación del conocimieno con los problemas que hay que resolver y las siuaciones que han de ser raadas. Vergnaud afirma que, la solución episemológica consise en que la consrucción del conocimieno radica en la consrucción progresiva de represenaciones menales, implícias o explicias. La represenación es a la vez, por una pare, aciva, pragmáica, y operacional, y por ora, discursiva, eórica y simbólica. La objeividad es raramene complea, pero en ciero senido siempre hay algo de objeividad en cualquier represenación. Muy a menudo no es la misma represenación la que gobierna la acción y el discurso. Algunas consecuencias educacionales Los concepos maemáicos deben ser consruidos por los esudianes como herramienas funcionales que les capaciará para manejar variados ipos de siuaciones. Los esudianes deben recorrer las mismas dificulades concepuales y ienen que llegar a los mismos obsáculos episemológicos que han enconrado los maemáicos. 3 Siuaciones como componene esencial del campo concepual, desde la perspeciva de Vergnaud. 4 Referenes como pare consiuiva del concepo así como lo define Vergnaud.

5 Los docenes deben abandonar su visión personal de las maemáicas e inenar abarcar un mayor abanico de posibilidades acerca del significado que las maemáicas pueden ener para el esudiane. Es imporane que los esudianes ambién experimenen imporanes cambios en sus propias ideas a ravés de la resolución de problemas, la discusión de diferenes conjeuras y procedimienos haciéndose más concienes de sus propias concepciones y dificulades. 3.2 Teoria de los campos concepuales Para empezar se considera campo concepual como un conjuno de siuaciones. En el caso paricular de las esrucuras muliplicaivas, el conjuno de siuaciones que demandan una muliplicación, una división o una combinación de esas operaciones. El concepo de siuación no iene aquí el senido de siuación didácica sino más bien el de area, siendo la idea de que oda siuación compleja puede ser analizada como una combinación de areas en la que es imporane conocer su propia nauraleza y su dificulad. Para ejemplificar un poco mejor la idea de campo concepual Vergnaud considera el campo concepual de las esrucuras muliplicaivas. El campo concepual de las esrucuras muliplicaivas es a la vez el conjuno de las siuaciones cuyo raamieno implica una o varias muliplicaciones o divisiones y el conjuno de los concepos y eoremas que permien analizar esas siuaciones: proporción simple y proporción múliple, función lineal n-lineal, relación escalar direca e inversa, cociene y produco de dimensiones, fracción, razón, múliplo y divisor, ec DOS GRANDES CATEGORIAS MULTIPLICATIVAS El análisis que hace Vergnaud de los problemas que conllevan operaciones de muliplicación y división, muesra que los problemas simples de ese ipo se siúan casi siempre en el marco de dos grandes caegorías: caegoría de produco de medidas y caegoría de isomorfismo de medidas. 3.3 Isomorfismo de medidas El isomorfismo de medidas lo podemos ver como una relación cuaernaria enre cuaro canidades; en donde dos de ellas son medidas de un ciero ipo y el reso son medidas de oro ipo. Por ejemplo:. Tengo 5 paquees de caramelos, en cada paquee hay 8 caramelos. Cuános caramelos engo? Ese problema lo podemos represenar como un diagrama de correspondencia en el cual se puede ver, cuáles son las cuaro canidades a las que nos referimos. La represena la canidad buscada: M M 2 Número de paquees de caramelos Número de caramelos por paquee 8 5 X Tabla. El esquema uilizado es la abla de correspondencia enre dos canidades. Dependiendo de lo que se busque, la cambiará de posición en la abla de correspondencia, y de igual manera la dificulad al resolver el problema ambién variará 5. 5 VERGNAUD, Gerard. El niño, las maemáicas y la realidad. México: Trillas pagina 2

6 El anerior esquema muesra la relación que exise enre las cuaro canidades que subyacen de algo más general, que es la función que va desde el conjuno de medidas: paquees de caramelos, a oro conjuno de medidas: caramelos. M M 2 Número de paquees de caramelos Número de caramelos por paquee X= Tabla 2. Esa función es un isomorfismo enre conjunos de medida. Al respeco, un isomorfismo es una función que es biyeciva y es una función lineal: una función es biyeciva cuando es inyeciva y sobreyeciva. Función inyeciva: sea f : M N una función. Enonces es inyeciva si y solo si f ( x) = f ( y) enonces x = y Donde x, y M Función sobreyeciva: sea f : M N una función. Enonces se dice que f es sobreyeciva. Si para odo n N exise al menos una m M al que f ( m) = n Función lineal: una función lineal f de M en N es una función que asigna a cada elemeno m M un elemeno único 3.4 Aprender por medio de la resolución de problemas ( m) N. f ( + m) = f ( l) + f ( m) y 2. f ( r m ) = r f ( m) f y que saisface, para cada l y m en M cada escalar r, Las maemáicas en oda su hisoria se han consruido como respuesa, y soluciones posibles, a múliples problemas que se le han presenado al hombre, es decir que, la acción de resolución de problemas ha esado en el cenro mismo de la elaboración de la ciencia maemáica. Podría decirse que, hacer maemáicas es resolver problemas. En ese senido, en el de hacer maemáicas, pero ahora en el aula, se puede aprovechar la acividad de resolver problema. Eso no solo porque así se ha consruido la maemáica en la hisoria, sino porque rae muchos beneficios, cuando se aa de enseñar con senido para el esudiane, es decir, que lo que se ha enseñado pueda luego aplicarse por el esudiane en la resolución de nuevos problemas.

7 4. Meodología de invesigación Diseño de la invesigación Fase Exploraoria: En esa fase se endrán en cuena las dos pruebas diagnósico que se rabajaron aneriormene las cuales consan de siuaciones, en la primera no se pide que los esudianes realicen represenaciones y en la segunda si se les pide que realicen represenaciones acerca de las soluciones que dan a cada una de ellas. Fase comprensiva: Esudio de los referenes eóricos enconrados con relación a la muliplicación de la clase isomorfismo y produco de medidas, campos concepuales, esraegias de resolución ec. Selección de la información más perinene en cuano al objeo de esudio. Revisión de los insrumeno de rabajo, en ese caso pruebas diagnósico, planeación y formulación de la siuación de produco de medidas. Fase inerpreaiva: Realizar el piloaje de las acividades de produco de medidas que se proponen para la ampliación del rabajo de aula para caracerizar las dificulades que presenan los esudianes en la resolución de esas, ampliación de las esraegias de análisis de los resulados, clasificación de las esraegias; eso en base a las represenaciones que uilicen los esudianes, realizar el correspondiene análisis de los resulados obenidos. Fase Proposiiva: Con base a la adecuación de las acividades propuesas y aplicadas se realiza la adecuación del rabajo de aula propueso con las nuevas acividades ya piloeadas, realización de la prueba final para esablecer los resulados el anes y el después ; realizar el conrase de las conclusiones obenidas en la anerior esis. Es así como el rabajo a realizar consa de las fases aneriormene descrias, se rabaja para el diagnosico con base a las 2 acividades diagnosicas que ya se ienen, en base a la realización y el piloaje de la acividad de produco de medidas se amplia el rabajo de aula y se aplica en el grado que se enga, para luego realizar el conrase de las conclusiones. 5. Pruebas realizadas Tabla de la primera prueba diagnosico de esrucura muliplicaiva Problema. Tengo 7 cajas de cuadernos. Hay 5 cuadernos por caja. Cuános cuadernos engo? Caegoría - subcaegoría Subcaegoría de muliplicación 2. Se quiere comprar un cable para parabólica que cuesa 32,4 pesos el mero. Para conecar del pose al elevisor se necesian 8,5 meros de cable. Cuáno dinero se debe pagar Subcaegoría de muliplicación

8 3. Pague 27 pesos por 6 video juegos. Cuál es el precio de un video juego 4. Felipe iene 595 pesos y quiere comprar algunos paquees de galleas que cuesan 85 pesos cada paquee. Cuános paquees puede comprar? 5. Una carrera de auos cubre un rayeco de kilómeros. Un auo consume 6,785 liros de combusible cada kilómeros. Cuáno consumirá dicho auo durane la carrera? 6. se compro 63 cajas de gelaina. Cada paquee de 7 cajas de gelainas cuesa 9,5 pesos. Cuáno se pagó? 7. 3 bolsas de arroz pesan 65 gramos. Para hacer un arroz con pollo en un resaurane se necesian 6 bolsas de arroz. Cuáno pesan las 6 bolsas de arroz? 8. 7 muchachos y 6 muchachas quieren bailar. Cada muchacho quiere bailar con cada muchacha y cada muchacha con cada muchacho. Cuánas parejas posibles hay? 9. Tengo 5 camisas y 2 panalones. Cuánas pinas diferenes pueden salir? Subcaegoría de división, primer ipo Subcaegoría de división, segundo primer ipo La cuara proporcional La cuara proporcional La cuara proporcional Produco de medidas, muliplicación Produco de medidas, muliplicación Tabla de la segunda prueba diagnosico de esrucura muliplicaiva Problema. Haga una represenación que le ayude a resolver el problema. Tengo 3 paquees de yogur. Hay 4 yogures en cada paquee. Cuános yogures engo? 2. Haga una represenación que le ayude a resolver el problema. Mi mamá quiere comprar una ela que cuesa 24.8 francos el mero para hacerse un raje de sasre. Necesia 3.5 meros de ela. Cuáno deberá pagar? 3. Haga una represenación que le ayude a resolver el problema. Pague 2 francos por 3 boellas de vino Cuál es el precio de una boella? 4. Haga una represenación que le ayude a resolver el problema. Pedro iene 2 francos y quiere comprar algunos paquees de caramelos que cuesan 4 francos cada paquee. Cuános paquees puede comprar? Caegoría - subcaegoría Subcaegoría de muliplicación Subcaegoría de muliplicación Subcaegoría de división, primer ipo Subcaegoría de división, segundo primer ipo

9 5. Haga una represenación que le ayude a resolver el problema. Una carrera de auos cubre un rayeco de kilómeros. Un auo consume liros de combusible cada kilómeros. Cuána canidad de combusible consumirá dicho auo durane la carrera? 6. Haga una represenación que le ayude a resolver el problema. Compro 2 boellas de vino. Cada paquee de res cuesa 9.5 francos. Cuáno debo pagar? 7. Haga una represenación que le ayude a resolver el problema.3 madejas de lana pesan 2 gramos. Se necesian 8 madejas para hacer un jersey. Cuáno pesa el jersey? 8. Haga una represenación que le ayude a resolver el problema. 3 muchachos y 4 muchachas quieren bailar. Cada muchacho quiere bailar con una muchacha y cada muchacha con cada muchacho. Cuánas parejas posibles hay? 9. Haga una represenación que le ayude ambién a resolver el problema. Se quiere fabricar banderines con ela de dos colores diferenes (rojo y azul). Los banderines han de ener res franjas. Cuános banderines diferenes se pueden fabricar? La cuara proporcional La cuara proporcional La cuara proporcional Produco de medidas, muliplicación Produco de medidas, muliplicación Tabla de la ercera prueba de esrucura muliplicaiva después del rabajo de aula propueso Problema. Tengo 3 paquees de yogur. Hay 4 yogures en cada paquee. Cuános yogures engo? 2. Mi mamá quiere comprar una ela que cuesa 24.8 francos el mero para hacerse un raje de sasre. Necesia 3.5 meros de ela. Cuáno deberá pagar? 3. Pague 2 francos por 3 boellas de vino Cuál es el precio de una boella? 4. Pedro iene 2 francos y quiere comprar algunos paquees de caramelos que cuesan 4 francos cada paquee. Cuános paquees puede comprar? 5. Una carrera de auos cubre un rayeco de kilómeros. Un auo consume liros de combusible cada kilómeros. Cuána canidad de combusible consumirá dicho auo durane la carrera? Caegoría - Subcaegorìa Subcaegorìa de muliplicación Subcaegorìa de muliplicación Subcaegorìa de división, primer ipo Subcaegorìa de división, segundo primer ipo La cuara proporcional

10 6. Compro 2 boellas de vino. Cada paquee de res cuesa 9.5 francos. Cuáno debo pagar? 7. Tres madejas de lana pesan 2 gramos. Se necesian 8 madejas para hacer un jersey. Cuáno pesa el jersey? 8. 3muchachos y cuaro muchachas quieren bailar. Cada muchacho quiere bailar con cada muchacha y cada muchacha con cada muchacho. Cuánas parejas posibles hay? 9. Haga una represenación que le ayude ambién a resolver el problema. Se quiere fabricar banderines con ela de dos colores diferenes (rojo y azul). Los banderines han de ener res franjas. Cuános banderines diferenes se pueden fabricar? La cuara proporcional La cuara proporcional Produco de medidas, muliplicación Produco de medidas, muliplicación 6. Resulados obenidos De acuerdo a las pruebas implemenadas y a las esraegias empleadas por los esudianes del esudio se ienen los siguienes resulados en los cuales se realiza la descripción de las esraegias uilizadas de acuerdo a las caegorías que se esablecen. Cabe decir que la segunda prueba arrojó resulados similares que la primera, por esa razón no se hace evidene el análisis.

11 Tabla de las represenaciones que los niños del esudio uilizaron para resolver los problemas de la primera prueba de esrucura muliplicaiva (población: 25 esudianes) PROBLEMA NH NR Tengo 7 cajas de cuadernos. Hay 5 cuadernos por caja. Cuános cuadernos engo? TIPOS DE RERESENTACIÓN y 5 2 y 5 3 y 5 4 y 5 E s u d a n T Se quiere comprar un cable para parabólica que cuesa 32,4 pesos el mero. Para conecar del pose al elevisor se necesian 8,5 meros de cable. Cuáno dinero se debe pagar 3 2 E s u d a n T 6 4 Pague 27 pesos por 6 video juegos. Cuál es el precio de un video juego 6 E s u d a n 4 3 Felipe iene 595 pesos y quiere comprar algunos paquees de galleas que cuesan 85 pesos cada paquee. Cuános paquees puede comprar? 4 6 E s u d a n 2 2 i i i i

12 Una carrera de auos cubre un rayeco de kilómeros. Un auo consume 6,785 liros de combusible cada kilómeros. Cuáno consumirá dicho auo durane la carrera? Se compro 63 cajas de gelaina. Cada paquee de 7 cajas de gelainas cuesa 9,5 pesos. Cuáno se pagó? 3 bolsas de arroz pesan 65 gramos. Para hacer un arroz con pollo en un resaurane se necesian 6 bolsas de arroz. Cuáno pesan las 6 bolsas de arroz? 7 muchachos y 6 muchachas quieren bailar. Cada muchacho quiere bailar con cada muchacha y cada muchacha con cada muchacho. Cuánas parejas posibles hay? Tengo 5 camisas y 2 panalones. Cuánas pinas diferenes pueden salir? E s u d a n E s u d a n E s u d a n E s u d a n E s u i i i i

13 NH: No lo hizo: El niño no evidencia nada en la hoja donde resolvió los problemas propuesos. La mayor pare de los niños que así lo hacen, jusifican el aco diciendo que no enienden el problema. NR: No represena: Escribe una respuesa sin ningún procedimieno evidene en su hoja. : Represenación ó Desconexualizada: represena con los daos del problema ora siuación o algo que no lo lleva a resolver el problema propueso. : Represenación ó Real superficial: es una represenación cuya información aunque basada en el conexo del problema no ayuda a la solución del mismo. 2: Represenación 2 ó Real: los niños hacen dibujos en los que represenan la siuación con odos los dealles y cuenan uno a uno los elemenos. Es como si hicieran una reunión. 3: Represenación 3 ó Esquemáica: esquemaizan sus dibujos y empiezan a hacer agregaciones sucesivas; ya no es una simple siuación de reunión de cosas. 4: Represenación 4 ó Adiiva: los niños empiezan a represenar esos problemas con adiciones o susracciones; a medida que consolidan ese nivel, van abreviando los procedimienos para hacer sus cuenas. 5: Represenación 5 ó Muliplicaiva: los niños represenan esos problemas como muliplicaciones o divisiones.

14 Tabla de análisis comparaivo de las res pruebas (2 de diagnosico y una final) Caegoría Subcaegorìa Tipo de números uilizados en cada prueba que llegaron a la solución del problema que llegaron a la solución del problema empleando el algorimo muliplicaivo que no llegaron a la solución del problema Isomorfismo Prueba de medidas. Subcaegorìa Prueba 2 de muliplicación (problema ) Prueba 3 23, (92%) 23, (92%) 2, (8%) 25, (92.6%) 2, (44.4%) 2, (7.4%), (%), (%) Isomorfismo de medidas. Subcaegorìa de muliplicación (problema 2) Prueba Decimales 8, (32%) 8, (32%) Prueba 2 Decimales, (3.7%), (3.7%) Prueba 3 Decimales 8, (72.7%) 8, (72.7%) 7, (28%) Tuvieron algún problema con la coma., (4%) no llegaron, (37%) Tuvieron algún problema con la coma o la pare operacional. 6, (59.3%) no llegaron, (9.9%) mosro una represenación desconexualizada., (9.9%) uvo errores de calculo pero analizo bien el problema;, (9.9%) hizo incomplea la abla pero iba bien Isomorfismo de medidas. Subcaegorìa de división, primer ipo (problema 3) Isomorfismo de medidas. Prueba Prueba 2 Prueba 3 Prueba grandes grandes 8, (72%) 7, (68%) 7, (28%) 8, (66.7%) 8, (29.6%) 9, (33.3%), (9.9%), (9.9%), (9.9%), (4%) 9, (36%) 5, (6%)

15 Subcaegorìa de división, segundo primer ipo (problema 4) Isomorfismo de medidas. La cuara proporcional (problema 5) Isomorfismo de medidas. La cuara proporcional (problema 6) Isomorfismo de medidas. La cuara proporcional (problema 7) Prueba 2 Prueba 3 Prueba Prueba 2 Prueba 3 Prueba Prueba 2 Prueba 3 Prueba Prueba 2 Prueba 3 grandes y decimales grandes y decimales grandes y decimales y decimales y decimales y decimales grandes 9, (7.4%) 8, (29.6%) 8, (29.6%), (9.9%), (9.9%), (9.9%) 25, (%), (3.7%), (3.7%) 26, (96.3%) 3, (27.3%) 3, (27.3%) 2, (8.2%) hicieron bien el procedimieno pero uvieron errores de calculo;, (9.9%) empezó a hacer la abla pero no la ermino; 5, (45.5%) no evidenciaron nada en sus hojas 25, (%) 3, (.%) 4, (4.8%) uvieron algún problema con la coma o la pare operacional 6, (54.5%) 6, (54.5%) 2, (7.4%) 2, (74.%) 3, (27.3%) hicieron bien el procedimieno pero uvieron errores de calculo; 2, (8.2%) uvieron una represenación desconexualizada 2, (8%), (4%) 23, (92%) 2, (7.4%) 2, (7.4%) 5, (45.5%) 5, (45.5%) 25, (92.6%) 4, (36.4%) hicieron bien el procedimieno

16 pero uvieron errores de calculo, 2, (8.2%) presenaron una represenación desconexualizada Produco de medidas, muliplicación (problema 8) Prueba Prueba 2 Prueba 3 8, (32%) 7, (28%) 7, (68%) 4, (4.8%) 2, (7.4%) 23, (85.2%), (9.9%), (9.9%), (9.9%) Prueba, (4%) 7, (28%) 5, (6%) Produco de medidas, muliplicación (problema 9) Prueba 2 2, (7.4%) Ninguno 7, (25.9%) dieron como respuesa 6 banderines omiiendo los banderines con las res franjas del mismo color. 8, (66.6%) no llegaron. Prueba 3 3, (27.3%) 3, (27.3%) 5, (45.5%) presenaron una represenación desconexualizada. 3, (27.3%) no evidenciaron nada en sus hojas. En érminos generales Se observa en las dos primeras pruebas que los esudianes no emplean la represenación grafica como herramiena para llegar a la solución de los problemas, sino que uilizan direcamene las operaciones que ellos consideran son las convenienes. Se observa que en muchos de los casos comeieron errores como represenación no adecuada (desconexualizada: al operar arbirariamene los daos numéricos que ienen los problemas), errores de calculo y el no colocar la coma en el lugar que se debería en el resulado de las muliplicación con decimales. Se debe decir al respeco, que los problemas cuyos daos o solución eran números decimales, presenaban gran dificulad pues los niños aunque aplicaban el algorimo de la muliplicación o de la división de manera, casi siempre adecuada, a la hora de colocar la coma en el lugar que deberían, no lo hacían.

17 También es bueno decir que, las dificulades mas frecuenes se evidenciaban especialmene en los problemas de isomorfismo de medidas que involucra la cuara proporcional o la regla de res no rivial (problema 5, 6 y 7), principalmene, porque se veía que no sabían como uilizar los daos que daba el enunciado, por lo ano realizaban las operaciones enre números cualquiera del problema, o en ulimas no lo hacían. Además, la dificulad de represenar gráficamene dichos problemas (5, 6 y 7), hacía que el problema no uviera senido inmediao para los esudianes y que al final de cuenas, no pudieran agrupar, conar o inferir con base en gráficos la operación perinene, cosa que si se podía hacer y se veía frecuenemene en los problemas donde se enia la unidad, como era en los 4 primeros. De la misma manera que se observa aneriormene, esas mismas dificulades las he venido observando en las seis prácicas que he llevado a cabo, en esos casos los esudianes cuenan con escasos recursos al momeno de dar solución a los problemas que se les presenad, es decir, no cuenan con los recursos suficienes en cueno a esraegias de resolución de las cuales puedan hacer uso; han engendrado esquemas que se han converido con el paso del iempo en los únicos con los cuales pueden accionar frene a diversas siuaciones presenadas aunque en ocasiones esos esquemas no les ayuden a resolverlos los siguen aplicando aunque no sean úiles y sin la comprensión que merecen. Uno de esos esquemas de los que los esudianes hacen uso y del cual parece no se quieren desprender es el más conocido como suma reierada, eso hace que el esudiane no busque formas de proceder que sean más perinenes, rápidas y eficaces y además ocasiona que se genere esereoipos con los cuales se hace imposible dar solución a las siuaciones, generando la mala uilización de los algorimos ales como la muliplicación, al conrario si la mecanización de esas. Es de esa forma como la idea principal es enfocar al esudiane a la resolución de diversas siuaciones con la ayuda de diversos mecanismos de resolución que posibilien nuevos esquemas y procesos de resolución, así como el conocimieno de nuevas siuaciones que no sean resolubles a simple visa. 7. Bibliografía Maza C. (99) Enseñanza de la muliplicación y división. ED. sínesis. Madrid. MEN (998). Lineamienos Curriculares. Obando G. (25) Proporcionalidad direca: del pensamieno numérico al variacional. Memorias del 7mo encuenro colombiano de maemáica educaiva. ASOCOLME. Universidad Disrial. Rojas P., & Romero J. (26) Esraegias para promover el aprendizaje de la muliplicación como cambio de unidad. Maerial del elaborado para el 22 Coloquio Disrial de Maemáicas y Esadísica. Bogoá: U Nacional Romero J. (2) Pensamieno numérico. Memorias del 3er encuenro colombiano en maemáica educaiva. ASOCOLME. Universidad Disrial. Bonilla M & Romero J (26) Pensamieno muliplicaivo y algebra escolar. Algunas relaciones. Grupo MESCUD. Casro E., Rico L & Casro E. (995) Esrucuras ariméicas elemenales y su modelación. Bogoa: una empresa docene. MEN (23). Esándares Básicos de Maemáicas y Lenguaje. Educación Básica y Media.

18 Charnay R. (998) Aprender (por medio de) la resolución de problemas. En Grand N, revisa de maemáicas, ciencia y ecnología para los maesros de la escuela primaria. No 42. Francia Campos L. (999) La resolución de problemas ariméicos en el aula. Málaga: Aljibe. Vergnaud G. (99) El niño, las maemáicas y la realidad. México. Trillas. Vergnaud G (99) La eoría de los campos concepuales. Universidad René Descares. Coolican. H, (997) Méodos de invesigación y esadísica en psicología. Ed. El manual moderno. S.A. México Manrique, J & Rada, I (23) Trabajo de aula para conribuir a la reconsrucción de la esrucura muliplicaiva en esudianes de grado quino; monografía de grado. Universidad Disrial Francisco José de Caldas. Chamorro, M (23) Didacica de las maemaicas. Madrid España.