MECANISMOS ANALIZADOS CON ALGORITMOS GENÉTICOS Y MÉTODOS ANALÍTICOS.

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1 MECANISMOS ANALIZADOS CON ALGORITMOS GENÉTICOS Y MÉTODOS ANALÍTICOS. E. Lugo-González, J. Ramírez-Gordllo, A. T. Velázquez Sánchez, I. Y. Campos Padlla. 1 Insttuto Poltécnco Naconal, Escuela Superor de Ingenería Mecánca y Eléctrca, Undad Profesonal Zacatenco, Avenda Insttuto Poltécnco Naconal, Colona Zacatenco, Gustavo A. Madero, CP 07738, Méxco DF, Méxco Tel ext E. A. Merchán-Cruz, R. G. Rodríguez-Cañzo 2 Insttuto Poltécnco Naconal, Escuela Superor de Ingenería Mecánca y Eléctrca, Undad Profesonal Azcapotzalco, Avenda de las Granjas 682, Colona Sta. Catarna, Azcapotzalco, CP 02550, Méxco DF, Méxco RESUMEN Este trabajo muestra la revsón teórca y una propuesta de solucón para la síntess de mecansmos de 4 barras al generar una trayectora predetermnada, utlzando el método analítco (que nvolucra las ecuacones de Freundensten y Chebyshev, además de números complejos y el Método de Newton Raphson para calcular las ncógntas como son el tamaño de las barras y el valor de los ángulos de movmento) y el método de optmzacón por Algortmos Genétcos, ya que ofrece ventajas sobre otros métodos de optmzacón en la evaluacón de la funcón objetvo que debe satsfacer las restrccones mpuestas. El objetvo es mostrar las dferencas en los cálculos y en los resultados, además de dentfcar cuál es el método más convenente para aplcarlo en un caso específco como son los movmentos de la rodlla humana. Se exponen dos ejemplos para lustrar estos métodos. ABSTRACT Ths work shows the theoretcal revew and a soluton propose for the synthess of four bars mechansms to generate a specfc trajectory, usng the analytcal method (that nvolves Freundensten and Chebyshev equatons, n addton to complex numbers and the Newton Raphson Method to calculate the varables such as bars sze and movement angles) and a method of optmzaton by Genetc Algorthms, snce t offers advantages on other methods of optmzaton n the evaluaton of the objectve functon that must satsfy the mposed restrctons. The objectve s to show the calculatons and results dfferences, n addton to dentfy whch s the most advsable method to apply n specfc cases such as the human knee movements. Two examples are shown to llustrate these methods. NOMENCLATURA Σ = sumatora m = Grados de lbertad r= longtud de la barra del mecansmo q= ángulo de movmento de las barras f= funcón óptma C = conjunto de puntos específcos d x 0 = punto de nco en el eje x y 0 = punto de nco en el eje y xd= punto deseado en el eje x yd= punto deseado en el eje y INTRODUCCIÓN El análss y la síntess cnemátca son los prmeros pasos para estudar los mecansmos, por un lado el análss se encarga de nvestgar un mecansmo en partcular dado con base en la geometría del msmo y otras característcas conocdas, y la síntess se utlza para buscar un mecansmo que desempeñe una tarea específca [1], sendo en este trabajo la trayectora requerda para el movmento de la rodlla humana. 435

2 La síntess de mecansmos ha tendo avances en su estudo desde 1870 por Reuleaux,[2] hasta nuestros días. Para cumplr con las condcones requerdas en la síntess de mecansmos, se han utlzado métodos gráfcos y analítcos [3, 4], entre los que se encuentran la matrz de aproxmacones [5], los mínmos cuadrados en la síntess fnta de los mecansmos espacales de cuatro barras desarrollado por Levtsk y Shakvazan[6] o el modelo matemátco y de smulacón para la síntess exacta de mecansmos [7, 8]. Estos métodos tenen como nconvenente que restrngen el número de puntos de poscón para permtr la solucón por el sstema matemátco. Como consecuenca de esto, se han dseñado métodos para resolver la síntess de múltples puntos de precsón y poscón, con técncas como la optmzacón no lneal, la optmzacón de la síntess con dversos métodos[9] y los algortmos genétcos [2, 10-15], redes neuronales[16], métodos de Monte Carlo[17] o método de desvacón de control [18] entre otros. La mayor parte de estos trabajos relaconados con la generacón de trayectoras para mecansmos de 4 eslabones. ALGORITMOS GENÉTICOS. Son herramentas matemátcas que mtan a la naturaleza e ntentan resolver problemas complejos empleando el concepto de la evolucón [19]. Estos combnan la supervvenca del gen del ndvduo más fuerte en la estructura de cadenas con un ntercambo estructurado de nformacón aleatora para crear el mecansmo de búsqueda, en cada generacón se crea un nuevo conjunto de ndvduos usando los genes de los ndvduos de la generacón anteror. Goldberg, en 1989 mencona que los AG son dferentes métodos tradconales de optmzacón por que trabajan con la codfcacón de un conjunto de parámetros, y no con los parámetros msmos, trabajan con una poblacón de puntos, no un smple punto, utlzan una funcón objetvo, usan reglas de transcón probablístca, no determnístca, no necestan conocmentos específcos sobre el problema a resolver, cuando se usan para problemas de optmzacón resultan menos afectados por los máxmos locales. Los pasos para hacer un algortmo genétco son [20]: generacón aleatora de la poblacón, evaluacón respecto a la funcón objetvo, seleccón, cruzamento y mutacón. El algortmo fnalza cuando se ha ejecutado un número determnado de teracones prefjado de antemano, cuando se ha encontrado el valor óptmo o ben cuando se ha obtendo en la poblacón un nvel de donedad medo superor a un certo nvel de control [21]. Poblacón ncal: Esta se crea aleatoramente y es codfcada dentro del cromosoma de un arreglo con longtud varable (fg.1). La codfcacón puede hacerse en una representacón bnara[20, 22]. En esta etapa es mportante especfcar el número de bts para la longtud del cromosoma y en el cual un cromosoma1 es una cadena de la forma hb1, b2,..., bm, donde b1, b2,..., bm se denomnan alelos (ya sea ceros o unos). Para poder hacer la evaluacón se tene que hacer la decodfcacón y obtener valores reales. El cromosoma se representa por [10, 23] : (1) (2) Donde lgcr es la longtud del cromosoma, k es la medda del cromosoma y X k es el número de posbles esquemas. Fg.1. Poblacón ncal Evaluacón de la funcón objetvo: Esta se hace con los valores obtendos en la poblacón ncal y está sujeta a certas restrccones. Para la síntess de mecansmos, la optmzacón usando algortmos genétcos es presentada por Goldberg [20] de la sguente forma: 436

3 Mnmzar f ( x ) Sujeto a ( ) 0 g x, x n R. En donde f ( ) x es la funcón objetvo, la cuál debe dseñar un eslabonamento que correlacones la entrada y la salda de modo tal que cuando la entrada se mueva a una dstanca x, la salda se mueva y= ( ) corresponden a los puntos de precsón, g ( ) f x para un ntervalo x0 x x n + 1, donde x 1.x n x es el sstema de desgualdad prematuro y x R n es el dseño de un vector varable valorado como real con n número de varables de dseño. Aplcada esta funcón a la síntess de mecansmos para la generacón de trayectoras se puede expresar como una cantdad apropada de error que defne la desvacón de cada punto (, ) P x y del acoplador evaluado desde la precsón c correspondente a la poscón deseada. El error es la dferenca entre la funcón generada (lo que el eslabonamento realmente produce) y la funcón prescrta para certo valor de la varable de entrada. Después de la evaluacón se obtenen los mejores ndvduos, y de esta sere de datos se realzará una seleccón. Seleccón: Puede ser del tpo ruleta, determnstcos, seleccón por jerarquía, torneo, entre otros. Para este proyecto se utlzará la de ruleta o de muestreo unversal estocástco, el cuál utlza un únco gro de la ruleta sendo los sectores crculares proporconales a la funcón objetvo. Los ndvduos se selecconan a partr de marcadores espacados y con comenzo aleatoro (fg. 2). Fg. 2. Seleccón por ruleta. La ecuacón que representa la seleccón por ruleta es: (3) Donde f es el valor de la funcón. Cruzamento: Ya que se tenen selecconados los mejores ndvduos, el sguente paso es hacer el cruce de estos ndvduos, que puede ser por un punto, dos puntos o unforme. Para este problema, y después de algunas pruebas se concluye que el más adecuado es el unforme[24]. Mutacón: Es la que da una varacón del valor de los genes en forma aleatora, generalmente se da en valores muy pequeños, ya que no es tan sgnfcatvo como el cruce. 437

4 Fg.3. Cruzamento y Mutacón. El cruzamento y la mutacón son representados por las ecuacones: Pc= 1-(lgcr-1)*rand (4) Pm = 1-(1-(lgcr-1))*Rand (5) Donde Pc es la probabldad de cruce, Pm la probabldad de mutacón, lgcr, la longtud del cromosoma y Rand, es una sere de números aleatoros. MÉTODOS ANALÍTICOS PARA SÍNTESIS DE MECANISMOS. Para la síntess de mecansmos planares exsten una sere de condcones que deben cumplrse, empezando por los grados de lbertad, que son el número de parámetros ndependentes (meddas) que se necestan para defnr unívocamente su poscón en el espaco en cualquer nstante[25]. La ecuacón de Kutzbach resuelve esta problemátca: m= 3(n-1)-2j 1 -j 2 (6) En donde: m = Grados de lbertad. n = Número de eslabones. j 1 = Numero de pares de un solo grado de lbertad j 2 = Número de pares con dos grados de lbertad Para el mecansmo de 4 barras, objeto de estudo en este trabajo, se tene: m= 3(4-1)-2(2)-0= 1 En la síntess de mecansmos la Ley de Grashof tambén es utlzada porque afrma que para un eslabonamento plano de cuatro barras, la suma de las longtudes más corta y más larga de los eslabones (l+s), no puede ser mayor que la suma de las longtudes de los eslabones restantes (p+q), es decr l + s p + q, s se desea que exsta una rotacón relatva contnua entre dos elementos (fg. 4): Fg. 4. Tres nversones del cuadrlátero de Grashof 438

5 Generacón de la trayectora. La generacón de la trayectora[26] es en la que un punto del acoplador debe segur una trayectora que tenga una forma prescrta. Las necesdades comunes son que una porcón de la trayectora sea un arco crcular, elíptco o una recta, para consegur cubrr esta necesdad se requere tener una buena síntess dmensonal ya que con ella determnamos las dmensones sgnfcatvas y la poscón ncal del mecansmo. Los puntos de precsón son preescrtos para ubcacones sucesvas del eslabón de salda en el plano. Para el mecansmo de 4 barras se pueden sntetzar hasta 5 puntos de poscón para la generacón de trayectora. Un ejemplo de aplcacones es el mostrado a partr de la fg. 5. Fg. 5. Mecansmos de 4 barras para generacón de trayectora cerrada. Se nca establecendo las ecuacones de Freudensten para la cadena cnemátca aberta: Para tener los valores deseados, debdo a la cantdad de varables, se establece un sstema coordenado en OXY, tenendo: (7) (8) (9) Por lo tanto al hacer las operacones se obtenen las ecuacones para encontrar los puntos X d y Y d deseados. (10) (11) Pero sguen exstendo ncógntas como son los ángulos θ 3 y θ 4, los cuales pueden ser calculados por números complejos, asumendo que el valor del ángulo θ 2 es conocdo. Para tener el valor de θ 4 se tene la ecuacón de lazo cerrado: (12) Resolvendo la ecuacón para la barra r 3 : Aplcando números complejos conjugados y la formula de Euler se tene la sguente expresón: Expandendo la ecuacón e gualando a cero: Para efectos de cálculo se reescrbe la ecuacón y asgnan varables: (13) (14) (15) (16) (17) (18) 439

6 Por defncón se sabe que: (19) (20) En este caso la raíz negatva corresponde a la confguracón de la cadena aberta y los postvos a la cadena cerrada. Por lo tanto al substtur la ec. 19 en la ec. 20 y despejar θ 4 se tene: (21) Para obtener θ 3 se hace un procedmento smlar, prmero se obtene la ecuacón de lazo cerrado y se despeja la barra r 4 : (22) Aplcando números complejos conjugados y la formula de Euler e gualando a cero, se tene la sguente expresón: (23) Para efectos de cálculo se reescrbe la ecuacón y asgnan varables: (24) (25) (26) Por defncón se sabe que: (27) (28) En este caso la raíz negatva corresponde a la confguracón de la cadena aberta y los postvos a la cadena cerrada. Por lo tanto al substtur la ec. 28 en la ec. 27 y despejar θ 3 se tene: (29) Para la precsón del sstema se crea el espacamento de Chebyshev, que dce que para n puntos en el ntervalo es: (30) Donde x j son los puntos de precsón. MÉTODO DE OPTIMIZACIÓN La teoría de Burmester [2] muestra que exste un número nfnto de confguracones de mecansmos de 4 barras que pueden ser usados para pasar por los puntos específcos en una trayectora, pero se necesta tener una funcón apropada para la evaluacón de estos. El problema de optmzacón es dado por [10]: 440

7 Y está sujeta a j ( ) 0 = 0,1, 2,..., g X j m X l, ls x X (31) En donde f es la funcón óptma y cada X es un valor ndvdual obtendo, f n son las funcones más aptas por las propedades que muestran a los objetvos de los sstemas optmzados, g j es la defncón de la búsqueda del espaco y l, ls son los rangos de longtud defndo por valores enteros o reales [27]. La funcón óptma debe ser la suma de la síntess de la generacón de trayectoras y la síntess dmensonal. La prmera se refere a la poscón del error que se presenta entre la trayectora obtenda y la trayectora deseada, y normalmente se representa como la suma de los cuadrados de la dstanca Eucldana entre cada C y el correspondente C donde C es un conjunto de puntos específcos ndcados por el dseñador [10], d d que en este caso son los puntos mostrados en la fg. 6, los cuales deben ser cubertos por los acoplamentos o unones de los mecansmos. T (32) C d CXd, C Yd = C es una sere de poscones de los acoplamentos al ser dseñados los mecansmos de acuerdo a un conjunto de valores de los ángulos θ de entrada: T C C x ( θ 2 ), C y ( θ ) (33) = 2 Resumendo, la prmer parte de la funcón óptma es: N ( ) 2 C ( ) 2 Xd CX + CYd CY (34) En donde N es el número de puntos a ser sntetzados. Para obtener los valores de C xd,c yd, C x y C y se aplca la funcón obtenda en las ec. 10 y 11. La segunda parte de esta funcón se encarga de la síntess dmensonal o las condcones mpuestas por los mecansmos, las cuales son: 1. Condcones de Grashof, que cumplen lo sguente [8]. 2. La secuenca de los ángulos de entrada. 3. El rango para el dseño de las varables. 4. El rango de varacón para la entrada de los ángulos. 5. La relacón entre el aumento en la entrada de un ángulo y la poscón adyacente del punto de acoplamento. Al plantear la ecuacón, tomando como base las restrccones mpuestas, la ecuacón resultante es: ( C X d ( X ) C X ( X )) + ( C Yd ( X ) C Y ( X )) (35) x l, ls x X (36) N 2 2 = 1 [ ] En donde X= r 1, r 2, r 3, r 4, r 5, θ 0, x 1, y 1,x 2,y 2 y los ángulos θ, θ,..., θ son el valor de la varable del 1 2 N ángulo θ 2 que es la poscón, las varables,j son el resto del cocente. Fnalmente la funcón objetvo, agregando una funcón de ajuste, queda: 441

8 N ( CXd ( X ) CX ( X )) + CYd ( X ) CY ( X ) = 1 ( ) ( ) + M h X + M h X ( ) 2 2 (37 ) En donde las h son las condcones de Grashof, es decr s se cumple r 2 + r3 r1 + r4, h1=0 y en caso de que el eslabón r 2 no sea el más corto toma el valor de 1; h 2 toma el valor de cero s la secuenca de los ángulos es. Y s no entonces h2=1, M 1 determna s el mecansmo puede dar un gro completo y M 2 comprueba que el mecansmo realce un cclo en un solo sentdo cuando pasa por cada uno de los puntos deseados, M1 y M2 son constantes para valores altos que penalzan la funcón objetvo cuando se presentan stuacones forzadas. Caso I: Como prmer paso se determnaron los puntos deseados, en este caso, se tomo como base el ejercco desarrollado por [10]. Los puntos deseados de acuerdo al ejemplo tomado como base son: Xd= [ ] Yd= [ ] Lmtes de las varables: r1,r2,r3,r4 [0,50]; 1 2 x1,y1,x2,y2 [ 50,50]; θ0,θ3,θ4= 0 a 360 ; θ = θ + θ θ Donde Parámetros para el algortmo: N = Número de poblacón=100, Probabldad de cruce=0.9, Probabldad de mutacón=0.1, Número de teracones: Valores numércos obtendos por Métodos Analítcos: X r Y X r r e-011 r rcx Cx [ ] Cy [ ] θ2 [ ] θ3 [ ] error = e

9 Fg. 7 Resultado por el método analítco casoi. Es mportante menconar que en este ejercco se proporconaron los valores para el ángulo θ 2,de acuerdo a los obtendos por [10]. Para el cálculo se utlzaron las ecuacones de Freudensten y el Jacobano junto con el método de Newton Raphson para encontrar las ncógntas. Valores numércos obtendos utlzando la herramenta de loa algortmos genétcos son: x1= r2= rcx= θ 0 = y1= r3= Rcy= θ 4 = r1= r4= θ 2 = θ 3 = Tempo :24 Generacón: 824 Error= Como condcones ncales en el programa se deron: Número de poblacón=200, Probabldad de cruce=0.8, Probabldad de mutacón=0.1 Precsón =6 Paro= 1000 teracones. El códgo utlzado se manejo en valores bnaros. El tpo de cruce es multpuntos y se maneja la seleccón eltsta. Para la mejor convergenca del programa se utlzó la penalzacón Fg. 8 Mecansmo de 4 barras dbujado en el programa ADAMS con los valores obtendos en el programa Matlab para sntetzar el mecansmo con algortmos genétcos. Los valores obtendos fueron comparados con los obtendos por el autor Cabrera [10] y se encontraron algunas dferencas en cuanto al tempo de convergenca, el algortmo empleado para hacer este trabajo emplea la regeneracón de la poblacón, así como el multcruce. Se presentaron problemas para la convergenca, lo que provocó el utlzar la regeneracón. Caso II 443

10 Este trabajo se está realzando para cubrr la trayectora del movmento de la rodlla, y sobre esta se dbujo en el programa WATT (fg. 10) la más parecda, tomada del artículo de [28], de donde se obtuveron los puntos para trazar la trayectora (fg. 9), y estos son: Fg. 9 Arreglo de barras del centro nstantáneo e UC-BL para una rodlla polcéntrca de 4 barras [28]. Fg. 10 Trayectora para generar el movmento de una rodlla por el programa WATT. Los Puntos deseados son: xd [ ] yd [ ] Valores numércos obtendos por Métodos Analítcos: X r Y X r r e-014 r rcx Cx [ ] Cy [ ] θ2 [ ] θ3 [ ] error = e-007 Resultados obtendos con Algortmos Genétcos. x1= r2= rcx= θ 0 = y1= r3= rcy= θ 4 = r1= r4= θ 2 = θ 3 = Tempo :14 Generacón: 248 Error=

11 Fg. 7 Resultado por el método analítco, caso II Para obtener los resultados del caso numérco se utlzaron los valores obtendos por los algortmos genétcos ya que se están ncando las pruebas para este tpo de mecansmos. CONCLUSIONES. En la nformacón consultada se encontraron dversos métodos para resolver la síntess de mecansmos, pero el más práctco fue utlzar las ecuacones de Feudensten, Chebyshev, El Jacobano y el Método de Newton Raphson para localzar las varables, como fueron el tamaño de las barras, y el método por números complejos para encontrar los ángulos que deben tener las barras para alcanzar los valores objetvos. Fue necesaro mplementar estas ecuacones en el programa de búsqueda de algortmos genétcos, ya que el algortmo necesta tener una funcón objetvo, y esta fue generada a partr de las ecuacones de Freudensten, combnando los puntos deseados y una penalzacón para poder encontrar el error mínmo de poscón. El programa Watt fue de gran ayuda para lustrar la trayectora y obtener el valor de los puntos deseados para el segundo caso, y el programa ADAMS srvó para corroborar de acuerdo a los valores obtendos con el programa MATLAB y para posterormente determnar aceleracón, velocdad, materal de las barras y poder calcular fuerzas aplcadas a este mecansmo, las dmensones y los ángulos del arreglo de las barras. AGRADECIMIENTOS. Los autores agradecen al CONACYT, proyecto 2005/49701 y al IPN, proyecto SIP , los medos para la realzacón de esta nvestgacón. REFERENCIAS. [1] Erdman, A.G. & G.N. Sandor, Dseño de mecansmos, análss y síntess. 3 ed. 1998, Méxco: Prentce Hall- Pearson [2] Roston, G.P. & R.H. Sturges, Genetc Algorthm Synthess of Four-bar Mechansms. Artfcal Intellgence for Engneerng Desgn,Analyss and Manufacturng, : p [3] Freudensten, F., An analtcal approach to the desgn of four lnk mechansm. Transactons of the ASME 76, 1954: p [4] Hartenberg, R.S. & J. Denavt, Knematc Synthess of Lnkages. 1964, USA: Mc. Graw Hll. [5] Suh, C.H. & C.W. Radclffe, Synthess of plane lnkages wth use of dsplacement matrx. Journal of Engneerng for Industry, Transactons of ASME 89B, 1967: p [6] Levtsk, N.L. & K.K. Shakvazan, Synthess of fourelement spatal mechansms wth lower pars. Internatonal Journal of Mechancal Scences 2, 1960: p [7] Tzong-Mou Wu a & Cha'o-Kuang Chen, Mathematcal model and ts smulaton of exactly mechansm synthess wth adjustable lnk. Appled Mathematcs and Computaton, : p [8] Mallk, A.K., A. Ghosh&D. G., Knernatc Analyss and Synthess of Mechansrns. CRC Press, [9] Sancbran, R., et al., Gradent-based optmzaton of path synthess problems n planar mechansms. Mechansm and machne theory, : p

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