Elia Trejo Trejo Universidad Tecnológica del Valle del Mezquital, Méjico

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1 Revisa de Docencia Universiaria Vol.11 (Número especial, 2013), ISSN: Fecha de enrada: Fecha de acepación: Las maemáicas en la formación de un ingeniero: la maemáica en conexo como propuesa meodológica Mahemaics in he raining of an engineer: mahemaics in conex as a mehodological proposal. Elia Trejo Trejo Universidad Tecnológica del Valle del Mezquial, Méjico Paricia Camarena Gallardo Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Elécrica (Zacaenco, Méjico) Naalia Trejo Trejo Universidad Tecnológica del Valle del Mezquial, Méjico Resumen En ese arículo se esablece como propuesa meodológica para la enseñanza de las maemáicas en el nivel de Ingenieria a la fase didácica de la Maemáica en Conexo de las Ciencias. Se pare de la selección de un eveno conexualizado y poseriomene se muesran los pasos que el profesor de maemáicas debe seguir para presenar a los esudianes una maemáica conexualizada. Se rabaja con el caso paricular de una ecuación diferencial para deerminar maemáicamene el orden de una reacción química. Con esa acividad se logra vincular dos áreas de conocimieno las maemáicas avanzadas con la bioquímica avanzada, maerias cursadas por un Ingeniero en Procesos Bioalimenarios del subsisema de Universidades Tecnológicas. La propuesa meodológica se disingue por acividades previas, ales como la selección adecuada del eveno a conexualizar, la idenificación de los conocimienos previos de maemáicas y de la disciplina del conexo, y el diseño de la siuación de aprendizaje en donde se rabaja con la Maemáica en Conexo. Esas acividades las debe realizar el profesor anes de proponer a los esudianes la siuación de aprendizaje conexualizada. Los hallazgos sugieren que con la implemenación de esa propuesa meodológica los esudianes se convieren en sujeos acivos con un papel proagónico en su formación académica y profesional mienras que el profesor se ransforma en una guía y faciliador del conocimieno, donde su papel principal es el diseño de las siuaciones de aprendizaje y su conducción durane la ejecución de las mismas. Palabras clave: Fase didácica, Maemáica en Conexo de las Ciencias, propuesa meodológica, siuación de aprendizaje.

2 E. Trejo, P. Camarena, N, Trejo. Las maemáicas en la formación de un ingeniero Absrac This aricle esablishes he proposed mehodology for he eaching of mahemaics a he level of Engineering o he learning phase of he Mahemaics in Conex of Science. By selecing a conexualized even are he seps ha he mah eacher should coninue o presen sudens wih a mahemaical conex. I works wih he paricular case of a differenial equaion o mahemaically deermine he order of a chemical reacion, linking wo areas of advanced mahemaics knowledge wih advanced biochemisry, courses aken by a Process Engineer Bioalimenarios Technological Universiies subsysem. The proposed mehodology is disinguished by previous aciviies, such as he proper selecion of he even ino conex, idenifying previous mahemaics knowledge and discipline on he conex, and he design of he learning siuaion in which we work wih mahemaics in Conex. These aciviies should be performed by he eacher before proposing sudens conexualized learning siuaion. The findings sugges ha he implemenaion of his proposed mehodology sudens become acive paricipans wih a sarring role in heir academic and professional while he eacher becomes a guide and faciliaor of knowledge, where his main role is o design learning siuaions and heir conduc during he execuion of he same. Keywords: Phase didacic, Conex Mahemaical Sciences, proposed mehodology, learning siuaion. Inroducción Los reos y desafíos de las Universidades, acualmene han cambiado, el desarrollo ecnológico exige que los ingenieros que se formen en la educación superior sean compeiivos en el ámbio nacional e inernacional para hacer frene al proceso de globalización, por lo que se hace necesario el replanear el porqué de las maemáicas, sus conenidos y la meodología de enseñanza, de modo que los esudianes engan la capacidad para ser creaivos, innovadores y razonar en orno a la solución de problemas del área de desarrollo que les compee. Bajo esa ópica, la enseñanza universiaria debe dejar de ser conservadora, es decir la meodología eminenemene presencial del docene en sesiones magisrales debe abandonarse y buscar alernaivas donde los esudianes puedan ser sujeos acivos en su formación académica. Esas nuevas meodologías deben reconocer la imporancia de una buena base cienífica por pare de los esudianes en donde se inegre el saber y saber hacer con el saber ser, lo cual será posible si aunado al pensamieno analíico, críico y reflexivo se fomena el rabajo en equipo que coadyuve a desarrollar la solidaridad, la responsabilidad, la éica y la honesidad. De ese modo se conribuye a formar esudianes con aciudes, habilidades y valores necesarios para ener ingenieros con oporunidades de éxio en su formación académica y en su vida profesional. En aención a lo anerior, corresponde al profesor, en ese caso en paricular al profesor de maemáicas el buscar una meodología de enseñanza para que el fuuro ingeniero reciba, en su formación académica, las herramienas que le permian ener un buen desempeño profesional. En consecuencia se propone a la Maemáica en Conexo de las Ciencias (MCC) (Camarena 2000) como una esraegia meodológica para la enseñanza de las maemáicas en las carreras de Ingeniería. La MCC iene sus orígenes en el Insiuo Poliécnico Nacional (IPN-México), con resulados saisfacorios sobre la enseñanza de las maemáicas (Camarena, 1984). Acualmene su uso se esá haciendo exensivo a oros niveles educaivos, al es caso de las Universidades Tecnológicas mexicanas. 398

3 Revisa de Docencia Universiaria, Vol.11 (Número especial, 2013) Lo anerior se jusifica, pues los repores de invesigación sugieren que mediane el uso de la MCC se provee a los esudianes de las herramienas necesarias que le permian enfrenar exiosamene problemas que requieren de capacidad analíica e innovación, se mejoran las aciudes y habilidades que permien ener logros en el aprendizaje de las maemáicas, se crean hábios de rabajo individual y en equipo en búsqueda del conocimieno cienífico y su aplicación en la solución de problemas y desde luego se desarrolla en el esudiane el inerés por la invesigación aplicada, acercándolo a la resolución de problemas reales garanizando una sólida formación en maemáicas conribuyendo en la comprensión y resolución de fenómenos relacionados con la ingeniería (Trejo y Camarena, 2011a; Trejo y Camarena, 2012). Cuando se rabaja con la Maemáica en Conexo de las Ciencias el esudiane debe asumir un rol proagónico en el proceso de enseñanza aprendizaje y el profesor se conviere en un orienador que facilia la apropiación del conocimieno, fomena la solidaridad, el respeo y el rabajo en equipo. Trabajar con una maemáica conexualizada no es una area fácil ni para el profesor ni para el esudiane (Trejo y Camarena, 2011b) pues es necesario inegrar conocimienos maemáicos con oras áreas de conocimieno con las implicaciones inherenes de ese proceso. En el caso paricular del profesor, cuando se quiere uilizar a la Maemáica en Conexo de las Ciencias, en su fase didácica, surgen dudas de cómo hacerlo. Ese arículo busca, sin ser el único modo, mosrar cómo un profesor puede rabajar con la Maemáica en Conexo de las Ciencias para fomenar la inerdisciplinariedad. Se oma como ejemplo a la carrera de Ingeniero en Procesos Bioalimenarios, formación oferada por las Universidades Tecnológicas, y como ema específico la enseñanza de las ecuaciones diferenciales y su aplicación en la resolución de un problema del área de bioquímica. Con lo anerior se espera conribuir en el diseño y rediseño de acividades didácicas para esudianes de nivel superior y de carreras écnicas encaminadas al aprendizaje de las maemáicas Fundamenos eóricos Vázquez (2012) señala que un ingeniero es quien, con los recursos disponibles y sus conocimienos, brinda creaciones úiles a la sociedad; así asevera que México es la sexa nación con mayor número de esudianes de ingeniería graduados; añade que a pesar de ello, exise un noable desfase enre sus conocimienos y lo que el país necesia. En ese senido, Reséndiz (2008) y Rodríguez (2011) coinciden en indicar que la escuela debe proporcionar a sus esudianes una visión general y bien inegrada de la ingeniería (funciones, méodos y conexo) que les permia omar conciencia de los conocimienos y las capacidades adicionales que después deberán aprender en el ejercicio profesional. Aunado a lo anerior, Covarrubias (1998) considera que los profesionales de las ingenierías deben ener conocimienos écnicos y de las ciencias puras, de al forma que la profesión ha llegado a ser caalogada como pereneciene a las llamadas ciencias de la ransferencia, sirven de inerfase enre el mundo de las ciencias puras y el mundo de la indusria y lo social. Ese auor define a la ingeniería como: 399

4 E. Trejo, P. Camarena, N, Trejo. Las maemáicas en la formación de un ingeniero Las ciencias de la ransferencia, en donde se incluyen las diferenes ramas de la ingeniería ( ) comparen con las ciencias puras una preocupación por la ciencia produciva, pero por ora pare ienen caracerísicas basanes diferenes: su acividad esá dirigida principalmene a resolver problemas que surgen de las acividades sociales y económicas; sus graduados son normalmene empleados por la indusria. Ellas persiguen asunos o problemas ampliamene vinculados con objeivos o fenómenos hechos arificialmene y sus comunidades cieníficas acivas en invesigación en esas áreas esán esrechamene vinculados con profesiones más preocupadas por la aplicación de sus resulados. Las ciencias de la ransferencia juegan un papel esencial en proporcionar una inerfase enre el mundo de la "ciencia pura" y el mundo de la indusria o la problemáica social. Invesigan problemas concreos surgidos en odos los campos del enorno humano, visas como campos o disciplinas (Covarrubias, 2002; pp.3, 4) Guevara (2005), Recuero (2002), Rugarcía (2000) y Covarrubias (1998) coinciden en que, la formación de ingenieros iene por objeivos crear profesionales que posean: Conocimienos basados en física y maemáicas que fundamenan su especialidad así como los de la prácica correca de la misma; de insrumenación y nuevas ecnologías; de relaciones indusriales y fundamenos de dirección empresarial. Capacidades para manejar información écnica y esadísica; para desarrollar y uilizar modelos que simulen el comporamieno del mundo físico; para aplicar conocimienos en la resolución de problemas écnicos reales; para rabajar en proyecos mulidisciplinares; para combinar calidad con sencillez en la producción y el manenimieno de producos y servicios; para comunicarse con claridad; para emprender acciones o proyecos. Formación éica: que les permia plena conciencia y respeo por lo que consiuye su profesión y de su responsabilidad hacia la sociedad y el ambiene; basada en los valores inelecuales, eséicos, afecivos, gregarios (sociabilidad), físico-biológicos, económicos y maeriales. Además de lo señalado, Salazar (2000) refiere que durane la formación de los ingenieros se debe poner énfasis en desarrollar menes maduras y educar ingenieros que puedan pensar. Idenifica al uso de las écnicas maemáicas como un medio muy poderoso para lograr ese objeivo sobre odo si son uilizadas para describir, modelar y resolver siuaciones écnicas. Consecuenemene, sugiere que la maemáica es la herramiena más poderosa para el ingeniero y su dominio desde los principios de su carrera le permiirá un rápido progreso en emas específicos de su formación profesional. En esa invesigación cobra imporancia el primer puno en el que se indica que las maemáicas fundamenan la formación del ingeniero y desde luego la aplicación de dichos conocimienos en la resolución de problemas écnicos reales, dado que los ingenieros que se forman en las Universidades Tecnológicas se inseran en el secor producivo y durane su vida profesional habrán de dar solución a problemas reales donde se requiere la aplicación de las maemáicas (Trejo y Camarena, 2012). 400

5 Revisa de Docencia Universiaria, Vol.11 (Número especial, 2013) La maemáica en Conexo de las Ciencias En el nivel superior, específicamene en carreras donde se forman ingenieros, las maemáicas consiuyen una herramiena de apoyo para su formación (Camarena, 2000, 2006b y 2008), dado que durane ese proceso como en su vida profesional han de resolver problemas en donde de forma recurrene es común ver que apliquen las maemáicas; es decir, las maemáicas en ese nivel se conciben como una herramiena fundamenal en la resolución de problemas cieníficos (REMATH, 2010). Sin embargo, las maemáicas se han enseñado como ciencia absraca (IST, 2010) privilegiando lo que se conoce como una la enseñanza radicional, basada en el profesor como eje cenral. Lo anerior hace difícil que el esudiane ransfiera el conocimieno maemáico al área de su formación profesional razón por la cual Camarena (1984, 1995) propone que, para apoyar la consrucción del conocimieno maemáico y en paricular de concepos maemáicos en el nivel superior, se necesia presenar un concepo a los esudianes en diversos conexos del área de conocimieno de la carrera profesional, de siuaciones de la vida coidiana y de acividades de la vida laboral y profesional. En ese senido, se debe fomenar un enfoque ransdiciplinario de al manera que el profesor de maemáicas coadyuve a enender los fenómenos de la nauraleza y resolver los problemas que planea la sociedad, cada vez más complejos (Crombie, 2008). La Maemáica en Conexo de las Ciencias, a ravés de la fase didácica, conribuye en la adquisición de las compeencias maemáicas señaladas por Niss (2003): a)pensar maemáicamene; b) planear y resolver problemas maemáicos; c) modelar maemáicamene; d) argumenar maemáicamene; e) represenar enidades maemáicas (siuaciones y objeos); f) uilizar los símbolos maemáicos; g) comunicarse con las maemáicas y comunicar sobre maemáicas y h) uilizar ayudas y herramienas (incluyendo las nuevas ecnologías). Es así como en ése arículo se asume a la Maemáica en Conexo de las Ciencias (MCC) como la esraegia meodológica para la enseñanza de las maemáicas en la carrera de un Ingeniero egresado del Subsisema de Universidades Tecnológicas. En seguida se deallan algunos aspecos de la MCC, mismos que susenan la invesigación. La Maemáica en el Conexo de las Ciencias (MCC) (Camarena, 1984; 1995; 2000) se ha desarrollado desde 1982 a la fecha, a ravés de invesigaciones realizadas principalmene en el Insiuo Poliécnico Nacional de México y reflexiona acerca de la vinculación que debe exisir enre la maemáica y las ciencias que la requieren, enre la maemáica y las siuaciones de la vida coidiana, así como su relación con las acividades profesionales y laborales. La Maemáica en Conexo de las Ciencias nace en el nivel universiario y se esá llevando hacia los niveles educaivos aneriores (Camarena, 2008). La eoría se fundamena en res paradigmas: la maemáica es una herramiena de apoyo y maeria formaiva; iene una función específica en el nivel superior; los conocimienos nacen inegrados. El supueso filosófico educaivo de esa eoría es que el esudiane esé capaciado para hacer la rasferencia del conocimieno de la maemáica a las áreas que la requieren y con ello las compeencias profesionales y 401

6 E. Trejo, P. Camarena, N, Trejo. Las maemáicas en la formación de un ingeniero laborales se ven favorecidas, porque se preende conribuir a la formación inegral del esudiane y a consruir una maemáica para la vida. La Maemáica en Conexo de las Ciencias concibe al proceso de aprendizaje y de la enseñanza como un sisema donde inervienen las cinco fases de la eoría: curricular, cogniiva, didácica, episemológica y docene (figura 1); además, hacen presencia facores de ipo emocional, social, económico, políico y culural. Como eoría, en cada una de sus fases se incluye una meodología con fundameno eórico, acorde a los paradigmas en los que se susena, donde se guían los pasos para el diseño curricular, se describe la didácica a seguir, se explica el funcionamieno cogniivo de los alumnos y se proporcionan elemenos episemológicos acerca de los saberes maemáicos vinculados a las acividades de los profesionisas, enre oros. Fuene: Adapado de Camarena (2000) Figura n. 1. Fases de la Maemáica en Conexo de las Ciencias (MCC). La meodología de enseñanza de las maemáicas que se propone en ésa invesigación incide direcamene en la fase didácica de la eoría, denominada Maemáica en Conexo (MC). En ella se le solicia al esudiane rabajar con una maemáica conexualizada en las áreas del conocimieno de su fuura profesión en esudio, en acividades de la vida coidiana y en acividades profesionales y laborales, odo ello a ravés de evenos conexualizados, los cuales pueden ser problemas o proyecos. La Maemáica en Conexo conempla nueve eapas, que se desarrollan en al ambiene de aprendizaje en equipos de res esudianes: líder académico, líder emocional y líder de rabajo. Esas eapas son (figura 2) (Camarena, 1995; 2000; 2006a; 2006b): 1. Deerminación de los evenos o problemas maemáicos conexualizados. 402 a. Análisis de exos de las demás asignauras que cursa el esudiane para deerminar los evenos conexualizados que deberán ser planeados a los alumnos siempre y cuando esén a su alcance cogniivo.

7 Revisa de Docencia Universiaria, Vol.11 (Número especial, 2013) b. Vinculación con la indusria para deerminar evenos conexualizados de la acividad laboral y profesional del área de conocimieno de la carrera en cuesión, para ser planeados y abordados por los alumnos cuando proceda. c. En acción guiada por el profesor y de forma colaboraiva, alumnos y profesores deerminan evenos de la vida coidiana procedenes, que sean del inerés del esudiane y que involucren los emas a raar en el curso. 2. Planeamieno del eveno o fenómeno conexualizado. 3. Deerminación de las variables (dependienes, independienes y conroladas) y las consanes del problema. 4. Inclusión de los emas y concepos maemáicos para abordar el desarrollo del modelaje y su solución, así como los emas indispensables de las disciplinas del conexo. 5. Deerminación del modelo maemáico 6. Solución maemáica del problema 7. Deerminación de la solución requerida por el problema en el ámbio de las disciplinas del conexo. 8. Inerpreación de la solución en érminos del problema y áreas de las disciplinas del conexo. 9. Desconexualización de los concepos y emas a raarse en el curso. La Maemáica en Conexo además de fungir como esraegia didácica, permie seguir un proceso meodológico para conexualizar la maemáica a ravés de las eapas 2, 3, 5, 6 y 8, con lo cual se vincula la maemáica con las demás ciencias de las carreras profesionales y écnicas en raamieno. El ipo de eveno conexualizado que se elija deberá ener hisorial, es decir, debió haber sido rabajado previamene por un grupo de docenes para idenificar el ipo de componenes de las compeencias que enran en acción, así como las pregunas ipo que realizan los esudianes al momeno de abordar los evenos, enre oras más. El éxio del eveno conexualizado para que pueda desarrollar las compeencias en los esudianes iene que ver con su elección adecuada y con la guía del profesor al momeno de que los esudianes resuelvan el eveno. 403

8 E. Trejo, P. Camarena, N, Trejo. Las maemáicas en la formación de un ingeniero Figura n. 2. Fases de la Maemáica en Conexo (fase didácica) Fuene: Adapado de Camarena (2000) En relación con los resulados derivados del uso de la fase didácica de la Maemáica en Conexo se repora una mejora en los niveles de desempeño en la aplicación del conocimieno maemáico a oras áreas de la ingeniería. Además, como resulado de la implemenación de la maemáica en conexo, el profesor puede dar cuena del logro en la adquisición de la compeencia maemáica mediane el ránsio enre diferenes regisros de represenación, la consrucción de modelos maemáicos, las esraegias en la resolución de problemas conexualizados, el análisis de las creencias, la meacognición, el análisis de los proceso argumenaivos, el desarrollo de habilidades para idenificar punos de conrol y regularidades (Camarena, 2008). Los resulados habrán de variar en función del objeivo, el propio diseño y aplicación de la siuación didácica generada por el profesor. Méodo De acuerdo con Peña y Pirella (2007) la invesigación realizada es de ipo descripivo y explicaivo. Se muesra como el profesor de maemáicas puede uilizar la fase didácica de la Maemáica en Conexo de las Ciencias. Para ello, se esablece como puno de arranque la presenación de un eveno conexualizado y significaivo para los esudianes. Se aborda en concreo a la ecuación diferencial en el conexo del orden de una reacción química. Tomando enonces como principio didácico el planeamieno de evenos conexualizados y su resolución como el camino a recorrer desde su esado inicial a uno final, se esablece la propuesa meodológica mediane la maemáica en conexo para la enseñanza de las maemáicas en el nivel de ingeniería. 404

9 Revisa de Docencia Universiaria, Vol.11 (Número especial, 2013) Los resulados se describen y explican en relación a las acividades que el profesor debe desarrollar anes de poner en acción la propuesa didácica a los esudianes para rabajar con una maemáica conexualizada (figura 3). Figura n. 3. Meodología de desarrollo de la invesigación Fuene: Elaboración propia (2013) Desarrollo de la propuesa Como se refiere a lo largo del documeno, en base a la Maemáica en Conexo se esablece una propuesa meodológica para la enseñanza del ema en paricular de ecuaciones diferenciales, incidiendo en el conexo de un Ingeniero en Procesos Bioalimenarios. Enonces, en ese aparado y aendiendo la meodología, se muesra como el profesor de maemáicas debe proceder para planear la propuesa didácica anes de ser presenada a sus esudianes; de al manera que esos engan éxio durane la puesa en escena de la acividad. Es imporane señalar que los resulados se han dividido en acividades previas que el profesor debe realizar: a) Selección del eveno a conexualizar; b) idenificación de conocimienos maemáicos y de la disciplina del conexo y c) diseño de siuaciones de aprendizaje. En la úlima eapa se rabaja con la fase didácica de la Maemáica en Conexo de las Ciencias, se describen las acividades de inicio, desarrollo y cierre. Finalmene, se señala cómo el profesor, derivado de sus acividades previas, esablece la úlima acividad que consise en la puesa en acción de la propuesa didácica (figura 4). Fuene: Elaboración propia Figura n. 4. Desarrollo de la propuesa meodológica: enseñanza de las maemáicas en el nivel de ingeniería. 405

10 E. Trejo, P. Camarena, N, Trejo. Las maemáicas en la formación de un ingeniero Acividades previas por pare del profesor de maemáicas Es imporane desacar que para que el profesor rabaje una maemáica conexualizada debe involucrarse en la carrera de ingeniería donde impare clases, dado que será necesario el que cuene no solo con los conocimienos maemáicos sino ambién con los conocimienos que el eveno o problema a conexualizar requiera. Eapa 1. Selección del eveno conexualizado. La primera acividad que el profesor debe realizar corresponde a la selección del conexo para el ema maemáico que desea abordar (figura 5). Para lograr eso, se ienen varias alernaivas: a) Explorar los programas de esudio de ciencias y de las maerias écnicas a fin de deecar posibles aplicaciones de las maemáicas y del ema o emas a abordar; b) rabajar de forma esrecha con los profesores que imparen las maerias del área écnica o de las ciencias básicas, eso facilia el rabajo dado que los profesores son fuene direca de problemas écnicos que requieren la aplicación de las maemáicas; c) la indusria es una fuene de información para el planeamieno de problemas reales; sin embargo, si el profesor no esá vinculado con ese secor los profesores del área écnica pueden nurirlo de casos de esudio o en su defeco los propios esudianes dado que en las Universidades Tecnológicas Mexicanas exise una esrecha vinculación con el secor producivo y es común que los esudianes realicen acividades académicas en colaboración con la indusria; d) una fuene imporane para la elección de evenos a conexualizar, son los esudianes quienes pueden señalar y escoger un ema de inerés a resolver mediane la aplicación del problema, ese puede ser de la vida coidiana, del secor producivo o de alguna maeria en específico. La caracerísica de ésa paricipación colaboraiva con los esudianes radica en una selección donde las pares ienen inerés. Figura n.5. Selección del eveno a conexualizar Fuene: Elaboración propia En función del ipo de eveno conexualizado, ese se puede abordar como caso de esudio, problema o proyeco. La elección del eveno a conexualizar y su clasificación esará en función del grado de complejidad del ema, del propio eveno, de las esrucuras cogniivas de los esudianes (conocimienos previos, conocimienos maemáicos y conocimienos de la disciplina que apoyará), del dominio de los conenidos del profesor y de los iempos didácicos y cogniivos. Esa primera, eapa es de las más imporanes en el proceso de aplicación de la Maemáica en Conexo, pues implica un mayor compromiso e involucramieno del profesor, un mayor dominio de conocimienos maemáicos pero ambién de incursionar en un área que le puede resular desconocida. De igual manera, para el esudiane aender un eveno 406

11 Revisa de Docencia Universiaria, Vol.11 (Número especial, 2013) conexualizado requiere de mayor demanda cogniiva, compromiso, dedicación, moivación y rabajo en equipo. En resumen, durane esa primera eapa el profesor deja de ser el cenro del conocimieno, conviriéndose en faciliador mienras que el esudiane se orna en un sujeo acivo, responsable de su formación y con auonomía para la adquisición del conocimieno. Es preciso señalar, que cuando se selecciona el eveno a conexualizar el profesor puede ya haber rabajado con los conocimienos maemáicos inherenes al problema maemáico (con su esraegia radicional) o mediane ése ir incorporando los emas necesarios sobre el nuevo concepo de esudio. Consecuenemene, la Maemáica en Conexo reconoce la imporancia del uso de algorimos, ejercicios nemoécnicos y demás esraegias uilizadas por los profesores de maemáicas dado que cada una de ellas ienen funciones cogniivas diferenes. Es imporane desacar que el uso de evenos conexualizados, en las clases de maemáicas, permien el desarrollo de habilidades de pensamieno (Trejo y Camarena, 2012) pero sobre odo la ransferencia de conocimienos, es decir la aplicación de las maemáicas en siuaciones reales a las que habrán de enfrenarse los fuuros ingenieros. En aención al ejemplo que nos ocupa, enseguida se sugiere como el profesor puede llevar a cabo esa primera eapa. En ese caso en paricular la selección del eveno a conexualizar se hace mediane la revisión y análisis de dos maerias por un lado maemáicas y por el oro una ciencia aplicada (figura 4). En seguida se describe ese proceso. En la maeria de Maemáicas Avanzadas, conemplada en el Programa de Esudio de Ingeniero en Procesos Alimenarios, del Subsisema de Universidades Tecnológicas en México se iene la unidad IV denominada Cálculo Inegral en donde se pide (figura 5) resolver ecuaciones diferenciales e inegrales mediane el cálculo inegral para la solución de problemas de la indusria alimenaria (Programa de Esudios vigene, CGUT, 2013; disponible en hp://cgu.sep.gob.mx/planes%20de%20esudios.hm), mienras que en el programa de esudios de Bioquímica Avanzada, del mismo Programa Educaivo, en la Unidad I Cinéica Química (figura 6) se solicia abordar el ema de velocidad de reacción química. Enonces, vinculando esas dos áreas de conocimieno se selecciona como eveno: La deerminación de la velocidad de una reacción química de primero orden mediane el uso de una ecuación diferencial. El eveno a conexualizar queda definido como: Se iene una muesra de peróxido de hidrógeno (H 2 O 2 ), la cual ha reaccionado en un reacor disconinuo, deermine maemáicamene su velocidad de reacción para comprobar que se raa de una reacción de primer orden. Con la definición del eveno conexualizado se habrá de coninuar el proceso de conexualización, mediane la Maemáica en Conexo. 407

12 E. Trejo, P. Camarena, N, Trejo. Las maemáicas en la formación de un ingeniero Fuene: Elaboración propia Figura n.6. Selección del eveno a conexualizar Fuene: CGUT (2013) Figura n.7. Plan de esudios vigenes de Maemáicas Avanzadas 408

13 Revisa de Docencia Universiaria, Vol.11 (Número especial, 2013) Fuene: CGUT (2013) Figura n. 8. Plan de esudios vigenes de Bioquímica Avanzadas Eapa 2. Idenificación de conocimienos previos de maemáicas y de la disciplina con la que se rabaja. Trabajar con una maemáica conexualizada no es area fácil para el profesor de maemáicas, como se ha mencionado se requiere que se involucre en áreas de conocimieno que muy probablemene no le son familiares. Lo cual implica una mayor dedicación en la planeación didácica del ema a abordar, siuación que se recomienda debe ser considerada por la Insiución donde se labore para generar las condiciones adecuadas, de lo conrario exise el riesgo de regresar a una prácica maemáica radicional con los resulados que ya se conocen (figura 9). En esa eapa es area del profesor la idenificación de nociones previas con las que cuena el esudiane (maemáicas y de la disciplina de apoyo). Enonces el docene puede diseñar o rediseñar acividades a parir de ésas y apoyar la consrucción de conocimienos significaivos (Ausubel, 1990), además es una oporunidad para idenificar los obsáculos (didácicos, episemológicos, cogniivos u onogénicos) que el mismo y sus esudianes pueden enfrenar en la resolución del eveno conexualizado. Figura n. 9. Eapa 2. Idenificación de conocimienos previos Fuene: Elaboración propia Dando coninuidad al ejemplo que nos ocupa, para vincular una ecuación diferencial con la velocidad de una reacción química es imporane que el profesor 409

14 E. Trejo, P. Camarena, N, Trejo. Las maemáicas en la formación de un ingeniero idenifique los conocimienos necesarios del conexo; en esa eapa se pare de la idea del dominio de los conocimienos maemáicos por pare del profesor. Conocimienos previos de la disciplina El conocer el orden de una reacción química permie al esudiane y fuuro profesionisa deerminar la velocidad de reacción (canidad del reacivo que se consume, o la de produco que se forma, por unidad de volumen en la unidad de iempo) en que se realizará la misma, lo cual puede influir direcamene en diferenes procesos. La velocidad de una reacción química depende de la canidad disponible de reacivos, más exacamene de su concenración. Así, para una reacción del ipo: A B+C, la ecuación que relaciona la velocidad del proceso con la concenración de los reacivos se expresa en forma genérica como: Velocidad (V)= k[a] n d k es una consane n es el coeficiene numérico de la reacción química. Esa ecuación consiuye la llamada ley de velocidad de una reacción química. Se denomina reacción química de primer orden aquella reacción para un solo reacane en la que la velocidad de reacción (V) es proporcional a la primera poencia de concenración de un solo reacane, solo un reacane sufre cambio químico. Una forma de obener el orden de una reacción es esudiar cómo varía la velocidad de reacción con la concenración del reacivo, y a parir de los daos obenidos se consruye la gráfica correspondiene, y se deermina su ecuación empírica. Con esa ecuación obenida se puede calcular la consane de velocidad (k) y si esa no varía a ravés del iempo se dice que la reacción es de orden o grado uno, lo cual significa que la velocidad de reacción es proporcional a la concenración del reacivo. Lo anerior se puede modelar a ravés de una ecuación diferencial y su represenación gráfica en escala logarímica es una línea reca. Aun cuando esos daos se pueden obener de forma experimenal, para el ejemplo el profesor puede proveer a los esudianes las ablas con la información de al manera que aplique una ecuación diferencial para verificar su velocidad de reacción. Con la información écnica invesigada y analizada por el profesor de maemáicas, se concreiza el planeamieno del eveno conexualizado, las acividades derivadas de él y las esraegias de solución en las que, de acuerdo con las expecaivas del profesor, se pueden incluir por ejemplo diferenes sisemas de represenación para su solución. Coninuando con el eveno conexualizado seleccionado, se rabaja específicamene con la reacción química del peróxido de hidrógeno (H 2 O 2 ) comúnmene llamada agua oxigenada, cuyo orden de reacción se sabe que es uno y la reacción es clasificada como de descomposición (H 2 O 2 H 2 O + O 2 ). Como se mencionó en el párrafo anerior, se decide proporcionar a los esudianes una abla 410

15 Revisa de Docencia Universiaria, Vol.11 (Número especial, 2013) con los daos de la concenración del peróxido a ravés del iempo (figura 10). Esa decisión es omada para reducir el grado de dificulad del eveno, de lo conrario se requieren mayores conocimienos previos de cinéica química. Tiemp o de reacción Concenración del H 2O 2 (M) Fuene: Elaboración propia Figura n.10. Daos del eveno conexualizado proporcionado al esudiane En resumen, los conocimienos previos de la disciplina de conexo requeridos por los esudianes son: reacciones químicas, ipos de reacciones químicas, velocidad de reacción y méodos para deerminar la velocidad de reacción. En cuano a los conocimienos maemáicos previos se idenifican: funciones, funciones lineales, exponenciales, ransformación de funciones, funciones logarímicas, derivada, aniderivadas e inegral definida. Se pare de la idea del dominio de esos conocimienos por pare del esudiane dado que previamene han aprobado maemáicas II que aborda funciones, cálculo inegral y diferencial (Programas de esudio-cgut; 2013). En ese puno el profesor esablece como esraegia didácica la inroducción de los nuevos emas maemáicos, mismos que son sugeridos en el programa de esudios. A saber: ecuaciones diferenciales, méodos de solución de ecuaciones diferenciales, modelos de crecimieno y decrecimieno. Además, durane su invesigación de los conocimienos écnicos, deecó que el orden de una reacción química puede deerminarse mediane méodos analíicos y gráficos por lo cual, para apoyar la aprehensión del nuevo conocimieno puede considerar en su esraegia didácica el ránsio enre los diferenes regisros de represenación (Duval, 1993) e incluso puede decidir uilizar la ecnología elecrónica, como el uso de un graficador o un simulador del proceso. Esas decisiones esarán en función de los iempos didácicos pero sobre odo del dominio, por pare del profesor, de dichas esraegias. Eapa 3. Generar la propuesa didácica o siuación de aprendizaje. En la eapa res (figura 9), el profesor debe diseñar la propuesa didácica o siuación de aprendizaje para los esudianes, misma que deberá ser rabajada previamene por él, 411

16 E. Trejo, P. Camarena, N, Trejo. Las maemáicas en la formación de un ingeniero para poder aniciparse a las dificulades y pregunas. El éxio en la consrucción del conocimieno maemáico esá en función direca de una buena propuesa didácica pero sobre odo de la conducción y guía de la acividad por pare del profesor. Figura n.11. Esablecer la propuesa didácica Fuene: Elaboración propia En orno al ejemplo, se muesra la propuesa didácica o siuación de aprendizaje planeada a los esudianes así como las acciones (pregunas inercaladas) que el profesor debe realizar para su resolución. Para esablecer la propuesa didácica se rabaja con las eapas de la Maemáica en Conexo y se ha dividido la siuación de aprendizaje en res momenos: acividades o areas de inicio, de desarrollo y de cierre. Ambiene de la siuación de aprendizaje: El espacio físico a uilizar es el salón de clases que cuena con mesas binarias que pueden moverse fácilmene para un rabajo en equipo de res inegranes, donde se idenifica al líder emocional, líder académico y al líder de rabajo. Es en ese equipo en donde el profesor analiza y evalúa cómo los esudianes adquieren el conocimieno maemáico. Acividades de inicio: El profesor realiza el planeamieno del eveno conexualizado a los esudianes, con el cual por medio de lluvia de ideas recupera los saberes previos, ano del área de maemáicas como del área del conexo. El problema a presenar queda expresado según se muesra en la figura 12. Planeamieno del eveno conexualizado Se iene una muesra de peróxido de hidrógeno (H 2 O 2 ) que ha reaccionado en un reacor disconinuo. Se sabe eóricamene que dicha reacción química es de descomposición (H 2 O 2 H 2 O + O 2 ) y de primer orden. Uilizando la concenración del peróxido a ravés del iempo y mediane una ecuación diferencial y gráficamene compruebe el orden de dicha reacción Tiempo de Concenración del H 2O 2 (M) reacción Figura n. 12. Presenación del eveno conexualizado Fuene: Elaboración propia Las pregunas que el profesor realiza para deerminar los conocimienos previos de los esudianes deben esar relacionados con emas específicos del área de 412

17 Revisa de Docencia Universiaria, Vol.11 (Número especial, 2013) maemáicas como son: funciones, función lineal, función exponencial, ransformación de funciones, funciones logarímicas, logarimos naurales, derivada, razón de cambio, aniderivada e inegral definida; en cuano a los conocimienos écnicos es preciso que los esudianes dominen información referene a reacciones químicas, ipos de reacciones químicas, velocidad de reacción química, méodos para deerminar el orden de una reacción química. Es imporane desacar, que el primer acercamieno de los esudianes con el problema conexualizado, cobra imporancia pues la forma en cómo se le presene genera moivación e inerés por su solución. Un buen dominio del conexo y de las maemáicas por pare del profesor, permiirán presenar la siuación de una manera más sencilla y amigable para el esudiane. El profesor, en las acividades de inicio, más que ser un mediador o guía en el proceso de aprendizaje del alumno, se ransforma, desde la perspeciva de la Maemáica en Conexo en un promoor del aprendizaje y en un invesigador de su prácica y de las condiciones que la influyen. De ahí que, en referencia a su reflexión y conclusiones del análisis de su prácica proceda a la planeación y diseño de siuaciones de aprendizaje favorables al proceso del alumno. Acividades de desarrollo: Toda vez que los esudianes esán involucrados y compromeidos con enconrar la solución al eveno conexualizado, la area del profesor sigue siendo el guiar la acividad, uilizando como esraegia el uso de pregunas inercaladas, de al manera que los esudianes no pierdan el inerés por la solución del eveno. Para fomenar el rabajo del equipo el profesor debe hacer algunas pregunas como: Qué información se iene en el problema que me permia idenificar las variables y consanes? Conduciendo a los esudianes esos podrán definir las variables, idenificando la concenración del peróxido de hidrógeno (químicamene se eniende que al irse consumiendo el peróxido su concenración, necesariamene debe ir disminuyendo de manera proporcional a la formación de sus producos). H 2 O 2 H 2 O + O 2 Peróxido de hidrógeno agua + oxígeno y el iempo que esá en función de la concenración del peróxido de hidrógeno presene en el reacor. En relación con las consanes se idenifica la canidad inicial de peróxido de hidrógeno (concenración ). La imporancia de la idenificación de las variables y las consanes radica fundamenalmene en dos aspecos, el primero da cuena de sí los esudianes enienden en el lenguaje écnico la información que se les esá proporcionado y segundo son enrada para la consrucción del modelo maemáico. En ese momeno se hace necesaria la inclusión de los emas y concepos maemáicos y de la disciplina del conexo, mismos que darán como resulado a 413

18 Concenración del peróxido de hidrógeno E. Trejo, P. Camarena, N, Trejo. Las maemáicas en la formación de un ingeniero obención del modelo maemáico. Es imporane recordar que el abordar evenos de las ciencias, como en ese caso un eveno de la bioquímica, en el que se deben aplicar las maemáicas para su resolución es area compleja para el profesor y lo es más para los esudianes, dado que es necesario inegrar los conocimienos de dos áreas radicionalmene desvinculadas (Trejo y Camarena, 2011). En ese senido, el profesor de maemáicas debe esar preparado para responder las pregunas de sus esudianes, siuación que logrará en la medida en que se involucre en el área de formación de los esudianes. En aención al ejemplo, el profesor debe guiar a los esudianes indicándoles la necesidad de rabajar con la reacción química del peróxido de hidrógeno (H 2 O 2 ), señalando que se raa de un solo reacivo y moivándolos para que ellos obengan dicha reacción química. El resulado de esa area será la reacción química de descomposición: H 2 O 2 H 2 O + O 2 En ese puno, es imporane que el profesor reflexione con sus esudianes sobre qué es lo que ocurre con el peróxido a ravés del iempo La concenración permanece consane, aumena, disminuye? Una forma de ayudar a los esudianes, en caso de que presenen algún obsáculo para coninuar con el proceso de solución, puede ser el análisis gráfico (figura 13). La gráfica se consruye con la abla de daos dada en el eveno, en donde la concenración del peróxido de hidrógeno se gráfica en función del iempo. 1,1 1,05 1 0,95 0,9 0,85 0,8 0, Tiempo (seg) Fuene: Elaboración propia Figura n. 13. Disminución de la concenración del reacivo a ravés del iempo En resumen, deberán llegar a la conclusión que a ravés del iempo la concenración habrá de disminuir, pues recurren a sus conocimienos previos que les indican que el rabajar con una reacción química de descomposición significa la formación de dos o más producos y por ano el desgase del reacivo. Eso significa que de una canidad inicial oal de moles (unidad de medida de concenración 414

19 Revisa de Docencia Universiaria, Vol.11 (Número especial, 2013) química) a, concebida como la unidad, habrá de consumirse la concenración hasa quedar una fracción de la unidad ( ). La siguiene preguna obligada por el profesor será A qué velocidad se lleva a cabo la reacción química? En ese momeno, los esudianes recurren a los conocimienos del área écnica para inroducir el concepo de velocidad de reacción (V) qué mide que an rápido se consume el reacivo (H 2 O 2 ) o se forman los producos (H 2 O + O 2 ). Químicamene eso se expresa, mediane la ecuación cinéica que relaciona la velocidad de reacción con la consane de velocidad (k) y la concenración del reacivo esableciéndose como: V=k (1) Cuando los esudianes hacen referencia a ese modelo químico, se les pregunará Maemáicamene como se indica que la velocidad de consumo del reacivo varía con el iempo? Es evidene, que el esudiane habrá de recurrir a sus conocimienos maemáicos previos como la derivada, concebida como velocidad de cambio, de igual manera se hará presene el concepo de diferencial. Si no aparecieran de forma esponánea, nuevamene el profesor deberá omarse un iempo para ayudar a los esudianes a recordar dichos concepos. Dado que la cconcenración del reacivo varía a ravés del iempo la diferencia de concenraciones puede expresarse mediane el diferencial, diciendo que la velocidad de la reacción varía o es diferene con respeco al iempo, maemáicamene se expresa de la siguiene manera: V d d Cuando se analizó la concenración inicial y se indicó el consumo del reacivo ( a ), se señaló que ese cada vez será menor, por lo que si de manera inicial se enían "a" moles, con el paso del iempo se endrán 1/a moles, es decir se consumen pares proporcionales de la concenración inicial; por lo que la ecuación cinéica 1 queda expresada como se muesra a coninuación. El profesor debe reflexionar con los esudianes cómo expresar maemáicamene el consumo del reacivo, para ello habrá de inroducir el significado, desde el puno de visa de la química, del signo menos. 1 d V (2) a d En ese puno, se debe observar que se cuena con dos expresiones para la velocidad de reacción, en la primera, la ecuación cinéica, en donde se desconoce la consane de velocidad (k) y una vez eniéndola, permie definir claramene que se raa de una reacción de primer orden, y en la segunda se iene la derivada de la concenración con respeco al iempo. El profesor, debe hacer un alo en la secuencia didácica y pregunar al equipo de rabajo Cómo uilizar dicha información para la obención del modelo maemáico que describa la velocidad de la reacción química de primer orden? Al raarse de dos ecuaciones que represenan la velocidad de la reacción química, maemáicamene se pueden igualar y con ello obener el modelo maemáico requerido por el eveno conexualizado (figura 14) y que corresponde a 415

20 E. Trejo, P. Camarena, N, Trejo. Las maemáicas en la formación de un ingeniero una ecuación diferencial. Es imporane desacar que para ese momeno, los esudianes han previamene abordado el esudio de las ecuaciones diferenciales y sus méodos de solución así que puede considerarse que ya forman pare de sus conocimienos previos. Consecuenemene, el modelo maemáico que describe a la velocidad de las reacciones químicas de primer orden se obiene igualando la ecuación 1 y 2 expresado por una ecuación diferencial (coniene una función desconocida () y su derivada d d ). 1 d = k (3) a d Rapidez de consumo del Proporcional a su concenración Donde k es la consane de velocidad (proporcionalidad). Fuene: Elaboración propia Figura n. 14. Modelo maemáico de la velocidad de una reacción química de primer orden Cuando el esudiane obiene el modelo maemáico, se considera que ha sido capaz de vincular a las maemáicas con la disciplina del conexo, es decir logra la ransferencia de los conocimienos maemáicos a oras ciencias (Camarena, 2000). A parir de ese momeno, se considera que el grado de dificulad del eveno conexualizado disminuye, pues oda vez que se cuena con el modelo maemáico se habrá de aplicar el algorimo necesario para su solución. Con el modelo maemáico obenido, se pasa a la solución maemáica del mismo para lo cual se puede uilizar el méodo de variables (figura 15). Modelo maemáico de la velocidad de una reacción: Solución por méodo de separación de variables: 1 d k a d d 0 0 ak( d) Solución maemáica: Ln( ) ak 0 0 Ln( ) Ln( ) 0 ak Ln( ) Ln( ) ak Ln( ) Ln( ) ak Fuene: Elaboración propia Figura n. 15. Solución maemáica enconrada para el modelo maemáico 0 0 ( ) Ln 0 ( ) ak La solución del modelo maemáico, corresponde sólo a la solución maemáica de la ecuación diferencial que represena la velocidad de reacción. Ahora, para que los esudianes deerminen si se raa de una reacción química de primero orden, el 416

21 Ln() Revisa de Docencia Universiaria, Vol.11 (Número especial, 2013) profesor debe pregunar a los esudianes Cómo se debe uilizar la solución maemáica para enconrar la solución en érminos de la disciplina del conexo? Es decir, cómo deerminar si se raa de una reacción de primer orden. Para ello, los esudianes deben recordar que cuenan con la abla de daos (figura 10, con ésa información y la solución maemáica se obiene la concenración del peróxido de hidrógeno a ravés del iempo, para ello será necesario el que los esudianes despejen y graficar dicha información. El esudiane recurrirá nuevamene a sus conocimienos écnicos previos y recordar que la represenación gráfica de una reacción química de primer orden es una gráfica lineal (figura 14). Si el profesor decide rabajar con diferenes sisemas de represenación, para fomenar la aprehensión del conocimieno, en ese momeno puede uilizar el sisema de represenación gráfico, abular y análiico y buscar su ránsio enre dichos sisemas. Ln () ak Ln() 0 Tiempo (seg) Ln() Tiempo (Seg) = -ak + Ln ( 0 ) y = mx + b Reacción química de primer Fuene: Elaboración propia Figura n. 16. Deerminación del orden de reacción mediane la solución maemáica Para fomenar el análisis maemáico, el profesor puede soliciar al equipo de esudianes, el uso de la velocidad de reacción (k) para comprobar si se raa de una reacción química de primer orden; nuevamene, los esudianes deberán recurrir a los conocimienos propios de la disciplina y recordar que la velocidad de reacción de una reacción química de primer orden no cambia, es decir es consane. De esa manera, los esudianes, a parir de la solución maemáica deben despejar k y uilizar los daos de la abla (figura 10) para deerminar el valor de k (figura 17); al no variar dicho valor se concluye que se raa de una reacción química de primer orden, lo cual significa desde el puno de visa de la disciplina del conexo, que el consumo del reacivo (peróxido de hidrógeno) es proporcional a la concenración del mismo. 417

22 E. Trejo, P. Camarena, N, Trejo. Las maemáicas en la formación de un ingeniero ( ) Ln 0 ( ) Ln (0.4343) 0 0 Ln 0 Ln Ln Log Log e Ln Ln ak k k ak Log Log Log Log Log Log Log a Log a Tiempo (seg) k Reacción química de primer orden (k no varía) Fuene: Elaboración propia Figura n. 17. Deerminación del orden de reacción química mediane la solución de una ecuación diferencial y la consane de velocidad (k) En relación con las acividades realizadas, se puede esablecer la solución requerida por el eveno, la cual corresponde a la deerminación de la consane de velocidad (k) o en su defeco la represenación gráfica de la concenración del peróxido de hidrógeno a ravés del iempo. Esos dos resulados, se han obenido mediane el uso de una ecuación diferencial resuela por variables separadas. Se considera que cuando los esudianes ienen la compeencia de vincular los conocimienos maemáicos con los de la disciplina que apoyan y llegar a un resulado favorable, endrán pocos problemas para la inerpreación de la solución en érminos del eveno (Trejo y Camarena, 2011), de al manera que para el caso que nos ocupa, se raa de una reacción química de primer orden cuando al resolver la ecuación diferencial y susiuir los valores de la concenración inicial y las diferenes concenraciones a ravés del iempo, se obiene una gráfica lineal y un valor de k que no varía, con lo que se comprueba que el peróxido de hidrógeno es una reacción química de primer orden. Acividades de cierre: En las acividades de cierre el profesor debe reforzar los emas relacionados al concepo maemáico de ecuaciones diferenciales. Las esraegias que el profesor siga para concluir el ema esán en función de su experiencia, el iempo didácico y la observación de los niveles de desempeño de sus esudianes al resolver el eveno conexualizado. En esa eapa se idenifica la desconexualización de los emas, es decir se rabaja nuevamene con ecuaciones 418