Resumen: Título: Texto ABC de Matemática Financiera

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1 Resumen: Título: Texto ABC de Matemática Financiera Mg. Marcela González Editorial: Foja Cero Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Económicas y Estadística Universidad Nacional de Rosario marcelagonzalezd@fibertel.com.ar El objetivo del presente trabajo es presentar el libro de mi autoría ABC de Matemática Financiera que fui escribiendo parcialmente durante mis años de docente en la cátedra de nuestra materia. Brevemente menciono los objetivos que me motivaron a escribirlo haciendo una breve introducción de la composición de la cátedra y del alumnado que asiste a la materia en la Facultad de Ciencias Económicas y Estadística de la Universidad Nacional de Rosario. Finalmente, presento el índice y la bibliografía.

2 Texto ABC de Matemática Financiera Mg. Marcela González Editorial: Foja Cero Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Económicas y Estadística Universidad Nacional de Rosario marcelagonzalezd@fibertel.com.ar

3 El objetivo del presente trabajo es presentar el libro de mi autoría ABC de Matemática Financiera que fui escribiendo parcialmente durante mis años de docente en la cátedra de nuestra materia. Inicialmente fueron apuntes manuscritos de algunos temas que luego se transformaron en archivos de Word, posteriormente unidades, capítulos y a partir del año 2011, en que asumo la titularidad de la materia en forma interina, este libro. La iniciativa partió un poco de los mismos alumnos que me fueron preguntando sobre la posibilidad de tener un libro de Matemática Financiera ya que contaban con libros de las matemáticas anteriores a la nuestra escritos por los docentes de nuestra facultad (en otras materias también hay textos de los docentes pero, no específicos del área de las matemáticas). Por supuesto que, creo que inconscientemente, cada tema más que podía escribir era una forma de acercarme al objetivo final. Deseo recordar que, ya anteriormente el Prof. Fernando Cícero había escrito un libro de la materia, sin dejar de mencionar al Prof. Eduardo Cúneo y el Prof. Juan José Martín que, prácticamente escribían todos los años un libro en las pizarras de nuestra querida facultad, sólo restaba transcribirlo en un editor de texto. El primer objetivo de escribir este libro fue homogeneizar el material a dar por todos los docentes a nuestros alumnos ya que en la Facultad de Ciencias Económicas y Estadística de la Universidad Nacional de Rosario somos 13 docentes, 5 profesores de teoría y 8 de práctica, los que dictamos clases en Rosario y en cinco sedes que posee la Facultad a saber: San Nicolás (provincia de Buenos Aires), Marcos Juárez (provincia de Córdoba), Venado Tuerto, Casilda y Cañada de Gómez (las tres ciudades en la provincia de Santa Fe). Como segundo objetivo escribir este libro permite al alumno disponer del material necesario para rendir la materia con todos los temas incluidos en el Programa, tanto de teoría como de práctica y con ejercitación complementaria a la desarrollada en las clases regulares Quiero mencionar que la materia es semestral y está ubicada en el plan de estudios de la Carrera de Contador Público (también se dicta en la carrera de Licenciado en Administración de Empresas y en la carrera de Gestión de Operaciones y Logística y es optativa en la carrera de Licenciado en Economía) en el primer cuatrimestre en el cual se anotan, en promedio, alumnos en Rosario (8 comisiones de teoría y 16 comisiones de práctica) y 300 alumnos en 3 de las sedes mencionadas. En el segundo cuatrimestre la materia se dicta para recursantes con la mitad de las comisiones enumeradas anteriormente. Sin embargo la cantidad de alumnos es bastante significativa: alumnos en Rosario y 80 alumnos en las dos sedes restantes. El desarrollo de los temas teóricos se realiza completamente por los docentes de la cátedra en las clases de teoría. En las clases prácticas se desarrolla una ejercitación dis-

4 tinta a la que este libro contiene, que fue realizada por todos los docentes de la cátedra la cual supervisé y compilé. La editora del libro es Foja Cero y es de nuestra facultad. Esta obra se encuentra dividida en ocho capítulos a saber: El primero trata las operaciones financieras de Interés, con sus distintos regímenes de cálculo y aplicaciones, siendo el principal objetivo la determinación de las tasas efectivas de costo implícita en toda operación financiera simple de capitalización. Como aplicaciones se tratan la inflación, la tasa promedio y el tratamiento de los intereses para tiempos fraccionarios. El segundo se refiere a las operaciones financieras de Descuento, inversa a la anterior, con los mismos objetivos pero para operaciones de actualización o descuento. Como aplicación se estudia la refinanciación de deudas en las que sustituyen documentos ya emitidos, por otros nuevos. Finalizado este capítulo, se logra una comprensión estrecha entre ambas operaciones de contemporización: capitalización y actualización. El tercer capítulo trata las operaciones financieras en forma intrínseca, como teóricamente se generan los intereses, que es en el campo continuo. Se incorpora, así, el análisis matemático, a través del cálculo diferencial e integral como importante herramienta de método. En la cuarta parte comienzan a estudiarse las operaciones compuestas, las rentas con cuotas constantes, donde las prestaciones y las contra prestaciones son plurales. Cómo abonar una deuda, cómo formar un capital, y las distintas combinaciones de estas dos operaciones. Se presenta como objetivo principal, el cálculo de la tasa de interés implícita en estas operaciones a través del método de tanteo financiero e interpolación lineal, si bien hoy, gracias a las herramientas computacionales, estos cálculos se han simplificado. En el capítulo quinto, se analizan las operaciones compuestas pero con cuotas variables, ya sea bajo una ley (aritmética o geométrica) o sin ella. Para estas últimas, se recurre, introductoriamente, a la Teoría de las Inversiones, tomando como base parte de un Apunte de Cátedra realizado por el Prof. Juan José Martín hace ya varios años. Ya en la sexta parte, se exponen de lleno los distintos sistemas de amortización de préstamos analizando especialmente, el sistema Francés, el Alemán, el Americano y algunas distorsiones como el procedimiento de Tasa Directa en sus dos modalidades (con y sin descuento anticipado de intereses).

5 En el capítulo séptimo se tratan los empréstitos, ya sea emitidos por el Estado o por entidades privadas (Obligaciones Negociables) en los cuales existe pluralidad de acreedores o tenedores de títulos. El análisis se realiza considerando rescate cierto o programado y rescate aleatorio (sorteo o licitación). Ya en la octava y última parte, se introduce el cálculo actuarial, para determinar las primas únicas en los seguros sobre la vida. Este tema fue incorporado a la materia por el profesor Fernando Cícero, titular que me antecedió, y de quien he tomado un capítulo de su libro como base para desarrollarlo. A continuación presento el índice del libro en donde aparecen, detalladamente, cada uno de los puntos desarrollados en el texto.

6 PRÓLOGO ÍNDICE CAPÍTULO I: Operaciones Financieras de Capitalización. Interés 1.1. Operación Financiera Definición Elementos Clasificación Desde el punto de vista formal Desde el punto de vista sustancial Ejemplos 1.2. Regímenes para el cálculo de los intereses Régimen de Interés Simple Monto en Régimen de Interés Simple Tasas sucesivas de Interés en Régimen de Interés Simple en el supuesto en que NO se retiran los intereses Determinación de las sucesivas tasas de interés Ejemplo Régimen de Interés Compuesto Monto con Capitalización Periódica (m=1) Capitalización Subperiódica y Continua. Enfoque de Proporcionalidad. (Tasa Periódica Nominal Constante) Monto con Capitalización Subperiódica (1<m< ). Tasa Periódica Nominal de Interés. Tasa Subperiódica Proporcional Breve repaso del Binomio de Newton Comparación del Monto Compuesto con Capitalización Periódica y Subperiódica Comparación de los Montos con capitalización Subperiódica a medida que aumenta la frecuencia de capitalización Monto con Capitalización Continua. Monto Máximo (m ) Ejemplo Tasa Periódica Efectiva de Interés Con Capitalización Periódica Con Capitalización Subperiódica Con Capitalización Continua. Tasa Efectiva Máxima de Interés Ejemplo Capitalización Subperiódica y Continua. Enfoque de Equivalencia (Tasa Periódica Efectiva Constante) Tasa Subperiódica Equivalente Tasas Subperiódicas Equivalentes en general Tasa Periódica Nominal Convertible (capitalización Subperiódica) Tasa Periódica Nominal Instantánea de Interés (capitalización Continua) Definiciones Deducción aplicando el número e Ejemplo

7 Comparación de las Tasas Periódicas Nominales Convertibles de Interés para m variable Comparación de las Tasas Subperiódicas de Interés. Ejemplo Resumen de Montos en Régimen de Interés Compuesto Cuadro Gráficos de los Montos para n variable Gráfico de los Montos trabajando con tasas proporcionales (tasa periódica nominal j constante) Gráfico de los Montos trabajando con tasas equivalentes (tasa periódica efectiva i constante) Tasa Efectiva de Costo (Interés) cuando se opera en Régimen de Interés Simple Operaciones pactadas con Ajuste por Inflación Monto pactado SIN Ajuste por Inflación Monto pactado CON Ajuste por Inflación Relaciones entre la Tasa Aparente, la tasa de Inflación y la Tasa Real Tasa Aparente Tasa de Inflación Tasa Real Ejemplo Cuadro de evolución del Monto Con Ajuste por Inflación 1.4. Tasa Media o Tasa Promedio Primer caso: cuando se particiona el Capital Definición Régimen de Interés Simple Régimen de Interés Compuesto Segundo caso: cuando se particiona el Tiempo de Colocación Definición Régimen de Interés Simple Régimen de Interés Compuesto 1.5. Análisis Funcional de Monto Simple y Monto Compuesto Monto Simple Para tasa variable y tiempo constante Para tiempo variable y tasa constante Monto Compuesto Para tasa variable y tiempo constante Para tiempo variable y tasa constante 1.6. Comparación Analítico Algebraica de Monto Simple y Monto Compuesto Para n= Para n= Para n> Para 0<n< Cuadro resumen y Gráfico conjunto de ambos Montos 1.7. Tiempo Fraccionario Monto en Convención Lineal Monto en Convención Exponencial Comparación de ambos Montos Máxima diferencia entre ambos montos 1.8. Ejercitación Capítulo I

8 CAPÍTULO II: Operaciones Financieras de Actualización. Descuento 2.1. Introducción Simbología Clasificación Según la Tasa que se utiliza para el cálculo del descuento Según el Régimen de Interés utilizado Combinación de las dos clasificaciones anteriores 2.4. Regímenes para el cálculo del Descuento Descuento Comercial a Interés Simple D Definición Ejemplo y Observaciones Descuento Racional a Interés Simple D Definición Descuento Racional a Interés Compuesto D Definición Valor Efectivo y Valor Nominal con actualización Periódica (m=1) D 3 con Actualización Subperiódica y Continua. Enfoque de Proporcionalidad. Cuadro Resumen de fórmulas D 3 con Actualización Subperiódica y Continua. Enfoque de Equivalencia. Cuadro Resumen de fórmulas Descuento Comercial a Interés Compuesto D Valor Efectico con Actualización Periódica Actualización Subperiódica y Continua. Enfoque de Proporcionalidad (Tasa periódica Nominal de Descuento Constante) Valor Efectivo con Actualización Subperiódica (1<m< ) Comparación de los Valores Efectivos con Actualización Periódica y Subperiódica Valor Efectivo con Actualización Continua (m ). Valor Efectivo Máximo Ejemplo Tasa Periódica Efectiva de Descuento Con Actualización Periódica Con Actualización Subperiódica Con Actualización Continua. Tasa Periódica Efectiva Mínima de Descuento Ejemplo Actualización Subperiódica y Continua. Enfoque de Equivalencia (Tasa periódica Efectiva de Descuento Constante) Tasa Subperiódica Equivalente de Descuento Tasas Subperiódicas Equivalentes de Descuento en general Tasa Periódica Nominal Convertible de Descuento (actualización subperiódica) Tasa Periódica Nominal Instantánea de Descuento (actualización continua) Definiciones Deducción aplicando el número e Ejemplo Comparación de las tasas periódicas Nominales Convertibles de Descuento para m variable Comparación de las Tasas Subperiódicas de Descuento. Ejemplo Comparación de las Tasas Instantáneas de Interés y de Descuento

9 Síntesis de las relaciones entre las Tasas Periódicas de Interés y de Descuento bajo el supuesto de Equivalencia Relaciones y Comparaciones entre las tasas Periódicas de Interés y de Descuento Régimen de Interés Simple Régimen de Interés Compuesto Tasa Efectiva de Costo (Interés) para los Descuentos que aplican Interés Simple Análisis Funcional de los Valores Efectivos para n variable Descuento Comercial Simple D Descuento Racional Simple D Descuento Racional Compuesto D Descuento Comercial Compuesto D Resumen de Valores Efectivos en Descuento Comercial Compuesto Cuadro Gráficos de los Valores Efectivos para n variable Gráfico trabajando con tasas Proporcionales (tasa periódica Nominal de descuento Constante) Gráfico trabajando con tasas Equivalentes (tasa periódica Efectiva de descuento Constante) 2.5. Sustitución de Documentos o Refinanciación de Deudas 2.6. Ejercitación Capítulo II CAPÍTULO III: Principio Genético del Rédito 3.1. Introducción 3.2. Teoría General del Interés Fórmula General de Capitalización Introducción Aplicación a los distintos Regímenes de Capitalización Régimen de Interés Simple Régimen de Interés Compuesto Fórmula General de Actualización Introducción Aplicación a los distintos Regímenes de Actualización Descuento Comercial a Interés Simple Descuento Racional a Interés Simple Descuento Racional a Interés Compuesto Descuento Comercial a Interés Compuesto CAPÍTULO IV: Rentas con Cuotas Constantes 4.1. Definición 4.2. Elementos de una Renta. Época inicial de pago de cuotas, época de valuación y época final Clasificación 4.4. Rentas Ciertas y Temporarias Rentas Inmediatas o Amortizaciones Con cuotas Vencidas Con cuotas Adelantadas Relación entre ambas Análisis funcional de las funciones plurales de una Amortización Factor plural de actualización

10 Para n variable e i constante Para i variable y n constante Función cuota de una Amortización para i variable y n constante Cálculo de la tasa de interés aplicando tanteo financiero e interpolación lineal Imposiciones o Rentas de Ahorro Con cuotas Vencidas Con cuotas Adelantadas Relación entre ambas Análisis funcional de las funciones plurales de una Imposición Factor plural de capitalización Para n variable e i constante Para i variable y n constante Función cuota de una Imposición para i variable y n constante Relaciones entre funciones financieras plurales Cociente entre el Valor Actual y el Valor Final de una renta temporaria Diferencia entre la Cuota de una Amortización y la Cuota de una Imposición Rentas Diferidas Con cuotas Vencidas Con cuotas Adelantadas Rentas Anticipadas Con cuotas Vencidas Con cuotas Adelantadas Relaciones entre Rentas Temporarias Renta Diferida Renta Anticipada Fórmula General Unificada para Rentas Ciertas y Temporarias 4.5. Rentas Perpetuas o Perpetuidades Rentas Perpetuas Inmediatas Con cuotas Vencidas Con cuotas Adelantadas Rentas Perpetuas Diferidas Con cuotas Vencidas Con cuotas Adelantadas Rentas Perpetuas Anticipadas Con cuotas Vencidas Con cuotas Adelantadas Relaciones entre Rentas Perpetuas Renta Perpetua Diferida Renta Perpetua Anticipada 4.6. Cuadro Resumen de Rentas con Cuotas Constantes 4.7. Ejercitación Capítulo IV CAPÍTULO V: Rentas con Cuotas Variables y Flujos Irregulares 5.1. Rentas con cuotas variables en progresión aritmética Determinación del Valor Actual Observaciones 5.2. Rentas con cuotas variables en progresión geométrica Determinación del Valor Actual

11 Observaciones 5.3. Rentas con cuotas variables sin Ley. Teoría de las Inversiones Definición Clasificación Criterios de evaluación Criterio del Valor Actual Neto V.A.N Definición Criterio de aceptación Casos particulares Tasa de Actualización Análisis funcional del V.A.N Gráfico Criterio de la Tasa Interna de Retorno T.I.R Definición Criterio de aceptación Casos particulares 5.4. Flujos Irregulares 5.5. Ejercitación Capítulo V CAPÍTULO VI: Sistemas de Amortización de Préstamos 6.1. Introducción 6.2. Sistema Francés Amortización Real del primer período o Fondo Amortizante Amortización Real de un período cualquiera k Total Amortizado en los primeros k períodos Deuda Subsistente después de transcurridos k períodos Intereses abonados en un período cualquiera k Suma de Intereses Abonados Parciales Totales Período en el cual se amortiza una fracción de la deuda original Período Medio de Reembolso Tasa de Amortización 6.3. Sistema Alemán Amortización Periódica Cuota de un período cualquiera k Interés de un período cualquiera k Ley de Cuotas Total Amortizado en los primeros k períodos Deuda Subsistente después de transcurridos k períodos Suma de Intereses Abonados Parciales Totales Período en el cual se amortiza una fracción de la deuda original Período Medio de Reembolso Tasa de Amortización 6.4. Sistema Americano Fondo de Acumulación

12 Cuota periódica constante Total de Intereses Abonados Total de Intereses Ganados Total de Intereses Netos Comparación del Sistema Americano y del Sistema Francés Ejemplos Determinación de la tasa efectiva de costo del Sistema Americano 6.5. Distorsiones del Sistema Francés Respecto de la tasa de interés Respecto de la partición de la cuota periódica Respecto del momento en que se abona la cuota Tasa Directa Primera modalidad: Tasa directa Con Intereses Cargados a la suma solicitada Cuota periódica constante Críticas a esta modalidad Cálculo de la tasa de interés sobre saldos o tasa de costo implícita Segunda modalidad: Tasa directa Con Intereses Descontados de la suma solicitada Cuota periódica constante Críticas a esta modalidad Cálculo de la tasa de interés sobre saldos o tasa de costo implícita Número máximo de cuotas a abonar en esta modalidad Relación y Comparación entre ambas Tasas Directas 6.6. Incidencia del I.V.A. en los cuadros de amortización de préstamos Sistema Francés Con I.V.A. incluido en la cuota Con I.V.A. excluido de la cuota Sistema Alemán 6.7. Préstamos con tasa variable o tasa Flotante Sistema Francés Sistema Alemán 6.8. Préstamos pactados con ajuste por inflación Sistema Francés Sistema Alemán 6.9. Ejercitación Capítulo VI CAPÍTULO VII: Empréstitos 7.1. Introducción 7.2. Condiciones de emisión 7.3. Simbología 7.4. Empréstitos emitidos por el Sistema Francés Determinación del número de títulos (Rescate aleatorio) Rescatados o extinguidos en el primer período Rescatados o extinguidos en el período k Rescatados o extinguidos en los primeros k períodos Vivos o en circulación después de transcurridos k períodos Probabilidades aplicadas a empréstitos (Rescate aleatorio) Probabilidad de que un título sea rescatado en el primer período Probabilidad de que un título sea rescatado en el período k

13 Probabilidad de que un título sea rescatado en los primeros k períodos Probabilidad de que un título esté en circulación después de transcurridos k períodos Cálculo de la tasa efectiva del empréstito Para el ente emisor Empréstitos emitidos a la par Empréstitos emitidos bajo la par Empréstitos emitidos bajo la par y con lotes Para el suscriptor o tenedor del título Rescate aleatorio Rescate cierto o programado Vida de un título de renta (Rescate aleatorio) Vida Probable Vida Media Vida Matemática Nuda Propiedad y Usufructo de un empréstito a Valor de Mercado Nuda Propiedad, Usufructo y Valor Real de un título de renta (para el tenedor del título) Rescate Aleatorio Nuda Propiedad de un título de renta Usufructo de un título de renta Valor real de un título de renta Ejemplo Rescate Cierto o Programado Nuda Propiedad de un título de renta Usufructo de un título de renta Valor real de un título de renta Ejemplo 7.5. Empréstitos emitidos por el Sistema Alemán Determinación del número de títulos (Rescate aleatorio) Rescatados o extinguidos en un período cualquiera Rescatados o extinguidos en los primeros k períodos Vivos o en circulación después de transcurridos k períodos Probabilidades aplicadas a empréstitos (Rescate Aleatorio) Probabilidad de que un título sea rescatado en un período cualquiera Probabilidad de que un título sea rescatado en los primeros k períodos Probabilidad de que un título esté en circulación después de transcurridos k períodos Cálculo de la tasa efectiva del empréstito Para el ente emisor Empréstitos emitidos a la par Empréstitos emitidos bajo la par Empréstitos emitidos bajo la par y con lotes Para el suscriptor o tenedor del título Rescate aleatorio (sorteo o licitación) Rescate cierto o programado Vida de un título de renta (Rescate aleatorio) Vida Probable Vida Media Vida Matemática Nuda Propiedad y Usufructo de un empréstito a Valor de Mercado Nuda Propiedad, Usufructo y Valor Real de un título de renta (para el tenedor del título)

14 Rescate aleatorio Nuda Propiedad de un título de renta Usufructo de un título de renta Valor real de un título de renta Ejemplo Rescate Cierto o Programado Nuda Propiedad de un título de renta Usufructo de un título de renta Valor real de un título de renta Ejemplo 7.6. Paridad 7.7. Ejercitación Capítulo VII CAPÍTULO VIII: Introducción al Cálculo Actuarial 8.1. Introducción 8.2. Funciones de Sobrevivencia y de Mortalidad 8.3. Tasas Anuales Tasa Anual de Vitalidad Tasa Anual de Mortalidad 8.4. Cálculo de los Valores de Conmutación de las Tablas de Mortalidad Parte Vida Parte Muerte 8.5. Probabilidades de Vida y de Muerte sobre una sola cabeza Probabilidad de Vida Temporaria Probabilidad de Muerte Temporaria Probabilidad de Muerte Interceptada 8.6. Vida Probable 8.7. Duración más probable de Vida 8.8. Definiciones para la clasificación de Seguros y Rentas Vitalicias 8.9. Seguros sobre la Vida Humana Seguros en caso de Vida (Capital Diferido y Rentas Vitalicias) Definiciones Capital Diferido Ejemplo Rentas Vitalicias (seguro sobre la Vida) y Seguros en caso de Muerte Introducción Fórmula General Unificada para Rentas Vitalicias y Seguros en caso de Muerte Casos Particulares. Aplicación de la Fórmula General Unificada Renta Vitalicia Diferida y Temporaria Renta Vitalicia Inmediata y Temporaria Renta Vitalicia Diferida e Ilimitada Renta Vitalicia Inmediata e Ilimitada Seguro sobre la Muerte Diferido y Temporario Seguro sobre la Muerte Inmediato y Temporario Seguro sobre la Muerte Diferido e Ilimitado Seguro sobre la Muerte Inmediato e Ilimitado Cuadro resumen Deducción analítica de la fórmula de una Renta Vitalicia Vencida

15 Seguros en caso de Vida y de Muerte (Mixtos) A Capital Simple o Dotal A Capital Doblado Primas Naturales en un Seguro en caso de Muerte Primas Periódicas Constantes o Niveladas Reservas Matemáticas Prima de Riesgo y Prima de Ahorro Primas de Tarifa o Primas Cargadas Introducción Clasificación de Gastos Tablas de Mortalidad Ejercitación Capítulo VIII BIBLIOGRAFÍA

16 Bibliografía - Apreda, Rodolfo: Matemática Financiera. Ed. Club de Estudio. Buenos Aires, Brealey, Richard y Myers, Stewart. Fundamentos de Financiación Empresarial. McGraw Hill. Madrid, Castagnaro, Aída Beatriz: Curso de Cálculo Financiero. Ed. La Ley Bs As Cícero Mattía, Fernando: Matemática Financiera. U.N.R. Editora Cúneo, Eduardo: Tasas ficticias y tasas reales - U.N.R. Separata de Revista Facultad de Ciencias económicas Fernández, Néstor: Funciones Financieras de Excel Ed. Errepar - Bs. As Furnes Rubio, F.: Curso de Álgebra Financiera. Ed. Bosch. Barcelona Gianneschi, Mario Atilio: Curso de Matemática Financiera. U.N del Noreste González Galé José: Matemática Financiera Bs. Aires González Galé José: Elementos de cálculo Actuarial Bs. aires Mao, James: Análisis Financiero. Ed. El Ateneo. Buenos Aires Martín, Juan José. Apunte de Cátedra Análisis de las Inversiones. U.N.R., Motoyuki Yasukawa, Alberto: Matemática Financiera. LDM Editorial Motoyuki Yasukawa, Alberto: Matemática Actuarial. Ediciones Eudecor. Córdoba Murioni, Oscar y Trossero, Ángel: Cálculo financiero. Ed. Tesis. Buenos Aires Pascale, Ricardo: Introducción al Análisis de Decisiones Financieras. Ed. Contabilidad Moderna. Buenos Aires Sapag Chain, Nassir. Proyectos de Inversión. Formulación y Evaluación. Segunda Edición. Ed. Pearson. Santiago de Chile Quirelli, Blanca: La valoración dinámica de capitales. U.N.L Suárez Suárez, Andrés: Decisiones óptimas de Inversión y Financiación de la Empresa. Ed. Pirámide. Madrid Van Horne, James: Administración Financiera. Ed. Contabilidad Moderna. Buenos Aires

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