Tema 5: PROCESOS ESTOCÁSTICOS

Transcripción

1 Tema 5: PROCESOS ESTOCÁSTICOS Carlos Alberola Lóez Lab. Procesado de Imagen, ETSI Telecomunicación Desacho D04 h://

2 Proceso esocásico (PE) Término sinónimo de señal aleaoria En ese ema conecaremos los conceos de Teoría de la Probabilidad con conceos de Traamieno de Señal (mediane Sisemas Lineales). Las señales úiles en Telecomunicación recisan de herramienas de modelado robabilísico: A) Toda señal que ransora información iene algún grado de aleaoriedad. B) Sobre oda señal deseada se suerone de forma naural algún io de señal erurbadora Se reende disoner de alguna herramiena que caracerice las señales del mismo io con indeendencia de su conenido concreo. Y ener herramienas que ermian minimizar el efeco del ruido.

3 Conceo de VA Y (,Y) Exensión a comosición de N exerimenos ε i (,, ), L N

4 Conceo de Proceso Esocásico (,a) a a a a

5 INTERPRETACIÓN Colección de funciones deerminísicas del iemo (cada una de ellas se denomina realización del roceso) INTERPRETACIÓN ( 0,a) Colección de VAs indexadas or índice

6 Sea el roceso esocásico: con Conceo de Proceso Esocásico Θ ~ U( -π,π ) Como hicimos en emas aneriores, daremos or suuesa la deendencia con el resulado del exerimeno aleaorio. Escribiremos Si enemos : función deerminísica del iemo 4 Si enemos 0 que es una variable aleaoria, la cual odemos denoar or Y, Z, Si y enemos: que es un número real. (, a) Acos( ω ) + Θ 0 ( ) Acos( ω ) + Θ 0 Θ π / 4 π () Acos ω0 + ( ) A ( ω + Θ) 0 Θ π / cos ( ) 0 Acos ω00 π + 4

7 Una osible clasificación En función del índice emoral Proceso esocásico (PE): Secuencia aleaoria (SA): En función de que cada VA sea coninua o discrea PE coninuo PE discreo SA coninua SA discrea Predecible/no redecible Predecible: ( ) [ n] ( ) ~ N( 0,σ ( ) ) ( ) ~ B( N ( ), ( ) ) [ n] ~ N( 0, σ [ n] ) [ n ] ~ B( N[ n], [ n] ) No redecible: sin exresión analíica asociada ( ) Acos( ω ) + Θ 0

8 Caracerización de PEs Funciones de rimer orden: caracerización de las VAs del roceso or searado. Se requiere un único índice emoral. Función de disribución: Función de densidad: Funciones de segundo orden: caracerización de ares de VAs del roceso. Hacen fala dos índices ara indicar sobre qué dos VAs se definen las funciones: I

9 Caracerización de PEs Eliminación de deendencias: se lleva a cabo siguiendo las reglas visas en los emas aneriores. Por ejemlo: Funciones de orden N: caracerización de VAs N-dimensionales exraídas del roceso. Hacen fala N índices ara indicar sobre qué N VAs se definen las funciones:

10 (,a ) ( ) x (,a ) (,a 3 ) Aroximación muesral al cálculo de: F ( x; ) P( ( ) x)

11 (,a 3 ) ( ) (,a ) x x (,a ) Aroximación muesral al cálculo de: F ( x, x ; ) P( ( ) x I ( ) x ), 3

12 Caracerización de PEs Si uviésemos dos rocesos esocásicos, su caracerización vendría dada or la función de densidad conjuna de órdenes N y M, es decir: En la rácica, salvo ara rocesos gaussianos, es imensable oder disoner de esa información. Por ello, lo normal es rabajar con arámeros de caracerización arcial de los PEs.

13 Caracerización arcial de PEs Media VCM Varianza

14 Caracerización arcial de PEs Correlación (Auocorrelación) Covarianza (Auocovarianza) Coeficiene de correlación

15 Caracerización arcial de PEs Procesos comlejos: Secuencias aleaorias: reemlazar or n Procesos de variables discreas: oeradores discreos

16 Caracerización arcial de PEs Proceso de ruido blanco (definición): Ruido blanco en senido amlio: roceso consiuido or VAs incorreladas: Si fuese una secuencia aleaoria: Ruido blanco en senido esrico: roceso consiuido or VAs indeendienes ( ) N

17 Caracerización arcial de dos PEs Correlación cruzada Covarianza cruzada

18 Caracerización arcial de dos PEs Procesos incorrelados Procesos orogonales Procesos indeendienes

19 Conceo de esacionariedad La esacionariedad hace referencia al manenimieno de las roiedades del roceso a lo largo del iemo. Se disinguen dos senidos: Senido esrico (SSS, de sric sense saionary): las roiedades de las que hablaremos se definen sobre la función de densidad del roceso. Senido amlio (WSS, de wide sense saionary): en ese caso las roiedades se definen sobre momenos de la función de densidad. Emezaremos or SSS.

20 Esacionariedad en sen. esrico SSS: equidisribución de los dos gruos de VAs. 3 4 L N + c + c + c c L N + c

21 Esacionariedad en sen. esrico Por ano un roceso es SSS si se verifica que N y ara odo valor de la consane c. Si esa roiedad se verifica sólo hasa un ciero valor de N (y no se verifica ara valores de N mayores) el roceso se denominaría esacionario de orden N. Dos casos ariculares de la exresión anerior son

22 Esacionariedad en sen. amlio Un roceso esocásico es WSS si se verifica que Evidenemene si un roceso es SSS (o esacionario al menos de orden ) ambién es WSS. Eso se debe a que El recíroco, en general, no es ciero.

23 Un roceso esocásico es gaussiano si la función de densidad conjuna de orden N es conjunamene gaussiana. En aricular, un roceso gaussiano iene una función de densidad de orden del io: Caso de rocesos gaussianos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + x x x, x, e,, ;,x x f σ η σ σ η η ρ σ η ρ ρ π σ σ

24 Si un roceso gaussiano es WSS se verifica que: Sucede igual ara la función de orden N: or ello es SSS ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) + x x x x e, ;,x x f σ η σ σ η η ρ σ η ρ ρ π σ σ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + x x x, x, e,, ;,x x f σ η σ σ η η ρ σ η ρ ρ π σ σ Caso de rocesos gaussianos ( ) ;,x x f

25 Esacionariedad conjuna Dos rocesos son conjunamene esacionarios si lo son cada uno de ellos or searado y, además, se verifica que: Si se raa de senido amlio, cada roceso debe ser WSS y debe cumlirse, adicionalmene, que Aceemos como convenio que:

26 Proiedades de rocesos WSS

27 Proiedades de rocesos WSS Solución: recordando la linealidad del oerador eseranza: indeendencia incorrelación (media consane)

28 Proiedades de rocesos WSS Reseco de la auocorrelación: ( ) ( ) ( ) { } * E, R ( ) ( ) + + q 0 0 q j K q q j K e e E Θ Θ A A ω ω ( ) ( ) + + K K q q j j q q 0 0 e e E Θ Θ A A ω ω ( ) { } K K q j j q q j q 0 0 e e E e Θ Θ A A ω ω ( ) { } { } K K q j j q q j q 0 0 e E e E e Θ Θ A A ω ω incorrelación

29 Proiedades de rocesos WSS ( ) ( ) ( ) { } * E, R ( ) { } { } K K q j j q q j q 0 0 e E e E e Θ Θ A A ω ω Si q Si q Por ello, enemos { } { } { } E e E e e e E q q j j j j Θ Θ Θ Θ { } { } E e e E e j0 j j Θ Θ ( ) ( ) { } { } ( ) τ ω τ ω A A R E e E e, R K j K j 0 0

30 La auocorrelación resena un máximo en el cero: La auocorrelación es una función con simería conjugada: Si el roceso es eriódico, su auocorrelación ambién lo es (y del mismo eriodo) Proiedades de rocesos WSS ( ) ( ) 0 R R τ ( ) { } { } { } () K K j K j 0 R E E e E e R 0 0 A A A ω τ ω τ τ ( ) ( ) τ τ R R ( ) { } ( ) τ τ τ ω A R E e R K j 0 ( ) { } K j 0 e E R ω τ τ A () ( ) + K j 0 e Θ A ω

31 Proiedades de rocesos WSS El ruido blanco WSS iene una función de covarianza del io: ( τ ) qδ ( τ ) C Nóese que la covarianza de un roceso WSS es Luego la covarianza en el cero es C C ( ) C ( ) τ ( τ 0) C ( ) σ Por ello, un ruido blanco iene varianza infinia

32 (,a 3 ) Ergodicidad de un PE ( ) (,a ) (,a ) Aroximación muesral al cálculo de: 0 η ( ) xf ( x; ) 0 0 dx lim N N N i (,a ) 0 i

33 (,a 3 ) Ergodicidad de un PE ( ) (,a ) η (,a ) Si el roceso fuese (al menos) WSS ( 0 ) η η 0

34 Ergodicidad de un PE ( ) M T T T [ () ] () T d η En la rácica se observa una única realización. La reguna es: se uede hallar el valor medio de un roceso WSS únicamene observando una realización y alicando un oerador emoral?

35 Ergodicidad de un PE Se dice que un roceso WSS es ergódico con reseco a la media si se verifica que: η T [ () ] lim () lim MT T T T T d Si dice que un roceso WSS es ergódico reseco de la auocorrelación si se verifica que: R [ ] T lim ( + τ ) ( ) ( τ ) lim M ( + τ ) ( ) T lim T A T T [ ( ) ] T T T d

36 Algunas consecuencias de la ergodicidad Si un roceso es ergódico de media cero, una realización íica flucuará con reseco a ese valor de forma más o menos simérica alrededor del mismo.

37 Algunas consecuencias de la ergodicidad Jusificación del máximo de la correlación en cero: ( ) R T ( τ ) lim ( + τ ) ( ) T T T d τ

38 Algunas consecuencias de la ergodicidad Jusificación del eriodicidad en auocorrelación ara PE eriódico ( ) R T ( τ ) lim ( + τ ) ( ) T T T d τ

39 Algunas consecuencias de la ergodicidad La osición relaiva de las curvas se maniene consane ( ) τ + T

40 Densidad esecral de oencia de un PE Vamos a definir una función que caracerice a un roceso esocásico en el dominio de la frecuencia. Bien es ciero que, dado que un roceso esocásico es una colección de funciones del iemo, nos odríamos limiar a calcular una colección de Transformadas de Fourier. Eso sería oco rácico. Se raa de definir una única función que caracerice a odas las realizaciones del roceso de forma conjuna. A al función se le denomina densidad esecral de oencia.

41 Densidad esecral de oencia de un PE Con el objeivo de garanizar convergencia de la inegral de Fourier arimos del roceso envenanado: ( ) T T ( )

42 Densidad esecral de oencia de un PE Por ser una señal de duración finia, es de cuadrado inegrable: y resula en energía disiada finia sobre una resisencia de Ω. El Teorema de Parseval ermie escribir de forma alernaiva

43 Densidad esecral de oencia de un PE De energía asamos a oencia dividiendo or el iemo de inegración: Calculamos la oencia media mediane el oerador eseranza y exraemos el límie ara considerar odo el roceso:

44 Densidad esecral de oencia de un PE Por ello, se define la densidad esecral de oencia de la forma : es decir, la función que inegrada en odo el eje de frecuencias da lugar a la oencia media desarrollada or el roceso.

45 Densidad esecral ara rocesos WSS Para el caso en el que los rocesos sean (al menos) WSS las exresiones aneriores aricularizan a resulados mucho más sencillos (y recordables). En efeco:

46 Densidad esecral ara rocesos WSS Reseco de la densidad esecral: El cambio naural de variables es:

47 Densidad esecral ara rocesos WSS El resulado anerior: exresado en las nuevas variables:

48 Densidad esecral ara rocesos WSS Calculando ahora el límie enemos: Por ano Exresiones conocidas como relaciones de Wiener-Khinchin.

49 Proiedades de la dens. esecral Es una función real y no negaiva: Para un roceso real y WSS, la densidad esecral es una función ar: El área bajo ella coincide con el VCM ara un roceso WSS

50 Densidad esecral cruzada Se define, or conveniencia, como la ransformada de Fourier de la correlación cruzada enre dos rocesos WSS: Surge de forma naural en el caso de suma de rocesos. Por ejemlo, si, enonces ( ) ( ) Y( ) Z +

51 Sisemas lineales con enradas esocásicas ( ) Y( ) h( ) Y () ( τ ) h( τ ) dτ Se raa de obener los arámeros de caracerización (arcial) del roceso de salida como función de esos arámeros del roceso de enrada y de la resuesa al imulso del sisema lineal e invariane.

52 SLs con enradas esocásicas Emecemos con el valor medio: Si el roceso de enrada es (al menos) WSS DC

53 VCM: SLs con enradas esocásicas Si el roceso de enrada es WSS

54 SLs con enradas esocásicas ( ) Caso aricular de inerés: ruido blanco de media nula y función de auocorrelación N0 R ( τ ) δ ( τ )

55 SLs con enradas esocásicas Correlación cruzada: WSS τ R ( ) τ + α h ( α ) h ( α ) R ( ) α τ α τ α

56 SLs con enradas esocásicas Auocorrelación de salida: Que con el resulado anerior da lugar a

57 SLs con enradas esocásicas Densidad cruzada Densidad esecral de oencia de salida: A arir de obenemos

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60 Se 97, núm. 3

61 Se 97, núm.

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