Relaciones y funciones

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1 Departamento de Matemática TEÓRICO PRÁCTICO Nº 3: CONCEPTO DE FUNCIÓN Segundo Año Relaciones y funciones Entender los conceptos de Relación y de Función es de suma importancia en Matemática. Para lograr esa comprensión es necesario adentrarnos en la noción de Correspondencia, ya que esta tiene un papel fundamental en las relaciones y funciones. Lo primero es entender que Correspondencia es equivalente a Relación. En nuestra lengua, decir en relación a, es equivalente a decir corresponde a. Ejemplos: En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un precio. En la guía telefónica, cada cliente está relacionado con un número; o sea, a cada nombre de la guía le corresponde un número. Definición matemática de Relación y de Función En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango. Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido. De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función. Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano Plano Cartesiano El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. 1

2 El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las x a uno de las Y, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y) Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas. Ejemplo: Localizar el punto A (-4, 5) en el plano cartesiano. El punto A se ubica 4 lugares hacia la izquierda en la abcisa (x) y 5 lugares hacia arriba en ordenada (y). De modo inverso, este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano. Ejemplo: Determinar las coordenadas del punto M. Las coordenadas del punto M son (3,-5). 2

3 De lo anterior se concluye que: Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente. Numeración de los cuadrantes formados por los ejes cartesianos. Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas ( par ordenado ) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B. Ejemplo 1. Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B. Solución El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados: A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)} Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B: R 1 = {(2, 1), (3, 1)} R 2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} R 3 = {(2, 4), (3, 5)} La relación R 1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R 1 = {( x, y ) / y =1}. La relación R 2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R 2 = {( x, y ) / x < y } Y la relación R 3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R 3 = {( x, y ) / y = x + 2} Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos. Cuáles relaciones, de las tres anteriores, son funciones? Ejemplo 2. Dados los conjuntos C = {1, 3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la relación R = {(x, y) / x + y = 3} Solución El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), ( 3, 2), ( 3, 3), ( 3, 6)} 3

4 Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son: R = {(1, 2), ( 3, 6)} Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C, el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión x + y = 3 es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos. Dominio, codominio e imagen de una relación El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes ; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de llegada donde están los valores o elementos con los que relacionaremos a los elementos del conjunto de partida, se lo denomina Codominio. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido, rango o imagen. Ejemplo 3 Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla y es el doble de x o y = 2 x, encontrar dominio e imagen. Solución El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es: A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4,5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)} Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo: R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)} En esta relación vemos que: 4 es el doble de 2 ; esto es, 4 es la imagen de 2 bajo R (y=2x), dicho de otro modo, 2 es preimagen de 4. Así, el dominio y rango o imagen son: Dom = {2, 3, 4} Im= {4, 6, 8} Según lo que vemos, Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida? En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A. Otra pregunta: Todo elemento del conjunto de llegada (codominio) es elemento del rango o imagen? La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7. Representación gráfica de las relaciones Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales (también conocidos como diagramas de Venn) o por medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 4 Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la regla R = {( x, y ) / y = 2 x + 1}, graficar R. Solución Los pares ordenados que pertenecen a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son: R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)} Y la gráfica correspondiente es la siguiente: 4

5 Funciones Matemáticas: Conceptos Básicos En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio ) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio ) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido o imagen) En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como depende de. Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: *el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, *o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso. A modo de ejemplo, cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?: > > > > 16 Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda. La regla es entonces "elevar al cuadrado": x > x 2. Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número". Usualmente se emplean dos notaciones: x > x 2 o f(x) = x 2. Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3 2 = 9. 5

6 Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a 2, etc. Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas. Ejemplo 1 Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos. Conjunto X Conjunto Y Ángela 55 Pedro 88 Manuel 62 Adrián 88 Roberto 90 Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio ) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso. Ejemplo 2 Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3". x > 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3 Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son: Conjunto XConjunto YDesarrollo 2 1 f( 2) = 2( 2) + 3 = = f( 1) = 2( 1) + 3 = = f(0) = 2(0) + 3 = = f(1) = 2(1) + 3 = = f(2) = 2(2) + 3 = = f(3) = 2(3) + 3 = = f(4) = 2(4) + 3 = = 11 Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y. Ahora podemos enunciar una definición más formal: Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio, salida, partida) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio, llegada). Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X. Usualmente X e Y son conjuntos de números. Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto 6

7 B, se anota f: A -----> B (o, usando X por A e Y por B f: X -----> Y) o f(x) = y Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio (Cdm) o conjunto de llegada. f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x). En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5. El rango (Rg) o recorrido (Rec) o Imagen (Im) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función. Ejemplo 3 Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo". Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido. Veamos: A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B). Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12} Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes: Si tenemos los conjuntos A = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, B = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} Podemos establecer las relaciones f = { (1 ; 2) ; (2 ; 3) ; (3 ; 4) ; (4 ; 5) } g = { (1 ; 2) ; (1 ; 3) ; (2 ; 4) ; (3 ; 5) ; (4 ; 5) } h = { (1 ; 1) ; (2 ; 2) ; (3 ; 3) } : Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1 ; 2) y (1 ; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom ( h ) = {1 ; 2 ; 3} A (falta el 4). Ejemplo 4 Sea X = { 4, 1, 0, 4, 9}, Y = { 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada". Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y. Veamos: A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y ( ), pero a los números 4 y 1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y. Dominio e imagen de una función Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x). Por ejemplo la función f(x) = 3x 2 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales. En cambio, la función ( ) tiene como dominio todos los valores de x para los cuales 1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de 2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida. 7

8 Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido. Entonces en el caso recién mencionado, el dominio serían todos los números reales excepto el -2, es decir: * + puesto que dicho valor hace cero el denominador (divisor) y no se puede dividir por cero. En el caso de la función, el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a 3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada., ) o Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente: Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical (es decir el radicando) sea mayor o igual a cero. Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n (donde a 0, a 1, a 2,..., a n son constantes y n un entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales. Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero. El rango (recorrido o IMAGEN) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función. Ejemplo Identificar dominio e imagen de la función Veamos: Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x 2 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2., ) El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f., ) Resumen y Ejercicios Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango. Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida. El recorrido o rango de una relación es el conjunto de imágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada. Funciones Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento del dominio (conjunto A) uno y sólo un elemento del recorrido (conjunto B). / f(x) = y 8

9 EJERCICIOS 1. Establecer cuáles de las siguientes relaciones son funciones: a) Relacionen a cada alumno del curso con la cantidad de hermanos que posee. b) Relacionen a cada letra del abecedario con la inicial de cada alumno del aula. c) Relacionen a cada persona con su mascota. d) Relacionen cada producto de un supermercado con su precio. e) Relacionen cada número entre 1 y 200 con el nombre de quien tenga su edad (dentro de las personas del aula). f) Relacionen cada número entero con su mitad. 2. Dado el conjunto A ={-2,1,3} y B={-1; 1,4,6}: a) Halle el producto cartesiano AxB. Representarlo gráficamente b) Indique cuáles de las siguientes relaciones en AxB son funciones (justificando por qué sí o por qué no). Indique cuál es el dominio e imagen en cada caso. Represéntelas en el plano cartesiano y con Diagramas de Venn. R 1 ={(x,y)ϵ AxB/ x+3=y} R 2 ={(x,y)ϵ AxB/ x<0 y>0} R 3 ={(x,y)ϵ AxB/ y=4} 3. Si A={4, 5, 6, 7}, indiquen cuáles de las siguientes relaciones en A² son funciones justificando la respuesta. En las funciones determinen el dominio y la imagen. R 1 4,6 ; 5,6 ; 6,7 2 x, y/ x y A y 5,6 ; 7,5 ; 6,6 ; 4,5 2 x, y/ x, y A y 2 x, y/ x, y A y 2 x, y/ x, y A x R2, R 3 R R R 4 x 6 5 x Dado el conjunto A ={1,2,3} y B={1,4,9}: a) Halle el producto cartesiano AxB. Representarlo gráficamente b) Indique cuáles de las siguientes relaciones en AxB son funciones (justificando por qué sí o por qué no). Indique cuál es el dominio e imagen en cada caso. Represente aquellas que sean funciones en el plano cartesiano y con Diagramas de Venn. R 1 ={(x,y)ϵ AxB/ x 2 =y} R 2 ={(x,y)ϵ AxB/ x< y} R 3 ={(x,y)ϵ AxB/ x.y=8} 5. Cuál(es) de los siguientes gráficos no representa una función en el intervalo [a, b]? A) B) C) 9

10 D) E) 6. Cuál(es) de los siguientes gráficos representa una función en el intervalo [a, b]? 7. Cuál es el dominio de la función ( )? A) lr {1} B) lr {4} C) lr {-2, 2} D) lr {-2, 1, 2} E) lr {1, 4} 8. Sea f: lr lr, una función definida por f(x) = x Cuál es el recorrido de la función f(x)? A) lr B) [0, 1] C) [0, 1[ D) *0, + ) E) *1, + ) 9. Sea f: lr lr, una función definida por f(x) = 3x + 2. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) D f = I f II) La imagen de 0 es -2/3 III) La pre-imagen de 11 es Si f(x) = 3x 1, cuál es el valor de f(-1)? A) -4 B) -2 C) 2 D) 3 E) Si f(x) = x 2 1, cuál de las siguientes relaciones es falsa? A) f(-1) = f(1) B) f(1) < f(3) C) f(-2) > f(1) D) f(0) < 0 E) f(0) > f(-1) 12. Con respecto al gráfico de la función f de la figura, cuál de las siguientes alternativas es falsa? A) f(-2) = -f(2) B) f(0) = f(0,5) C) f(1) > f(3) D) f es creciente en el intervalo [-2, 3]. E) f es decreciente en el intervalo [2, 3]. 10

11 13. Observando el gráfico de la función g(x), indicar: a) Dominio y conjunto imagen b) Completar: g(0)=.. g(-3)=... g(2)=. g(12)=.. g(-6)=.. g(1)= Si f(x) = 4, y h(x) = x, entonces cuál es el valor de la expresión f(0,5) h(4)? A) 2 B) 3 C) 4,5 D) 6 E) Cuál(es) de los siguientes diagramas representa(n) una función f de A en B? I) II) III) 16. Resolver el siguiente problema: Diego sacó agua de la heladera, la calentó hasta el hervor y quitó el recipiente del fuego. Midió la temperatura del agua desde que encendió el fuego hasta 64 minutos después. Este es el gráfico que obtuvo cuando representó en un sistema de coordenadas cartesianas, las temperaturas registradas (T) a lo largo del tiempo (t). a) Cuál es la temperatura al inicio del proceso? b) Cuál es el dominio e imagen de la función T? Qué significan en términos del problema? c) En qué intervalos la función es creciente, decreciente o constante? Qué significan estos intervalos en términos del problema? d) Cuáles son los máximos y mínimos absolutos de la función T? Interprete en términos del problema. e) Complete e interprete en el contexto del problema: T(5)= T(20)= T(55)= 11

12 17. Proporcione la fórmula de una función f en cada uno de los siguientes casos. Determine además el dominio e imagen. a) f(x) es el precio a pagar de una persona según la cantidad x de alfajores comprados en un kiosco, sabiendo que cada alfajor vale $15 y que como máximo se llevará 6 alfajores. b) f(x) es el perímetro de un cuadrado de lado x. c) f(x) es el área de un cuadrado de lado x. d) f(x) es la longitud de una circunferencia de radio x. e) f(x) es el área de una circunferencia de radio x. f) f(x) es el volumen de un cubo de arista x. g) f(x) es el área de un triángulo rectángulo de catetos 2x y x El costo de una mudanza es de $100 más $30 por cada kilómetro recorrido. a) Escriba la fórmula de la función que permite calcular el costo de la mudanza según los kilómetros recorridos. b) Grafique la función e indique el dominio e imagen de la misma. c) Cuánto cuesta hacer una mudanza a 20km? Y a 56 km? d) Si una persona pagó $450, cuántos kilómetros se recorrieron? 19. En un predio que inicialmente había 24 casas, cada año se construyen 6 nuevas a) Escriba la fórmula de la función que permite calcular la cantidad de casas que habrá luego de x años. b) Grafique la función de los primeros 5 años e indique el dominio e imagen de la misma. c) Cuántas casas habrá luego de 8 años? Y luego de 12 años? d) Cuántos años deben pasar para que haya 78 casas? 20. Queremos alquilar un automóvil y para eso visitamos dos empresas. En una de ellas el costo es de $65 por día. La otra en cambio no cobra por día, sino $ 3,25 por km recorrido. En ambos casos el combustible corre por cuenta del cliente. a) De qué variable es función el costo en cada caso? b) Realicen un gráfico para cada situación. c) Si necesitamos un auto por 3 días para recorrer 20 km por día, qué empresa nos conviene más? d) Cuál será la empresa que nos conviene para recorrer 60 km en un solo día? e) Cuál conviene más si alquilamos el automóvil por 2 días para recorrer 13 km por día? 21. Ahora queremos alquilar una moto por un día. Una empresa cobra un arancel de $20 por día, más un recargo por distancia de $2 por cada 10 km. Otra empresa cobra directamente $35 por día con kilometraje ilimitado. En qué casos conviene cada empresa? 22. En una matiné bailable leemos Canilla libre. Puede consumir las gaseosas que desee por $120! En otro lugar nos ofrecen como precio del vaso a $20. a) Representen en un mismo gráfico las ofertas de ambos locales b) En qué casos conviene cada oferta? c) Cuál es la consumición para la cual pagamos lo mismo en cada lugar? 23. Un criadero tenía 80 ovejas inicialmente; cada año que pasa nacen 20 ovejas. a) Escriba la fórmula de la función que permite calcular la cantidad de ovejas del criadero en función del tiempo transcurrido. b) Grafique la función para los primeros 6 años e indique el dominio e imagen de la misma. c) Cuántas ovejas habrá luego de 3 años? Y luego de 11 años? d) Cuántos años deben pasar para que haya 200 ovejas? e) El punto (10; 80), pertenece a la gráfica de la función? Por qué? f) El punto (12; 310), pertenece a la gráfica de la función? Por qué? g) Cómo se modificaría el gráfico y la fórmula si no hubiera ovejas inicialmente? h) Cómo se modificaría el gráfico y la fórmula si nacieran el doble de ovejas anualmente? 24. En una casa naturista, los 100grs de avellanas cuestan $25. a) Escriba la función que determina cuánto se abonará según los gramos de avellanas comprados e indique cuál es dominio, codominio e imagen de la misma. b) Grafique la función hasta el kg de avellanas. c) Cuántos gramos he comprado si pagué $70? 12