MECANISMOS ARTICULADOS ANALIZADOS CON ALGORITMOS GENETICOS

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1 MECANISMOS ARTICULADOS ANALIZADOS CON ALGORITMOS GENETICOS A_23 E. Lugo-González, J. Ramírez-Gordllo, A. T. Velázquez Sánchez, C.R. Torres San Mguel. Insttuto Poltécnco Naconal, Escuela Superor de Ingenería Mecánca y Eléctrca, Undad Profesonal Zacatenco, Avenda Insttuto Poltécnco Naconal, Colona Zacatenco, Gustavo A. Madero, CP 07738, Méxco DF, Méxco Tel ext. 696 elugog@pn.mx, ramrezgordllo@gmal.com, avelasquez@pn.mxd, sha220@hotmal.com. E. A. Merchán-Cruz, R. G. Rodríguez-Cañzo 2 Insttuto Poltécnco Naconal, Escuela Superor de Ingenería Mecánca y Eléctrca, Undad Profesonal Azcapotzalco, Avenda de las Granjas 682, Colona Sta. Catarna, Azcapotzalco, CP 02550, Méxco DF, Méxco eamerchan@pn.mx, rcname@gmal.com. RESUMEN En este trabajo se presenta la aplcacón de los Algortmos Genétcos a la solucón de problemas de síntess cnemátca en mecansmos de cadena aberta y cerrada, desde un punto de vsta general, tenendo como objetvos de la síntess, la generacón y el segumento de trayectoras específcas. El AG explora un espaco de solucones, selecconando la más factble a través de una funcón apttud que permtrá drgr la búsqueda con un enfoque de optmzacón. La estratega no requere el mplemento de matemátcas complejas para la cnemátca nversa de ambos casos, debdo a que las ecuacones de enlace geométrco en cada mecansmo se obtenen metódcamente para reducr la complejdad del problema. Se explcará de forma general en qué consste la técnca, así como la forma en que se aplcó a cada problema en partcular, para después pasar al análss de los resultados obtendos en cada uno de los ejemplos mostrados. ABSTRACT In ths work the applcaton of the Genetc Algorthms s studed to solve knematcs synthess problems n mechansms of open and closed chan, from a general pont of vew, havng the generaton and the pursut of specfc trajectores as objectves of the synthess. The AG explores a space of solutons, selectng the most feasble through an apttude functon that wll let drect the search wth an optmzaton approach. The strategy does not requre the mplementaton of complex mathematcs for the nverse knematcs n any case, because the lnk geometrc equatons n each mechansm are methodcally obtaned to reduce the complexty of the problem. The technque wll be generally explaned, as well as the way n whch t was appled to each problem n partcular, later to pass to the analyss of the results obtaned n each one of the shown examples. NOMENCLATURA Σ = Sumatora m = Grados de lbertad r= Longtud de la barra del mecansmo θ= Ángulo de movmento de las barras f= Funcón óptma C = Conjunto de puntos específcos d x 0 = Punto de nco en el eje x y 0 = Punto de nco en el eje y xd= Punto deseado en el eje x yd= Punto deseado en el eje y L = Longtud de los eslabones C= Confguracón ncal. Pf= Poscón fnal. θ = Domno de la varable INTRODUCCIÓN La síntess tene como objetvo selecconar el mecansmo óptmo para cumplr con las restrccones y los requstos mpuestos. El prncpal problema de esta es la optmzacón, que cas sempre se resuelve por la vía numérca. Para la formulacón de esta, se requere la defncón de varos aspectos como el espaco de dseño, la funcón objetvo, el algortmo de optmzacón y las restrccones. En la generacón de trayectora se trata de determnar la confguracón apta de un mecansmo que permta que un punto del msmo pase por una sere de coordenadas predefndas llamadas puntos de precsón. La optmzacón con algortmos genétcos es utlzada en la síntess de mecansmos para ISBN P á g n a 876 Derechos Reservados 2009, SOMIM

2 mnmzar el error de poscón y orentacón en mecansmos artculados, además de dsmnur la dferenca en la dstanca entre la trayectora generada y la deseada en mecansmos de cadena cerrada. Como prmer caso de estudo se presentan los robots manpuladores artculados que utlzan el método de campos de potencal artfcales para planear trayectoras con dstancas seguras entre el robot y obstáculos sobre el espaco de trabajo, desarrollando una funcón escalar utlzada como funcón métrca en el algortmo genétco [, 2]. El objetvo es que el manpulador alcance desde una poscón ncal un punto fnal sn colsonar con los obstáculos que se encuentran en el espaco de trabajo, se busca un camno corto entre el manpulador y la meta con confguracones lbres de colsón medante el algortmo genétco, evaluando la funcón objetvo como funcón de potencal caracterzado en los obstáculos. En los mecansmos polcéntrcos, segundo caso de estudo, como condcón se tene el segur una trayectora específca. El prncpal problema es la optmzacón dmensonal que puede ser defnda como la cuantfcacón de un grupo de varables de dseño que permte alcanzar un desempeño crítco en un sstema, este se expresa por medo de una funcón objetvo y cumple con certas restrccones de dseño, como son las condcones de Grashof, los valores máxmos y mínmos permtdos para los eslabones y los ángulos de entrada, además de varables de dseño y dsmnur el error permsble. La formulacón de la funcón objetvo para la síntess de error, se basa en mnmzar el error cuadrátco medo generado entre las poscones de los puntos del acoplador y las deseadas. ALGORITMOS GENÉTICOS. Un Algortmo Genétco es una técnca de programacón que mta la evolucón bológca como una estratega para resolver problemas complejos de búsqueda en la satsfaccón de decsones para modfcarse y actuar como optmzadores de funcones [3], basados en los prncpos naturales de seleccón y supervvenca de los ndvduos más aptos [, 5]. Estos fueron desarrollados por Holland [6] e mplementados por Goldberg [7]. Como ventajas tenen el ser ntrínsecamente paralelos, esto se observa por la descendenca múltple, que puede explorar el espaco de solucones en múltples dreccones a la vez. Funconan ben resolvendo problemas cuyo espaco de solucones potencales es realmente grande y usan operadores probablístco. Como desventajas tenen la rápda o tardía convergenca dependendo en certa medda de los parámetros que se utlcen como tamaño de la poblacón, número de generacones, etc. Dado el problema especfco de encontrar una trayectora para llegar a una poscón deseada, sn tomar en cuenta la orentacón en partcular, la entrada del AG es a través de un conjunto de solucones potencales ncado por una poblacón aleatoramente generada. Los caracteres en la cadena de solucón son llamados genes. El valor y la poscón en la cadena de un gen son alele. Cada solucón de la cadena es llamada cromosoma. El códgo de las varables se llama genotpo, y las varables msmas se llaman fenotpo. Estas son codfcadas por algún método y evaluadas por una métrca llamada funcón de apttud que permte conocer cuanttatvamente a cada conjunto de ndvduos selecconados probablístcamente. Los mejores canddatos se conservan y se les permte reproducrse, con la opcón de realzar múltples copas de ellas e ntroducendo cambos aleatoros durante el proceso de copa. Esta descendenca persste en cada generacón, formando un nuevo conjunto de posbles solucones, sometdas nuevamente a evaluacón de la métrca apttud, varando medante operacones genétcas como la reproduccón, el cruce y la mutacón, mejorando a algunos ndvduos, convrténdolos en mejores solucones del problema, más completos o más efcentes [8]. El algortmo nvolucra una secuenca de pasos y operacones: En la confguracón del manpulador robótco se obtenen los parámetros D-H con (θ, α, a, d), para adqurr de forma sstemátca el modelo matemátco del robot 0 T y expresarlo en el arreglo de (), donde se descrbe el robot con la poscón deseada. Posterormente se da la confguracón ncal del sstema C Є [θ, θ 2, θ n ], donde el AG se mplementa para cumplr con el objetvo planteado. 0 j T = Π = A La matrz homogénea j representa la poscón y orentacón de la ISBN P á g n a 877 Derechos Reservados 2009, SOMIM

3 herramenta con respecto al marco de referenca del manpulador robótco en forma sstemátca. En (2) se emplea para representar la poscón y orentacón de la herramenta respecto al marco de referenca, tambén puede representar la poscón y orentacón deseada, a través de (3). cosθ cosα snθ snα snθ a cosθ () snθ cosα cosθ snα cosθ a snθ A = 0 snα cos α d n ny nz 0 sx sy sz 0 ax px ay py n s = az pz x (2) a p R3 3 = p3 n s a p nd sd ad p (3) d = El térmno del lado zquerdo de la gualdad, representa el modelo matemátco del robot, el del lado derecho descrbe los parámetros deseados (orentacón y poscón). Para utlzar una expresón capaz de emplearse como funcón de desempeño en el AG, es necesaro prescndr del vector de perspectva y el valor de escala, al gual que la orentacón para soluconar el problema en partcular, utlzando úncamente el vector de posconamento p para un manpulador plano. El vector p, descrbe la desvacón que exste entre la poscón ncal y la deseada, el objetvo es reducr esta desvacón como una funcón apttud que al ser evaluada, cuantfca el desempeño de la funcón ftness [2]. Por otro lado en los mecansmos polcéntrcos, para obtener la poscón de cada eslabón se emplean las ecuacones de Freudenstan () y los números complejos para determnar los valores de los ángulos de transmsón y las dmensones de los eslabones necesaros para cubrr las restrccones de las condcones de Grashof, empleando los AG como método de búsqueda de los valores óptmos que cubran la trayectora específca. Con las restrccones mpuestas al nco de los AG, se ubcan las regones más mportantes de búsqueda. Se emplearon las ecuacones con números complejos por ofrecer mejores resultados numércos y gráfcos, ya que permten una mejor unón entre los eslabones En ambos casos de estudo, el AG nca con una poblacón de manera aleatora totalmente en códgo bnaro en base al domno de cada varable, calculando el número de bts y la longtud del cromosoma con (5) y (6) respectvamente, sendo p el número de dígtos de precsón después del punto se tene [9]: log nbts = s n longcr p ( r r ) 0 ) max = log ( 2) n longcr = nbts b = b, n, Κ b Κ b mn, longcr Μ n, longcr (5) (6) (7) Tomando como ejemplo el mecansmo de barras smple de cadena cerrada, se tenen 9 varables más los valores que tendrá el ángulo de entrada basados en la cantdad de puntos de precsón, s se queren 6 puntos, aumentan las varables a 5. Para ejemplfcar se toman las varables correspondentes a los eslabones, representadas por r, r2, r3 y r. Para el análss numérco, exsten certas restrccones que forman el domno con los valores máxmos y mínmos de cada varable, tenendo [rmn rmax; r2mn r2max; r3mn r3max; rmn rmax] ; dando valores : restrccón= [-60 60; -0 0; -5 5; -5 5]. Es necesaro determnar la precsón de dígtos después del punto decmal para la exacttud del resultado, para este caso, p=6. Xd cosθ0 = Yd senθ0 senθ0 rcx xo + cosθ 0 rcy yo () Cálculo con valores del domno ISBN P á g n a 878 Derechos Reservados 2009, SOMIM

4 60 ( 60) 0 ( 0) 6 log 0 5 ( 5) 5 ( 5) nbts = log( 2) log nbts = log( 2) Número de bts Longtud del cromosoma r 2 r2 = 38 nbts r3 39 r 39 longcr = = 2 38 = Por lo tanto el número de bts es de 2, 38,39 y 39 bts respectvamente, con una longtud del cromosoma de 58. La poblacón es generada de manera aleatora de acuerdo a su tamaño n (número de ndvduos) y a la longtud de cada uno de ellos, mostrada en la ecuacón 7. La representacón bnara correspondente para un número de ndvduos, y una longtud del cromosoma es (fgura ): Fgura. Representacón de la poblacón. Para el ejemplo mostrado en la fgura, el número de ndvduos se toma de. El tamaño de una poblacón n de cromosomas de longtud longcr, con una codfcacón bnara, debe ser sufcente para garantzar la dversdad de las solucones creadas por una notacón medante cadenas compuestas por 0 y, mostrada en (7)[0] Las varables una vez decodfcadas, son evaluadas por la funcón objetvo, que permte conocer cuanttatvamente a cada conjunto de ndvduos selecconados probablístcamente, se les da una puntuacón llamada ftness. Esta debe reflejar el valor del ndvduo de una manera real, pero en muchos problemas de optmzacón combnatora, donde exste una gran cantdad de restrccones, buena parte de los puntos del espaco de búsqueda representan ndvduos no váldos. f = ftness x ) (0) = ( F pop = f j () En la seleccón (fgura 2) el operador más utlzado es la funcón de seleccón proporconal a la funcón objetvo, con esta cada ndvduo tene una probabldad de ser selecconado como f w = (2) Fpop p p = wk + wp k = 0 L (3) padre, como se muestra en (2) y (3) [-3]. La poblacón debe evaluarse decodfcando los genes del cromosoma, para convertrse en una sere de solucones factbles al problema (8). x nbts r max r (8) mn = r mn + b 2 longcr j= ( 60) x = 60 + b 2 58 j= 0 2 (9) En (9) se muestra el cálculo para la prmera varable que tene 2 bts para su representacón. r r2 r3 r Fgura 2. Seleccón por ruleta. El operador de cruce (fgura 3) se aplca con una probabldad p c sobre los ndvduos selecconados prevamente, algunas de las cadenas se cruzan con otras, de forma tal que la cadena resultante no es representante de la cadena orgnal. ISBN P á g n a 879 Derechos Reservados 2009, SOMIM

5 Fgura 3. Cruzamento. La mutacón (fgura ), es un operador que se aplca con probabldad p m y que tene el efecto de nvertr un bt utlzando una probabldad de mutacón del bt l -, sendo l la longtud de la cadena del cromosoma. Fgura. Mutacón. La funcón prncpal se dseña medante el objetvo que es la poscón evadendo un obstáculo a través de la funcón de potencal para los mecansmos de cadena aberta y el error más pequeño entre la trayectora generada y la deseada. APLICACIÓN DE ALGORITMOS GENÉTICOS. En el manpulador robótco las ecuacones () y (5), srven para localzar el punto fnal y calcular su desvacón a través de la dstanca Eucldana [, 5]. error = f 2 ([ ]) 2 Pfnal P 3 3 j= = e error () (5) Para el mecansmo polcéntrcos, el objetvo es dsmnur el error y para esto algunos autores[6-9] han empleado (6): N ( CXd ( X) CX ( X) ) + CYd ( X) CY ( X) = ( ) M h ( X) + Mh X ( ) 2 2 (6) En donde las h son las condcones de Grashof, es decr s se cumple r 2 + r3 r + r, h =0 y en caso de que el eslabón r 2 no sea el más corto toma el valor de ; h 2 toma el valor de cero s la secuenca de los ángulos es θ 2 < θ2 < θ2 < θ2 < θ2 < θ. Y s no entonces 2 h 2 =, M determna s el mecansmo puede dar un gro completo y M 2 comprueba que el mecansmo realce un cclo en un solo sentdo cuando pasa por cada uno de los puntos deseados, M y M 2 son constantes para valores altos que penalzan la funcón objetvo cuando se presentan stuacones forzadas[6, 7, 20]. Para el ejemplo presentado, se hceron varas pruebas con valores aleatoros a las constantes M y M2 hasta llegar a un valor de 500 como penalzacón, valor que arrojo buenos resultados. La funcón objetvo tene una estructura partcular del problema, donde el error es la dstanca eucldana entre dos puntos, el punto de la confguracón ncal y el punto fnal, cuando la dstanca se reduce, ésta desvacón tende a cero. Se pretende optmzar medante el máxmo conteo de la funcón objetvo y para evtar un problema de sngulardad, se modfca la funcón objetvo a través de una funcón exponencal nversa, así la funcón crece de manera normalzada, mentras el error de dstanca se reduce. Basándose en lo anteror, la funcón objetvo fnal para cada uno de los casos de estudo es: F = ( Cr + r cosϕ, Cry + rsenϕ, Crz senϕ) (7) x + pp F = j= 2 ( Xd Xg) + ( Yd Yg) 2 CASO DE ESTUDIO DEL MANIPULADOR ROBÓTICO Se genera una trayectora elíptca con los parámetros de nco mostrados en la Tabla, en los que se defnen como varables prncpales la longtud de los eslabones, confguracón ncal, poscón fnal, número de ndvduos, probabldad de cruce y mutacón, además de los dígtos de precsón que se requeren para el valor optmo, así como el número máxmo de generacones. Tabla : Incalzacón de parámetros (8) Evaluacón fnal= /F (9) ISBN P á g n a 880 Derechos Reservados 2009, SOMIM

6 Manpulador Robótco Tres grados de lbertad Característca Descrpcón Valor Longtud de eslabones Confguracón ncal Poscón fnal Número de ndvduos Probabldad de cruce Probabldad de mutacón Precsón Número máxmo de generacones Domno de la varable Base en mm 0 Eslabón2 en mm 70 Eslabón 3 en mm 50 Angulo en condcones ncales en grados ( θ ) Pf (x,y,z) en mm [0 0 0] n ndvduo 00 De tpo proporconal.58 Mutacón solo en un punto Dígtos después del punto Intervalo de valores de ángulos máxmo y mínmo en grados [-3 3] Con los valores obtendos se tenen los sguentes gráfcos (fguras 5 y 6), el cuál sgue una trayectora ndcada por un punto objetvo: Fgura 6. Grafcas de los parámetros en la generacón de la trayectora con cambo de parámetros. En la tabla 2 se pueden observar los resultados del algortmo genétco y se muestra que converge en 55 generacones en un tempo mínmo de.6 segundos, marcando un error promedo sobre los puntos en la trayectora de 0.7 mm y una funcón promedo máxmo alcanzado de 2.7 puntos Tabla 2: Resultados del GA en la generacón de trayectora Error Funcón Generacones tempo promedo promedo mm s Se aplcaron los algortmos genetcos a partr del modelo cnematco del manpulador, empleando las ecuacones de enlace geometrco como una matrz de evaluacón. En esta puede observarse la secuenca de movmentos de los eslabones haca el punto objetvo sobre una trayectora aleatora, reducéndose la dstanca Eucldana en funcón de error y el máxmo ftness alcanzado. Fgura 5. Trayectora elíptca del manpulador de 3 grados de lbertad. CASO DE ESTUDIO DEL MECANISMO POLICÉNTRICOS. Se plantean las restrccones para generar una curva, esto con el objeto de mostrar las dversas trayectoras que puede segur un mecansmos de cadena cerrada, especfcando úncamente como restrccones los lmtes de los eslabones y los ángulos de movmento de tendrán estos para cubrr dchas lmtantes. Solo se están dando los valores de los ángulos de transmsón para dar el movmento ncal. En la tabla 3, se descrben cada una de las restrccones para poder utlzar los algortmos genétcos y generar con estos los resultados óptmos para cubrr la trayectora especfcada. ISBN P á g n a 88 Derechos Reservados 2009, SOMIM

7 Tabla 3: Incalzacón de parámetros cadena cerrada Mecansmo Polcéntrco Característca Puntos deseados Lmtes de las Descrpcón x d=[ ] varables y d=[ ] Restrccón para cada eslabón Rango para movmento Número de ndvduos Probabldad de cruce Probabldad de mutacón Precsón Número máxmo de generacones r,r2,r3,r [0,50] en mm X0,y0, r5 [ 50,50] en mm 0º a 35º grados n ndvduo 3000 De tpo proporconal 0.85 Mutacón solo en un punto Dígtos después del punto 000 generacones 0.58 El mejor mecansmo encontrado para 5 puntos de precsón, en la últma teracón de los Algortmos Genétcos, es el que tene las dmensones mostradas: x0= r=5.827 r2=7.3 y0=.057 r3= r=0.558 rcx= rcy=.857 t0=.580 t3= t=.9987 t2= La tabla muestra el resultado del algortmo genétco en su convergenca para dstntos puntos de precsón y consderando tamaños de poblacón dferentes, la fgura 7 muestra la trayectora generada por el mecansmo. Tabla : Resultados del GA en la generacón de trayectora Generacones Error promedo Puntos de precsón poblacón Tempo seg seg seg 0 yd xd Fgura 7. Segumento de trayectora mecansmo cerrado para 6 puntos de precsón. En la tabla se muestran los resultados obtendos al ncrementar los puntos de precsón, como puede observarse es necesaro aumentar la poblacón, al ncrementar el número de puntos de precsón, esto con el objeto de que exsta un mayor número de posbles solucones y para tener el mecansmos optmo que cubra la trayectora con un error mínmo. Tambén puede observarse que el tempo de convergenca aumenta, pero esto es drectamente proporconal al número de ndvduos y de generacones analzados para cubrr la trayectora. CONCLUSIONES. La aplcacón más común de los algortmos genétcos ha sdo la solucón de problemas de optmzacón, en donde han mostrado ser muy efcentes y confables. Se puede observar que el generar trayectoras con la mplementacón de algortmos genétcos ofrece ventajas por la manpulacón que se puede dar a las varables ncales, para obtener una convergenca rápda. Las trayectoras que debe segur el manpulador sn resolver la cnemátca nversa a través del algortmo genétco, faclta el análss de la generacón de trayectoras úncamente mplementando las ecuacones de enlace cnemátco drecto. Para el mecansmo de cadena cerrada se evta el cálculo del método numérco, que es laboroso y tene restrccones como el dar datos aproxmados para poder dar una solucón, además del consumo de tempo de cómputo. La optmzacón con algortmos genétcos permte tener aproxmacones a la solucón de la síntess del mecansmo, aunque la mejor solucón depende del tpo de mecansmo y de los requermentos de dseño. ISBN P á g n a 882 Derechos Reservados 2009, SOMIM

8 El gran campo de aplcacón de los Algortmos Genétcos se relacona con aquellos problemas para los cuales no exsten técncas especalzadas. Dependendo de la precsón y la dfcultad del problema, pueden usarse varacones de los algortmos genétcos, como los multobjetvo que srven para mnmzar el número de característcas selecconadas y maxmzar el número de clases dstntvos, los paralelos con los modelos de slas, los basados en lógca dfusa o combnados con las redes neuronales ya que tenen una gran capacdad para hbrdarse con otras técncas de búsqueda/optmzacón. En este trabajo solo se muestran dos ejemplos pero los AG tenen una ampla aplcabldad, porque generalmente pueden auto-adaptar sus parámetros y son capaces de resolver problemas para los cuales no se conoce solucón alguna. AGRADECIMIENTOS. Los autores agradecen al CONACYT, proyecto 2005/970 y al IPN, proyecto SIP , los medos para la realzacón de esta nvestgacón. REFERENCIAS. [] Chuang, J.H. & N. Ahuja, An analytcally tractable potental feld model of free space and ts apllcaton n obstacle avodance. IEEE Trans. Sys. Man, Cyb, Part B,(998). 28 (5): p [2] Ramírez-Gordllo, J., E.A. Merchán- Cruz, E. Lugo-González & R. Rvera Blas, Generacón de trayectoras para manpulador robótco de revolucón. IX Smposum Internaconal de Automatzacón,(2009). [3] De Jong, K.A., Genetc Algorthms are NOT Functon Optmzers. In L. Darell Whtley, Edtor, Fundatons of Genetcs Algorthms 2, Morgan Kaufmann Publshers, San Mateo Calforna,(993): p [] HIncapé-Isaza, R.A., C.A. Ríos-Porras & R.A. Gallego-R, Técncas Heurístcas Aplcadas al Problema del Cartero Vajero (TSP). Scenta et Technca,(200). 2. [5] Darwn, C.R., On the Orgen of Speces by Means of Natural Selecton On the Preservaton of Favoured Races n the Struggle for Lfe. Cambrdge Unversty Press, Cambrdge, UK, Orgnally publshed n 859,(96). [6] Holland, J.H., Adaptaton n natural and artfcal system. Ann Arbor, The Unversty of Mchgan Press,(975). [7] Goldberg, D.E., Genetc algorthms n search, optmzaton, and machne learnng. (989), USA: Addson - Wesley. [8] Goldberg, D.E., Genetc Algorthms n Search, Optmzaton and Machne Learnng. Addson-Wesley Publshng Co. Readng, Massachusetts,(989). [9] Mchalewcz, Z., Genetc Algorthms + Data Structure = Evoluton Programs. tercera ed. (999), Nueva York: Sprnger [0] Ramírez-Gordllo, J., Generacón de trayectoras para manpuladores robótcos con algortmos genétcos. Memoras del Congreso Internaconal Anual de la SOMIM,(2008). Prmera edcón. [] Davdor, Y., Genetc Algorthms and robotcs: a heurstc strategy for optmzaton. World Scentfc,(99). [2] Merchán-Cruz, E.A. & A.S. Morrs, GA Based Trajectory Planner for Robot Manpulatord Sharng a Common Workspace. Proceedng of the IASTED Internatonal Conference APPLIED SIMULATION AND MODELLING, Rodhes, Greece,(200) [3] Merchán-Cruz, E.A., Soft-Computng Technques n the Trajectory Plannng of Mult-Robot Manpulators Systems (Part I). Centífca, Insttuto Poltécnco Naconal, Escuela Superor de Ingenera Mecánca y Eléctrca,(2005). 9(): p [] Atef, A.A., F.F. Waleed & Y.S.a. Mohammad, Optmal Trajectory Selecton for a Three DOF Manpulator wth Mnmum Energy Consumpton. Internatonal Journal of Appled Engneerng Research,(2007). 2(): p [5] Yue, S.G., D. Henrch, W.L. Xu & S.K. Tso, Trajectory Plannng n Jont Space for Flexble Robots wth Knematcs Redundancy. The IASTED Internatonal Conference Modellng, Identfcaton and Control.,(200). [6] Cabrera, J.A., A. Smon & M. Prado, Optmal synthess of mechansms wth genetc algorthms. Mechansm and ISBN P á g n a 883 Derechos Reservados 2009, SOMIM

9 machne theory,(2002). 37 No0: p [7] Larb, M.A., A. Mlka, L. Romdhane & S. Zeghluoul, A combned genetc algorthm - fuzzy logc method (GA - FL) n mechansm synthess. Mechansm and machne theory,(200). 39: p [8] Erkaya, S. & I. Uzmay, Determnng lnk parameters usng genetc algorthm n mechansms wth jont clearance. Mechansm and Machne Theory. (2008). Theory (2008)(do:0.06/j.mechmachtheory ). [9] Roston, G.P. & R.H. Sturges, Genetc Algorthm Synthess of Four-bar Mechansms. Artfcal Intellgence for Engneerng Desgn,Analyss and Manufacturng,(996). 0: p [20] Fabo-Quntero, H., G. Calle-Trujllo & D.-A. A., Síntess de generacón de trayectoras y de movmento para múltples poscones en mecansmos, utlzando algortmos genétcos., n Scenta et Technca.(200). ISBN P á g n a 88 Derechos Reservados 2009, SOMIM