Analisis de Algunas Tareas Entorno a la Noción de Tasa Media de Variación y Tasa Instantánea de Variación.

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1 Memoria 11 Encuenro Colombiano de Maemáica Educaiva 21 Analisis de Algunas Tareas Enorno a la Noción de Tasa Media de Variación y Tasa Insanánea de Variación. Arnaldo De La Barrera, arnaldo@inipamplona.edu.co Universidad De amplona Resumen. En ese rabajo presenamos el análisis de algunas areas propuesas a esudianes de grado 11 en orno a la noción de asa media de variación y asa insanánea de variación. La propuesa se diseño uilizando como meodología de invesigación el apore de la escuela francesa en orno a las siuaciones didácicas de Brousseu y la ingeniería didácica. ara el análisis de las areas se uilizaron las unidades de análisis propuesas por Romero (1998) y Camargo (21); esudio del conenido, esudio de la comprensión y análisis de la ineracción didácica. 1. resenación del problema y jusificación Diversos rabajos presenan propuesas encaminadas a consruir la noción de derivada uilizando la asa media e insanánea de variación, sobresalen los rabajos de: Dolores (1998); Wenzelburger (1993); Alanis y oros, (2); Azcarae (199); Azcarae y oros (1996); la idea cenral de ésas propuesas es recuperar el camino naural hacia la consrucción del concepo de derivada; siuaciones que conexualizadas que involucran asa media de variación y pregunas encaminadas a la noción de asa insanánea de variación. En los rabajos aneriores se repora enre las dificulades para acceder a la comprensión de la variación, el excesivo uso de la variable como incógnia, el privilegio del regisro simbólico en la variación conjuna y la inroducción de la noción de derivada uilizando siuaciones desconexualizadas. Los concepos de asa media de variación y asa insanánea de variación aparecen de forma naural en diversas siuaciones o conexos coidianos, cieníficos y maemáicos; la velocidad que regisra el velocímero de un auo, la velocidad media de un auo en un rayeco, la variación promedio de la presión amosférica en un inervalo de iempo, los cambios en la emperaura de un paciene, ec. En cada una de las siuaciones aneriores la asa media de variación o la asa insanánea de variación suminisran información imporane con relación al conexo en esudio. 312

2 Memoria 11 Encuenro Colombiano de Maemáica Educaiva 21 Lo anerior muesra que resula ineresane y perinene realizar una propuesa encaminada a la reconsrucción del discurso escolar enorno a la asa media e insanánea de variación, uilizando problemas conexualizados con los cuales se pueda dar senido y significado al objeo maemáico en consrucción, eso deberá permiir poseriormene al realizar las desconexualizaciones en el momeno apropiado ransiar con más facilidad hacia conocimienos maemáicos más elaborados como la noción de derivada y sus aplicaciones. 2. Marco concepual ara el desarrollo de la propuesa se consularon básicamene siguienes rabajos: Dolores (1998); Wenzelburger (1993); Alanis y oros, (2); Azcarae (199); Azcarae y oros (1996), en orno a la idea de asa media y asa insanánea de variación. La idea cenral de ésas propuesas es recuperar el camino naural hacia la consrucción del concepo de derivada, uilizando como eje las nociones aneriormene mencionadas, Freudenhal(1983) en orno al concepo de razón, en ese se repora el grado de complejidad que revise la comprensión del concepo de razón heerogénea(comparar dos magniudes de diferene especie: densidad, velocidad), Schwarz (1988) en orno a las canidades adjeivadas (canidades que ienen un referene) para mencionar las canidades que surgen en los procesos de conar, medir, o hacer cálculos con canidades conadas o medidas (4.m, largo de una mesa; 6km/h, rapidez de un vehículo) las primeras reciben el nombre de canidades exensivas, las segundas de canidades inensivas. Schwarz reconoce la dificulad para el que se encuenra en siuación aprendizaje la comprensión de las canidades inensivas y que la enseñanza deba abordar dicha dificulad, Feynmman(1987) alrededor del concepo de velocidad. En lo relacionado con la didácica se reviso el rabajo de Arigue (1995) en orno a la ingeniería didácica. Como meodología de invesigación, la ingeniería didácica se caraceriza en primer lugar por un esquema experimenal basado en las realizaciones didácicas en clase, es decir, sobre la concepción, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza. Se disinguen dos niveles: la micro ingeniería (local) y el de la macro ingeniería (global). Fases de la Meodología de la Ingeniería. La ingeniería se encuenra conformada por cuaro fases a saber: Análisis preliminar, Concepción y análisis a priori de las siuaciones didácicas, Experimenación, Análisis a poseriori y evaluación. Análisis reliminar. Ese comprende los siguienes componenes: El análisis episemológico de los conenidos conemplados en la enseñanza (Episemología). El análisis de la enseñanza radicional y sus efecos (Esado de la enseñanza plano 313

3 Memoria 11 Encuenro Colombiano de Maemáica Educaiva 21 didácico). Análisis de las concepciones de los esudianes, de las dificulades y obsáculos que deerminan su evolución (cogniivo). El análisis del campo de resricciones. Objeivos de la invesigación. La Concepción y el Análisis A riori. Esa fase se encuenra consiuida por el diseño de la ingeniería así como la elección de las variables, se pueden disinguir dos ipos de variables: Las variables macro didácicas o globales Las variables micro didácicas o locales (por ejemplo: deerminación del raamieno del conenido, incorporación de esraegias uso de ecnología, exos, organización de la clase ec.). Experimenación, Análisis A poseriori. Esas fases comprenden la puesa en escena del insrumeno, seguido por la fase final que es el análisis a poseriori que se basa en el conjuno de daos recogidos a lo largo de la experimenación (observaciones, producción de los esudianes, cuesionarios, enrevisas). En la confronación de los dos análisis, el a priori y a poseriori se fundamena en esencia la validación de las hipóesis formuladas en la invesigación. Terminamos esa pare enunciando algunas definiciones exraídas de la revisión bibliográfica, las cuales se uilizaran en la fase de insiucionalización de la ingeniería didácica. Esados: los números se usan para expresar esados. Ejemplo: La emperaura en Bogoá es de 12 ºC aproximadamene a las 1 A.M. En los ejemplos de esados siempre hay un sujeo (Bogoá), una magniud (emperaura) y una unidad de medida (ºC). También esá presene el iempo. La función de esado se noa e, significa el esado en el insane. Variaciones: llamaremos variación a la comparación absolua de dos esados de una misma función de esado e, en dos momenos diferenes, se noa así: e e 2 e 1 Las variaciones necesariamene se refieren a una siuación dinámica; es decir, ranscurre el iempo. 314

4 Memoria 11 Encuenro Colombiano de Maemáica Educaiva 21 Formas de expresar una variación: La variación puede expresarse de dos formas, semánicamene equivalenes, esas son: cambio, diferencia Variación ipo cambio: Expresa aumeno o disminución, puede ser: Cambio simple (se expresa direcamene lo que aumena). Ejemplo: En el ranscurso del día la emperaura aumena en 5º C 5º C. Cambio aumeno: (se dice lo que aumena). En el rascurso del día edro aumena su foruna en dos millones de pesos. C C C C 2 Millones Cambio disminución: (Se dice lo que disminuye). En el rascurso del día la empresa disminuyó su capial en dos millones de pesos. C C C C 2 Millones Tasa de variación. Cuando comparamos el cambio de una función de esado, respeco al cambio en el iempo enemos una asa de variación: Tv e e e (Tasa de media de variación) Velocidad media: (idea inuiiva) Ejemplo: V = 7 Km. /h, significa que si el auo coninúa moviéndose a esa velocidad recorrerá 7 Km. en una hora. Velocidad media: (definición maemáica) V m x x x 315

5 Memoria 11 Encuenro Colombiano de Maemáica Educaiva 21 Si 2 se aproxima lo más que se pueda a 1 obenemos la velocidad en un insane o insanánea. V ins lim x x 3. Meodología oblación en Esudio. La muesra oal del esudio consó de 42 esudianes (niños y niñas) del grado Once de Educación Media; con edades enre 15 y 18 años, la clase se organizó en grupos de 4 esudianes y se enregaron los cuesionarios para el rabajo en clase (acciones, formulaciones y validación), se aplicó inicialmene una prueba de enrada para conocer el esado inicial(análisis a priori),al final se realizó la fase de insiucionalización de los saberes que se movilizaban en cada acividad planeada. Experimenación El problema de la velocidad. La expresión que define la velocidad media de un cuerpo que se mueve en línea reca viene dada por: v desplazamieno iempo empleado x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) a) Teniendo en cuena la información dada, escriba una expresión para la velocidad media enre los punos 1 y 5 del carro que se muesra en el dibujo. b) Si quisiera hacerse una idea de la velocidad del auo en el puno (x 4 ), enre cuáles punos de los que aparecen en el dibujo calcularía esa velocidad? or qué?. Explique con la mayor canidad de dealles posibles (Escriba la expresión) c) Si ahora quisiera obener la velocidad del auo exacamene en el puno (x 4 ), Cómo 316

6 Memoria 11 Encuenro Colombiano de Maemáica Educaiva 21 procedería? (Escriba la expresión) d) Qué información sería necesaria para calcular la velocidad del auo en el insane ( 4 )?. Tasa media de variación (resión amosférica). ropósio. a) Esudiar una asa de variación en la represenación gráfica. b) Comparar asas medias de variación en la represenación gráfica. c) Obener en forma aproximada una asa insanánea de variación. Enunciado. El conocimieno de la presión amosférica media y de sus principales caracerísicas y variaciones, permie predecir: El esado del iempo El movimieno del aire, vienos y ormenas, evaporación, ec. Los cambios en la radiación solar Una disminución en la presión amosférica origina un aumeno en la densidad del aire y por ende una disminución en la capacidad de la amósfera para absorber la radiación solar. Además la disminución de la presión amosférica produce rasornos fisiológicos; enre esos podemos mencionar; el empobrecimieno del oxigeno en la sangre, eso se da cuando la presión flucúa enre 64 y 65 ha, donde ha = 1mb 52 =.75 mmhg. Cuando se hacen predicciones de buen o mal iempo, lo que impora no son an solo las variaciones bruscas de presión (presión en puno). En su lugar lo que ineresa son los cambios en ésa. Una variación en la presión amosférica, pongamos por caso 1mm no iene ninguna consecuencia si se realiza a lo largo de 2 días, pero si que la iene si se realiza en 5 horas. Se considera que: a. Una caída de la presión amosférica que dure más de 3 horas y que sea en medida superior a 1.3mm por hora, anuncia mal iempo (si ya lo hay, lo sigue haciendo). b. Un aumeno de la presión amosférica que dure más de res horas y que sea en medida superior a 1.3mm por hora, anuncia buen iempo (si ya lo hay lo sigue habiendo). c. Una presión esable no implica cambio de iempo. 52 mb recibe el nombre de milibar; 1 mb = 1. dinas/cm 2 (Unidad de presión). 317

7 Memoria 11 Encuenro Colombiano de Maemáica Educaiva 21 Así pues, si la variación de 1mm iene lugar a lo largo de 5 horas, la variación media por hora es de: -1mm / 5h = -2mm/h; es decir, que se puede predecir mal iempo. En cambio si la variación se ha producido en 2 días resula una variación media por hora de: -1mm / 48h = -.2mm / h (indica una presión esable). Lo que hemos calculado recibe el nombre de variación media por hora de la presión: recibe el nombre de asa media de variación de la presión amosférica y nos indica la rapidez con que cambia la presión. (Azcárae, 199). Los gráficos que se muesran a coninuación presenan el comporamieno de la presión Amosférica en Colombia, a lo largo del año para diferenes aliudes. R E S I O N M E D I A 1 9,4 9,3 9,2 9, ,6 FUENTE: ESLAVA, J. Régimen de la presión amosférica I en Colombia. Ediorial Guadalupe. 899,9 h a Line Char of RESION MEDIA 1 m ZONA II X 899, , ,6 Observaions MESES E F M A M J J A S O N D X R E S I O N M E D A h a Line Char of RESION MEDIA 25 m ZONA II 758,6 758,4 758, ,8 757,4 757,2 757 Observaions MESES E F M A M J J A S O N D X X _ regunas. a. Enre qué meses del año se presenan los máximos cambios en la presión amosférica para cada uno de los gráficos? Qué uilidad iene ése dao?. b. Cuál ha sido la variación de presión enre los meses de: (Febrero marzo), (junio sepiembre), (noviembre diciembre). Represena esa variación en un gráfico. c. Cuál es la asa media de variación más pequeña? Enre qué meses ocurre?. Represénala en un gráfico. d. Enre qué meses es más probable que llueva? Argumene su respuesa. e. Es confiable omar asas medias de variación en iempos largos? Argumene su respuesa. f. Qué significado iene? g. Con qué rapidez esá cambiando la presión en el mes de febrero? 318

8 Memoria 11 Encuenro Colombiano de Maemáica Educaiva 21 Si suponemos que a cada iempo (meses, días, horas) le corresponde una presión (), escribe la expresión de la asa media de variación de la función enre dos iempos 1 y 2. Qué sucede con esa expresión cuando 1 iende a 2? Qué mide esa variación?. i. Realiza un gráfico que muesre los cambios de presión a lo largo del año. ii. Recolección de daos. Los insrumenos uilizados para la recolección de los daos fueron cuesionarios, enrevisas, grabaciones. 4. Análisis reguna 1. La mayoría de esudianes cenran su respuesa en el uso de la fórmula V d, eso se percibe en las respuesas de ipo por hora aumena 6 Km. y por minuo 1 Km. Según la caegorización esablecida por Azcarae (1998), esos esudianes se encuenran en un perfil primiivo de la velocidad. Solo sobresalen 2 respuesas que conemplan la posibilidad de una velocidad variable, las respuesas son del esilo (Nicole) Depende del iempo en que permanezca a 6 Km /h. Las respuesas a la preguna b) son confusas, lo cual nos permie inferir que el concepo inuiivo de velocidad insanánea (velocidad en un velocímero) no es manejado por los esudianes, solo un grupo muy reducido percibe la noción al dar respuesas como Al recorrido oal del vehículo en Km. en ese insane. Las respuesas revelan que el perfil de velocidad que ienen los esudianes es el primiivo en el senido de la invesigación de Azcarae (1996), ya que calculan odas las velocidades mediane la s fórmula V x1 x2 x3 x4 x5, respuesas: V, los esudianes asumen movimieno uniforme en una siuación en donde no se habla de ése, sino acerca de velocidad media. Muy a pesar de lo anerior la preguna b) los obliga a mirar inervalos y por ano a rabajar con el x x concepo de velocidad media, a esa preguna Silvia responde: 4 3 porque me piden la 4 3 velocidad en x 4 y omo la velocidad que raía desde el puno anerior. Esa respuesa nos muesra varias cosas: El proceso de aproximación se asume por la izquierda f x f x x x (diferencia hacia 319

9 Memoria 11 Encuenro Colombiano de Maemáica Educaiva 21 arás). La noación es de punos, no funcional, por ano las areas propuesas deben permiir pasar x x de a x x. Si queremos que los esudianes se movilicen hacia el perfil de aproximación en el senido de Azcarae (1996) las areas deben propiciar el mirar inervalos de variación. reguna 2. Los esudianes logran visualizar, inerprear, represenar y calcular variaciones. Lo anerior se puede observar en la siguiene propuesa (Gráfico de Nicole): El concepo de asa media de variación es rabajado desde lo numérico y es represenado en el plano caresiano, además se logra aricular el enunciado de la siuación con el gráfico, eso se evidencia en las respuesas de algunos grupos. Ane la preguna Enre qué meses del año es más probable que llueva? En la primera gráfica enre julio y sepiembre porque esaba haciendo buen iempo y hay una variación de presión negaiva en la presión amosférica (Grupo de Alexis). Además se logra esablecer la dependencia enre las variables que inervienen en la siuación. Luis: Tasa de variación = y cuando 1 2, enemos casi ( ) es como una rapidez insanánea, como una velocidad. La respuesa anerior nos muesra que los esudianes esablecen analogías enre para realizar la inerpreación de la expresión absraca, eso es un buen indicio hacia la concepualización de la noción de asa media de variación. Los esudianes incorporan de manera informal lenguaje propio del pensamieno variacional (cambio, variación, asa de variación, proceso de aproximación), pero noamos que aún esá ausene la noación funcional. y x 32

10 Memoria 11 Encuenro Colombiano de Maemáica Educaiva 21 Las respuesas dadas por los esudianes al aller las clasificamos en res grupos: Descripiva (Leen el gráfico): Grupo de Zulma. Numéricas (Usan el gráfico como ábaco): grupo de Alejandro. Y oras fueron gráficas. Una respuesa ineresane a la preguna Con qué rapidez esá cambiando la presión en el mes de febrero, la obiene el grupo de (Mauricio). ara saber con qué rapidez esá cambiando esa presión omamos un valor muy próximo al mes de febrero, por ejemplo 1 mes 3 días y omamos como referencia el mes de febrero. Los esudianes inenan obener una asa insanánea de variación mediane un proceso de aproximación haciendo una mirada por día. Análisis de la comprensión Acividad 2. Se ienen como crierios para el análisis de la comprensión los siguienes: Descripción de la relación enre variables relacionadas en donde se presenan fenómenos cambianes. Descripción de un fenómeno en érminos de función. Aricular diferenes regisros de represenación para la variación conjuna. El uso de la noación operaiva para cuanificar cambios a ravés de funciones y la uilización de esa noación funcional para expresar operaivamene la medida del cambio de la variable dependiene en érminos de la independiene. 321

11 Memoria 11 Encuenro Colombiano de Maemáica Educaiva 21 Al iniciar la acividad algunos grupos uvieron dificulad en la ariculación del enunciado verbal con el gráfico, para agilizar la acividad se hizo necesario leer el exo, el grupo de Alejandro se ofreció para sineizar algunas ideas en el ablero, escribieron: -1.3 mm/h < < mm/h (mal iempo) > 1.3 mm/h (buen iempo) < 1.3 mm/h (resión esable). La inervención oporuna permiió avanzar en el aller. Respeco al concepo de asa media de variación, el grupo de María pregunó si la asa media de variación era lo mismo que la media ariméica. La preguna anerior fue resuela por el grupo de Luis, indicando que una asa media de variación era una rapidez de cambio (velocidad por ejemplo) mienras que media ariméica se refería a una sola variable. Conforme se mencionó en el análisis del conenido, las respuesas dadas al aller se clasificaron como: descripivas, numéricas y graficas Respuesas del grupo de María; ipo Descripivo: 322

12 Memoria 11 Encuenro Colombiano de Maemáica Educaiva 21 El grupo logra hacer lecura del gráfico usando inervalos de variación, la respuesa enre julio y sepiembre,... hay una variación negaiva muesra un primer acercamieno a una mirada simulánea de los inervalos de variación. El grupo de Alexis propone: Inenan uilizar el gráfico de basones para la represenación de los cambios, pero aún ienen dificulad en la represenación de los cambios negaivos. La preguna que revisió de gran dificulad y que permiió abrir diálogos y discusiones en el aula fue la relacionada con la asa insanánea de variación. Con qué rapidez esá cambiando la presión en el mes de febrero? Mauricio: Nosoros debemos omar un solo puno? rofesor: Si calculas el cambio de presión en un puno que obienes?. Mauricio: el cambio de presión es cero. rofesor: Y qué pasa con el iempo? Alejandro: También cero. rofesor: También es cero qué? Alejandro: la variación en el iempo porque engo un solo puno. Mauricio: enonces es cero/cero. Alexis: no; cero/1 mes. rofesor: Cuál es el cambio en el iempo?. Mauricio: el mes de febrero. 323

13 Memoria 11 Encuenro Colombiano de Maemáica Educaiva 21 Alejandro: no podemos omar un mes porque la preguna es sobre los cambios y por ano T febrero febrero y no es un mes. Mauricio: enonces omemos punos cercanos a febrero. La mediación permie que los esudianes enren nuevamene al juego y consruyan en forma inuiiva la noción de asa insanánea de variación. En el grupo de Jessica discuen sobre la perinencia de las respuesas 1 mes 3 días ó febrero. Se observa que logran esablecer la relación enre los cambios,. 1 mes En el grupo de Erika, se escucha la siguiene conversación: Erika: ara saber la rapidez con que esá cambiando la presión en el mes de febrero omo el puno más cercano que esá a ese mes. Jacqueline: el más cercano es enero. La solución del grupo se ve limiada por los daos que se encuenran en el gráfico. Respeco a la preguna relacionada con escribir una expresión funcional para la asa de variación, ambién se presenaron discusiones en los grupos. rofesor: Qué expresión obuvieron para la asa media de variación? Jacqueline:. rofesor: Observen que la preguna se refiere a (). Qué significa ()?. aricia: presión por iempo. Jacqueline: no, significa que la presión depende de los meses. rofesor: para 2 Cuál sería la expresión para la presión? Ana: 2. rofesor: ara

14 Memoria 11 Encuenro Colombiano de Maemáica Educaiva 21 Jacqueline: 1. rofesor: Ahora cómo nos queda la expresión para la asa media de variación? Jacqueline: T. Esa discusión permie al grupo escribir un modelo funcional, aún cundo se noa que los esudianes no logran concebir una expresión funcional para un gráfico, eso lo corrobora Camargo (21) en su invesigación sobre la búsqueda de un modelo funcional para la pendiene. Es curioso que siendo el ipo de represenación que más se enfaiza en el discurso escolar, se encuenran respuesas como significa x. Al finalizar la sesión se realiza la preguna Es confiable omar asas de variación en iempos largos?, La mayoría de grupos coinciden en que no, porque los gráficos variaban demasiado durane el año. Análisis de la Ineracción Didácica. Se iene en cuena en ese análisis: Rol del profesor: gesión en el aula, Traamieno del conenido maemáico en juego Rol de los esudianes: Acciones, Formulaciones, validación Traamieno del Conenido maemáico. El raamieno del conenido maemáico esuvo iluminado por la propuesa de Godino (1996) respeco al papel del profesor en la consrucción del conocimieno siguiendo el juego (conocimieno úil conocimieno objeo). En ese senido el haber omado como puno de referencia la noción de velocidad (Acividad 1) y poseriormene ampliar el panorama al esudio de la asa de variación (Acividad 2) permiieron un acercamieno significaivo a la noción de asa insanánea de variación. or ora pare la preguna clave «con qué rapidez esá cambiando... en el puno...», presene en la mayoría de los alleres fue definiiva para provocar un desequilibrio cogniivo en los esudianes y enfrenarlos definiivamene al problema de la velocidad insanánea. Además la insisencia en buscar una expresión simbólica para la asa media de variación con la preguna «Si suponemos que a cada iempo, le corresponde una... escribe la expresión de la asa media de variación de la función... enre los iempos 1 y 2.» Qué sucede con esa expresión cuando 1 iende a 2? Qué mide esa 325

15 Memoria 11 Encuenro Colombiano de Maemáica Educaiva 21 variación?. Obligo a los esudianes a pensar en forma funcional para cualquier represenación, así como doar de significado expresiones del ipo y x. 5. Conclusiones (Consrucción del conocimieno en el aula). El análisis de las respuesas dadas por los esudianes en forma oral y escria así como los debaes que se susciaron alrededor de las diferenes acividades muesran indicios de que se logró consruir conocimieno nuevo, así como reformular preconcepos inesables. Las inervenciones oporunas en los grupos así como el haber conado con esudianes excelenes como Luis, María, Alejandro enre oros permiieron que oros esudianes en la medida de sus posibilidades se moivaran para obener un acercamieno significaivo a la noción que se quería consruir. or ora pare, la mayoría de esudianes lograron adquirir un perfil de aproximación respeco a la noción de velocidad, así como asociar la noción de asa insanánea de variación con expresiones del ipo. Bibliografía De la Barrera, A. (23). Una inroducción a la noción de derivada mediane la variación, Trabajo de grado de maesría en docencia de la maemáicas, Universidad edagógica Nacional. Azcarae, C (199). Funciones y gráficas. Ediorial Sínesis. Dolores, C (1998).Una inroducción a la noción de derivada Wenzelburger, E (1993); Cálculo diferencial, una guía para maesros y alumnos. Grupo ediorial iberoamericana. Camargo, L; Guzmán, A. (21). Comprensión de las relaciones enre pendiene y la razón de cambio. Trabajo de grado de Maesría. Universidad edagógica Nacional. Arigue, M (1995). Ingeniería didácica en educación maemáica. Grupo ediorial iberoamericana. Feynman, R. (1987). Física volumen 1. Addison - Wesley Freudenhal, H (1983). Fenomenológica didácica de las esrucuras maemáicas Schwarz, J (1988). Inensive quaniy and referene ransformig operaions. Naional Council of Teachers of Mahemaics. 326